F u u z i o n i t e n s o r i a l i di u n vettore e leggi e l e m e n t a r i dell' e l e t t r o m a g n e t i s m o .
]YIemoria di @IOVA~NI Z~S (a Torino)
Ad Antoreio Signorini nel sue 70me compleanno.
Saute.. Si espor~e un algoritmo partioolarmente adatto per lo studio dells leggi elemsntari dell'elettromagnetismo~ sia allo scope di stabilire il grade di indetermiuazions da cui sono affette~ sia allo scope di determinate tulle le legal elementari dotate di requisiti
asssgnati.
Nel primo capitolo si esaminano le proprieta generali dells leggi elementari e si classificauo.
Nel sscondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle teggi slementari. Tall tensori sono tutti funzioni di u n yellers e godono dellc pro- priet~ che al m u t a t e della terna di riferimento le nuove Componenti del tensore, espresse i n funzione dells nuove componenti cartesians del yellers, godono dell' i n v a r i a n z a formals.
Tale propriet~ si traduce in are sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha cos¢ che le 9 (27) componenti del teasers di secondo (risp. tsrzo) ordine possono essere espresse msdiante u n a combiaazior~e lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo
del vettore~ che vengono chiamate " funzioni di d i s t a n z a " del teasers.
L a ricerca dells leggi elementari dotate di proprietd assegnate d~ luogo a sistemi di equazioni differeuziali f~'a te componenti dei tensori associati a~le dette leggi. Tall sistemi constano talvolta di u n enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed ur~ appropriate procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni i n mode relativamente semptice, rispetto alle complessitd c h e t a questions offre a p r i m a vista.
Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in mode esauriente ali'antica questions relativa all' indeterminazione della p r i m a legge elementare di
LAPLACE. Nel quarto capitolo si determina~to le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiehe.
§ 1. I n t r o d u z i o n e .
1. II Prof. E. PERUCCA, nel corse di aleuni colloqui con lo scrivenie, m a n i f e s t a v a ta p r o p r i a insoddisfazione al riguardo d e l t ' a t t u a l e formulazione dells leggi elementari d e W e l e t t r o m a g n e t i s m o . F r a l'altro egli r i e s p o n e v a u n a s u a a n t i e a idea, seeondo cui l ' a z i o n e m e c c a n i c a di un elemento di eorrente su u n altro a v r e b b e dovuto eonsistere non in u n a forza, m a in u n a forza ed u n a eoppia.
Lo scrivente, iu seguito a tall eolloqui, r e p u t a v a o p p o r t u n e i n t r a p r e n d e r e uno studio delle leggi elementari, al fine di mettere in evidenza le propriet~
342 G. ZIN: F u n z i o n i tensoriali di u~ vettorv c lcggi elcmcntari, ecc.
generali, di i n t r o d u r r e classificazioni e di istituire un algoritmo m a t e m a t i c o adatto a fornire tutte le leggi elementari rispondenti a requisiti determinati.
I n f i n e impostava la r i c e r c a della legge d e l l ' a z i o n e fra elementi di corrente su a n terreno p u r a m e n t e fisico. I risultati particolari, di interesse fisico, saranno illustrati in altra sede (~), m e n t r e la p r e s e n t e m e m o r i a sarh dedicata atlo studio dei p r o b l e m i m a t e m a t i c i posti dalle leggi elementari.
CAPITOLO PRIMO
P R O P R I E T A G E N E R A L I D E L L E L E G G I E L E M E N T A R I
§ 2. - L e g g i d e l l e a z i o n i e l e t t r o m a g n e t i c h e e l e m e n t a r i .
1. Si consideri, per fissare il pensiero su uno dei casi che saranno stu- diati in seguito, la prima legge e l e m e n t a r e di LAPLACE (~):
(1) d H = ~ I ds A r.
Essa consente di c o n s i d e r a r e il campo magnetico /-/ (generato in a n punto P di un mezzo omogeneo da una corrente I che percorre il circuito C) quale r i s u l t a n t e di tanti contributi dovuti ai singoli elementi del circuito (~); il contributo d H d e l l ' a r c o e l e m e n t a r e ds di C essendo fornito dalla (1), dove r il segmento che u n i s c e ds con P orientato da ds a P e dove il verso di ds ~ quello della c o r r e n t e considerata.
Dette dx~, dx~, dxs le componenti c a r t e s i a n e d i d s , dette z~, z2, z3 le componenti c a r t e s i a n e di r e dH~. d t t 2 , dHa quelle did/-/, la (1) pub in forma cartesiana~ essere scritta come segue ,le terne di assi cartesiani ortogonali considerate nella p r e s e n t e m e m o r i a si intendono tutte destrorse):
dH~ = ~ - ~ (dx2z8 - - dx3z2) I
(2)
dH~ = _ ! ; ~ (dx~z~ - - dxlz~)9:7Z~
dH3 = ~-w, I ~ (dxlz2 - dx2z~).
(l) G. ZIN, Sui fondame~ti dell'elettrodinamica~ ~ l R e n d i c o n t i A c c a d e m i a ~ a z i o n a l e L i n c o i z , S e d u t a del 13 f e b b r a i o 1960 e s e d u t e s e g u e n t i ( 2 u a t t r o ~ o t e ) .
(e) I n t u t t a l a p r e s e n t e m e m o r i a s a r a n n o u s a t e u n i t ~ del s i s t e m a GIORGI r a z i o n a l i z z a t o . (3) Con il t e r m i n e " c i r c u i t o , , hi i n t e n d e r i ~ semlore u n c o n d u t t o r e f i l i f o r m e e chiuso.
G. ZI~: Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari, ecc. 343 voce u n i v e r s a l m e n t e diffasa ehe la legge e l e m e n t a r e di LAPLACE sia inde.
t e r m i n a t a per il fatto e h e i l eampo magnetico totale H generato in P dalla e o r r e n t e I pub anehe essere calco|ato con altre formule otteuute aggiangendo
ai secoudi m e m b r i delle (2) differenziali esatti a r b i t r a r i a m e n t e seelti.
Va tuttavia rilevato che il grado di i n d e t e r m i n a z i o n e da cui ~ affetta la legge e l e m e n t a r e di LAPLACE appare diverso a seeonda del punto di vista da eui lo si considera.
Dal punto di vista p u r a m e n t e matematieo si pub essere portati a consi- d e r a r e il grado pifi g e n e r a l e di i n d e t e r m i n a z i o n e della legge. E cib pub essere a n c h e utile. Ai fini d e l l ' i n t e g r a z i o n e pub riuscire talvolta comodo il t r a s f o r m a r e i differenziali i n t e g r a n d i m e d i a n t e aggiunta di opportuni dif.
ferenziali esatti.
Ma, dal punto di vista fisico, che la legge di LAPLACE sia affetta da u n a qualehe i n d e t e r m i n a z i o n e ~ eosa t h e si potrh sia affermare, sia negate, soltanto dopo u n ' a d e g u a t a indagine. Tale questione costituisce uno degli a r g o m e n t i della p r e s e n t e memoria. T u t t a v i a cib che fin d' ora si pub a f f e r m a r e si i~ che, o r e u n ' i n d e t e r m i n a z i o n e esista, il grade di essa i~ e n o r m e m e n t e m i n o r e di quanto possa a p p a r i r e dal punto di vista p r e t t a m e n t e matematico.
I n f a t t i se si aggiungono ai secondi m e m b r i delle (2) tre differenziali esatti a r b i t r a r i a m e n t e scelti si ottengono si tre nuove espressioni differenziali; m a queste in g e n e r a l e non corrispondono a u n a legge elementare. E qui il di- scorso impone una preeisazione su cib t h e si deve i n t e n d e r e p e r legge ele- mentare.
2. L a formuluzione c a r t e s i a n a di u u a legge fisica i n d i p e n d e n t e dal sistema degli assi di r i f e r i m e n t o deve possedere u n a s t r u t t u r a analitica p u r e indi- p e n d e n t e dalla particolare t e r n a di assi a cui essa si riferisee. P e r t a n t o affinch~ tre espressioni differenziali del tipo generale
/Za Ze \
dx3 q~, ldxl ql, fix2 ql, 3dxs)
\
{r -- + + +
47: r - -
I (g2 Zx )
possano essere usate per f o r m u l a r e u n a legge e l e m e n t a r e equivalente a quella di LAPLACE, non basta che i loro integrali estesi al eireuito C forniscano gli stessi risultati previsti dalla legge di LAPLACE, ma ~ necessario che esse soddisfino alla eondizione d e l l ' i n v a r i a n z a formale rispetto al m u t a t e della t e r n a degli assi di riferimento.
344 G. Z~N:
Fm~,=io~i te~soriali di m~. vcttorc c lcggi clcme~tari, etc.
L e fau~ioai qh,~(h, i - - 1 , 2 , 3 ) d i p e a d e r a a a o ael caso pifi generale dalle tre c o m p o n e n t i e a r t e s i a n e xl, x~2, x~ del eentro di
d s e
dalle tre coordinate c a r t e s i a n e y~, y2, Y~ del punto P. L a condizione d e l l ' i n v a r i a n ~ a rispetto a una traslazione degli assi cartesiani metre subito in evidenza che le funzioni qa.~ dipendono dalle dette sei coordinate soltanto attraverso le loro differenzeSi pub pertanto scrivere
(4) qh, ~ = f~,,(z~, z~, z~) (h, i -- 1, 2, 3).
Si i n t r o d u c a ora u a nuovo sistema di assi cartesiani or!ogonati. Le nuove coordinate del centro di
ds
sianoXI, X2, X~;
quelle del punto P siano YI, Y2, ]~. per modo che le componenti cartesiane del raggio r diventanoZ~ = Y~ - - X1 Z~ - - Y~ - - X,_, Z , = Y~ - - X s .
Siano iaoltre
dX~, d_~, dXs
le nuove c o m p o n e n t i c a r t e s i a n e d e l l ' a r c o ds e siano(5)
1 {z.
7~ \-~ dX~
--\-r8 dX3
--Z_ \
-~r3 dX~ ~- QI,ldX1 + QI,,dX~ ~- Q1,flX3) Z_3r 8 dXl + Q2,flX~ -[- Q~,flX~ -]- Q2,~dX~)
Z~ dX~ + Q3,~dX~ -{- Q~,flX2 + Qs, sdXs1
/
le nuove c o m p o n e n t i c a r t e s i a n e della forza e l e m e n t a r e che, nel "eecchio sistema, ha per componenti le (3).
I coeffioienti
Qh,~(h, i - " 1, 2,
3) possono, per quanto ora detto, essere con- siderati funzioni delle tre componenti Z1, Z~, Z3 del raggio r. Essi, in cor- rispondenza di uno stesso raggio r, a s s u m e r a n n o in generale valori differenti dai corrispondenti eoef[icienti qh,~. P u r t u t t a v i a essi u b b i d i s c o n o a certe con- dizioni. Infatti l ' i n v a r i a n z a formale d e l l ' e s p r c s s i o n e analitica della legge ele- m e n t a r e rispetto ai m u t a r e della t e r n a di riferimento si t r a d u c e nolle seguenti rela,~ioni :(6)
Q.,~ = f ~ . d z 1 , z 2 , z3) (h, i = 1, 2, 3)le funzioni
fh,~
ora considerate essendo le stesse che intervengono nolle (4).G. ZI~x: Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementar~ ece. 345 Si stabiliranno era le relazioni ehe intercorrono fra i eoefficienti Qa,~ o Detto ~n,t il eoseno d e l l ' a n g o l o ehe l ' a s s e ~e n della vecehia terna forma con l ' a s s e Xt della nuova, 6 n o t o r i a m e n t e :
(7) x= = : ~ , , X , + =2,2X= + a~,aXa X2 ~ ~1,2xl + ~,~w~ + ~a,~x~
Xa ---- ~, a~c~ + ~=, ax2 + ~3, axa.
P e r tall relazioni la e o m p o n e n t e secondo l ' a s s e X t della forza e l e m e n t a r e ehe nel vecchio sistema ha le componenti Zq~,~dx~(h- 1, 2, 3) r i s u l t a :
Y, CCh,Z v qh,idx~ "-- Z ah, Z y' qh,~ E a~,mdXm --- Y' ~h,z~,.~qh,~dXm.
h i h i m h , i , m
Ma per la (5) tale e o m p o n e n t e a s s u m e p u r e l ' e s p r e s s i o n e : Z Ql,~dXm
e allora dal confronto delle due espressioni si ottiene
(8) Qz,,~ = y' :%p~.,.qh,~.
N o t o r i a m e n t e un insieme ordinate di nove funzioni (funzioni di u n a terna di assi) le quali dipendano dalla terna stessa secondo la legge (8) sono le com- ponenti di un tensore doppio. P e r t a n t o si pub cosi c o n c l u d e r e :
Affineh~ le relazioni:
d i l l -- ~ \ r 3 d X 2 - ~ dxa + ql,ldxl + ql,~flx2 + ql,3dxa
dH2 --- 4• \r a dxa - - ra dxl + q2,~dxl + q2,2dxz + q2, 3dx3
)
dHa -- 4u \r ~ dx~ - - ~ dx2 + q3,~dxl + q3,2dx~ + q3,adxa
esprimano u n a legge e l e m e n t a r e e q u i v a l e n i e a quella di LAPLACE ~ neces- sario e s u f f i c i e n t e :
1 °) che i coeffioienli q~,~ siano le componenti di u n tensore doppio;
2 °) the al mulare della terna di riferimento le espressioni analitiche delle nuove eomponenti del tensore, seritte in funzione delle nuove eomponenti car.
tesiane del raggio r, godano d e l l ' i n v a r i a n z a formale;
Annali di Matenmtica 4 4
346 G. ZIN: Funzioni tcnsoriali di un vettore e leggi e[ementaxi, ecc.
3 °) che qualun~ue siano il circuito C e il p u n t o P si abbia:
c
(h = ~, 2, 8).
§ 3 . - L e g g i d e l l e a z i o n i e l e t t r o d i n a m i c h e e l e n ~ e n t a r i .
1. A n a l o g h e c o n s i d e r a z i o n i si p o s s o n o s v o l g e r e a p r o p o s i t o d e l l a l e g g e e l e m e n t a r e di REYNARD (gih n o r a t u t t a v i a a d A~P]~RE) (*):
(9) d ~ 2 ' = - - - -
4 ~ r ~
l a q u a l e e s p r i m e l a f o r z a d~F e s e r c i t a t a d a u n e l e m e n t o ds, del c i r c u i t o C~
p e r c o r s o d a l l a c o r r e n t e /1 s u u n e l e m e n t o ds2 di u n c i r c u i t o C2 p e r c o r s o d a l l a c o r r e n t e I2. ll m e z z o si i n t e n d e o m o g e n e o e d o t a t o di p e r m e a b i l i t h ~. G l i e l e m e n t i ds, e ds2 si i n t e n d o u o o r i e n t a t i c o m e le r i s p e t t i v e c o r r e n t i . I1 v e t t o r e r 6 il s e g m e n t o c o n g i u n g e n t e i c e n t r i di ds, e ds~ ed 6 orientaLo d a ds, v e r s o ds,.
S i a n o d-'F~, d"F2, d"F3 le c o m p o n e n t i c a r t e s i a n e d e l l a f o r z a d2F; dx~, dx2, dx3 q u e l l e di ds~; d y l , dy2, dy3 q u c l l e di ds~; s i a n o a n e o r a x l , x2, x3 le c o o r d i n a t e del c e n t r o _P~ di ds~; y , , y~, y~ q u e l l e del c e n t r e P : di ds~, p e r c u i
s o n o le c o m p o n e n t i c a r t e s i a n e del r a g g i o r.
L a l e g g e di REYNARD pllb e s s e r e s u b i t o p o s t a sotto f o r m a c a r t e s i a n a p a s s a n d o a t t r a v e r s o la r e l a z i o n e
(ds~ A r) ,/~ ds2 -- ds2 /~ (r /~ ds~) - - (ds~. ds2)r - - (r. ds.,)ds~.
E v i d e n t e m e n t e la r i c e r c a di t u t t e le l e g g i e l e m e n t a r i e q u i ~ a t e n t i a q u e l l a di REYNARD p o r t a a c o n s i d e r a r e f o r z e e l e m e n t a r i le c u i e o m p o n e n t i c a r t e s i a n e
(4) La (9) ~ chiamata " f o r m u l a di REY~At~D, nel celebre trattato di E. ~ASCART e J. JOUBERT. Legons sur l'dIectricitd et le mag~dtisme, 2 a ed., Parigi~ 1896, p. 505. A proposlto della (9}, ehe 6 stata qui traseritta con formalismo vettoriale e in unit'~ razionalizzate del sistema GIORGI, vi si legge: C'est la [ormule de Reynard ~EYNARD, Ann. de Ch. et de Phys.,~
(~)~ t. XIX~ F" 272: /870, ddj~ indiqude par Ampdre CAmp6re~ M6moires de la Societ4 de P h y s . , t. I I I , 1o. 123) comme un~ solutwn du probldmv. Come 6 note Ampere attribuiva mag- giore importanza dal punto di vista fisico, a una legge elementare che soddisfacesse al prin- ciple di azione e reazione. E svolse ricerche teoriche e sperimentali fine a stabillre ]a sua famosa legge elettrodinamica, che viene ritrovaTa nella presente memeria (§ 14).
G. Z ~ : Funzioni tensoriali di un vettorc e leggi elementari, ecc. 347 h a n a o espressioni differenziali del tipo
(10)
4~ (dx,dy, ~ dx2dy2 q- dxady~) z~ _ -~ dy~ q- 7~ dy2 q-- ~ dya dxa q-(.. °. . . )
+ Z q~.~.i dx~ dy~ ] (h = 1, 2, 3)
dove i coefficienti qh,~,j sono, nel case pifi generale, funzioni delle sei coordi- nate xx, Xz, xa, y~, ya, Ya. Ma affinch~ tall espressioni possano essere prese in considerazione p e r la formulazione di una legge e l e m e n t a r e ~ neces- sario t h e esse soddisfino alla condizione d e l ] ' i n v a r i a n z a formale rispetto a a n c a m b i a m e n t o degli assi cartesiani. Jntanto, conseguenza immediata di tale eondizione, ~ che le funzioni qh, i,j dipendano dalle coordinate di P1 e P~ solo attraverso le differenze
zl -- Yl -- x~ z2 -- y. - - x~ z3 - - y3 - - ms • Si pub percib s c r i v e r e :
(11) qh, i a = f h , o ( Z , , Z=, Z~).
Si i n t r o d u c a era, come p r e e e d e n t e m e n t e , un nuovo sistema di assi carte- siani ortogonali e siano X~, X2, X3 le nuove coordinate di P1; Y1, Y~, Y~
quelle di Pz; siano inoltre
Z, = Y , - - X , & = G - - X , Z, = Ya - X~
le nuove c o m p o n e n t i cartesiane di r; dX~, dX~, dXa quelle di dsl e dye, dye, dY3 quelle di ds2. £11ora la forza elementare, le cui c0mponenti nel veeehio sistema sono le Z qh,~,idx~dyi(h = 1, 2, 3), viene ad avere net nuovo sistema le seguenti altre componenti
(12) ~ Qh,,,idX~dY i (h -- 1, 2,
3)
dove i coefficienti Qh,~.j sono funzioni delle variabili Z1, 7,2, Z3. Ma poich~
tali espressioni r i g u a r d a n o una legge fisica indipendente dal sistema degli assi, i coefficienti Qh,~,i dovranno d i p e n d e r e dalle variabili Z1, Z2, Z3 ancora secondo la legge (tl), cio~ dovrh essere
(13)
Si possono era stabilire, in mode del tutto analogo a quello del n u m e r o
348 G. Z ~ : Funz'ioni tcnsorieli di un, vcttorc c Icggi ch'.~c~ttari, ecc.
precedente, le relazioni che intercorrono tra i nuovi eoefficienti Qh, i,j e i vecchi qh, t,j •
P e r le (7) le eomponenti secondo l'asse Xi della forza elementare, che nel vecchio sisiema ha le componenti c a r t e s i a n e v, qh,~,jdw~dy~(h " - 1 , 2, 3), risulta
E ~ , ~ E qh,~,i dx~ dy i ~ ~a., ~ ~, q~,i,~(-.a;,,,fiX..) (Eai,~dY,,) -"
h i , j h i , j m n
- - Vaa,~a~,,n %,,, qh, i, l d X . , d Y , ,
h j j , m ~ n
da cui, c o n f r o n t a n d o con le (12}, si d e d u c e
(14) Qt,,.,. - ~'a~,z at,~ ai,. qh,~,i
h , ~ , j
cib che mostra che i coeffieienti qa,~,j sono le 27 componenti di n n tensore triple.
Si pub pertanto concludere a f f e r m a a d o the, affinch~ le relazioni
Z1 Z2 Z3
: I I2[(dxAy +dxfly +dx dy ) --(rflyl-b-~dy2~-rflY3)dx~.+
(15) d F h = - -
~,J~qh'~'JdxldYJ] (h -- 1, 2, 3)
esprimano u n a legge elementare equivalente a quella di RE¥~'AI~D ~ nevessario ehe i coefficienti qh,~,j siano le componenti di u n tensore triple e che inottre al m u t a r e della terna di rife*'imento le espres~oni analitiche delle nuove compo- nenti del tensore, scritte in funzione delle nuove componenti eartesiane del segmento r, godano dell'invarianza formale.
E v i d e n t e m e n t e cib non ~ a n c o r a sufficiente, hffinchi~ le (15) esprimano u n a ]egge e l e m e n t a r e equivalente a quella di REY~A]~I) i~ inoltre necessario t h e esse d i a n e luogo agli stessi risultati integrali. M a a tal punto si impone u n a distinzione fca i diversi casi che si possono presentare.
4. - C l a s s i f l c a z i o n e d e l l e l e g g i d e l l e a z i o n i e l e t t r o d l n a m i c h e e l e m e n t a r i .
1. Si consideri la classe di tutte le leggi delle azioni e l e t t r o d i n a m i c h e f r a e l e m e n t i di corrente, cio~ l ' i n s i e m e di tutte le leggi e l e m e n t a r i che nel calcolo dell'azione esercitata da un circuito C1 su un circuito C2 portano agli stessi risultati a cui c o n d u c e l' use della legge di RS¥:~ARD (cio~ danno
G. Z~-: Funzioni tensoriali di un vcttorc e leggi elcmentari, ccc. 349 luogo alla stessa forza risultante e allo stesso momento risultante rispetto ad uno stesso punto).
Si ripartiscano tall leggi in sottoclassi, ponendo in una stessa sottoclasse tutte quelle Ieggi che nel calcolo dell'azione esercitata da u n circuito C~ su un elemento ds~ di u n circuito C~ portano allo stesso risultato, cio~ danno luogo a u n a stessa forza e a u n a stessa coppia (5).
E v i d e n t e m e n t e per individuare una sottoclasse basra assegnare u n a legge e l e m e n t a r e a p p a r t e n e n t e alla sottoclasse stessa.
La r i p o r t a t a legge di REY]~%ARD, la famosa legge e l e t t r o d i n a m i c a di AMP]~RE soddisfacente al principio di azione e reazione, la legge di GRASS~[A~
sono esempi di leggi a p p a r t e n e n t i a u n a stessa sottoclasse (6). Tale sottoclasse sark e h i a m a t a sottoclasse di Ampere.
§ 5. - E s e m p l o di l e g g e e l e t t r o d i n a m t c a n o n a p p a r t e n e n t e a l i a s o t t o e l a s s e dl A m p e r e .
1. Secondo la legge (9) di REYI~ARD un elemento ds~ di C~ eserciia su un elemento ds2 di C~ u n a forza
ossia
~ r ~ (ds~ A r) A ds2
~I~I2(ds~. ds2) r ~I~[~(r ) 4= ~ ~ 4 ~ - r 8" ds~ ds~.
Si scelga ora u n punto 0 e si calcoli il momento risultante rispetto ad 0 di tutte le Iorze-4-~-- r a" ds2 ds~ esereitate dagli elementi ds~ di C~ sugli elementi ds2 di C~. Sia /'~ il centro di ds~, sia P~ il centro di ds2 e sia M il detto m o m e n t o risultante. Si ha cosi
C~ C~
(~) L a forza e la eoppia e s e r c i t a t a da un eireuito Ci su un e l e m e n t o dse di un circuito Ca si i n t e n d o n o tall e h e l a forza e il m o m e n t o d e l l a c o p p i a sono i n f i n i t e s i m i dello stesso ordin~ d e l l a l u n g h e z z a ds 2 d e l l ' e l e m e n t o .
(61 Tanto la l e g g e di ~ . M P ~ E , q u a a t o la l e g g e di G~.ASSMANN Si possono r i e a v a r e d a l | a l e g g e di REYNARD caleolando ]a forza e s e r e i t a t a da un circuito C t su un e l e m e n t o ds~ di Ce e a g g i u n g e n d o sotto il s e g n o d e t t ' i n t e g r a l e esteso a C i o p p o r t u n l d i f f e r e n z i a l i esatti~ come si pub v e d e r e n e l l a c i t a t a o p e r a di MASCART e JOUBEnT, p a g g . 508-511.
350 G. Zi~-: F u n z i o n i tensoriali di u n vcttore e leggi elementari, ecc.
L ' i n t e g r a l e esteso a C2 pub e r a essere trasformato mediante integrazione per parti. A tale scope si osservi che r ~ diretto da 1)1 a P2 e che p e r t a n t o sotto il segno f esso va considerate funzione del solo punto P2. Con tale p r e m e s s a
r 1
si pub scrivere r 3 - - ~ .grad r-" Si scelga inoltre su C2 un punto arbitrario Q q u a l e origine degli arehi s~, che v e r r a n n o contnti p o s i t i v a m e n t e nel sense della eorrente /2. E atlora d(OP~) ~ ffs.~ ed ancora rS • d:-s2-- - - grad rl . d s 2 - - _ ÷ d - - ( i l d ~ , - - - - f f ( ! ) . S i h a cosl:
asz \ r / "
% c~ % %
ed in definitiva
M - - pI~l~ [ I'I_, ~A[2 f [ds~ A 6[s,
- - [ dsl A I r arS2 =
4= ~ J J r
c:
Tale espressione mostra t h e il memento risultante M non dipende dal punto O. Esso p e r t a n t o pub essere p e n s a t e come il m e m e n t o di una eoppia risultante
~I1h cts~ A c~s~, di un sistema di t o p p l e elementari aventi c i a s c u n a memento 47: r
Si pub percib e n u n c i a r e la seguente tegge e l e m e n t a r e : L ' a z i o n e esercitata d a u n
consiste i n u n a f o r z a
eWmento c~s~ di C~ s~+ u n elemento ds~ di C2
(16) ~I~I2 (ds~. d$~)/rr~
4=
ed i n u n a coppia di m e m e n t o
~I~h c~s~ hars..
(17) -- - 4re - r
L a coppia di eui qui si parla ~ p a r t i c o l a r m e n t e interessante. Essa mira a far r u o t a r e l"elemento ds2 nel piano dei due elementi dsi e ds2 attraverse l ' a n g o l o minore di = t h e essi formauo, allo scopo di portare l ' e l e m e n t o ds2 parallelo a dsl e con questo cospirante. I n v e c e la forza e s e r c i t a t a da dsl su ds., ~ diretta seeondo la loro c o n g i u n g e n t e ed ~ a t t r a t t i v a se l ' a n g o l o formato fra i due elementi ~ minore di 2' o r e p u l s i v a se ~, maggiore di ~.
G. ZIN: Funzioni tensoriali di un vcttore e leggi elcmentari, ecc. 35t Si osservi a u e o r a cite nel ealeolare l'azione di dsz sll ds~ la forza pre- c e d e n t e si m u t a ne11'opposta, a causa d e l l ' i n v e r s i o n e del segno di r e resta pereib s e m p r e diretta seeondo la e o n g i u n g e n t e ; inoltre la eoppia si m u t a nel- l'opposta, perehb il prodotto d s ~ / \ ds~ m u t a nel prodotto ds~ A ds~. La legge e l e m e n t a r e qui stabilita b perei'b eonforme alia coneezione di PERUCCA (~) e p e r g i u n t a soddisfa a,1 prineipio di azione e reazione. Essa tuttavia non a p p a r t i e n e alla sottoclasse di AMt'~RE, come b facile verifieare. Si ealeoli infatti l ' a z i o n e totale esereitata da tutto il circuito Ct s u l l ' e l e m e n t o ds2 di C~. Le forze e l e m e n t a r i (16) essendo tutte applieate in ds2 hanno per risultante u n a forza. P e r eateolarla, si traseriva la (t6) he1 seguente modo:
( sl A r) A ds~ - - 4--~- • ds~ dsl.
L ' i n t e g r a l e di tale espressione esteso a C1 vale
(18)
jie,,A e e.e,,e,1.
('i q
0 r a per la prima legge e l e m e n t a r e di LA:PLAOE, ] ' i n t e g r a l e
C1
fornisce il eampo magnetico _B dovuto alia c o r r e n t e /1 e presente su ds2. Il t~
primo t e r m i n e della (18) diventa cosl - - B A I2ds2. I1 seeondo integrale della (18) pub essere cosi t r a s f o r m a t o :
4~ r 8 --- --4~- ] [ \ ~ d82 ds~ =
cl
essendo A il potenziale vettore p r e s e n t e in P~ e dovuto alia e o r r e n t e /1 eir- eolante in Q :
f Ildsl A - - ~-~ r
01
(7) Si v e d a q u a n t o detto n o l l ' i n t r o d u z l o n e e a n c o r a PERUCCA :E. e I{ADICATI L. A.., Sistemi isolati, leggi oi forza elementari, principio di azione e reazione~ ((lRend. A c e a d e m i a L i n c e i , , Yol. 4, p. 643, 1918.
352 G. gIN: Funzioni tensoriali di u~ vettorc e lcggi clemcntari~ eve.
La (18) d i v e n t a cosl:
d A I2ds2.
(19) - B A I~dsz +
I n v e c e per quanto r i g u a r d a il momento delia eoppia esercitata da C1 su dsz dalla (17) si ottiene:
~IJ~ f ds~ A ass _ _ A A I~cTs~.
(20) 47: r - -
cl
0 r a discende dalta legge di REY~.~RD e dalla p r i m a legge e l e m e n t a r e di LAPLACE che l ' a z i o n e m e c c a n i e a esercitata da tutto il circuito C~ su ds.~
eonsiste soltanto nella forza - - B A I2dsz (~ q u e s t a la eosidetta seconda legge e l e m e n t a r e di LAPLACE). Confrontando tale risultato con la (19) si vede ehe d A I2ds~. Inoltre la legge ele- questa ne differisce per l ' a g g i u n t a del t e r m i n e -d~
m e n t a r e dcfinita dalle (16) e (17) ha a n c h e come conseguenza una coppia il cut m o m e n t o ~ definito dalla (20). La detta legge e l e m e n t a r e non a p p a r t i e n e percib atla sottoclasse di AMeERE. Tuttavia, in sede sperimentale, essa ~ del tutto e q u i v a l e u t e alla legge di REYNARD~ come b stato dimostrato altrove (~).
Cib perehb u n a legge, per essere e q u i v a l e n t e alla legge di RE~S!ARD di fronte all'esperienza, non deve n e e e s s a r i a m e n t e a p p a r t e n e r e alla sottoclasse di A~IP~RE.
Basta che essa e la legge di REYNARD, nel cors0 di u n a deformazione virtuale, del circuito C2, conducano allo stesso risultato per quanto r i g u a r d a ii lavoro delle forze esereitate da C~ su C2.
§ 6. - S l s t e m i n u l l | d i a z i o n i m e e c a n i c h e r e t t e d a l e g g i e l e m e n t a r i .
1. Nello studio e nella trasformazione delle leggi delle azioni e l e m e n t a r i e l e t t r o d i n a m i c h e h a n n o importanza certi sistemi nulli di forze e di topple.
Si consideri un sistema di forze e di coppie e l e m e n t a r i esercitate dagli elementi del circuito C~ sugli elementi del circuito C2. Le componenti car- tesiane della forza e del m o m e n t o della coppia esercitate d a l l ' e l e m e n t o ds~
di C~ s u l I ' e l e m e n t o ds~ di C~ siano r i s p e t t i v a m e n t e
(21) Z ql,,~,.Sx,~dyn E p~,.,,.d~c,~dy,, (l = 1, 2, 3)
dove qz,~,, e pz,,,,, sono componenti di tensori, tall t h e al m u t a t e della t e r n a di r i f e r i m e n t o le loro nuove espressioni analitiche, scritte in funzione delle nuove componenti c a r t e s i a n e del raggio che va da dsl a ds2, rimangono for- m a l m e n t e invarianti.
Si dir~ che il sistema delle forze e coppie (21) i~ hullo rispetto all'arco q u a n d o q u a i u n q u e siano i circuiti C1, C~ e c o m u n q u e si scelga ds~ su C~
G. ZI~: F u n z i o n l tensoriali gi u n vettore e leggi elementari, etc. 353 si ha:
(22) Z f qz,,~.,~dx,,,aTy,, - - O, E f p~,.,,,dx.aTy,, - - 0 ( l - 1, 2, 3)
]
C1 Cl
eio~ l ' a z i o n e meoeaniea (forza e coppia) esercitata da C1 su aTs2 i~ nulla.
E v i d e n t e m e n t e quando cib avviene ~ nulla anehe l'azione m e c c a n i c a eserei.
tara da CI su u n areo q u a l u n q u e di C2, d ' o n d e la denominazione adottata per signifieare tale proprieti~ del sistema delle forze e t o p p l e (21).
Si dirk inveee t h e il sistema delle forze e topple (21 ~ h u l l o rispetto al cirvuito quando ~ nulla la risullante delle forze e l e m e n t a r i esercitate da tutti gli e l e m e n t i di C~ su tutti gli elementi di C2
(23)
ff],.
qz, ~, , d x ~ d y , - - 0 (l - - 1, 2, 3)e quando inoltre ~ hullo il m e m e n t o risultante rispetto a u n punto delle for~e e coppie e l e m e n t a r i esercitate da tutti gli elementi di C1 su tutti gli e l e m e n t i di C2:
f f [(y2 - - a2)q3, ~, ~ - - (y3 -- a3)q~., , . , . + p~, .~, ~]arx,,,dy. = 0 E
] !
f f [(y3
- a~)ql, .,, ,~ - - (yl - - a~)q3,,~,. Jr p~, .~,,~ldx,~dy. - "(24) Z 0
/ J
I l l integrali doppi intendendosi estesi a tulle le topple di e l e m e n t i d$~ di CI e ars2 di C~ ed essendo a~, a~, as le coordinate di un punto a r b i t r a r i a m e n t e scelto.
E v i d e n t e m e n t e u n sistema di forze e coppie e l e m e n l a r i nullo rispetto all'areo ~ a n c h e nullo rispetto al circuito. I1 viceversa pub non essere vero.
Aggiungendo le espressioni (21) r i s p e t t i v a m e n t e a quelle della forza e della coppia definite da u n a legge e l e t t r o d i n a m i c a e l e m e n t a r e si ottiene u n ' a l t r a legge e l e t t r o d i n a m i c a della stessa sottoclasse, quando le (21) defi- niseono u n sistema hullo rispetto a l l ' a r c o ; si ottiene invece u n ' a l t r a legge e l e t t r o d i n a m i c a non n e c e s s a r i a m e n t e della stessa sottoelasse, quando il sistema delle (21) ~ hullo rispetto al circuilo.
E v i d e n t e m e n t e q u a n d o . s i eonosca l ' e s p r e s s i o n e del pifi g e n e r a l e sislema hullo rispetto a l l ' a r c o , dalla conoscenza di u n a legge e l e t t r o d i n a m i c a si dedu- cone i m m e d i a t a m e n t e tulle le leggi e l e t t r o d i n a m i c h e della stessa sottoelasse.
Qaando invece si conosca l ' e s p r e s s i o n e del pifi generale sistema hullo rispetto al eireuito, la eonoscenza di ann legge e l e t t r o d i n a m i c a e l e m e n t a r e ~ suf- fieiente p e r conoseere tulle le allre leggi elettrodinamiehe.
Almali di Matetnatica 45
354 G. ZI~: Funzioni tcnsoriali di un vettorc e lcggi clcmcntari~ ccc.
C A P I T O L O S E C O N D O
F U N Z I O N I T E N S O R I A L I DI UN V E T T O R E
§ 7. - T e n s o r i d i s e c o n d o o r d i n e .
1. Si t r a t t a ora di stabilire le propriet'~ dei tensori che intervengono nelle leggi e l e m e n t a r i dell'elettromagnetismo. Si ~ visto ehe tall tensori godono della seguente proprieth: Le componenti del tensore sono funzioni delle componenti carlesiane di un vettore (precisamente del raggio che unisce a n elemento di un circuito con un punto dello spazio o con u n elemento di un altro circuito), lnotlre, al m u t a t e della terna di riferimento, le nuove compo.
nenti del tensore, espresse quali funzioni delle nuove componenti del vettore, godono dell' invarianza formale.
Tale proprieth, si t r a d u c e in un sistema di equazioni funzionali, che e r a sari~ studiato e che p e r m e t t e r ~ di esprimere le componenti dei tensori in questione m e d i a n t e combinazioni lineari a coefficienti noti di poche funzioni del modulo del vettore, cio~, nel caso eonsiderato, della lunghezza det raggio.
P r e e i s a m e n t e siffatti tensori r i s u l t e r a n n o d e t e r m i n a t i da tre funzioni della lunghezza del raggio nel caso del tensore di seeondo ordine (9 componenti) e da sette funzioni della detta lunghezza nel easo del tensore di terzo ordine (27 componenti).
2. P e r quanto r i g , a r d a il tensore di secondo ordine dalle (8) per le (4 e (6), si ottiene:
(25) 5,.,(Z~, & , Z.~) = ~ ~h,z~.,,~fh,~(~, z~, z3) e da questa, per le (7) di destra,
(26) f~,~( Z a~,,zi, E o%=zi, £ ~,szi) "- E aa, zai, ~fh, i(z,, z~, z3).
i i i h,
Si b cosl ottenuto il sistema di equazioni funzionali p r e a n n u n c i a t o . Da esso faeendovi
e ponendo (27)
si ottiene (28)
Z l - - r ~ - - - 0 z a " - - 0
fh, ~(r, O, O) - - ga, i(r)
h, i
G. Z ~ : F u n z i o n i ten, soriali di un vettore e [eggi elementari, ecc. 355
Si a t t r i b u i s e a n o o r a ai e o s e n i d i r e t t o r i ah,~ i s e g u e n t i v a l o r i :
(29) a~, i - - 0 a2, ~ -- 0 a~, ~ - - - - 1
a~, i ~ 0 a~, 2 " - 1 as, a -" 0.
Si osservi ehe t a l i coseni d i r e t t o r i d e f i n i s e o n o il p a s s a g g i o d a u n a t e r n a o r t o g o n a l e x l , x2, xa a d u n ' a l t r a t e r n a X~, X ~ , X~ p u r e o r t o g o n a l e ed e q u i v e r s a con l a p r i m a (il d e t e r m i n a n t e dei eoseni v a l e -~-1). Con tali v a l o r i dei eoseni d i r e t t o r i le nove r e l a z i o n i (28) d i v e n t a n o (per q u a n t o r i g u a r d a i p r i m i m e m b r i d e l l e (28), e s s e n d o a~,2---0, a~,~---0, si t e n g a eonto delle (27)):
g ~ , ~ ( r ) = g~, ~ (r) g l , ~ (r) = g , , ~ (r) g1,~ (r) = - g~,~ (r)
g ~ , ~ ( r ) = m , ~ (r) g~,~ (r) = g~,~ (r) g~,~ (r) - - - g~, ~ (r)
m , ~ ( r ) = - - g.., ~ ( r ) g~,~ (r) = - - g~, ~ (r) g~, ~ (r) - g~,~ (r).
D a q u e s t e si a p p r e n d e che le q u a t t r o f u n z i o n i gl,~(r), g~,~(r), g~,~(r), ga,~(r) sono n u l l e ed a n c o r a che
g~, ~ (r) : g~, ~ (r) ga,2 (r) : - - g~, ~ (r)
p e r cui la c o n o s c e n z a delle n u o v e f u n z i o n i g~,i(r) ~ r i d o t t a a l l a e o n o s e e n z a delle tre f u n z i o n i gl, ~(r), g~, 2(r), g2, 3 (r).
D a l l a (28), c h e o r a si considereri~ nel suo a s p e t t o pifi g e n e r a l e , eio6 senza a t t r i b u i r e v a l o r i p a r t i e o l a r i ai e o s e n i d i r e t t o r i , p e r q u a n t o o r a stabilito si o t t i e n e :
(30)
A, ..(a.,~r, ~l,~r, a~,3r) = al,~,.~g~,~(r) + (~,z~,.. + ~,~3,~.)g~,~(r) ++ ( ~ , ~ , ~ - - ~ , ~ , ~)g~, ~(r).
]~ o p p o r t u n o o r a f a r e s c o m p a r i r e da tale r e l a z i o n e t u t t i q u e i eoseni d i r e t t o r i che h a n n o il p r i m o p e d i c e d i v e r s o d a l l ' u n i t ~ . P e r il e o e f f i c i e n t e di g2,2(r) cib i m m e d i a t o e s s e n d o :
(3t)
c o n la s o l i t a c o n v e n z i o n e ~z, ,, - - 0 p e r l =4= m, ~, m - - 1 p e r l - - m.
Si c o n s i d e r i ora il e o e f f i e i e n t e ~ 2 , 1 ~ , , ~ - :¢2, ma8,~ di g2,3(r). E v i d e n t e m e n t e per 1 -- m esso b hullo. I n v e e e p e r l =[= m esso, nel d e t e r m i n a n t e dei eoseni di- r e t t o r i , c o s t i t u i s e e , a m e n o del segno, il e o m p l e m e n t o a l g e b r i c o d e l l ' e l e m e n t o al, p, i a t e n d e n d o s i con p q u e l l o f r a i n u m e r i 1, 2, 3 e h e ~ d i v e r s o sia d a l e sia d a m . P r e e i s a m e n t e il e o m p t e m e n t o a l g e b r i e o di al,~ ~ ( - - 1 ) l + ~ ( a ~ , z a ~ , , , - a~,ma3,~) nel caso l < m, 6 i n v e c e (--1)P(g21Z~S,m- ~2, maLt) n e l easo l > m.
356 G. Z~N: Fu~rrioni tc~tsoritdi di u;~ vcttorc c leggi clemcntari~ ecc.
Si t e n g a a n e o r a p r e s e n t e che in u n d e t e r m i n a n t e di u n a s o s t i t u z i o n e ortogo- h a l e ogni e l e m e n t o 6 u g u a l e al p r o p r i o c o m p l e m e n t o algebrieo, q u a n d o le d u e t e r n e di assi souo e q u i v e r s e , c o m e n e l easo q u i c o n s i d e r a t o . Si h a c o s i :
( - - 1 ) ' + ~ ' a ~ , ~ ( l < m )
~ , z~, ,~ - - ~ , , ~ , z = 0 (t = m)
(--1)p:q, ~ (l > m).
Si osservi o r a e h e p e r 1:4: m b 1 q - m - ~ p - - 6 , p e r eui si h a
d ' o n d e
p - - 6 - - 1 - - m
(-- 1)P = (-- 1) ~ - z - " = ( - - 1) *+''.
P e r il seguito s a r h u t i l e usaxe s i m b o l i c o n t r a s s e g n a t i d a p e d i c i t h e pos- sono a s s u m e r e q u a l u n q u e v a l o r e intero, positivo, n e g a t i v o o hullo, con la c o n v e n z i o n e e h e q u a n d o pedici dello stesso posto d i f f e r i s e o n o p e r m u l t i p l i di 3 n o n m u t a il v a l o r e del simbolo. Cosi a d es. si potr~ s e r i v e r e : q , p - - a l , q se p ~ q (rood 3)7 z p - - Z q s e p = q (mod 3) e eosi via. I n forza di tale conven-
zione si h a
e q u i n d i
( - - I) zq m+~aq,-Z-m
(32) ~,-, z~3, ,~ - - :% ,~a3, t - - 0
( - - lY+m~l,-z-,~
P e r e o s t r u i r e u n f o r m a l i s m o a d a t t o al calcolo 6 o p p o r t u n o i n t r o d u r r e la t r i c e Pl ~h,~ll cosi d e f i n i t a :
~t, 1 ~ 0 ~1, 2 --" 1 e l , 3 - ~ - - 1
(33) e2. ~ ---- -- 1 ~2, 2 ---- 0 ~, 3 - - 1
~a, ~ --" 1 e~, 2 - - - - 1 E3, 3 ~ O.
Si osservi e h e 6 ~ . , ~ - - - ~.~,z. I n o l t r e d i v e r s i ~ ~ z , . , - - - - ~z, . .
) I e d i a n t e tale m a t r i c e le r e l a z i o n i (32) possono essere cosi s i n t e t i z z a t e : (l < m) (t = m) (l > m).
m a .
se l~ m~ n sono a d u e a d u e
q u e s t a e s s e n d o v a l i d a nei tre casi l < m , 1 - - m , l > m .
G. Z~N: Fur~zio~i tensoriali di un vettore e leggi elemen, ta~'i, ecv. 357 A b b a n d o n a n d o le posizioni preeedenti, si seelgano ora quattro n u m e r i arbitrari zl, z~, za, r (r > O) legati dalla relazione
2
e si scelgano aneora i ire coseni direttori ~i,~, al,~, a~,s nel seguente m o d o :
r r r r
L a (30) diventa eosi:
zz z . . 7, ~ ~ g~, s( )
f~, .~(zl, z~, ~3) = r r (gl, l(r) - - g~, ~(r)) + ~, .,g~, ~(r) + ~ z - z - ~ "r"
P o n e n d o
g l , - - m ,
= g2, 2(r), ~t = - - , v =
r r 2
si ha in definitiva
(35)
f~, ~ ( ~ , z~, z~) - - ~, mk ~ ~z, ~ - ~ - ~ ~ z~,~vdove le tre funzioni )., ~t, v dipendono dal solo modulo r del vettore di eom- ponenti c a r t e s i a n e z~., z2, z3.
]~ altrest evidente c h e l a s t r u t t u r a analitica delle eomponenti del tensore di 2 ° ordine ora stabilita non ~ s u s e e t t i b i l e di ulteriori semplificazioni.
E v i d e n t e m e n t e il tensore doppio ~ e o m p l e t a m e n t e determinato dalle tre funzioni ),, ~, v. Esse, nell'ordine seritto, saranno chiamate le f u n z i o n i di d i s t a n z a del tensore doppio. Quando si voglia individuarle singolarmente esse saranno ehiamate, sempre con riferimento all'ordine seritto, la prima, la sevonda e la terza f u n z i o n e di d i s t a n z a del tensore doppio.
Si osservi ehe se q~,~ e p~,,, sono due tensori doppi dotati delle proprietor e n u n c i a t e al n. 1 del p r e s e n t e paragrafo, anehe il tensore q~,,,.-t-P~,,,~ gode delle stesse proprietfi. Inoltre se )., ~, v sono le funzioni di distanza del ten- sore ql,,~ e se ),1, ~tl, vl, sono le funzioni di distanza del tensore Pz,,,,, le funzioni di distanza del tensore q~,,~ -{- pz, ~ sono ). ~ )~1, t~ --}- ~1, v Jr vl.
Ancora, detto k un n u m e r o reale, il tensore kqz,,~ ha le funzioni di distanza k)~, k~, by.
§ 8. - T e n s o r ! d ! t e r z o o r d i n e .
L Analogamente a quanto esposto al p a r a g r a f o precedente, per le com- ponenti dei tensori di terzo ordine qui considerati sussistono le seguenti
3 5 8 G. ZIN: F u n z i o n i t e n s o r i a l i d i u n v e t t o r e c l e g g i e l e m e n t a r i , e t c . e q u a z i o n i f u n z i o n a l i , d e d u c i b i l i d a l l e (13), (12), (10) e (7):
( 3 6 ) ft, . ~ . . ( ~ a~, lz~, Y~ a~, ~z~, Y. ~, 3z~) = E ~ ~, ~x~, mai,.f~, ~, i(z~, z2, z3).
i h, i, ]
D a q u e s t e f a c e n d o v i
e d a n c o r a p o n e n d o
si o t t i e n e :
~ ---~ r~ Z~ --" O, Z3 - - 0
fh, i, i(r, 0, 0) - - gh, ~, ~(r)
(37) ft,,.,.(a~,lr,
oh,2r, ~ 1 , 3 r ) - - Y' ¢Zh, tai, mCtj, ngh, i,j(r).h, i, j
Si a t t r i b u i s c a n o o r a ai c o s e n i d i r e t t o r i i v a l o r i (29), a n a l o g a m e n t e a q u a n t o gi/~ e f f e t t u a t o al p a r a g r a f o p r e c e d e n t e . D a l l a (37) cosl si o t t i e n e :
g l , 1, ~(r) : g~,~, ~(r) g l , ~, ~(r) ---- g l , ~, 3(r) g~,,, & ) = - - g l , 1, & ) g~,., ~(r) - - g l , 3, l(r) gl, 2, 2(r) = g l , 3. 3(r) g~, ~, 3(r) - - - - g~, 3, 2(r) g~, 3, ~(r) = - - g~, ~., l ( r ) g~, 3, ~(r) = - - g l , .,, ~(r) g~, 3, 3(r) - - gl, 5, 2(r)
g2,1, l(r) - - g3,1, ~(r) g~, ~, ~(r) = g3,1, ~(r) g~, ~, ~(r) = - - g3,1, ~(r) g2, 2, l(r) - - g3, 3, ~(r) g2, 2, 2(r) : g3. 3, 3(r) g~, ~, ~(r) - - - - g3, 3, ~(r) g:, 3, ~(r) - - - - g3, 2, l(r) g~, ~, ~(r) - - - - g3, 5, ~(r)
g2, 3, 3(r) - - g3, ~., 2(r)
g3,1, ~(r) - - - - g2,1, l ( r ) g~, 1, ~(r) = - - g~, ~, & )
g3,1, 3(r) - - g~, ~, 2(r) g3. ~. l(r) - - - - g2, 3, i(r) g3, 2, ~!r) - - - - g2, 3, ~(r) g~, ~, 3(r) = g~, ~, ~(r) g~, ~, l(r) = g2, ~, ~(r) g3, 3, ~,r) = g~, ~, 3(r)
g3, 3, 3(r) - - - - g~, 2, ~(r).
D a tali r e l a z i o n i si a p p r e n d e c h e s o n o n u l l e le f u n z i o n i :
g~, ~, ~(r), g~, ~, 3(r), gl. ~.. ~(r), g~, 3, l(r), g2,1, l(r), g3, i, l(r), g2, ~, ~(r), g3, ~, ~(r), g2, 2, 3(r), g3, 3, ~(r), g.~, 3, ~(r), g3, 5, 3(r), g2, ~, 3(r), g3, 2, ~(r)
e t h e i n o l t r e s u s s i s t o n o le r e l a z i o n i :
g l , 2 , 2 ( r ) = gl, ~, 3(r)
g~, 1, ~(r) = - - g3, ~, ~(r)
g t , 2, 3(r) = - - g l , ~, ~(r) g~, 5, l(r) - - g3, 3, l(r)
g~,~,~(r) = g~,l,3(r)
g2, ~, l(r) = - - g3, 5, l(r).
G. ZI~: Funzioni tensoriali di un vettore e Ieggi elementari, ecc. 359 P e r c i b la c o n o s c e n z a di t u t t e le 27 f u n z i o n i ga,~,i(r) si r i d u c e alla c o n o s c e n z a di sole 7 di esse, che p o s s o n o e s s e r e cosi s c e l t e :
g~. ~, x(r), gx, ~, ~(r), g~, ~, a(r), g~. ~, 2(r), g2.1, a(r), g~, 2, x(r), g~. a, x(r).
M e d i a n t e q u e s t e e t e n e n d o conto delle p r o p r i e t ~ d e l l e ga.~,i(r) ora stabilite la (37) (che o r a sar~ c o n s i d e r a t a nel suo a s p e t t o generale, cio~ s e n z a a t t r i b u i r e ai c o s e n i d i r e t t o r i valori particolari) p u b e s s e r e cosl s e m p l i f i c a t a :
f~, ~..(a~, ~r, ~1, ~r, ~1, ~r) = al, ~al, ~ , ~91,1, ~(r) + (al, ~ , ~.a~, ~ + + ~ . ~ . ~ , .)g~, ~, ~(~) + (~, ~ , ~ . ~ - - ~1, ~ , ~ . ,,)gl, ~, ~(r) +
+ (~, ,a~, ~ , ~ + ~ , , ~ , ~ , ~)g~, 1. ~(r) + (~, ~ , , ~ , . - - ~ , ~ , ~a~..)g~, ~, ~(r) + + (~. ~ , ~ 1 . ~ + ~ , ~ , ~ , ~)g~, ~, ~(r) + (~, ~ , ~ 1 , ~ - - ~ , ~ , ~ , ~)g~, ~, ~(r).
D a q u e s t a p e r le (31) e (34) si o t t i e n e :
f~,*., ~(~1, ~r, ot~, ~r, al, ar) - - ~ , ~*¢1, ,#~, ~gl. 1, ~(r) -{- ~ , ~(-- ~ , , , ~ , ~ 27
+ ~.,, .)g~, ~, ~(r) + :% ~ , .~1,-,~-~g~, 2, ~(r) + ~ , ,,,(-- a~, ~*¢~. ,, + + ~, .)g~, ~, ~(r) + ~ , . . ~ , ~ai, _~_~g~. 1, ~(r) + ~1, ~(-- ~ , ~ , ~. + + ~,,.!g~, ~, l(r) + ~1, ~ , ~ , -z-~g~, 8, ~(r)
ossia:
fz,~, ~(a~,lr, a~,2r, al, ar) "- al,~ ~1,,., :¢1,,, [gl, l,l(r) - - gl,2,2(r) - - g2,1,2(r)-- g~,2,1(r)] + + ~,,,,,, :¢i,z ~l,-,,.-.~gi,~,3(r) + ~z,~ al,,,, ~l,-z-.g~,t,~(r) + ~,.. ~1,~ al,-z--~g2,3,1(r)
"{- ~ , ~ ~,zgl,~,2(r) + ~z,~ ~l,~g~,l,~(r) + ~z,.~a~,~g2,2,1(r).
A b b a n d o n a n d o le posizioni p r e c e d e n t i , si a t t r i b u i s c a n o ora alle v a r i a b i l i zl, ~2, ~3, r vMori arbiSrari l e g a t i d a l l a relazione
e si s e e l g a n o i coseni direStori ~ , 1 , 0¢~,2, a~,a in m o d o t h e sia
~ , ~ -- - Z~ (~ - - 1, 2, 3).
r
360 G. Z~N: Funzioni tensoriali di un vcttore c leggi elementari, etc.
Si p o n g a i n o l t r e :
r~ [ q~, ~, ~(r) - - g,, ~, ~.(r) - - g~, ~, .~(r) -- g~, ~. ~(r)] - - 1
g~, ~,~(r) _ g~,,, ~(r) 3,1(r)
r 2 : ~ , ~- __ (~,g2" _ - - z g~,~,~(r) : ),,g~,~,2(r) : l% g~,~,~(r) _ v.
r r r
E v i d e n t e m e n t e le sette f u n z i o n i X, ~t, v, ~, ~, % a d i p e n d o n o d a l l a sola varia- bile r. Con tall scelte si o t t i e n e in d e f i n i t i v a (st osservi ehe ~ ~,,~--- ~.,~) (38) fz,~,,,(zl, z2, z3) = 8,,,~zlX + ~,,lz,~ + ~z,,.z~v + ~,,,,,zzz_,~-,,~ +
(St osservi ehe n e l l ' e s p r e s s i o n e s c r i t t a i t e r m i n i di p r i m o g r a d e h e l l e varia- bill z~, z2, z3 si o t t e n g o n o c i a s c u n o dal p r e c e d e n t e r u o t a n d o i simboli l, m, n n e l l ' o r d i n e scritto. L o stesso dieasi dei t e r m i n i di secondo grado).
P e r t a n t o la c o n o s e e n z a delle 27 c o m p o n e n t i del t e n s o r e d i p e n d e d a l l a c o n o s c e n z a di sette f u n z i o n i ),, ~t, v, ~, a, "% ~ d e l solo m o d u l o r del ve~tore di c o m p o n e n t i z~, z~, z~. L e f u n z i o n i ),, ~, v, p, ¢;, x, a, c o n s i d e r a t e n e l P o r d i n e seritto, s a r a n n o e h i a m a t e le funzioni di distanza del tensore triplo. Q u a n d o si voglia i n d i v i d u a r l e s i n g o l a r m e n t e , esse s a r a n n o c h i a m a t e , s e m p r e c o n riferi- m e n t o a l l ' o r d i n e scritto, la prima, la seconda, la terza, la quarta, la qui~ta, la sesta e la settima funzione di dislanza del tensore triplo.
Se d u e t e n s o r i qz.~,,, e p~,,,,,, g o d o n o e n t r a m b i d e l l a p r o p r i e t h e n u n c i a t a al n. 1 del p a r a g r a f o 7, a n c h e il t e n s o r e qz,,,,,~Pz,,~,,, gode d e l l a s t e s s a pro- priet~t. I n o l t r e se X, i~, v, p, ¢;, % a sono le f u n z i o n i di d i s i a n z a del t e n s o r e q~,~,,, e se ),~, ~t~, v~, p~, ~ , x~, a~ sono le f u n z i o n i di d i s t a n z a del t e n s o r e sono le r u n , t o n i di d i s t a n z a d e l t e n s o r e q~,,~,,-}-p~,,,,,. A n e o r a , il t e n s o r e kq~,~,,, dove k 6 u n q u a l u n q u e n u m e r o reale, h a le f u n z i o n i di d i s t a n z a kX, kF, ..., ka.
§ 9. - E s e m p i .
1. 0 v e si c o n s i d e r i n o le c o m p o n e n t i c a r t e s i a n e
)
d i l l -- 4~ \r s dx2 - - ~ arx3
G. ZIN: Fu+~zioni tcnsor~aIi di +u+n vettorc c leggi clemcn~ari~ tee. 36l del campo magnetieo e l e m e n t a r e foruito d a l l a prima legge di LAPLACE, si riscontra che in esse mancano i termini di grade hullo e di secondo grade nelle variabiti z~, z~, zz. L a prima (k) e t a terza (v) funzione di distanza del tensore doppio e o r r i s p o n d e n t e alia legge e l e m e n t a r e di LAir,ACE sono percib nulle. R e l a t i v a m e n t e alia seconda funzione di distanza, dalla prece.
dente espressione si ha
e dalla (28)
I ~3
{/1, 2 --" 4~ r 3
[ per cui p~ -" 4 ~ '
Le funzioni di distanza del tensore doppio ehe corrisponde legge e l e m e n t a r e di LA~I~ACE son0 pereib 0, 4=r~, 0. I
alia p r i m a
'2. Si eoasiderino le componenti cartesiane della forza elementare definita dalla legge di REYNARD (~):
d'F~ = ~tI~I~ -4~- . . . . ~:~ (dx~dy, + d~.,.ffy2 -k dx3dy~) + r3 z~ z~ dxfly~ + ~ dx~dy~ + r- ~
e si osservi ehe in tall espressioni mancano tutti i termini di secondo e terzo grade nelle z~, z2, z3, per cui la quarta, quinta, sesta e settima funzione di distanza del tensore triple corrispondente alla legge di REY~A3aD sono nulle. Inoltre dalFespressione p r e c e d e n t e si ha:
e dalla (38)
q ' , ' , ~ = 4 ~ - r ~. q " ~'~ = O, q"~"~ = - - 47: r ++
per cui le funzioni di distanza del tensore triple corrispondente alia legge di ]:{EYIffARD s o n o :
~I~I~ ~ I ~ o, o, O, o.
4~r~, 0, 4r:r a ,
E v i d e n t e m e n t e le funzioni di distanza consentono una semplice rappresenta- zione delle leggi elementari, perch~ queste sono c o m p l e t a m e n t e individuate dai eispettivi tensori e questi dalle rispettive funzioni di distanza.
(s) N e l p r e s e n t e n. "2 e n e l s u c c ' e s s i v o n. 3 l a f u n z i o n e di d l s t a n z a i~ v e r r h i n d i c a t a c o n 1~*, ortde c o n s e r v a r c il s i m b o l o 14 p e r l a p e r m e a b i l i t ~ m a g n e t l c a .
A m m l i di Matematica 46
362 G. Z~N: F u n z i o n i t e n s o r i a l i d i u n v e t t o r e c l c g g i e l e m e n t a r i , ccc.
3. La legge e l e m e n t a r e definita dalle (16) e (17) coinvolge due tensori, uno relativo alla forza e un altro relativo alla coppia. L e componenti carte.
s i a n e della forza (16) sono:
~1~12 ~ ( d x l d y l -[- d x , dy2 -I- dx3d~]3) 4 ~ r ~
L'assenza di termini di secondo e terzo grado nelle z~, z~, z3, mostra ehe nel tensore relativo alla forza sono nulle tutte le funzioni di distanza dalia q u a r t a in pot. Si ha inoltre
e dalla (38)
q l , , , ~ - - O, ql, 2,1 - - O, qi, 2, 2 - - " 4~: r"
ql, i, ~ ~ Z2V, ql, 2,1 ---- Z2~*, ql, ~, 2 ~ Zl),
p e r cut si conclude che tutte le funzioni di distanza del detto tensore sono nulle, tranne la p r i m a ohe vale - - 4 7 : r " "
Le componenti e a r t e s i a n e del momento della eoppia (17) sono:
~][112 d x 2 d y ~ - - d x 3 d y ~
47: r r~ (z~ + z~ -l- z~)(dx2dy3 - - dxady~).
In tali espressioni m a n e a n o i termini di primo e di torso grade helle z l , z2, z3. Nel tensore relativo alia c o p p i a sono pereib nulle le prime tre run,toni di distanza oltre alla settima. ]~ inoltre:
q l , 2, 3 - -
m e n t r e la (38) f o r n i s e e :
2 2
Dal confronto si o t t i e n e :
ehe b il valore comune della quarta, q u i n t a e sesta funzione di distan~a del t e a s o r e relativo alia coppia.
G. Z ~ : Funzioni tensoriali di un vettore e leggi etementari, ecc. 363
G A P I T O L O T E R E O
L A P R I M A L E G G E E L E M E N T A R E D I L A P L A C E
§ 10. - A n a l i s l d e l l ' i n d e t e r m i n a z i o n e d e l l a l e g g e e l e m e n t a r e d i L ~ p l ~ c e .
1. L a c o n o s c e n z a d e l l a s t r u t t u r a dei t e n s o r i ohe i n t e r v e n g o n o nelle leggi e l e m e n t a r i d e l l ' e l e t t r o m a g n e t i s m o p e r m e t t e di analizzare f a c i l m e n t e 1' indeter- m i n a z i o n e d a cui le f o r m u l a z i o n i di tall leggi sono affette.
Nel p r e s e n t e c a p i t o l o si e s a m i n e r h la p r i m a legge e l e m e n t a r e di L a p r , ~ c ~ . 2. L a c o n d i z i o n e t h e le ire e s p r e s s i o n i d i f f e r e n z i a l i
Eq~,~dx~ (l " - 1 , 2, 3)
$Yb
t h e f i g u r a n o nelle (3) siano d i f f e r e n z i a l i esatti, si t r a d u c e n o t o r i a m e n t e helle e q u a z i o n i d i f f e r e n z i a l i
(39) 3qt'~ - - ~qt'" (1 --- 1, 2, 3,; m :5t= n).
Si rioordi dal p a r a g r a f o 2, t h e le ql, m z~, za, e s s e n d o
e d ' a l t r a p a r t e t h e p e r la (35)
e v i d e n t e m e n t e i~
sono funzioni delle tre v a r i a b i l i z~, (i = 1, 2, 3)
3zt _ ~ z m ~ z _ z - m
3w,, - - 3r 3zn - - - - z,, -r ' --3xn -" - - z,, r ' 3xn - - z. r- p e r cui si h a :
e s c a m b i n d o m con n
~ l ,
OXm
v' ~ X '
r r
364 G. ZIN: F t u ~ : ' i o ~ i t e n . ~ o r i e l i di .,~ vettom~ (' l e g g i c l e m ( u t t a r i , eee.
P e r t a n t o l ' e q u a z i o n e (39) d i v e n t a : (40)
- - 0 .
Si p o s s o n o e r a d i s t i n g u e r e d u e casi, s e c o n d o c h e ~ m - - 1 o p p u r e m ;4: 1.
1 ° C q S O : m - - - l ,
N e l c a s e m - - l, es~endo m 4 : n , 6 ~ , , ~ = 0 , ~ e , m = l , % , n ' - - 0 ( u e l l a ma- t r i c e II ~h,i i t u t t i gli e I e m e n t i d e l l a d i a g o n a t e p r i n c i p a l e sono nulli). T e n c n d o i n o l t r e p r e s e n t e la c o n v e n z i o n e del c a p i t o l o p r e c e d e n t e s u l l a possibilit'X di v a r i a r e il v a l o r e dei p e d i c i di a n m u l t i p l e di 3, si h a ~-v-,,,~¢= ~-2,,~,~=
= ~ , , , , , , = 0 ed ancora, ~,,,.-t-:-,~= ~ . , ; - - , , H , . Ma p e r c s s e r e 'm:4=n, il n u m e r o 6 - - m - - n ~ d i v e r s e sia d a m e sia d a n. Si h a p e r c i b ~ , ~ , 6 - , , ~ - , ~ = 0. L a pre- e e d e n t e e q u a z i o n e (40) si s c m p l i f i c a eosi n e l l a s e g u e n t e :
. ossia (41)
- - ZnV - - E m , n Z m Z - - m - ~ , r @ ~ n r
~m~--m--~ ~ O,
- - V - - S m , * ~ - - ~ n r
Si o s s e r v i e r a t h e b ,z_,~_~--zG_,,-,~ e c h e p e r t a n t o le t r e v a r i a b i l i z ~ , z ~ , z . . . a l t r o n o n sono c h e le v a r i a b i l i z z , ~ , z3 se p u r in o r d i n e e v e n t u a l - m e n t e d i v e r s e . Si o s s e r v i a n c o r a c h e ~ p o s s i b i l e m a n t e n e r e c o s t a n t e r (e di
2 I 2 '~
c o n s e ~ u e n z a la s o m m a z , , - ~ z,, 4 - z : . . . . ). m n . n t e n e r e c o s t n n t i le [ u n z i o n i v, ,u' k'
, - (in q u a n t o c h e esse d i p e n d o n o s o l t a u t o da r) e f a r v a r i a r e iI r a p p o r t o
?" r
z , , , z _ , , _ , ~ . P e r t a l e o s s e r v a z i o n e d a l l a (4!) si d e d u c e :
(42) - - - v - - 0 F- = 0.
F r
2 ° c a s e : ,m, ~ 1.
N e l c a s e m ~ l si pub a v e r e n - - l ed n : 4 : L Ma, it s o t t o c a s o n = l r i c o u d u c i b i l e at 1 ° c a s e o r e r a t r a t t a t o , m e d i a n t e p e r m u t a z i o n e d i n con m.
Si p u b p e r c i b s u p p o r r e n = ~ l , cio~ c h e i l r e u u m e r i l, m , n s i a n o d u e a d u e d i f f e r e n t i .
L a (40) si p u b s e m p l i f i c a r e n o t e v o l m e u t e a n c h e in q u e s t o c a s e , e s s e n d o
~z,,~ - - 0, ~z. ,~ = 0. ~ - z - , .... = ~-z-,,~, ,, - " ~,~. ~ -- I e a n a l o g a m e n t e ~,~._z_n - - 1.
G. Z~N: F u ~ z i o n i tensoriali di u n v e t t o r c e leggi elcmentari, cec. 365 Si osservi aneora ehe due elementi non nulli della matrice ![~a,~l[, quando a p p a r t e n g o n o alia stessa riga, sono di segno eontrario. Perci6, essendo l, m, n numeri a due a due diversi, ~ a ~ , m - - e~,,. ]~ ancora z - ~ - m - - z 6 - ~ - m - ' z , , z - z - , = ~,,. P e r t a n t o la (40) diventa:
2~z, ,,~ + ~z, . , ( £ + z ~ ) - - = O.
r
Si osservi che la s o m m a z~ -~ z~ pub variare p u t restando costante r e quindi
~t
e ' - . P e r tale osservazione dalt'equazione ora scritta d i s c e n d e : r
~ = 0 - - - 0 .
r
Queste e le (42) possono essere cosi sintetizzate:
~ t
(43) v = - ~t -- 0,
r
P e r la (35) si ha allora:
(44) q~, ~, -- ~, ~), -[- a z , . - .
r
~ r
Le funzioni di distanza del tensore q~,,, sono percib ~, 0, - , con k fun-
F
I ,
zione arbitraria. S o m m a n d o l e a lle funzioni di distanza 0, 4 ~ 0 d e t e r m i n a t e al paragrafo 9, n. 1, si ottengono le funzioni di distanza del tensore corri- spondente alte (3), cio~ del tensore ehe r a p p r e s e n t a la pifi generale legge ecluivalente a quella di LAPLACE. Si p u b cosi e n u n c i a t e la proposizione:
L a p i h g e n e r a l e legge equiva, lente a l l a p r i m a legge e t e m e n t a r e di L a p l a c e r a p p r e s e n t a t a d a u n tensore doppio le cui f u n z i o n i di d i s t a n z a sono ),, I ),'
- . con )~ f u n z i o n e a r b i t r a r i a . 4rcr ~ ' r
C A P I T O L O Q U A R T O
L E G G I D E L L E A Z I O h ~ I E L E T T R O D I N A M I C H E F R A E L E M E N T I D I C O R R E N T E
§ i i . - D e t e r m l n a z i o n e d e l p i ~ g e n e r a l e s i s t e m a d i a z i o n i e l e m e n t a r i h u l l o r i s p e t t o a l l , a r c o .
L Nel p r e s e n t e paragra[o ci si proporr~ il p r o b l e m a di stabilire l'espres- sione del pifl generale sistema di forze e di coppie rette da una legge ele-
