ESERCIZI sulle FUNZIONI di DUE VARIABILI REALI, parte 1
Dopo averli rappresentati nel piano cartesiano, stabilire se i seguenti insiemi risultano aperti, chiusi e compatti. Determinarne inoltre l’interno, la frontiera e la chiusura.
1. A ={(x, y) 2 R2 | x 2 [0, 1], 0 y < 2x}
2. B ={(x, y) 2 R2 | 0 < x2+ 4y2 < 4, x 1}
3. C = {(x, y) 2 R2 | x2+ y2 < 4, |y| < |x|}
4. D ={(x, y) 2 R2 | x2 y x + 2}
Determinare il dominio e gli insiemi di livello delle seguenti funzioni 5. f (x, y) = log(x2 + y2 1)
6. f (x, y) = ex2y 7. f (x, y) = pxy 8. f (x, y) = x22x+y2
Dopo averne determinato il dominio, disegnare gli insiemi di livello e il grafico delle seguenti funzioni:
9. f (x, y) =p
x2+ 2x + 1 + y2 10. f (x, y) = x2+ y42 y + 1 11. f (x, y) = 1 y2 x2 2x 12. f (x, y) = x2+ 2y y2
Stabilire se esistono e nel caso calcolare i seguenti limiti 13. lim
(x,y)!(0,0) sin(xy)
x2+y2
14. lim
(x,y)!(0,0) x2+y2
y
15. lim
(x,y)!(0,0) x2y x2+y2
16. lim
(x,y)!(0,0)
xy2 x2y x2+y2
17. lim
(x,y)!(0,1)
p xy x x2+(y 1)2
18. lim
(x,y)!(0,0) x+2 x2+y2
Risoluzione
1. L’insieme A ={(x, y) 2 R2 | x 2 [0, 1], 0 y < 2x}, rappresentato in figura
non risulta ne’ aperto, ne’ chiuso, e quindi nemmeno compatto, pur essendo limitato dato che A ⇢ B3(0, 0). Ha interno A = {(x, y) 2 R2 | x 2 (0, 1), 0 < y < 2x}, frontiera
@A = {(x, y) 2 R2 | y = 0, x 2 [0, 1]} [ {(x, y) 2 R2 | x = 1, y 2 [0, 2]} [ {(x, y) 2 R2 | x2 [0, 1], y = 2x}, chiusura A = {(x, y) 2 R2 | x 2 [0, 1], 0 y 2x}.
2. L’insieme B ={(x, y) 2 R2 | 0 < x2+ 4y2 < 4, x 1} in figura
non risulta ne’ aperto, ne’ chiuso, e quindi nemmeno compatto, risulta per`o limitato dato che B ⇢ B2(0, 0). Ha interno B = {(x, y) 2 R2 | 0 < x2 + 4y2 < 4, x < 1}, frontiera
@B ={(0, 0)}[{(x, y) 2 R2 | x2+4y2 = 4, x2 [ 2, 1]}[{(x, y) 2 R2 | y 2 [ p23,p23], x = 1}, chiusura B = {(x, y) 2 R2 | x2+ 4y2 4, x 1}.
3. L’insieme C ={(x, y) 2 R2 | x2+ y2 < 4, |y| < |x|} in figura
`e aperto, dunque coincide con il suo interno C = C , non risulta quindi ne’ chiuso ne’
compatto ma risulta limitato. Ha frontiera @C = {(x, y) 2 R2 | x2 + y2 = 4, |x| 2 [p
2, 2]} [ {(x, y) 2 R2 | |y| = |x|, x 2 [ p 2,p
2]} e chiusura B = {(x, y) 2 R2 | x2+ y2 4, |y| |x|}.
4. L’insieme D ={(x, y) 2 R2 | x2 y x + 2} in figura
`e chiuso, quindi coincide con la sua chiusura D = D, non risulta quindi aperto. `E compatto dato che `e chiuso e limitato. Ha frontiera @D = {(x, y) 2 R2 | y = x2, x 2 [ 1, 2]} [ {(x, y) 2 R2 | y = x + 2, x 2 [ 1, 2]} e interno D = {(x, y) 2 R2 | x2 < y <
x + 2}.
5. La funzione f (x, y) = log(x2 + y2 1) `e definita in D ={(x, y) 2 R2 | x2+ y2 > 1}. Per ogni ↵2 R l’insieme di livello
Z↵(f ) ={(x, y) 2 D | log(x2+ y2 1) = ↵} = {(x, y) 2 D | x2+ y2 = 1 + e↵}
`e la circonferenza di centro l’origine e raggiop
1 + e↵ > 1.
6. La funzione f (x, y) = ex2y `e definita inR2 e assume solo valori positivi. L’insieme di livello Z↵(f ) = {(x, y) 2 R2 | ex2y = ↵} sar`a quindi vuoto se ↵ 0, mentre per ↵ > 0 abbiamo che
Z↵(f ) ={(x, y) 2 R2 | ex2y = ↵} = {(x, y) 2 R2 | xy2 = log ↵}
`e la parabola y = log ↵ x2 di vertice l’origine.
7. La funzione f (x, y) = pxy `e definita in D ={(x, y) 2 R2 | xy 0} e assume solo valori non negativi. L’insieme di livello Z↵(f ) = {(x, y) 2 D |pxy = ↵} `e quindi vuoto se
↵ < 0, per ↵ = 0 abbiamo invece che risulta costituito dall’unione dei due assi x = 0 e y = 0 mentre per ↵ > 0 abbiamo che
Z↵(f ) ={(x, y) 2 D | xy = ↵2}
`e costituito dall’iperbole equilatera y = ↵x2.
8. La funzione f (x, y) = x22x+y2 `e definita in D =R2\ {(0, 0)}. Per ogni ↵ 6= 0 abbiamo che Z↵(f ) ={(x, y) 2 D | x22x+y2 = ↵} = {(x, y) 2 D | x2+ y2 = ↵2x}
={(x, y) 2 D | (x ↵1)2+ y2 = ↵12}
`e la circonferenza di centro (↵1, 0) di raggio 1↵ privata dell’origine (osserviamo che la circonferenza passa per l’origine per ogni ↵6= 0). Per ↵ = 0 abbiamo invece che Z↵(f ) = {(x, y) 2 D | x = 0} coincide con l’asse delle ordinate privato dell’origine.
9. La funzione f (x, y) = p
x2+ 2x + 1 + y2 = p
(x + 1)2+ y2 ha per dominio R2. Dato che f (x, y) 0 per ogni (x, y) 2 R2, se ↵ < 0 l’insieme di livello Z↵(f ) = {(x, y) 2 R2| f(x, y) = ↵} `e vuoto, se ↵ = 0 allora Z↵(f ) ={( 1, 0)} mentre per ↵ > 0 abbiamo che
Z↵(f ) ={(x, y) 2 R2| (x + 1)2+ y2 = ↵2}
`e la circonferenza di centro C = ( 1, 0) e raggio ↵. Il grafico della funzione `e il cono ad una falda z = p
(x + 1)2+ y2 di vertice ( 1, 0, 0) e asse la retta parallela all’asse z per ( 1, 0, 0)
x
y z
↵
1
↵ 1
10. La funzione f (x, y) = x2+y42 y +1 = x2+(y 2)4 2 `e definita inR2. Dato che x2+(y 2)4 2 0 per ogni (x, y) 2 R2, per ↵ < 0 l’insieme di livello Z↵(f ) ={(x, y) 2 R2| f(x, y) = ↵} `e vuoto, per ↵ = 0 abbiamo che Z0(f ) ={(0, 2)} mentre per ↵ > 0 abbiamo
Z↵(f ) ={(x, y) 2 R2| f(x, y) = ↵} = {(x, y) 2 R2| x2+(y 2)4 2 = ↵} e l’insieme di livello `e l’ellisse di centro C = (0, 2) e semiassi p
↵, 2p
↵. Il grafico della funzione `e il paraboloide ellittico z = x2+ (y 2)4 2
x
z
y
↵
2
11. La funzione f (x, y) = 1 y2 x2 2x = 2 ((x + 1)2 + y2) `e definita in R2. Poich`e 2 ((x+1)2+y2) 2 per ogni (x, y) 2 R2, per ↵ > 2 l’insieme di livelloZ↵(f ) ={(x, y) 2 R2| f(x, y) = ↵} `e vuoto, per ↵ = 2 abbiamo che Z↵(f ) = {( 1, 0)} mentre per ↵ < 2 l’insieme
Z↵(f ) ={(x, y) 2 R2| (x + 1)2+ y2 = 2 ↵}
`e la circonferenza di centro C = ( 1, 0) e raggio p
2 ↵. Il grafico della funzione `e il paraboloide circolare z = 2 ((x + 1)2+ y2)
x
z
y
↵ 2
1
12. La funzione f (x, y) = y2 2y x2 = (y 1)2 x2+ 1 `e definita inR2. Per ↵6= 1 l’insieme Z↵(f ) ={(x, y) 2 R2| f(x, y) = ↵} = {(x, y) 2 R2| (y 1)2 x2 = ↵ 1}
`e un iperbole con asse focale verticale x = 0 se ↵ > 1, orizzontale y = 1 se ↵ < 1 mentre per ↵ = 1 abbiamo che
Z1(f ) ={(x, y) 2 R2| (y 1)2 = x2} = {(x, y) 2 R2| |y 1| = |x|}
`e l’unione delle rette y =±x + 1.
Il grafico della funzione `e il paraboloide iperbolico z = (y 1)2 x2+ 1
x
y z
↵ 1 1
13. Il limite lim
(x,y)!(0,0) sin(xy)
x2+y2 non esiste, infatti, posto f (x, y) = sin(xy)x2+y2, lungo le rette y = mx abbiamo che
limx!0f (x, mx) = lim
x!0
sin(mx2) 2x2 = lim
x!0
mx2 2x2 = m
2 e dunque che il limite non `e indipendente da m.
14. Il limite lim
(x,y)!(0,0) x2+y2
y non esiste, infatti, posto f (x, y) = x2+yy 2 abbiamo che
xlim!0f (x, x) = lim
x!0
2x2 x = 0 mentre
xlim!0f (x, x2) = lim
x!0
x2+ x4 x2 = 1.
Osserviamo che per ogni m2 R, risulta lim
(x,y)!(0,0)f (x, mx) = 0.
15. Abbiamo che lim
(x,y)!(0,0) x2y
x2+y2 = 0 infatti, posto f (x, y) = x2x+y2y2 si ha che
xlim!0f (x, mx) = mx3
x2+ (mx)2 = 0 8m 2 R e che per ogni " >, scelto 0 < < ", se p
x2+ y2 < allora
|f(x, y)| = x2y
x2+ y2 |y| p
x2+ y2 < < "
quindi la condizione di limite `e verificata.
16. Per calcolare lim
(x,y)!(0,0)
xy2 x2y
x2+y2 , posto f (x, y) = xyx22+yx22y passando alle coordinate polari, calcoliamo lim
⇢!0+f (⇢ cos ✓, ⇢ sin ✓). Abbiamo
⇢lim!0+f (⇢ cos ✓, ⇢ sin ✓) = lim
⇢!0+⇢(cos ✓ sin2✓ cos2✓ sin ✓) = 0, 8✓ 2 [0, 2⇡].
Il limite risulta uniforme rispetto a ✓ 2 [0, 2⇡] essendo
|⇢(cos ✓ sin2✓ cos2✓ sin ✓)| 2⇢, 8✓ 2 [0, 2⇡], e 2⇢ ! 0 per ⇢ ! 0+. Possiamo quindi concludere che lim
(x,y)!(0,0)f (x, y) = 0.
17. Per calcolare lim
(x,y)!(0,1)
p xy x
x2+(y 1)2, posto f (x, y) = p xy x
x2+(y 1)2, utilizzando le coordinate polari centrate in (0, 1), calcoliamo innazitutto il limite lim
⇢!0+f (⇢ cos ✓, 1 + ⇢ sin ✓). Si ha
⇢!0lim+f (⇢ cos ✓, 1 + ⇢ sin ✓) = lim
⇢!0+
⇢2cos ✓ sin ✓
⇢ = 0 8✓ 2 [0, 2⇡]
e il limite risulta uniforme rispetto a ✓ dato che per ogni ✓ 2 [0, 2⇡] si ha
|f(⇢ cos ✓, 1 + ⇢ sin ✓)| = |⇢ cos ✓ sin ✓| ⇢.
18. Per calcolare lim
(x,y)!(0,0) x+2
x2+y2, utilizziamo le coordinate polari. Posto f (x, y) = xx+22+y2, abbiamo
⇢lim!0+f (⇢ cos ✓, ⇢ sin ✓) = lim
⇢!0+
⇢ cos ✓ + 2
⇢2 = +1 8✓ 2 [0, 2⇡]
uniformemente rispetto a ✓, infatti per ogni 0 < ⇢ < 1 e ✓ 2 [0, 2⇡] risulta f (⇢ cos ✓, ⇢ sin ✓) = ⇢ cos ✓ + 2
⇢2
1
⇢2 ! +1, per ⇢ ! 0+.