FUNZIONI DI DUE VARIABILI: DEFINIZIONI. Gaetano Tarcisio Spartà

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: DEFINIZIONI

Gaetano Tarcisio Spartà

Indice

1. FUNZIONE REALE DI DUE VARIABILI REALI ... 3 2. CAMPO DI ESISTENZA DI UNA FUNZIONE A DUE VARIABILI 6 3. UN ESEMPIO DI COMPOSIZIONE ... 8 BIBLIOGRAFIA ... 9

1. F

Come sappiamo, dati due insiemi A (dominio), B (insieme di arrivo), una funzione è una legge che a ogni elemento di A associa uno (e un solo) elemento di B.

Durante il corso ci siamo concentrati sulle funzioni reali di una variabile reale, nelle quali, come sappiamo, il dominio è un sottoinsieme (non vuoto) dell’insieme R dei numeri reali, e l’insieme di arrivo è R.

Adesso vediamo qualche cenno sulle funzioni di due variabili.

Prima di definire le funzioni reali di due variabili reali, ricordiamo che il prodotto cartesiano 𝑅 × 𝑅 (indicato anche con 𝑅²), per definizione, è l’insieme delle coppie ordinate

(𝑎, 𝑏) dove a e b sono numeri reali.

Sia A un sottoinsieme (non vuoto) di 𝑹^𝟐. Una funzione reale di due variabili reali è una legge che, a ogni coppia ordinata di numeri reali (x,y) dell’insieme A, associa uno (e un solo) numero reale.

Come nel caso delle funzioni a una variabile, per indicare che f è una funzione reale di dominio A, si usa la notazione

𝑓: 𝐴 → 𝑅

(che si legge “f da A a R”). Se (x,y) è un elemento di A, il suo corrispondente elemento di R (tramite f) si indica con

𝑓(𝑥, 𝑦) (che si legge “f di x, y”).

Facciamo qualche esempio.

Esempio 1

Consideriamo la funzione

𝑓: 𝑅² → 𝑅

definita dalla legge

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 .

In questo caso, il dominio della funzione è tutto il piano cartesiano 𝑅². La funzione associa, a ogni coppia ordinata di numeri reali, la loro somma.

Per esempio, si ha

𝑓(0,0) = 0 + 0 = 0 , 𝑓 (1,1

2) = 1 +1 2= 3

2 , 𝑓(−5,5) = −5 + 5 = 0 .

Esempio 2

Consideriamo la funzione

𝑓: [0 , 1] × [0 , 1] → 𝑅 definita dalla legge

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 .

In questo caso, il dominio della funzione è il quadrato [0 , 1] × [0 , 1]

(cioè, l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali (x,y), con x e y maggiori o uguali a 0 e minori o uguali a 1). La funzione associa, a ogni coppia ordinata di numeri reali appartenente a [0 , 1] × [0 , 1], il secondo elemento.

Per esempio, si ha

𝑓 (1

4, 1) = 1 , 𝑓 (−1

3, 0) = 0 , 𝑓(1, √3) = √3 .

Esempio 3

Consideriamo la funzione

𝑓: 𝑅² → 𝑅 definita dalla legge

𝑓(𝑥, 𝑦) = −2 .

In questo caso, il dominio della funzione è tutto il piano cartesiano 𝑅². La funzione associa, a ogni coppia ordinata di numeri reali, il numero -2.

Per esempio, si ha

𝑓(1,1) = −2 , 𝑓(10, −15) = −2 ,

𝑓(2,0) = −2 .

Come nel caso delle funzioni di una variabile, una funzione di questo tipo, cioè che assume sempre lo stesso valore, si dice “costante”.

2. C

Come nel caso a una variabile, a partire da una espressione di tipo f(x,y) possiamo chiederci quale sia il più “grande” sottoinsieme A di 𝑅² che si può scegliere come dominio della funzione f. In altri termini, ci chiediamo quali sono le coppie ordinate di numeri reali (x,y) per le quali l’espressione f(x,y) è ben definita.

Il sottoinsieme di 𝑹^𝟐 nel quale l’espressione f(x,y) è ben definita si dice “campo di esistenza” (o “insieme di definizione”) di f(x,y).

Esempio 4

Consideriamo l’espressione

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 .

Nell’esempio 1, a partire da questa legge abbiamo definito una funzione di dominio

[0 , 1] × [0 , 1] .

Comunque, questa espressione è ben definita per ogni coppia di numeri reali. Allora, il campo di esistenza di f(x,y) è tutto il piano cartesiano

𝑅².

Esempio 5

Consideriamo l’espressione

𝑓(𝑥, 𝑦) = log(𝑥 − 𝑦) .

Questa espressione è ben definita quando l’argomento del logaritmo è maggiore di 0. Dato che

𝑥 − 𝑦 > 0 equivale a

𝑥 > 𝑦 ,

l’espressione è ben definita in tutti i punti del piano con ascissa maggiore dell’ordinata.

Cioè, il campo di esistenza di f(x,y) è l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali (x,y) tali che x>y (questo insieme, in termini geometrici, si dice un “semipiano”).

Esempio 6

Consideriamo l’espressione

𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥²− 𝑦² .

La radice quadrata è ben definita per i numeri maggiori o uguali a 0.

Dunque l’espressione f(x,y) è ben definita per 1 − 𝑥²− 𝑦² ≥ 0 , che equivale a

𝑥²+ 𝑦² ≤ 1 . L’equazione

𝑥²+ 𝑦² = 1

individua la circonferenza, del piano cartesiano, che ha come centro l’origine O=(0,0), e raggio 1.

La disequazione

𝑥²+ 𝑦² ≤ 1

individua tutto il cerchio di centro l’origine e di raggio 1. Infatti, questa disequazione è verificata sia dai punti che hanno distanza 1 dall’origine, sia da quelli che hanno distanza (dall’origine) minore di 1.

Dunque, il campo di esistenza di f(x,y) è il cerchio di centro l’origine e di raggio 1.

3. U

Siano A, B, C insiemi e f, g funzioni, rispettivamente 𝑓: 𝐴 → 𝐵 ,

𝑔: 𝐵 → 𝐶 .

La composizione di f e g (o funzione composta da f e g) è la funzione 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶

definita dalla legge

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

(cioè, per applicare la funzione composta si applica prima la funzione f e poi la funzione g).

Vediamo un esempio di funzione (reale) di una variabile reale, ottenuta come composizione di due funzioni, una delle quali è una funzione (reale) di due variabili reali.

Esempio 7

Consideriamo le funzioni

𝑓: 𝑅 → 𝑅² , 𝑔: 𝑅² → 𝑅 , definite come

𝑓(𝑡) = (𝑡², 𝑡³) , 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 . La funzione composta, allora, è

𝑔 ∘ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definita dalla legge

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑡) = 𝑔(𝑓(𝑡)) = 𝑔(𝑡², 𝑡³) = 𝑡² + 𝑡³ . Per esempio, si ha

(𝑔 ∘ 𝑓)(3) = 3²+ 3³ = 9 + 27 = 36 .

B

 A. Guerraggio. Matematica (seconda edizione). Pearson. 2009. Capitolo 14, paragrafo 2.