Procedimento di calcolo delle sollecitazioni nelle travi

Procedimento di calcolo delle sollecitazioni nelle travi

( Metodo equazioni di equilibrio applicabile fino al carico uniformemente distribuito )

Trave a sbalzo con carico concentrato

Calcolo delle sollecitazioni

sforzo normale:

N  Fx  0

;

N  Fx

;

N  150 _ N

taglio:

T  Fy  0

;

T   Fy

;

T   100 _ N

momento flettente: si deve calcolare la somma dei momenti rispetto alla sezione s

 ^  ^{ 0}



 Fy L z

Mf

;

^{Mf  Fy }  ^{L  z} 

^;

^{Mf  100 }  ^{4  z}  ^{_ N  m}

per tracciare il grafico della retta che rappresenta il momento flettente si ha bisogno di due punti, due coppie di valori

 ^{z; Mf} 

. I valori di z si assegnano a piacere, i corrispondenti valori di

Mf

. Anche se i valori di z sono a piacere conviene scegliere gli estremi della trave

z  0

, (estremo sinistro, origine ) e

z  L

. I corrispondenti valori di

Mf

si calcolano con la relazione generale trovata

^{Mf  100 }  ^{4  z}  ^{_ N}

 ^z    ^Nm

Mf  0  100  4  0  400 _

;

^Mf  ^{z  0 }  ^{400 _ Nm}

 ^{z  L}  ^{ 100 }  ^{4  4}  ^{_ N  0}

Mf

;

^Mf  ^{z  L}  ^{ 0}

L = 4 m

Fy = 100 N

z s

Fx = 150 N T

N Mf

z = 0

L - z

N

T

Mf

+

+

- 100 N

-150 N

400 N

Calcolo delle sollecitazioni 2 Trave a sbalzo ( a mensola, incastrata in un estremo ) con carico uniformemente distribuito

Calcolo delle sollecitazioni

taglio:

^{T  q }  ^{L  z}  ^{ 0}

^;

^{T   q }  ^{L  z}  ^{ 0}

^;

^{T   100 }  ^{4  z}  ^{_ N}

 ^z    ^N

T  0   100  4  0   400 _

;

^T  ^{z  0}  ^{  400 _ N}

 z  L    100   4  4   0

T

;

^T  ^{z  L}  ^{ 0}

momento flettente: si deve calcolare la somma dei momenti rispetto alla sezione s

   

2  0

 





 L z

z L q

Mf

;

  0

2

2







 q L z

Mf

;

 

²

2 L z Mf  q  

;

 4 

²

2

100 z

Mf   

;

^{Mf  50 }  ^{4  z} 

²

^{_ Nm}

 ^z    ^Nm

Mf  0  50  4  0

²

 800 _

;

^Mf  ^{z  0 }  ^{800 _ Nm}

 ^{4 4}  ⁰

50 )

( z  L   

²



Mf

;

Mf ( z  L )  0

Calcolati i punti per cui passa il grafico del diagramma di taglio, bisogna stabilire se la parabola ha la convessità verso l'alto o verso il basso. Si dimostra che le ordinate del diagramma di taglio corrispondono all'inclinazione del diagramma di momento nello stesso punto. Pertanto, se le ordinate del diagramma di taglio vanno a decrescere, l'inclinazione del diagramma di momento deve diminuire e quindi nel nostro caso la curva di momento ha la convessità verso il basso.

L = 4 m

q = 100 N/m

z

s T N

Mf

z = 0

L - z

N T

Mf

+ -400 N -

400 Nm

q (L-z)

(L - z)/2

 ^{z z}  ^Nm

Mf  50 

²

 8  16 _

 ^{2 8}  ^{_ 100 400}

50      

 z Nm z

dz dMf

 ^{2 8}  ^{_ 100}

2

50

2









 z Nm

dz

Mf

d

Calcolo delle sollecitazioni 4 Trave appoggiata con carico uniformemente distribuito (schematizza un'ala controventata)

Dove c'è una forza concentrata nel carico, il taglio ha una discontinuità pari alla fora concentrata, in questo caso sono i punti A e B

Dove c'è una coppia concentrata nel carico, il momento flettente ha una discontinuità pari alla coppia. In questo caso non sono presenti coppie concentrate, quindi il diagramma di momento deve essere continuo.

L = 4 m

q = 150 N/m

s

N

Mf

z

N

- 200 N

468,75 Nm B

R_By= 800 RAy=200

L₁ = 1,5m L₂ = 2,5m

d₁ = 2m

Q = 600

d₁=0,5

E s

z L - z

T

425 N

+

-375 N A

+ +

Calcolo delle reazioni vincolari

Calcolo della risultante del carico distribuito

N L

q

Q    150  4  600 _

Calcolo di

R

_Ay

Scriviamo l'equazione di equilibrio alla rotazione della trave rispetto al punto B, somma algebrica dei momenti rispetto al punto B uguale a zero. Il punto rispetto al quale calcolare i momenti si sceglie in modo che una delle due reazioni incognite abbiano distanza zero da tale punto. In questo modo, la suddetta reazione incognita non compare nella equazione dei momenti. Essa conterrà una sola incognita e quindi sarà risolubile senza ricorrere ad un sistema di equazioni. Il verso positivo dei momenti si sceglie in modo che il momento della reazione vincolare incognita risulti positivo, così facendo si risparmierà il passaggio matematico di cambiamento del segno.

0

 ^M

^B



:

R

_Ay

 L

₁

 Q  d

₁

 0

;

R

_Ay

 1 , 5  600  0 , 5  0

;

5 , 0 600 5

,

1  

Ay



R

;

R

_Ay

 1  , 5 300

;

R

_Ay

200 _ N 5

, 1 300 



Calcolo di

R

_By

0

 ^M

^A



:

R

_By

 L

₁

 Q   L

₁

 d

₁

  0

;

R

_By

 1 , 5  600   1 , 5  0 , 5   0

0 1200 5

,

1  

By



R

;

R

_By

800 _ N

5 , 1 1200 



Verifica dell'esattezza del calcolo delle reazioni verticali

0

 ^F

^y



^:

^R

^Ay

^{ R}

^By

^{ Q  0}

^;

^{200  800  600  0}

L'equazione è verificata pertanto il calcolo delle reazioni vincolari è corretto

Calcolo delle sollecitazioni 6 Calcolo delle sollecitazioni

Tratto A-B

La coordinata z va da 0 ad L1 = 1,5 m, le equazioni di equilibrio che scriveremo per questo tratto valgono solo in questo tratto, poiché la discontinuità del carico prodotta dalla RBy rende valida la scrittura di queste equazioni solo nel tratto A-B.

taglio:

T  R

_Ay

 q  z  0

;

T  R

_Ay

 q  z

;

T  200  150  z _ N

 ^z  ^N

T  0  200  150  0  200 _

;

T  z  0   200 _ N

 ^{z L}  ^N

T 

₁

 200  150  1 , 5  425 _

;

^T  ^{z  1 , 5}  ^{ 425 _ N}

momento flettente:

si deve calcolare la somma dei momenti rispetto alla sezione s

2  0









 z

z q z R

Mf

_Ay ;

0

2

2









 q z

z R

Mf

_Ay ;

2 0

200   150 

²



 z z

M

_f ;

M

_f

 200  z  75  z

²

 0

;

75

2

200 z z

M

_f

   

 z  0   200  0  75  0

²

 0 M

_f

 ^{z L}  ^Nm

M

_f



₁

 200  1 , 5  75  1 , 5

²

 300  168 , 75  468 , 75 _

Poiché il taglio è crescente andando da A verso B, ( il taglio rappresenta l'inclinazione del grafico del momento ), il grafico del momento ha la convessità verso il basso.

q = 150 N/m

z

T Mf RAy = 200

Q = q z

s A

z/2

Tratto B - E

taglio:

    0



 q L z

T

;

T   150   4  z 

;

^{T   150 }  ^{4  z}  ^{_ N}

 ^z    ^N

T  1 , 5   150  4  1 , 5   375 _

;

T  z  1 , 5    375 _ N

 ^{z  4}  ^{  150 }  ^{4  4}  ^{ 0}

T

;

^T  ^{z  4 }  ⁰

momento flettente:

si deve calcolare la somma dei momenti rispetto alla sezione s

   

2   0





 L z

z L q

M

_f ;

  0

2

2







 q L z

M

_f ;

^M

f

 ⁷⁵   ⁴  ^z 

²

 z    Nm

M

_f

 1 , 5  75  4  1 , 5

²

 468 , 75 _

;

^M

_f

 ^{z  1 , 5}  ^{ 468 , 75 _ Nm}

 ^{z  4}  ^{ 75 }  ^{4  4} 

²

^{ 0}

M

_f ;

M

_f

 z  4   0

Poiché il taglio è decrescente andando da B verso E, ( il taglio rappresenta l'inclinazione del grafico del momento ), il grafico del momento ha la convessità verso il basso.

q = 150 N/m T

Mf

E s

L - z

q (L - z)

(L - z)/2

Calcolo delle sollecitazioni 8 Trave a sbalzo con carico lineare

Con il carico lineare si posso trattare tutti i tipi di carico approssimandoli con carichi lineari a tratti L = 4 m

q = 100 N/m

z s

T N

Mf

z = 0

L - z

T

Mf

Taglio parabolico

Momento cubico