Corso di laurea specialistica in Architettura. a.a. 2019/2011 Istituzioni di Matematiche I (6 CFU)
Test di autoverifica n. 2 Esempio 1 1. Data la funzione
f (x) =√
x(1 + log x)
determinare l’insieme di definizione, le intersezioni con gli assi, gli asintoti, gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti, la concavit`a e la convessit`a e tracciarne alla fine un grafico qualitativo.
2. Calcolare
Z cos x
√1 + sin x dx e Z π
π/2
sin x
√1 + cos x dx
3. Enunciare il teorema di Lagrange per una funzione f (x) nell’intervallo [a, b], determinare i punti che soddisfano il teorema di Lagrange per la funzione f (x) = x3− 4x2− 32 nell’intervallo [−1, 1].
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Test di autoverifica n. 2 Esempio 2 1. Data la funzione
f (x) = x2ex+1
determinare l’insieme di definizione, le intersezioni con gli assi, gli asintoti, gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti, la concavit`a e la convessit`a e tracciarne alla fine un grafico qualitativo.
2. Dopo avere scritto l’equazione della retta r tangente al grafico della funzione f (x) = log x nel punto di ascissa x0= 1, calcolare l’area della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione f (x), la retta r e la retta di equazione x = e2.
3. Enunciare il teorema di Rolle per una funzione f (x) nell’intervallo [a, b], de- terminare i punti che soddisfano il teorema di Rolle per la funzione f (x) = x3− 4x2+ 3x nell’intervallo [0, 1].
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Test di autoverifica n. 2 Esempio 3 1. Data la funzione
f (x) = e−x2(1 − x)
determinare l’insieme di definizione, le intersezioni con gli assi, gli asintoti, gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti e tracciarne alla fine un grafico qualitativo. Dire, senza calcolare la derivata seconda, quanti flessi almeno deve avere la funzione.
2. Dopo avere scritto l’equazione della retta r tangente al grafico della funzione f (x) =√
x nel punto di ascissa x0 = 1, calcolare l’area della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione f (x), la retta r e la retta di equazione x = 4.
3. Enunciare il teorema della media integrale e determinare un punto c che lo verifica per la funzione f (x) = x2+ 1 nell’intervallo [−2, 2].
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Test di autoverifica n. 2 Esempio 4
1. Una finestra d’abbaino ha la forma di un rettangolo sormontato da un triangolo equilatero. Se il perimetro totale `e di m 34, quali devono essere le dimensioni del rettangolo affinch`e dalla finestra entri la maggior quantit`a di luce?
2. Calcolare l’area della parte di piano compresa tra le parabole di equazione y = 4x2 e x = 4y2.
3. Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione f (x) = x3− 4x2+ 3x.
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