FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI Andrea Prevete, 2017

FUNZIONI REALI

DUE VARIABILI REALI DI

Andrea Prevete, 2017

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: IL DOMINIO

Molte delle definizioni e delle idee presentate a proposito delle funzioni reali di una variabile reale possono essere naturalmente estese alle funzioni di due variabili reali.

Una funzione f di due variabili reali è un’applicazione che associa ad ogni coppia di numeri reali (x ₁ ; x ₂ ) appartenenti ad un certo sottoinsieme di (il dominio della funzione) un terzo numero reale y che ne costituisce il valore. Ad esempio

f(x ₁ , x ₂ ):

è una funzione irrazionale di due variabili.

Il suo dominio naturale è espresso dalla relazione

Geometricamente esso corrisponderà ad uno dei semipiani aventi per frontiera la retta di equazione

Questa, come sappiamo, è la retta che incontra gli assi x ₂ ed x ₁ nei punti,

rispettivamente, 3 e =1.5

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: IL DOMINIO

Il semipiano costituente il dominio è quello evidenziato, considerato che l’altro contiene il punto (0; 0) origine

degli assi che, sostituendo nella disequazione, darebbe origine alla

relazione ovviamente falsa 2𝑥 + 𝑥 − 3 = 0 + 0 − 3 = −𝟑 ≥ 𝟎

3 ≥ 0

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: IL DOMINIO

Prendiamo in considerazione un secondo esempio.

f(x ₁ , x ₂ ):

E’ ancora una funzione irrazionale di due variabili.

Il suo dominio naturale è espresso dalla relazione

Geometricamente esso corrisponderà ad una delle due regioni del piano aventi per frontiera la circonferenza di equazione

Ricordando che il centro della circonferenza ha per coordinate gli opposti dei coefficienti dei termini di primo grado divisi per due, avremo:

; ) cioè ; )

E per il raggio:

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: IL DOMINIO

La regione costituente il dominio è quella interna alla circonferenza (quindi un

cerchio). Infatti il cerchio contiene il punto (0; 0) origine degli assi che, sostituendo nella disequazione, dà origine alla relazione ovviamente vera

𝟏 𝟎

IL GRAFICO

Abbiamo già visto come il concetto di dominio naturale possa essere naturalmente esteso dalle funzioni in una variabile a quelle in due variabili.

La stessa cosa avviene per altre proprietà, per esempio la continuità:

f(x ₁ , x ₂ ): y = x ₁ ² + x ₂ ² -3x ₁ -2x ₂ +4

è una funzione di due variabili, razionale ed intera. Quindi il suo grafico si estende senza punti di discontinuità in tutto il dominio .

Ma qual è l’esatta interpretazione geometrica del grafico per una funzione in due variabili?

Estendendo il concetto a partire da quanto visto per le funzioni di una variabile si

realizza immediatamente che nel caso di due variabili il grafico non è più visualizzabile come una curva del piano cartesiano, bensì come una superficie di uno spazio

cartesiano tridimensionale.

IL GRAFICO

Riprendiamo in esame la funzione f(x ₁ , x ₂ ): y=x ₁ ² + x ₂ ² -3x ₁ -2x ₂ +4

In corrispondenza del punto del dominio A(2; -1) assumerà il valore

f(2, -1) = 2 ² +(-1) ² -3·2-2·(-1)+4 = 5 Se effettuassimo lo stesso calcolo per tutti i punti del dominio

otterremmo un insieme di

punti coincidenti con la superficie in figura.

Questa superficie è quindi

il suo grafico.

CURVE DI LIVELLO

Nel caso in esame il grafico della funzione è sufficientemente semplice così che le sue caratteristiche sono immediatamente riconoscibili anche quando le tre dimensioni sono «appiattite» sulla superficie piana di un foglio di carta o di uno schermo.

Nella maggioranza dei casi le cose non vanno così bene, così che è necessario utilizzare tecniche alternative per la rappresentazione grafica della funzione.

La più semplice, famosa ed utilizzata è la rappresentazione per curve di livello.

Per comprenderne i presupposti torniamo alla nostra funzione e tracciamo nello

spazio del grafico due piani paralleli al piano x ₁ x ₂ , ad altezza rispettivamente y=7

e y=3. Quindi intersechiamo tali piani con il grafico della funzione evidenziando

le curve risultanti.

CURVE DI LIVELLO

piano y=3 piano y=7

Intersezione del piano y=7 con il grafico della funzione

Intersezione del piano y=3

con il grafico della funzione

CURVE DI LIVELLO

y = 7 y = 3

Se proiettiamo ortogonalmente le curve-intersezione ottenute nella precedente slide sul piano definito dagli assi x ₁ ed x ₂ , otteniamo le curve di livello 3 e 7 relative alla funzione.

E’ evidente che una rappresentazione a curve di livello se sufficientemente ricca (cioè realizzata con un numero congruo di curve) consente una

visualizzazione della funzione intuitiva

e comunque informativa rispetto a

molte sue caratteristiche.

CALCOLO DELLE CURVE DI LIVELLO

E’ possibile determinare le curve di livello dell’esempio precedente con un semplice procedimento algebrico. Basta, infatti, sostituire – per ogni livello – il suo valore alla y nell’espressione della funzione.

Livello y=7

7=x ₁ ² + x ₂ ² -3x ₁ -2x ₂ +4 x ₁ ² + x ₂ ² -3x ₁ -2x ₂ -3=0

Riconosciamo l’equazione di una circonferenza ed utilizzando le note formule per la determinazione delle coordinate del centro e del raggio otteniamo:

C(1.5; 1) R=

Livello y=3

3=x ₁ ² + x ₂ ² -3x ₁ -2x ₂ +4 x ₁ ² + x ₂ ² -3x ₁ -2x ₂ +1=0 C(1.5; 1)

R=

FUNZIONI PARZIALI ^{piano x}

^{=1 piano x}

⁼³

Intersezione del piano x

=3 con il grafico della funzione

Intersezione del piano x

=1 con il grafico della funzione

Immaginiamo adesso di intersecare il grafico della

funzione con due piani questa volta paralleli al piano

determinato dagli assi y ed x ₂ . I due piani incontreranno l’asse x1 in due punti, ad esempio 1 e 3.

Le succitate intersezioni con il grafico daranno origine a due curve che, con un procedimento analogo a quello usato per le curve di lvello, possiamo

proiettare ortogonalmente sul

piano yx ₂ .

FUNZIONI PARZIALI

x

=1 x

=3

Queste proiezioni costituiscono, evidentemente, il grafico delle funzioni in una variabile:

f(x ₂ ): y=1 ² + x ₂ ² -3·1-2x ₂ +4= x ₂ ² -2x ₂ +2 f(x ₂ ): y=3 ² + x ₂ ² -3·3-2x ₂ +4= x ₂ ² -2x ₂ +4

ottenute dalla funzione in due variabili in esame sostituendo ad x ₁ prima 1 e poi 3.

Queste funzioni sono dette funzioni parziali, nella variabile x ₂ , di f(x ₁ , x ₂ ) in corrispondenza dei valori 1 e 3 della variabile x ₁ .

Esse mostrano sinteticamente il

comportamento della funzione f(x ₁ , x ₂ ) nella direzione dell’asse x ₂ .

Dal grafico seguente osserviamo, per esempio, che entrambe le curve hanno un punto

stazionario in corrispondenza di x ₂ =1.

FUNZIONI PARZIALI

x

=1 x

=3

x

=1

punti di stazionarietà per le funzioni parziali

Usiamo adesso la notazione f _x

(x ₁ , x ₂ ): y=x ₁ ² + x ₂ ² -3x ₁ -2x ₂ +4 o semplicemente

f _x

: y=x ₁ ² + x ₂ ² -3x ₁ -2x ₂ +4

Per indicare la famiglia di tutte le funzioni parziali rispetto alla variabile x ₂ . Nella formula, quindi, x ₁ compare non come variabile ma come parametro.

Se adesso deriviamo f _x

otterremo:

f’ _x

: y=0+ 2x ₂ -0-2+0=2x ₂ -2

Ricordiamo, infatti, che nella formula x ₁ compare come un parametro – quindi un numero, anche se non esplicitato – e così lo trattiamo con le regole di derivazione che conosciamo!

Sappiamo che i punti stazionari sono quelli per cui:

f’ _x

=0 cioè 2x ₂ -2=0 quindi x ₂ =1

Abbiamo ritrovato il risultato precedente!

FUNZIONI PARZIALI

Ripetiamo lo stesso ragionamento per x ₁ . Allora f _x

:y=x ₁ ² + x ₂ ² -3x ₁ -2x ₂ +4

rappresenterà la famiglia di tutte le funzioni parziali rispetto alla variabile x ₁ . Nella formula, stavolta, sarà x ₂ a comparire come parametro.

Se adesso deriviamo f _x

otterremo:

f’ _x

: y=2x ₁ +0-3-0+0=2x ₁ -3

Riapplicando il procedimento per ottenere i punti stazionari:

f’ _x

=0 cioè 2x ₁ -3=0 quindi x ₁ =1.5

Riassumendo,

saremmo tentati di dedurre che poiché la funzione f(x ₁ , x ₂ )

• è stazionaria nella direzione dell’asse x ₁ in corrispondenza di x ₁ =1.5

• è stazionaria nella direzione dell’asse x ₂ in corrispondenza di x ₂ =1

allora il punto del piano x1x2 di coordinate (1.5; 1) è per f(x ₁ , x ₂ ) un punto di stazionarietà, senza altri

aggettivi.

DIFFERENZIABILITA’ piano tangente al grafico della funzione

Ricordiamo che, per le funzioni in una variabile, il concetto di stazionarietà faceva perno su

quello di derivabilità (liscezza).

Cioè, se la curva-grafico della funzione è derivabile (liscia) in un punto, allora in quel punto esiste la retta tangente alla curva e,

quando questa retta ha pendenza 0, il punto in questione è di stazionarietà per la curva-grafico.

Ma per le funzioni in due variabili il concetto di liscezza in un punto presuppone l’esistenza di un piano tangente. Poi, se questo piano ha

pendenza 0 rispetto al piano definito dagli assi x ₁ ed x ₂ , si ha un punto di stazionarietà.

Quando esiste il suddetto piano tangente la funzione è detta differenziabile in quel punto.

In generale l’esistenza delle rette tangenti nelle direzioni x ₁ ed x ₂ non assicura che vi sia un piano

tangente. Quindi la generalizzazione ipotizzata la fine dell’ultima slide è errata.

MASSIMI E MINIMI RELATIVI

Esiste per le funzioni di due variabili un procedimento, analogamente a quanto visto a proposito delle funzioni di una sola variabile, capace di distinguere fra i diversi tipi di punti stazionari?

Sì, è basato ancora sulle derivate seconde e funziona come segue.

1) Si calcolano le derivate parziali prime della funzione e si determinano le coppie di valori (x1; x2) per cui queste si annullano contemporaneamente. Si determinano, cioè, le soluzioni del sistema:

2) Si calcolano le quattro derivate parziali seconde , , , e si costruisce il cosiddetto determinante Hessiano:

1 2 = =  - 

MASSIMI E MINIMI RELATIVI

A questo punto - sostituendo di volta in volta nell’espressione di le soluzioni determinate al punto 1 − si possono verificare tre casi:

a) H>0 : deduciamo che in corrispondenza del punto (x1; x2) il grafico è stazionario ed in particolare siamo in presenza di un massimo relativo (se <0) altrimenti di un minimo relativo (se >0) b) H=0 : il procedimento si rivela non abbastanza potente da consegnarci una risposta certa, per cui

alziamo le mani o indaghiamo con altri strumenti!

c) H<0: deduciamo che in corrispondenza del punto (x1; x2) il grafico è stazionario e siamo in presenza di un punto di sella (cioè minimo lungo una direzione e massimo lungo l’altra)

Applichiamo l’algoritmo al caso della nostra funzione. Avevamo già effettuato i calcoli relativi al punto 1:

cioè

Cioè il sistema ottenuto annullando le derivate prime offre una sola soluzione: (1.5; 1)

MASSIMI E MINIMI RELATIVI

Calcoliamo quindi le derivate seconde.

Allo scopo riscriviamo l’espressione delle due derivate prime:

f’ _x

: y = 2x ₁ -3 f’ _x

: y = 2x ₂ -2

La derivata seconda non è altro che la derivata rispetto ad x ₁ di quindi:

= 2 – 0 = 2

Così la derivata seconda non è altro che la derivata rispetto ad x ₂ di quindi:

= 0 – 0 = 0

Ripetendo lo stesso ragionamento:

= 2 – 0 = 2

= 0 – 0 = 0

Importante: non è un caso che nei nostri calcoli si sia avuto = . C’è un teorema importante che

assicura l’irrilevanza dell’ordine di derivazione ad eccezione di situazioni particolari di cui non tratteremo.

MASSIMI E MINIMI RELATIVI

Costruiamo il determinante Hessiano:

= =  -  = 4 > 0

Quindi in corrispondenza di (1.5; 1) la nostra funzione è stazionaria. In

particolare ci troviamo di fronte ad un punto di minimo relativo dato che = 2 > 0

Tutto è perfettamente compatibile con il grafico della funzione così come

avevamo già visto:

PUNTI DI SELLA

Consideriamo ora la funzione

f(x ₁ , x ₂ ): y = 0.3x ₁ ² - 0.3x ₂ ² + 2

Le sue derivate parziali prime si annullano contemporaneamente in corrispondenza del punto (0; 0).

L’Hessiano, come si può verificare facilmente, vale:

= =  -  =

= -0.36 < 0

Quindi in corrispondenza di (0; 0) il grafico della nostra funzione presenta un punto di sella.

punto di sella: minimo nella direzione x

, massimo nella

direzione x

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI

Per massimo o minimo assoluto di una funzione intendiamo il valore più grande o più piccolo che una funzione assume nel suo dominio.

Proprio per quanto riguarda i problemi di massimo e minimo assoluti assume fondamentale importanza l’enunciato del teorema di

Weierstrass:

«una funzione continua presenta sempre un massimo ed un minimo assoluto in ogni regione chiusa e limitata del suo dominio»

In concreto, però, una volta accertata la validità dei prerequisiti del

teorema (continuità della funzione e chiusura/limitatezza della regione del dominio a cui siamo interessati) come procediamo per

l’individuazione dei punti in parola?

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI

Consideriamo la funzione

continua in una variabile il cui grafico è riportato a fianco.

Se siamo interessati alla

determinazione dei massimi e minimi assoluti in una regione chiusa e limitata del dominio ( -2.5  x  1.5 ) possiamo

operare come segue:

1) Determiniamo gli eventuali punti di massimo/minimo relativi che cadono nella regione interessata (nel nostro caso B e C)

2) Quindi confrontiamo questi valori con i punti alla frontiera della regione (A e D)

3) Il minimo assoluto cercato è il più piccolo di tali valori (nel nostro caso A). Il massimo

assoluto il più grande (nel nostro caso D).

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI

Per le funzioni in due variabili le cose si complicano, se non per l’aspetto concettuale che resta sostanzialmente invariato, sicuramente per le difficoltà operative.

Si consideri, infatti, la funzione continua il cui grafico è mostrato nella diapositiva che segue. Ci proponiamo di determinarne i massimi e minimi relativi con riferimento alla regione limitata e chiusa evidenziata in figura.

Dal grafico è intuitivo associare il massimo assoluto al massimo relativo che appartiene alla regione limitata in considerazione.

Alla stessa regione non appartengono però minimi relativi, per cui il minimo assoluto va cercato sulla frontiera.

Sul grafico è intuitivo individuarlo, più difficile è proporsi di determinare analiticamente la terna (x1; x2; y) associata al suddetto minimo assoluto.

Un criterio risolutivo generale adatto allo scopo è il cosiddetto metodo dei

moltiplicatori di Lagrange che, in qualche modo, ricalca la procedura dell’ Hessiano.

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI massimo relativo per la funzione e massimo assoluto riferito alla

regione evidenziata

punto di minimo sulla frontiera e minimo assoluto con riferimento alla regione

evidenziata

punto di massimo sulla frontiera

regione chiusa e limitata in cui stiamo cercando i

minimi e massimi assoluti della funzione

THE END