LINEA DI TRASMISSIONE

(1)

LINEA DI TRASMISSIONE

Nella trattazione dei circuiti elettrici svolta finora abbiamo ipotizzato che gli elementi circuitali siano concentrati in punti ben definiti del circuito e che questi punti siano collegati da cavi che non introducono sfasamento o attenuazione o ritardo dei segnali: ipotizziamo cio`e che tensione e corrente siano le stesse nello stesso istante in tutti i punti del cavo. In altre parole, ipotizziamo che i segnali si propaghino istan- taneamente lungo i cavi. Circuiti che possono essere trattati in questo modo vengono detti a parametri concentrati.

La relativit`a impone tuttavia una limitazione alla velocit`a di trasmissione delle informazioni e quindi anche alla propagazione dei segnali nei circuiti elettrici.

0 V(t)

t

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Segnale in A Segnale in B

∆t ∆t +^d_c

Quantifichiamo questa limitazione: consideriamo un cavo di estremi A e B e sia d la loro distanza. Se in A si produce una variazione del segnale tra il tempo 0 ed il tempo ∆t, questa variazione (informazione) potr`a essere osservata all’estremo B solo ad un tempo maggiore o uguale a

∆t +d

c (1)

e solo se

∆t d

c (2)

potremo dire che la variazione viene osservata contemporaneamente ai due estremi del cavo. Ricordando che la velocit`a della luce `e di circa 30 centimetri al nanosecondo, ne deduciamo che per un cavo di ∼ 30 cm osserveremo effetti di ritardo se il segnale varia entro un tempo di pochi ns.

Se il segnale `e sinusoidale di frequenza ν, esso varia significativamente entro un periodo, quindi in questo caso ∆t `e dell’ordine di ¹_ν e la condizione (2) si scrive:

ν c

d (3)

quindi per il nostro cavo di ∼ 30 cm potremo applicare l’approssimazione di parametri concentrati per frequenze molto inferiori al GHz, mentre per frequenze dell’ordine del GHz dobbiamo tener conto della

(2)

propagazione lungo il cavo a velocit`a finita. Per i 50 Hz della rete elettrica avremmo invece degli effetti di ritardo su distanze dell’ordine di 10⁴ km.

Questo ragionamento è un po’ semplificato: in realtà per un segnale strettamente sinusoidale, che varia nel tempo con la stessa legge per tempi da −∞ a +∞, le variazioni del segnale non contengono nessuna informazione, perchè sono ’prevedibili’; quindi possiamo applicare le nostre considerazioni solo a segnali impulsivi, come nel primo caso considerato. Se però consideriamo la trasformata di Fourier di un segnale impulsivo, potremo applicare le stesse considerazioni a tutte le sue componenti di Fourier, e ricavare un risultato analogo a (3). Quando avrete dimestichezza con le trasformate di Fourier, provate a calcolare quali sono le componenti di Fourier di un segnale impulsivo di larghezza ∆t, e cercate di arrivare al risultato (3) in modo più rigoroso.

Il ragionamento svolto finora riguarda la limitazione di principio imposta dalla relatività ristretta; vedremo ora che la velocità di propagazione dei segnali nei cavi è inferiore, ma non di molto, a quella della luce nel vuoto.

1 Osservazioni sperimentali

La configurazione utilizzata per ottenere i segnali mostrati nelle figure successive `e la seguente:

generatore

oscillograf o

cavo coassiale

A

Come vedremo nei prossimi paragrafi, il cavo coassiale è caratterizzato dai parametri del dielettrico interposto tra i due conduttori e da resistenza, induttanza e capacità per unità di lunghezza. A partire da queste quantità si può calcolare la velocità di propagazione dei segnali nel cavo e definire una impedenza del cavo stesso che è reale ed ha ovviamente le dimensioni di una resistenza.

Il generatore utilizzato fornisce un segnale impulsivo largo ∼ 5 ns, il cavo ha un’impedenza di 50 Ω ed

è lungo circa quattro metri. Se il cavo viene collegato all’estremità A con una resistenza uguale alla sua impedenza (in tal caso si dice che l’estremità è adattata all’impedenza del cavo) si osserva all’oscilloscopio il seguente segnale:

fig. 1: Terminazione A adattata all’impedenza del cavo.

(3)

fig. 2: Cavo lungo circa 3.7 m, A a circuito aperto (sinistra) e in cortocircuito (destra).

Le tre figure in questa pagina mostrano invece il segnale osservato quando l’estremità A non è adattata. Il segnale prodotto dal generatore, dopo essere arrivato all’oscillografo, continua a viaggiare verso l’estremità A, si riflette su di essa e torna verso l’oscillografo che lo registra una seconda volta. Possiamo osservare che il ritardo tra il primo ed il secondo segnale cresce con la lunghezza del cavo e che nel caso della terminazione in cortocircuito si ha anche un cambiamento di segno del segnale riflesso. Terminando A con una resistenza diversa dall’impedenza del cavo, osserveremmo un segnale riflesso di ampiezza più piccola. Osserveremmo gli stessi fenomeni anche collegando A ad un altro cavo o ad un dispositivo di impedenza diversa. Possiamo infine notare che il segnale riflesso subisce anche un’attenuazione che aumenta all’aumentare della lunghezza del cavo.

(4)

Il generatore utilizzato ha anch’esso un’impedenza d’ingresso di 50 Ω, cioè generatore e cavo sono adattati fra loro e per questo non si osservano riflessioni sul generatore. L’oscilloscopio ha invece un’impedenza d’ingresso molto maggiore di 50 Ω ed il collegamento tra cavo ed oscilloscopio non è realizzato tramite un altro cavo, come si potrebbe dedurre dalla figura, ma mediante un connettore a ”T” collegato all’ingresso dell’oscillografo e a due tratti di cavo: uno va sul generatore, l’altro è quello a destra nella figura. Potete convincervi che in queste condizioni possiamo considerare che tra il generatore e l’estremità A vi sia un solo cavo uniforme in tutta la sua lunghezza.

Nei prossimi paragrafi descriveremo matematicamente il fenomeno osservato trattando il cavo come una successione di tratti infinitesimi di un circuito a parametri concentrati; trascureremo tuttavia la resistenza del cavo, che `e responsabile dell’attenuazione.

Una descrizione alternativa, che porta per i segnali osservati allo stesso risultato, considera la propagazione di onde elettromagnetiche nel sistema composto dal dielettrico e dai due conduttori del cavo. In effetti potete notare che il comportamento osservato del segnale `e simile a quello della luce nell’attraversamento di mezzi con diversi indici di rifrazione.

2 Propagazione dei segnali lungo un cavo coassiale Onde progressive

L’utilizzo dei cavi coasiali nella trasmissione di segnali consente di mantenere una geometria tra i due conduttori , e quindi una capacità ed un’autoinduttanza, ben definite. Si ottiene inoltre un effetto di schermo rispetto ad interferenze esterne. Se indichiamo con a il raggio del conduttore interno, con b quello del conduttore esterno (in genere un intreccio, calza, di fili sottili) e con µ ed la permeabilità magnetica e la permittività del dielettrico interposto tra i due conduttori, l’autoinduttanza e la capacità per unità di lunghezza saranno, come sapete, date da:

L= µ 2π lnb

a ; C = 2π

ln_a^b (4)

Per scrivere l’equazione di propagazione dei segnali lungo il cavo procediamo come spesso si fa anche per i sistemi meccanici (ad esempio per studiare la propagazione di onde elastiche in una corda tesa):

suddividiamo il cavo trasversalmente al suo asse in segmenti di lunghezza δx; ogni segmento avrà una autoinduttanza Lδx ed una capacità Cδx e potrà essere rappresentato dalla cella circuitale della successiva fig. 5.

Una trattazione pi`u completa, che non seguiremo, prevede anche una resistenza in parallelo al condensatore, per dar conto delle dispersioni attraverso il dielettrico, ed una in serie all’induttanza, che rappresenta la resistenza dei conduttori. In questo caso i risultati che otterremmo sulla propagazione dei segnali restano gli stessi, salvo che si aggiunge una attenuazione esponenziale dovuta alla dissipazione nelle resistenze.

L’intero cavo sar`a rappresentato da una sequenza di queste celle:

Cδx Lδx

Ci`o fatto, consideriamo una tensione V (x, t) ed una corrente I(x, t) dipendenti dal tempo e dalla posizione lungo l’asse del cavo; l’analisi del circuito costituito dalla singola cella ci permetter`a di ricavare le relazioni

(5)

tra tensione e corrente all’ingresso ed all’uscita della cella. Faremo poi tendere δx a zero ed otterremo due equazioni alle derivate parziali per V (x, t) ed I(x, t) .

0 B

+ A

I(x, t)

x

Cδx ^I^C

Lδx C

I(x + δx, t)

x+ δx

fig. 5:

Riferendo tutti i potenziali dei rami superiori a quello del punto B abbiamo:

VA = Q

Cδx ; IC = dQ

dt = Cδx∂VA

∂t (5)

(abbiamo scritto la derivata parziale di VA perch`e il potenziale dipende dal tempo e dalla posizione) VC − V^A= V (x + δx, t) − V (x, t) = −Lδx∂I(x + δx, t)

∂t (6)

nella (6) scriviamo I(x + δx, t) = I(x, t) + ∆I e trascuriamo l’infinitesimo di ordine superiore ∆Iδx:

V(x + δx, t) − V (x, t) = −Lδx∂I(x, t)

∂t (7)

dividendo per δx e facendolo tendere a zero:

∂V(x, t)

∂x = −L∂I(x, t)

∂t (8)

Per le correnti abbiamo invece, utilizzando la (5):

I(x, t) = IC + I(x + δx, t) ⇒

I(x + δx, t) − I(x, t) = −I^C = −Cδx^∂V∂t^A = −Cδx^∂V∂t^(x,t)

(9) e per δx che tende a zero:

∂I(x, t)

∂x = −C∂V(x, t)

∂t (10)

Le equazioni (8) e (10)







∂V(x,t)

∂x = −L^∂I(x,t)∂t

∂I(x,t)

∂x = −C^∂V∂t^(x,t)

(11)

sono, come sapete, caratteristiche di una propagazione ondulatoria. Si tratta di un sistema di equazioni differenziali accoppiate nelle incognite V ed I. Le possiamo disaccoppiare derivando la prima rispetto a t e la seconda rispetto ad x:

(6)











∂²V(x,t)

∂x∂t = −L^∂²^I(x,t)∂t²

∂²I(x,t)

∂x² = −C^∂²∂t∂x^V^(x,t)

(12)

e sostituendo la prima nella seconda:

∂²I(x, t)

∂x² = LC∂²I(x, t)

∂t² (13)

analogamente, derivando la prima ripetto ad x e la seconda rispetto a t ed eliminando le derivate parziali miste tra le due, si ottiene:

∂²V(x, t)

∂x² = LC∂²V(x, t)

∂t² (14)

Questa equazione ammette soluzioni della forma:

V = Ae^i(kx+ωt) (15)

la sostituzione nella (14) permette di ricavare la relazione tra k ed ω

−Ak² = −ALCω² ⇒ ω

k = ± 1

√LC (16)

considerando solo ω positivi abbiamo due possibili valori di k, di segno opposto; questi due valori cor- rispondono a due soluzioni indipendenti. Ridefinendo k come una quantit`a positiva, riscriviamo queste due soluzioni nella forma e^i(±kx+ωt); a questo punto possiamo scrivere una soluzione della (14) come combinazione lineare di queste due soluzioni indipendenti:

V = V₁e^i(−kx+ωt)+ V₂e^i(kx+ωt) (17)

analogamente per la corrente:

I = I1e^i(−kx+ωt) + I2e^i(kx+ωt) (18)

Perchè utilizziamo grandezze complesse per rappresentare quantità reali ?. Abbiamo già imparato a farlo per tensioni e correnti col metodo simbolico, ma questo si fa in generale per trattare i fenomeni ondulatori e per la stessa ragione: perchè facilitano i calcoli in cui sono coinvolte funzioni trigonometriche. Osserviamo che, poichè le equazioni (13) e (14) sono a coefficienti reali, la parte reale e la parte immaginaria di (17) e (18) sono entrambe soluzioni di queste equazioni. Ad esempio le parti reale ed immaginaria del primo termine di V sono date da:

f1(−kx + ωt) = Re(V1) cos (−kx + ωt) − Im(V1) sin (−kx + ωt)

f2(−kx + ωt) = Im(V¹) cos (−kx + ωt) + Re(V¹) sin (−kx + ωt) (19)

Poich`e la parte reale e quella immaginaria di V1sono costanti arbitrarie, queste due espressioni sono equivalenti e possiamo riscriverle entrambe nella forma:

f(−kx + ωt) = α cos (−kx + ωt) + β sin (−kx + ωt) (20)

Il primo termine di (17) rappresenta un’onda progressiva che viaggia nel verso delle x crescenti. Infatti consideriamo l’argomento dell’esponenziale, che viene detto fase dell’onda:

−kx + ωt (21)

Dato il suo valore in una posizione x ed al tempo t, al tempo t + δt la fase, e quindi la fuunzione esponenziale, assume lo stesso valore in una posizione x + δx tale che:

−k(x + δx) + ω(t + δt) = −kx + ωt ⇒ δx δt = ω

k ≡ v (22)

In altre parole, se fotografiamo al tempo t l’andamento di v ed I in funzione di x, al tempo t + δt ritroveremo lo stesso andamento traslato di δx, con δx positivo.

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segnale al tempo tc

segnale al tempo t+ δt

--- x

δx

Ripetendo gli stessi passaggi per il secondo termine di (17) troveremo che:

δx

δt = −ω

k = −v (23)

e quindi questo termine rappresenta un’onda progressiva nel verso delle x decrescenti; v `e detta velocit`a dell’onda. Dalle (4) abbiamo:

v = ω

k = 1

√LC = 1

√µ (24)

ossia v `e uguale alla velocit`a delle onde elettromagnetiche nel dielettrico; per i cavi comunemente usati si

ha: v

c = 1

√µrr ∼ 0.6 ÷ 0.8 (25)

Questo vuol dire che gli elettroni nei due conduttori viaggiano a velocit`a prossime a quelle della luce ?.

V ed I devono sodisfare anche le equazioni originali del primo ordine (11); sostituendo (17) e (18) nella prima delle (11):

−V¹ikeî(−kx+ωt) + V2ikeî(kx+ωt)= −LiωI¹eî(−kx+ωt)− LiωI²eî(kx+ωt) (26) poichè queste due equazioni devono valere per ogni x e per ogni t, si devono annullare separatamente i coefficienti dei due esponenziali:

V1

I1 = ^Lω_k = ^q^L_C ≡ Z⁰

V2

I2 = −^Lωk = −^q^LC = −Z⁰ (27)

La seconda delle (11) porta alle stesse relazioni. V ed I possono dunque essere scritte nel modo seguente:

V = Z₀I₁eî(−kx+ωt)− Z0I₂eî(kx+ωt)= V₁eî(−kx+ωt)+ V₂eî(kx+ωt) (28)

I = I1e^i(−kx+ωt) + I2e^i(kx+ωt) = V₁ Z0

e^i(−kx+ωt)− V₂ Z0

e^i(kx+ωt) (29)

Come vediamo, la quantità Z0, detta impedenza della linea, caratterizza il comportamento del nostro cavo. Come per una resistenza, l’impedenza è reale ed indipendente da ω, ma se ci fossero delle resistenze questo non sarebbe più vero.

Le (28) e (29) mostrano che Z0 è il rapporto tra tensione e corrente per un’onda progressiva verso destra, mentre −Z⁰ = Z0eîπ,è il rapporto tra tensione e corrente per un’onda progressiva verso sinistra, quindi in questo caso la linea si comporta come una resistenza che in più introduca uno sfasamento di π per tutte le frequenze.

(8)

Riprendiamo ora l’esercizio sulla linea semiinfinita di resistenze del capitolo sulle correnti continue e calcoliamo l’impedenza della nostra linea nello stesso modo.

ZL

ZC Z

Z

Indicando con Z l’impedenza della linea, la condizione che Z non cambi con l’aggiunta di una cella si scrive:

Z= ZL+ ZCZ

ZC+ Z (30)

ossia:

Z= iωLδx +

1

iωCδxZ

1

iωCδx + Z (31)

Z

iωCδx+ Z²= L

C+ iωLδxZ + Z

iωCδx (32)

Z²= L

C+ iωLδxZ (33)

che per δx → 0 diventa:

Z²=L

C (34)

questa volta, avendo a che fare con induttanze e condensatori, non possiamo escludere la soluzione negativa. Abbiamo dunque due soluzioni, di cui abbiamo appena visto il significato.

Le (28) e (29) mostrano che il nostro sistema di equazioni alle derivate parziali ammette soluzioni che oscillano con frequenza qualsiasi; ad esempio, se all’ingresso della linea mettessimo un generatore di pulsazione ω o se inviassimo sulla linea un’onda elettromagnetica anch’essa di pulsazione ω, tensione e corrente nella linea avrebbero questo andamento. Le costanti Ii e Vi vanno determinate a partire dalle condizioni al contorno, in questo caso le condizioni ai due estremi della linea. Nei prossimi paragrafi analizzeremo vari tipi di condizioni al contorno.

Tenete tuttavia presente che queste non sono tutte le possibili soluzioni delle equazioni di partenza.

3 Onde stazionarie

Consideriamo un cavo di lunghezza d le cui estremità, dai due lati, siano in circuito aperto; cioè il cavo non è connesso a nessun dispositivo. Può sembrare una situazione poco interessante, ma impareremo comunque qualcosa. In questo caso le condizioni al contorno sono che la corrente sia nulla in x = 0 ed X = d. Dalla (29) otteniamo:

( I₁e^iωt+ I2e^iωt= 0

I₁e⁻^ikd+iωt+ I2e^ikd+iωt = 0 (35)

Queste equazioni devono valere per ogni t, quindi dalla prima deduciamo che I2 = −I¹. Sostituendo nella seconda :

I1(e⁻^ikd− e^ikd) = −2iI¹sin (kd) = 0 (36)

escludendo la soluzione banale identicamente nulla(I1 = 0), da questa equazione deduciamo che si deve avere:

kd= nπ ⇒ k = nπ

d , n= 1, 2, 3, 4.... (37)

e sostituendo il tutto nella (29):

I = −2iI1sin (kx)e^iωt (38)