Sistemi Elementari

(1)

Sistemi Elementari

Prof. Laura Giarré

Laura.Giarre@UNIMORE.IT

https://giarre.wordpress.com/ca/

(2)

Rappresentazioni di una funzione di trasferimento • Una funzione di trasferimento espressa in forma polinomiale

può essere riscritta in forma fattorizzata come

• I termini del secondo ordine rappresentano le coppie di zeri/poli complessi coniugati e sono caratterizzati dai parametri

• pulsazioni naturali

• coefficienti di smorzamento costante di trasferimento

CA 2019-2020 Prof. Laura Giarré

(3)

Rappresentazioni di una funzione di trasferimento

• Parametrizzazione ‘polare’ di poli/zeri

con

• Valgono pertanto le seguenti relazioni

(4)

• Una forma fattorizzata (forma di Bode) alternativa è quella che mette in evidenza le ‘costanti di tempo’

dove sono le costanti di tempo associate agli zeri e ai poli

Rappresentazioni di una funzione di trasferimento

guadagno

(5)

Sistemi elementari

• Come evidenziato discutendo l’antitrasformazione di una generica funzione risposta forzata di un sistema dinamico con fdt arbitrariamente complessa

può essere ottenuta sommando le risposte di sistemi elementari del primo e secondo ordine.

• Ha quindi senso analizzare l’andamento temporale di sistemi elementari a fronte di ingressi tipici (gradino) e identificare la relazione esistente tra i parametri della fdt e l’andamento temporale della risposta.

• Sistemi del primo ordine

• Sistemi del secondo ordine

• Effetto degli zeri

• Luoghi a sovraelongazione e tempo di assestamento costante

(6)

Sistemi elementari

Risposta a gradino:

• Viene usato come segnale d’ingresso u(t) un gradino unitario

• Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la stessa moltiplicata per K (linearità):

t 1

u(t) U(s) Y(s)

(7)

Sistemi elementari – Primo ordine

• Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma

in cui la costante di tempo  costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico.

• La risposta al gradino unitario è data da

0 1 2 3 4 5 6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (t/tau)

y(t)

(8)

Sistemi elementari – Primo ordine

• Sistema elementare del primo ordine

• Per la risposta a gradino, si ha:

• Cioè il valore iniziale è nullo e la pendenza (tangente) vale 1/  : per t =  la tangente

assume il valore di regime

⁰₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (t/tau)

y(t)

(9)

Sistemi elementari – Primo ordine

• per t =  la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime,

• per t = 2  il valore è pari all'86,5% del valore di regime,

• per t = 3 si raggiunge il 95,0% del valore di regime.

0.63 0.86 5 0.95

 2 3

Risposta di un sistema del primo ordine

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (t/tau)

y(t)

(10)

Sistemi elementari – Primo ordine

• Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale.

Per t = 5  si raggiunge il 99,3% del valore di

regime.

Per t = 7 si raggiunge il 99,91 % del valore di regime, cioè

l'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille.

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (t/tau)

y(t)

0.95

(11)

Sistemi elementari – Primo ordine

• Al variare di  varia la velocità di risposta del sistema

• Se  T

_a

0 5 10 15 20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tempo (sec)

y(t) t Î [1, 10]

t = 10 t = 1

x x x x x x

-1 -1/10 

j 

Poli più a “sinistra”

(  ^piccoli)

corrispondono a

risposte “più veloci”.

polo del sistema in

(12)

Sistemi elementari – Primo ordine con zero

• Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio)

• La risposta a gradino è data da

Essendo  = T/  il rapporto tra le

costanti di tempo dello zero e del polo (p =  z)

 = -1

 = 1.5

 = 0.5

x

 = 1

 j 

 < 1  > 1 o o

0 1 2 3 4 5 6

-1 -0.5

0 0.5

1 1.5

Tempo (t/t)

Valore iniziale = 

Pendenza iniziale = (1-)/

(13)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Per le specifiche riguardanti la risposta al gradino (segnale tipico più frequentemente impiegato) si fa riferimento ad un andamento della risposta analogo a quello di un sistema del secondo ordine con poli complessi, cioè di tipo oscillatorio smorzato.

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Tempo (t)

y(t)

(14)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un sistema del secondo ordine sono:

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Tempo (t)

y(t)

Massima sovraelongazione (o massimo sorpasso) S: differenza fra il valore massimo

raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale.

Tempo di ritardo T_r: tempo per raggiungere il 50% del valore finale.

Tempo di salita T_s: tempo occorrente perchè l'uscita passi dal 10 al 90% del valore finale.

Tempo di assestamento T_a: tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il ± 5% del valore finale.

Istante di massima sovraelongazione T_m: istante al quale si presenta la massima

sovraelongazione.

S

T

_r

T

_s

T

_a

T

_m

(15)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Tempo (w n * t)

y(t)

I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori:



del coefficiente di smorzamento 



della pulsazione naturale 

ⁿ

.

 = 2

 = 0.1

(16)

Sistemi elementari – Secondo ordine

La risposta al gradino unitario è data dalla relazione

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Tempo (w_n * t)

y(t)

dove:

(17)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Posizione dei poli della f.d.t. al variare di  = cos(  )

Re(s) Im(s)

P

₁

0 x x

P

₂

Re(s) Im(s)

P

₁

= P

₂

0 

_n

xx

Re(s) Im(s)

0 p

₁

p

₂



_n

Poli instabili!

Re(s) Im(s)

0 p

₁

p

₂



_n



(18)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Caratteristiche della risposta  poli della f.d.t.

Re(s) Im(s)

0 p

₁

p

₂



_n

-

_n

instabile veloce lento

transitorio

=1



_n

>1



_n

<1

5 10 15 20 25

0 0.5

1 1.5

Risposte al gradino

(19)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di

smorzamento e quello della massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la

Si ottiene

Ponendo la derivata uguale a zero, si ha

da cui

(20)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

y(t)

(21)

Sistemi elementari – Secondo

ordine • Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente:

In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è

funzione unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al 100 % quando tale coefficiente è nullo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

d

S %

(22)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Il coefficiente di smorzamento  dipende dalla posizione dei poli complessi coniugati.

• Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle rette b e b’.

(23)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento T

_a

.

• Un limite superiore per T

_a

si può ricavare da

da cui

Il prodotto  n è uguale in modulo, con

segno opposto, alla parte reale  dei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta

verticale.

Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato dovrà essere

(24)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Al variare di 

_n

si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo:

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Tempo (sec)

y(t)

Risposta al variare di _n (0.5 - 5)

NB: il coefficiente di smorzamento è costante ( = 0.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia.

(25)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Se i poli complessi coniugati variano come in figura:

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Tempo (sec)

y(t)

Risposta ( = /2; T = 4)

(26)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Se infine si considerano poli come in figura:

0 5 10 15 20

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Tempo (sec)

y(t)

Risposta (_n = /2)

(27)

Sistemi elementari – Secondo ordine

Sistemi del secondo ordine con  >1

Re(s) Im(s)

P

₁

0 x x

P

₂

x

-  

_n

Poli reali:

Coincidenti per  = 1 Distinti per  > 1

(28)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• L'equazione

fornisce la risposta per 0 <  < 1 (il sistema presenta poli complessi coniugati).

Per  = 1 (poli reali coincidenti) si ha:

e quindi (dalle tabelle) la

risposta al gradino è data dalla relazione

Per  = 1 non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale senza mai superarlo ^.

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (w_n * t)

y(t)

(29)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Per  > 1 (poli reali distinti) si ha

e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione

con

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (w_n * t)

y(t)

(30)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Per  > 1 (poli reali distinti) la risposta in funzione delle costanti di tempo e

risulta

ovvero

• In molti casi di interesse pratico i due poli hanno costanti di tempo molto diverse

o

• Il termine associato al polo con costante di tempo maggiore è caratterizzato da un residuo molto più grande e da un esponenziale molto più lento

che tende ad estinguersi

La risposta del sistema tende a quella di un sistema del primo ordine governato dal polo dominante

(31)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero Sia data la funzione

Si può scrivere:

Da cui

(32)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

3 Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

T = 0.2

T = 0 T = - 0.5

T = 1

(33)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero • Nel caso di un sistema con 2 poli reali + zero reale

da cui antitrasformando si ottiene

• Proprietà della risposta per

• L’analisi della risposta temporale, e in particolare il valore dei residui associati ai poli, dipende fortemente dalla posizione dello zero.

(34)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Caso sistemi a fase non minima:

Essendo

Si ha che la risposta parte con una sottoelongazione

(35)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Caso sistemi a fase minima:

Termine >0 che tende

a zero ‘lentamente’ Termine <0 che tende a zero ‘velocemente’

Inoltre:

Derivata nel caso non ci sia lo zero

(36)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Caso sistemi a fase minima:

• La risposta presenta una sovraelongazione tanto più marcata quanto più lo zero tende verso l’origine

• Risposta non oscillatoria

• Risposta molto più “brusca”

dell’equivalente sistema privo di zero

(37)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Caso sistemi a fase minima con quasi cancellazione:

Il residuo associato è molto piccolo e

• >0 se

• <0 se

Inoltre l’esponenziale tende a zero ‘lentamente’

Termine <0 che tende a zero

‘velocemente’

L’esponenziale “lento” genera un contributo piccolo che non è evidente nei primi istanti del transitorio (in quanto “sovrastato”

dal contributo dell’esponenziale

“veloce”) ma che appare asintoticamente.

(38)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Caso sistemi a fase minima con quasi cancellazione:

• L’andamento di è inizialmente analogo a quello di un sistema del primo ordine (governato dal polo “veloce” con

costante di tempo t2 ) . Al passare del tempo emerge un contributo

“subdolo” che si esaurisce lentamente con una velocità che dipende dalla costante di tempo associata allo zero )

• Tipica risposta con due dinamiche temporali.

• Coda di assestamento dovuta alla quasi

cancellazione polo/zero.

(39)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Nel caso di un sistema con due poli reali e uno zero, si è visto che se la costante di tempo dello zero è simile a quella di uno dei due poli, la risposta è assimilabile a quella di un sistema del primo

ordine (ottenuto eliminando le due singolarità prossime tra loro)

• Nel caso di sistemi di ordine superiore è possibile ottenere un

modello approssimato di ordine ridotto (con una risposta al gradino simile al sistema di partenza) cancellando coppie di poli/zeri

vicini tra loro nel piano complesso e con parte reale negativa.

(40)

Sistemi di ordine superiore al secondo

•Una volta cancellati coppie di poli e zeri prossimi tra loro vengono chiamati poli dominanti i poli, reali o complessi, nettamente più vicini rispetto agli altri poli

•La risposta al gradino di un sistema con poli dominanti può essere approssimata con quella di un sistema la cui

funzione di trasferimento possiede soltanto questi poli e un guadagno pari a quello del sistema di partenza.

x

x x

x

x 

j 

(41)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Risposta al gradino della funzione

e della sua approssimante

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 2 4 6 8 10 12

G G_a

Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0.16 0.34 0.5 0.64

0.76 0.86

0.94

0.985

0.16 0.34 0.5 0.64

0.76 0.86

0.94 0.985

5 10

15 20

25 30

(42)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Risposta al gradino della funzione

e della sua approssimante

0 10 20 30 40 50 60

0 1 2 3 4 5 6

G G_a

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

0.14 0.28 0.42 0.56

0.8 0.68

0.91

0.975

0.14 0.28 0.42 0.56

0.8 0.68 0.91 0.975

5 10

15 20

25 30

Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

(43)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Risposta al gradino della funzione

e della sua approssimante

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

20 0.25 0.18 0.125 0.09 0.055 0.025

0.38

0.65

0.025 0.055 0.09

0.125 0.18

0.25 0.38 0.65

5 10 15 20

5

10

15

20 Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

G G_a

(44)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Esercizio: determinare i poli dominanti e il guadagno statico del sistema la cui risposta al gradino unitario è riportata in figura

(45)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Esercizio: determinare i poli dominanti (sapendo che sono 3 con la stessa parte reale) e il guadagno statico del sistema la cui risposta al gradino unitario è riportata in figura

Sistemi Elementari

Sistemi Elementari

Prof. Laura Giarré

Laura.Giarre@UNIMORE.IT

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Rappresentazioni di una funzione di trasferimento • Una funzione di trasferimento espressa in forma polinomiale

può essere riscritta in forma fattorizzata come

• I termini del secondo ordine rappresentano le coppie di zeri/poli complessi coniugati e sono caratterizzati dai parametri

Rappresentazioni di una funzione di trasferimento

• Parametrizzazione ‘polare’ di poli/zeri

con

• Valgono pertanto le seguenti relazioni

• Una forma fattorizzata (forma di Bode) alternativa è quella che mette in evidenza le ‘costanti di tempo’

dove sono le costanti di tempo associate agli zeri e ai poli

Rappresentazioni di una funzione di trasferimento

Sistemi elementari

• Come evidenziato discutendo l’antitrasformazione di una generica funzione risposta forzata di un sistema dinamico con fdt arbitrariamente complessa

può essere ottenuta sommando le risposte di sistemi elementari del primo e secondo ordine.

• Ha quindi senso analizzare l’andamento temporale di sistemi elementari a fronte di ingressi tipici (gradino) e identificare la relazione esistente tra i parametri della fdt e l’andamento temporale della risposta.

• Sistemi del primo ordine

• Sistemi del secondo ordine

• Effetto degli zeri

• Luoghi a sovraelongazione e tempo di assestamento costante

Sistemi elementari

Risposta a gradino:

• Viene usato come segnale d’ingresso u(t) un gradino unitario

• Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la stessa moltiplicata per K (linearità):

t 1

u(t) U(s) Y(s)

Sistemi elementari – Primo ordine

• Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma

in cui la costante di tempo  costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico.

• La risposta al gradino unitario è data da

Sistemi elementari – Primo ordine

• Sistema elementare del primo ordine

• Per la risposta a gradino, si ha:

• Cioè il valore iniziale è nullo e la pendenza (tangente) vale 1/  : per t =  la tangente

assume il valore di regime

Sistemi elementari – Primo ordine

• per t =  la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime,

• per t = 2  il valore è pari all'86,5% del valore di regime,

• per t = 3 si raggiunge il 95,0% del valore di regime.

0.63 0.86 5 0.95

 2 3

Risposta di un sistema del primo ordine

Sistemi elementari – Primo ordine

• Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale.

Per t = 5  si raggiunge il 99,3% del valore di

regime.

Per t = 7 si raggiunge il 99,91 % del valore di regime, cioè

l'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille.

Sistemi elementari – Primo ordine

• Al variare di  varia la velocità di risposta del sistema

• Se  T

x x x x x x

-1 -1/10 

j 

Poli più a “sinistra”

(  piccoli)

corrispondono a

risposte “più veloci”.

polo del sistema in

Sistemi elementari – Primo ordine con zero

• Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio)

• La risposta a gradino è data da

Essendo  = T/  il rapporto tra le

costanti di tempo dello zero e del polo (p =  z)

 = -1

 = 1.5

 = 0.5

x

 = 1

 j 

 < 1  > 1 o o

Valore iniziale = 

Pendenza iniziale = (1-)/

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Per le specifiche riguardanti la risposta al gradino (segnale tipico più frequentemente impiegato) si fa riferimento ad un andamento della risposta analogo a quello di un sistema del secondo ordine con poli complessi, cioè di tipo oscillatorio smorzato.

Sistemi elementari – Secondo ordine

• I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un sistema del secondo ordine sono:

(  ^piccoli)