LINEE DI TRASMISSIONE. Introduzione

Si consideri una linea di trasmissione ideale, costituita da due conduttori affacciati, dotata di simmetria per traslazione lungo una direzione che associamo alle ascisse x.

La linea è caratterizzata, come illustrato in figura, da una capacità per unità di lunghezza $ =^„C_„x e una induttanza per unità di lunghezza - =^„L_„x. Questo modello viene chiamato a costanti distribuite, a differenza di quelli a costanti concentrate in cui gli elementi circuitali vengono rappresentati da capacità, induttanze e resistenze senza alcun riferimento alla loro estensione nello spazio.

dL=- dx dC=$ dx

x IHx,tL

VHx,tL

x

IHx+dx,tL

VHx+dx,tL

x+dx

Definiamo le funzioni:

V : ä Ø  (1) V :Hx, tL # VHx, tL

I : ä Ø  (2) I :Hx, tL # IHx, tL

l : ä Ø  (3) l :Hx, tL # lHx, tL

che rappresentano, al tempo t e per ciascun punto di ascissa x, rispettivamente: la tensione tra i due conduttori, la corrente che fluisce attraverso le sezioni dei conduttori e la carica per unità di lunghezza sui conduttori.

Naturalmente, se Q è la carica lungo un tratto di linea:

VHx, tL =„ Q

„ C= lHx, tL „ x

$ „ x =lHx, tL

$

La linea è ideale nel senso che è nulla la resistenza per unità di lunghezza.

La legge di Kirchhoff dei nodi, applicata ai nodi di ascissa x, fornisce:

IHx, tL = IHx + „ x, tL + ∑

∑t@lHx, tL „ xD

\ IHx + „ x, tL - IHx, tL = -∑

∑t@$ VHx, tLD „ x

\ ∑ IHx, tL

∑ x = -$∑VHx, tL

∑t

Analogamente, la legge di Kirchhoff per la maglia compresa tra le ascisse x e x+ „ x fornisce:

VHx, tL = - „ x I°

Hx + „ x, tL + VHx + „ x, tL

\ VHx + „ x, tL - VHx, tL = -- „ x ∑

∑tIHx + „ x, tL

\ ∑VHx, tL

∑ x = --∑ IHx, tL

∑t

Riassumendo, la tensione e la corrente soddisfano il seguente sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali:

:

∑x = --^∑I_∑t

Le equazioni del sistema (4) si disaccoppiano facilmente prendendo la derivata rispetto al tempo della prima equazione e la derivata rispetto a x della seconda (o viceversa):

:

∑x² = --_{∑x ∑t}^∑2I

e sostituendo nella seconda equazione il termine _{∑t ∑x}^∑2I ricavato dalla prima:

∑²V

∑ x² =-$∑²V

∑t² infine, posto:

v= 1 (5) -$

si ha:

∑²V (6)

∑ x² - 1 v²

∑²V

∑t² = 0

L'equazione differenziale della forma (6) è chiamata equazione di D'Alambert e viene spesso scritta nella forma:

áV= 0 dove l'operatore á= ^∑2

∑x²-¹

v²

∑²

∑t² è detto operatore di D'Alambert o d'alambertiano.

Si noti che il parametro v ha le dimensioni di una velocità.

Con procedura del tutto analoga si può dimostrare che anche la corrente deve obbedire all'equazione di D'Alambert:

áI= 0 (7)

Ribadiamo quanto dimostrato sopra: condizione necessaria affinché due funzioni VHx, tL e IHx, tL siano soluzioni del sistema (4) è che esse siano soluzioni delle equazioni (6) e (7), con il parametro v definito in (5). La condizione non è sufficiente:

questo significa che le soluzioni delle due equazioni di D'Alambert (disaccoppiate) devono essere sottoposte a ulteriore verifica prima di essere "dichiarate" soluzioni del sistema originario.

Consideriamo l'equazione (6).

Si può facimente verificare che sono soluzioni tutte le funzioni della forma:

VHx, tL = f Hx - v tL + gHx + v tL (8)

dove f : Ø  e g :  Ø  sono arbitrarie funzioni reali di variabile reale. Nel seguito ci occuperemo solo delle soluzioni con la forma (8).

Analogo ragionamento porta a considerare, per le soluzioni della (7), le funzioni della forma:

IHx, tL = fIHx - v tL + gIHx + v tL (9)

Sostituiamo la (8) e la (9) nel sistema (4) per restringere l'insieme delle funzioni alle effettive soluzioni del sistema.

Prima di procedere, stabiliamo di indicare con f ' la derivata della funzione f rispetto al suo argomento, cioè: f 'HrL =^{„ f}_„r^HrL. Analoga notazione sarà adottata per le altre funzioni g, fI e gI.

Inoltre, per il teorema sulla derivata delle funzioni composte, valgono le relazioni: ^∑

∑xfHx - v tL = f ' Hx - v tL,

∑

∑tfHx - v tL = -v f ' Hx - v tL e analoghe per le funzioni g, fI e gI. La sostituzione nel sistema (4) produce:

:

Z= - (10)

$ si ottiene facilmente:

:

:

La costante Z ha le dimensioni di una resistenza (più in generale di un'impedenza) ed è chiamata impedenza caratteristica della linea di trasmissione.

Interpretazione delle soluzioni Consideriamo dapprima il caso gHx + v tL = 0, cioè VHx, tL = f Hx - v tL.

Poiché x2- x1= vHt2- t1L fl f Hx2- v t2L = f Hx1- v t1L, i grafici di f Hx - v tL in funzione di x appaiono, per valori successiva- mente fissati di t, traslati con velocità v verso le ascisse positive:

x VHx,t = t0L

x VHx,t = t1L

x1

x VHx,t = t2L

x2 vHt2- t₁L

Per descrivere la situazione appena illustrata, si usa dire che un'onda (o, a volte, una perturbazione) di tensione si propaga lungo la linea. Per indicare il verso della propagazione si dice che l'onda è progressiva.

In modo del tutto analogo si può vedere che il caso VHx, tL = gHx + v tL descrive un'onda regressiva, propagantesi nel verso delle ascisse negative con velocità di propagazione di modulo v.

In entrambi i casi la forma dell'onda resta imperturbata nel tempo. Questo è vero solo per linee di trasmissione con resistività nulla: se si tenesse conto della resistenza elettrica, infatti, il profilo delle onde progressive e regressive cambierebbe nel tempo.

In conclusione, possiamo affermare che la soluzione è sempre la sovrapposizione di un'onda progressiva e un'onda regressiva.

All'onda progressiva di tensione è associata un'onda progressiva di corrente: IHx, tL = fIHx - v tL =_Z¹ fHx - v tL =¹_ZVHx, tL; la relazione tra tensione e corrente giustifica il nome di impedenza caratteristica per Z.

Nota bene: nel caso di onda di tensione regressiva, la corrispondente onda di corrente è data da

IHx, tL = gIHx + v tL = -_Z¹ gHx + v tL = -_Z¹ VHx, tL; stavolta il rapporto tra tensione e corrente vale -Z. In generale, quando sono presenti sia l'onda progressiva che quella regressiva, non vale la relazione: ^V_IHx,tL^Hx,tL= ≤Z.

Diverse situazioni sono illustrate nel seguito, dove la distribuzione di corrente, oltre che essere rappresentata dal relativo grafico, è schematizzata con piccole frecce che ne indicano modulo e verso.

Caso 1 - onda progressiva di tensione positiva, VHx, tL = f Hx - v tL e IHx, tL = VHx, tLêZ:

x VHx,t L

Øv

x IHx,t L

Øv

Caso 2 - onda progressiva di tensione negativa, VHx, tL = f Hx - v tL e IHx, tL = VHx, tLêZ:

x VHx,t L

Øv

x IHx,t L

Øv

Caso 3 - onda regressiva di tensione positiva, VHx, tL = gHx + v tL e IHx, tL = -VHx, tLêZ:

x VHx,t L

Øv

x IHx,t L

vØ

Caso 4 - onda regressiva di tensione negativa, VHx, tL = gHx + v tL e IHx, tL = -VHx, tLêZ:

x VHx,t L

Øv

x IHx,t L

vØ

Condizioni al contorno e condizioni iniziali

Tra tutte le soluzioni possibili, le condizioni iniziali e quelle al contorno (o bordo) ne selezionano una specifica.

Per condizioni iniziali si intende la conoscenza dello stato della linea a un tempo prefissato t= t₀: VHx, t0L = V0HxL e IHx, t0L = I0HxL.

Esempio 1.

Si supponga che al tempo t= 0 sia:

VHx, 0L = V0HxL = V1> 0 per a< x < b

0 altrove

IHx, 0L = I0HxL = 0

x VHx,0L

a b

Dalle (8), (9) e (11), calcolate al tempo t= 0 e nel generico punto x = r, segue:

fHrL + gHrL = V0HrL

1

Z fHrL -_Z¹gHrL = 0 la cui soluzione fornisce:

fHrL =¹₂V0HrL gHrL =¹₂V0HrL

Queste relazioni sono valide per ogni valore di r e pertanto determinano completamente le funzioni f e g.

In conclusione:

VHx, tL = f Hx - v tL + gHx + v tL =1

2V0Hx - v tL + 1

2V0Hx + v tL I grafici di VHx, tL per successivi istanti di tempo t > 0 appaiono come segue:

x VHx,t1L

x VHx,t2L

x VHx,t3L

x VHx,t14L

Esempio 2.

Si supponga che all'estremità (iniziale) x= 0 la linea sia collegata a un generatore ideale di tensione che ne fissa la con- dizione al bordo:

VH0, tL = VgHtL =

V₀

t t per 0< t < t 0 per t> t

t VgHtL

t

In questo caso la funzione VHx, tL è definita solo sulla semiretta x > 0, perché la linea non esiste a sinistra del generatore. Il punto di ascissa x= 0 è detto bordo (sinistro) della linea.

Come condizioni iniziali si supponga inoltre che al tempo t= 0 la linea sia completamente scarica:

VHx, 0L = V0HxL = 0 per x> 0

IHx, 0L = I0HxL = 0 per x> 0

Come nell'esempio 1, dalle condizioni iniziali e dalle (8), (9) e (11), calcolate al tempo t= 0 e nel generico punto x = r > 0, segue:

fHrL + gHrL = 0

1

Z fHrL -¹_ZgHrL = 0 la cui soluzione fornisce:

fHrL = 0 gHrL = 0

Queste relazioni sono valide per valori di r> 0 e pertanto non determinano completamente le funzioni f e g.

Per quanto riguarda la funzione g, essa deve essere calcolata per l'argomento r= x + v t e, essendo x > 0 e t > 0, si avrà sempre r> 0; per questo motivo la conoscenza di gHrL per r > 0 è sufficiente: gHx + v tL = 0.

Per la funzione f, invece, l'argomento r= x - v t è positivo solo per x > v t; fino a qui possiamo dunque scrivere:

fHx - v tL = 0 per x> v t

ma resta da determinare la funzione per 0< x < v t.

A tale scopo notiamo che, per t> 0, VH0, tL = f H0 - v tL + gH0 + v tL = f H-v tL è fissata dalla condizione al bordo e deve quindi essere:

fH-v tL = VgHtL per t> 0

che può essere risolta per la funzione fHrL, con r < 0, ponendo r = -v t:

t= -r v

fHrL = Vg -r

v per r< 0 Riassumendo:

fHrL = 0 per r> 0 VgJ-^r_vN per r< 0

VHx, tL = 0 per x> v t VgJ-^{x-v t}_v N per x< v t la seconda può anche scriversi:

VHx, tL = 0 per x> v t VgJt -^x_vN per x< v t

e può essere descritta come segue: l'azione del generatore si propaga a velocità v lungo la linea; dopo un tempo t essa ha raggiunto il punto di ascissa xmax= v t, mentre i punti più lontani (x > v t) sono ancora scarichi; i punti più vicini, invece, al tempo t presentano la tensione che il generatore presentava al tempo precedente t-_v^x, la differenza dei tempi ^x_v è l'intervallo necessario all'onda per propagarsi dal generatore fino al punto di ascissa x.

I grafici di VHx, tL per successivi istanti di tempo t > 0 appaiono come segue:

x VHx,0L

x VHx,t1L

v t1

x VHx,t2L

v t2

x VHx,t3L

v t3

vHt3-tL

x VHx,t4L

v t4

vHt₄-tL

Terminazioni e riflessioni Linea aperta.

Consideriamo ora una linea che a destra (ascissa x= x₀) termina senza alcun collegamento tra i due conduttori che la costituis- cono (linea aperta). Per semplicità scegliamo l'origine delle ascisse proprio sul bordo destro: x0= 0. Con questa scelta VHx, tL è definita solo per x < 0. Scegliamo inoltre come istante iniziale t = 0.

Per fissare le idee stabiliamo condizioni iniziali tali da produrre al tempo t= 0 un'onda progressiva limitata spazialmente, del tutto analoga a quelle considerate finora: VHx, 0L = f0HxL, con f0HxL = 0 per x < r1 e per x> r₂ dove r1< r₂< 0, e IHx, 0L =_Z¹ f0HxL.

x VHx,0L

r2

r1

Queste condizioni, in modo analogo a quanto visto nell'esempio 1, determinerebbero univocamente la soluzione VHx, tL = f Hx - v tL + gHx + v tL se la linea non terminasse a x = 0. Sarebbe infatti: f Hx - v tL = f0Hx - v tL e gHx + v tL = 0. Il fatto che la condizione iniziale sia data solo per x< 0, invece, determina le funzioni fHrL e gHrL solo per r < 0. Questo non produce conseguenze per quanto riguarda fHx - v tL, dato che x < 0 e t > 0 garantiscono che l'argomento di f sia sempre negativo. Viceversa, gHx + v tL è determinata solo per x < -v t e, al passare del tempo, la regione di indeterminazione si estende sempre più verso sinistra. La situazione è perfettamente simmetrica a quella dell'esempio 2: in quel caso il bordo era a sinistra invece che a destra e la funzione non completamente determinata dalle condizioni iniziali era quella che descrive l'onda progressiva invece che quella regressiva.

Come in quel caso, per completare la determinazione di gHx + v tL dobbiamo imporre che siano rispettate le condizioni al bordo. Poiché la linea è aperta in x= 0, la corrente al bordo deve essere nulla: IH0, tL = 0. Deve quindi valere:

1

Z fH0 - v tL - 1

Z gH0 + v tL = 0

\ gHv tL = f H-v tL

e poiché fHrL è nota per r < 0, ponendo t =^r_v> 0 si determina gHrL per r > 0: gHrL = f H-rL.

Riassumendo:

fHrL = f0HrL per r< 0

? per r> 0

gHrL = 0 per r< 0 f0H-rL per r> 0 e dalla (8):

VHx, tL = f0Hx - v tL per x< -v t f0Hx - v tL + f0H-x - v tL per - v t < x < 0

L'interpretazione della soluzione è semplice. L'influenza del bordo destro si propaga verso sinistra con velocità di modulo v.

Dopo l'istante iniziale, all'istante t tutti i punti a sinistra di quello di ascissa x= -v t risentono solo dell'onda di tensione progressiva, mentre quelli alla sua destra sono stati raggiunti da un'onda di tensione regressiva originata dall'estremità aperta:

si tratta di un'onda riflessa che ha la stessa ampiezza dell'onda progressiva incidente e lo stesso segno. Il grafico dell'onda riflessa si ottiene per riflessione, rispetto all'asse delle ordinate, dal grafico dell'onda incidente:

r V

r2

r1 -r2 -r1

fHrL= f0HrL gHrL= f0H-rL

I grafici di VHx, tL per successivi istanti di tempo t > 0 appaiono come segue:

x VHx,t1L

x VHx,t2L

x VHx,t3L

x VHx,t4L

x VHx,t5L

x VHx,t6L

Si noti che, durante la riflessione, in prossimità dell'estremità aperta entrambe le funzioni fHx - v tL e gHx + v tL sono diverse da zero e la loro sovrapposizione produce un grafico più articolato.

Con la stessa tecnica si possono analizzare terminazioni diverse.

Linea cortocircuitata.

La linea termini al bordo destro (di ascissa x0) con un cortocircuito tra i due conduttori che la costituiscono (linea cortocircui- tata).

Scegliamo ogni altro parametro e condizione come nell'esempio precedente, a partire dall'origine delle ascisse sul bordo destro: x0= 0.

Questa volta la condizione al contorno è data dal fatto che la tensione al bordo deve essere nulla: VH0, tL = 0.

Procedendo come nel caso di linea aperta, ma con la nuova condizione al contorno:

fH0 - v tL + gH0 + v tL = 0

\ gHv tL = - f H-v tL

e poiché fHrL è nota per r < 0, ponendo t =^r_v> 0 si determina gHrL per r > 0: gHrL = - f H-rL.

Riassumendo:

fHrL = f0HrL per r< 0

? per r> 0

gHrL = 0 per r< 0 - f0H-rL per r> 0 e dalla (8):

VHx, tL = f0Hx - v tL per x< -v t f0Hx - v tL - f0H-x - v tL per - v t < x < 0

L'onda riflessa ha la stessa ampiezza dell'onda incidente e segno opposto. Il grafico dell'onda riflessa si ottiene per rifles- sione, rispetto all'origine delle ordinate, dal grafico dell'onda incidente:

r V

r2

r1

-r2 -r1

fHrL= f0HrL

gHrL=- f0H-rL

I grafici di VHx, tL per successivi istanti di tempo t > 0 appaiono come segue:

x VHx,t1L

x VHx,t2L

x VHx,t3L

x VHx,t4L

x VHx,t5L

x VHx,t6L

Linea terminata su resistenza.

La linea termini al bordo destro con una resistenza R tra i due conduttori che la costituiscono.

Scegliamo ogni altro parametro e condizione come negli esempi precedenti.

Questa volta la condizione al contorno è data dal fatto che la tensione e la corrente al bordo devono essere legate dalla legge di Ohm: VH0, tL = R IH0, tL.

Si procede come nei casi precedenti:

fH0 - v tL + gH0 + v tL = R 1

Z fH0 - v tL - 1

Z gH0 + v tL

\ gHv tL =R- Z R+ Z fH-v tL

e poiché fHrL è nota per r < 0, ponendo t =^r_v> 0 si determina gHrL per r > 0: gHrL = ^R-Z_R+Z fH-rL.

Riassumendo:

fHrL = f0HrL per r< 0

? per r> 0

gHrL = 0 per r< 0

R-Z

R+Z f0H-rL per r> 0 e dalla (8):

VHx, tL = f0Hx - v tL per x< -v t (12) f0Hx - v tL +^R-Z_R+Z f0H-x - v tL per - v t < x < 0

L'onda riflessa ha ampiezza minore dell'onda incidente e segno uguale o opposto se, rispettivamente, R> Z o R < Z. Per R= Z l'onda non viene riflessa, cioè gHx, tL = 0, e si dice che la linea di trasmissione è adattata.

Rifrazione

Consideriamo il caso in cui le proprietà della linea varino bruscamente in corrispondenza di un'ascissa x= x₀. Per esempio questo è il caso di due linee fisicamente diverse e saldate tra loro a una estremità.

Per semplicità fissiamo l'origine delle ascisse nel punto di giunzione: x0= 0. Siano -1 e $1 l'induttanza e la capacità per unità di lunghezza della prima linea (x< 0), -² e $² quelle della seconda linea (x> 0). Analogamente distinguiamo con Z1= ^-1

$1 , v1= ¹

-1$1

e Z2= ^-2

$2 , v2= ¹

-2$2

le impedenze caratteristiche e le velocità di propagazione dei due tratti.

Stabiliamo infine le solite condizioni iniziali riguardanti un'onda spazialmente limitata incidente sul punto di giunzione da sinistra: al tempo t= 0 sia VHx, 0L = f0HxL, con f0HxL = 0 per x < r1 e per x> r₂ dove r1< r₂< 0, e IHx, 0L =_Z¹ f0HxL. Si noti che stavolta VHx, tL, così come IHx, tL e f0HxL, è definita per qualsiasi valore reale di x, non solo per x < 0.

Distinguendo due casi corrispondenti alle due sezioni di linea, VHx, tL deve soddisfare l'equazione seguente:

∑²VHx, tL

∑ x² = 1 v₁² ∑²V

∑t² per x< 0 1

v₂² ∑²V

∑t² per x> 0 e analoga equazione vale per IHx, tL.

La soluzione generale dell'equazione per la tensione, naturalmente, è:

VHx, tL = f1Hx - v1tL + g1Hx + v1tL per x< 0 (13) f2Hx - v2tL + g2Hx + v2tL per x> 0 Le condizioni iniziali prescelte determinano inoltre:

f₁Hx - 0L + g1Hx + 0L = f0HxL per x< 0

1

Z₁ f1HxL -_Z¹

1g1HxL = 0 per x< 0 f2HxL + g2HxL = 0 per x> 0

1

Z₂ f2HxL -_Z¹

2g2HxL = 0 per x> 0

Come già visto in casi precedenti, queste condizioni iniziali determinano univocamente le funzioni incognite solo per alcuni intervalli del loro dominio:

(14) f1HrL = f0HrL per r< 0

g1HrL = 0 per r< 0 f₂HrL = 0 per r> 0 g2HrL = 0 per r> 0

Nella (13) la conoscenza della f1Hx - v1tL è necessaria solo per x < 0 e t > 0 e perciò per x - v1t< 0. Questo rende suffi- ciente la conoscenza della f1HrL dalla (14). Analogamente, la conoscenza della g2Hx + v2tL è necessaria solo per x > 0 e t > 0 e perciò per x+ v₂t> 0. Questo rende sufficiente la conoscenza della g₂HrL dalla (14).

Per quando riguarda la g1HrL per r > 0 e la f2HrL per r < 0, invece, è necessario imporre anche le condizioni al bordo x = 0. La giunzione tra le due linee determina l'uguaglianza tra la tensione al bordo destro della linea 1 e quella al bordo sinistro della linea 2 e l'uguaglianza delle correnti agli stessi bordi:

f1H0 - v1tL + g1H0 + v1tL = f2H0 - v2tL + g2H0 + v2tL per t> 0

1

Z₁ f1H-v1tL -_Z¹

1 g1Hv1tL =_Z¹

2 f2H-v2tL -_Z¹

1g2H0 + v2tL per t> 0 e dopo sostituzione della g2 dalla (14):

f1H-v1tL + g1Hv1tL = f2H-v2tL per t> 0

1

Z₁ f₁H-v1tL -_Z¹

1g₁Hv1tL =_Z¹

2 f₂H-v2tL per t> 0

la cui soluzione per mette di trovare la g1HrL per r > 0 e la f2HrL per r < 0, in termini della f1HrL per r < 0.

Infatti, immediatamente segue:

f2H-v2tL =_Z^{2 Z2}

1+Z2 f1H-v1tL per t> 0 g1Hv1tL =^Z_Z^2-Z1

2+Z1 f1H-v1tL per t> 0 così che dalla prima si ricava la f2HrL ponendo t = -_v^r

2, per r< 0, e dalla seconda g1HrL ponendo t =_v^r

1, per r> 0:

f2HrL =_Z^{2 Z2}

1+Z2 f1J^v_v¹

2rN per r< 0 g1HrL =^Z_Z^2-Z1

2+Z₁ f1H-rL per r> 0

Infine, inserendo le informazioni della (14) e riassumendo:

VHx, tL = (15)

f0Hx - v1tL per x< -v1t f0Hx - v1tL +^Z_Z^2-Z1

2+Z1 f0H-x - v1tL per - v1t< x < 0

2 Z₂ Z₂+Z1 f0J^v_v¹

2 Hx - v2tLN per 0< x < v₂t

0 per x> v₂t

Sulla linea 1 (x< 0) sono quindi presenti l'onda incidente e un'onda riflessa che ha le stesse proprietà dell'onda riflessa da una terminazione su resistenza pari a Z2, come già descritto dalla (12).

Per quanto riguarda la linea 2 (x> 0), la soluzione può essere interpretata come segue. Dal bordo sinistro origina un'onda progressiva, detta onda trasmessa o rifratta, che si propaga con velocità di modulo v2. Dopo l'istante iniziale, all'istante t tutti i punti a sinistra di quello di ascissa x= v₂t sono stati raggiunti dall'onda trasmessa, mentre quelli alla sua destra non sono stati ancora raggiunti e la corrispondente tensione è nulla. L'onda trasmessa ha lo stesso segno dell'onda incidente e la sua ampiezza è compresa tra 0 e il doppio dell'ampiezza incidente, a seconda del rapporto tra le impedenze delle due linee;

l'ampiezza trasmessa è uguale a quella incidente solo se le impedenze sono uguali. La forma del grafico dell'onda trasmessa è simile a quella dell'onda incidente, ma rispetto a quest'ultima è dilatata lungo l'asse della ascisse di un fattore ^v_v²

1

(naturalmente, se v2< v1 il grafico appare compresso in quella direzione). Si verifica facilmente che nel caso particolare in cui Z2= Z1 e v2= v1 non è presente onda riflessa (g1= 0) e l'onda trasmessa coincide con l'onda incidente ( f2= f1).

Una semplice regola mnemonica lega l'ampiezza dell'onda trasmessa e quella dell'onda riflessa:

2 Z2

Z2+ Z₁ -Z2- Z₁ Z2+ Z₁ = 1

Nel seguito sono riportati i grafici di VHx, tL, per successivi istanti di tempo t > 0, nel caso Z2< Z₁ e v2> v₁:

x VHx,t1L

x VHx,t2L

x VHx,t3L

x VHx,t4L

x VHx,t5L

x VHx,t6L

Energia

Alla capacità di una linea di trasmissione e alla sua induttanza sono associate rispettivamente energia elettrica e magnetica immagazzinate nella linea quando questa è carica. L'energia elettrica in un condensatore di capacità C a tensione V vale UE= ¹₂C V²; l'energia magnetica in un induttore di induttanza L percorso da corrente I vale UB=¹₂ L I². L'energia elettro- magnetica è dunque distribuita lungo la linea con densità lineare funzione del tempo t:

„ UHx, tL (16)

„ x = uHx, tL dove uHx, tL =¹₂ ^„C_„x V²Hx, tL +¹₂ ^„L_„x I²Hx, tL.

In generale dunque:

uHx, tL =1 (17)

2$ V²Hx, tL +1

2- I²Hx, tL

Nel caso di un'onda propagantesi in un solo verso (o onda progressiva o onda regressiva, ma non la sovrapposizione di entrambe), sostituendo la (11) per la corrente si ha uHx, tL =¹₂$ V²Hx, tL +¹_{2 Z}^-₂V²Hx, tL =¹₂$ V²Hx, tL +¹₂$ V²Hx, tL.

Per onde propagantesi in un solo verso l'energia elettromagnetica è equamente ripartita tra forma elettrica e forma magnetica e si ha:

uHx, tL = $ V²Hx, tL = - I²Hx, tL (18)

L'assenza di resistenza elettrica comporta la conservazione locale dell'energia elettromagnetica. L'energia può essere trasferita lungo la linea e deve quindi valere un'opportuna equazione di continuità per l'energia. Allo scopo di determinare l'equazione di continuità, in analogia alla conservazione locale della carica, consideriamo l'energia che attraversa una sezione trasversale della linea per unità di tempo:

WHx, tL =„& (19)

„ t

dove con & indichiamo l'energia elettromagnetica che attraversa la sezione della linea di trasmissione, nel verso delle ascisse positive, in corrispondenza dell'ascissa x= 0.

Se, in questo paragone tra l'equazione di continuità per l'energia elettromagnetica e quella per la carica elettrica, l'energia U corrisponde alla carica Q, allora la potenza W corrisponde alla corrente I; naturalmente la densità lineare di energia u corrisponde alla densità lineare di carica l.

Considerando l'estensione geometrica della linea di trasmissione, per esempio una linea coassiale cilindrica con fissati raggi interno ed esterno, si può anche introdurre la distribuzione spaziale di potenza sulla sezione della linea e la corrispondente densità superficiale. In effetti, così come si definisce il vettore densità di corrente j per descrivere gli spostamenti delle cariche elettriche, si può definire un vettore "densità di potenza trasferita" S per descrivere gli spostamenti di energia elettro- magnetica: tale vettore è detto vettore di Poynting. La potenza che attraversa una superficie orientata " sarà data dal flusso di S attraverso la superficie data:

W_"= ‡ (20)

"S◊ n „"

In questa sede non determiniamo quale sia il vettore di Poynting. Tuttavia notiamo che il procedimento per descrivere la conservazione locale di una quantità fisica è sempre lo stesso e passa per la definizione di un campo scalare e un campo vettoriale. Il campo scalare rappresenta la densità volumica della quantità conservata e ne descrive la distribuzione spaziale.

Il campo vettoriale rappresenta la densità di corrente della stessa quantità e ne descrive la ridistribuzione nello spazio.

L'equazione di continuità, infine, stabilisce che la variazione della quantità in oggetto contenuta in un dato volume è diretta- mente legata alla corrente uscente dal bordo del volume, che generalmente è una superficie chiusa.

Nel caso della carica elettrica, detti r il vettore posizione, r la densità volumica di carica, j la densità di corrente, 7 il volume, " la superficie chiusa che delimita 7, Q la carica in 7 e I la corrente uscente da ":

„

„ t‡

7rHr, tL = -‡

"=∑7jHr, tL◊n „"

o anche:

„ Q

„ t = -I

Tornando alla linea di trasmissione e alla conservazione dell'energia elettromagnetica, il volume degenera in un segmento compreso tra le ascisse x1 e x2> x₁ e il suo bordo nelle sezioni della linea rispettivamente a x= x₁ e x= x₂ (dal punto di vista geometrico si tratta semplicemente di due punti). L'equazione di continuità dice che la variazione per unità di tempo dell'ener- gia contenuta nel segmento @x1, x2D è pari alla potenza entrante nel segmento dalle estremità x = x1 e x= x₂. Tenendo conto del verso nella definizione di WHx, tL, si ottiene l'equazione di continuità in forma integrale:

„ (21)

„ t‡

x₁ x₂

uHx, tL „ x = WHx1, tL - WHx2, tL

Poiché la (21) deve valere per ogni segmento @x1, x2D, dividendone entrambi i membri per la lunghezza Hx2- x₁L e passando al limite per Hx2- x₁L Ø 0 si ottiene l'equazione di continuità in forma differenziale.

∑uHx, tL (22)

∑t = -∑WHx, tL

∑ x

Resta da determinare WHx, tL. A tale scopo si consideri un'onda progressiva: la configurazione di cariche e correnti presenti in un certo istante t in un trattino di linea „ x che precede il punto x, si ritroverà invariata nel trattino di linea „ x che segue il punto x dopo un intervallino di tempo „ t =¹_v„ x, dove v è la velocità di propagazione dell'onda, indipendentemente dal contenuto di iniziale del secondo trattino. In altre parole possiamo dire che il "pacchetto" di energia „ U contenuto inizial- mente nel primo trattino lo ritroviamo nel secondo trattino dopo un tempo „ t. Questa energia ha dunque attraversato il punto di ascissa x in un tempo „ t.

Di conseguenza: WHx, tL =^„U_„t = uHx, tL^„x_„t e finalmente:

WHx, tL = uHx, tL v (23)

la cui naturale interpretazione è quella che anche i "pacchetti" di energia viaggiano a velocità v; oppure, tenendo conto delle (17), (5), (10) e (11):

WHx, tL = 1 (24)

Z V²Hx, tL = VHx, tL IHx, tL

che coincide con la potenza assorbita dal tratto di linea a destra del punto di ascissa x secondo un'analisi a costanti concen- trate in cui tale tratto sia sostituito dalla sua impedenza equivalente (si noti che, per onde progressive, questa quantità risulta sempre positiva: cfr. i diversi casi discussi nel paragrafo relativo alla interpretazione delle soluzioni dell'equazione di D'Alambert).

Nel caso alternativo di onda regressiva, la stessa linea di ragionamento porta alle conclusioni:

WHx, tL = -uHx, tL v (25)

con l'interpretazione che i "pacchetti" di energia viaggiano con velocità di modulo v nel verso delle ascisse negative, e WHx, tL = -1 (26)

ZV²Hx, tL = VHx, tL IHx, tL

che rappresenta ancora la potenza assorbita dal tratto di linea a destra del punto di ascissa x secondo un'analisi a costanti concentrate (si noti che, per onde regressive, questa quantità risulta sempre negativa: cfr. i diversi casi discussi nel paragrafo relativo alla interpretazione delle soluzioni dell'equazione di D'Alambert).

Più in generale, in presenza di una sovrapposizione di onde progressiva e regressiva, la potenza che attraversa un punto x, nel verso delle ascisse positive, sarà data dalla somma algebrica delle potenze associate a ciascuna delle due onde:

WHx, tL = 1 (27)

Z f²Hx - v tL - 1

Z g²Hx + v tL = VHx, tL IHx, tL

È immediato verificare che la (27) soddisfa le equazioni di continuità (21) e (22); per esempio, per quanto riguarda la seconda:

∑uHx, tL

∑t = ∑

∑t:1

2$@ f Hx - v tL + gHx + v tLD²+ 1 2-B1

Z fHx - v tL - 1

Z gHx + v tLF

2

>

\ ∑uHx, tL

∑t = -2

Z@ f Hx - v tL f ' Hx - v tL - gHx + v tL g' Hx + v tLD

-∑WHx, tL

∑ x = - ∑

∑ x:@ f Hx - v tL + gHx + v tLDB1

Z fHx - v tL -1

Z gHx + v tLF>

\ -∑WHx, tL

∑ x = -2

Z@ f Hx - v tL f ' Hx - v tL - gHx + v tL g' Hx + v tLD

Consideriamo infine la rifrazione nel punto di giunzione tra due linee con caratteristiche diverse, usando le notazioni già usate nel paragrafo relativo alla rifrazione.

La potenza incidente dalla prima linea sul punto di giunzione vale:

WiHx = 0, tL = 1 Z1

f₀²H-v1tL

la potenza trasmessa alla seconda linea dallo stesso punto:

WtHx = 0, tL = 1 Z2

B 2 Z2

Z2+ Z1

f0

v1

v2

H-v2tL F²= 4 Z2

HZ2+ Z1L² f₀²H-v1tL la potenza riflessa alla prima linea dal punto di giunzione:

WrHx = 0, tL = 1 Z1

BZ2- Z1

Z2+ Z1

f0H-v1tLF

2

= HZ2- Z1L²

Z1HZ2+ Z1L² f₀²H-v1tL I rapporti:

5 =WtH0, tL (28)

WiH0, tL= 4 Z1Z2

HZ2+ Z₁L² 3 = WrH0, tL (29)

WiH0, tL =HZ2- Z1L² HZ2+ Z₁L²

sono indipendenti dal tempo e vengono chiamati, rispettivamente, rapporto o coefficiente di trasmissione e rapporto o coefficiente di riflessione per l'energia e indicano quale frazione dell'energia incidente viene rispettivamente trasmessa o riflessa. La conservazione dell'energia elettromagnetica si manifesta in questo caso con la relazione:

5 + 3 = 1 (30)

Naturalmente, nel caso in cui le impedenze siano adattate (Z2= Z₁): 5 = 1 e 3 = 0.

Nota: nella definizione di potenza riflessa data sopra si è tenuto conto del verso in cui viaggia l'onda riflessa, si è cioè inteso la potenza che attraversa una sezione della linea nel verso delle ascisse negative. In altre parole la potenza riflessa è definita positiva e pari all'opposto della potenza delle (25) e (26).

Ovviamente, dal momento che i coefficienti di trasmissione e riflessione non dipendono dal tempo, essi rappresentano non solo rapporti istantanei tra potenze, ma anche, rispettivamente, le frazioni di energia trasmessa e di energia riflessa complessi- vamente durante un qualsiasi intervallo di tempo.

Nel caso di linea terminata su una resistenza R= Z₂, il coefficiente di riflessione continua ad avere lo stesso significato, mentre il coefficiente di trasmissione rappresenta la frazione di energia dissipata nella resistenza.