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Parte 8: Analisi dinamica del modello globale
8.1 Premessa
L’obiettivo di tale analisi è quello di valutare il comportamento sismico dell'edificio. In mancanza di un livello di conoscenza accurato relativamente ai materiali e ai rapporti costruttivi tra le diverse parti del fabbricato, appare infatti poco conveniente intraprendere analisi sofisticate, che richiedono un elevato onere di calcolo, come analisi dinamiche non lineari. Inoltre, come è stato accennato nel capitolo 4, il comportamento sismico di edifici come questi può essere meglio descritto attraverso i diversi macroelementi.
Inizialmente sono stati indagati i primi 12 modi di vibrare. Gli obiettivi dell'analisi sono quelli di
- valutare le direzioni preferenziali lungo le quali il sistema vibra e la quantità di massa complessiva che partecipa all’oscillazione;
- valutare, in base al periodo dei modi di vibrare dominanti, le ordinate spettrali che entrano in gioco;
- individuare i possibili modi torsionali;
- ricercare gli stati torsionali causati da moti traslazionali per la differente rigidezza dei blocchi in gioco.
- cogliere l’ordine di grandezza delle sollecitazioni che interessano la cupola e la sua sottostruttura.
8.2 Modellazione
Il modello per l’analisi modale è stato realizzato interamente in elementi shell. Per evitare di introdurre approssimazioni che possano influenzare la risposta del modello, sono state rappresentate in dettaglio tutte le parti dell'edificio. Solo la lanterna, il muro di rivestimento della cupola e le coperture sono state sostituite con masse equivalenti. Le volte sono state considerate come elementi dotati di rigidezza ma non di massa che è stata comunque computata nel modello come elemento aggiuntivo applicato al punto di attacco tra le volte stesse e i pilastri che le sorreggono. Nella modellazione si è tenuto
258 conto anche della cripta che risulta ribassata rispetto alla restante struttura. Agli shell sono stati assegnati gli effettivi spessori degli elementi strutturali e le relative caratteristiche meccaniche. Alla base i nodi sono stati vincolati con cerniere.
Fig. 208. Vista assonometrica del modello per l’analisi dinamica.
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Fig. 210. Vista in pinta del modello per l’analisi dinamica.
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Fig. 212. Vista assonometrica del modello per l’analisi dinamica.
8.3 Analisi dei modi propri di vibrare
Modo proprio n° Frequenza ν [Hz] Periodo T [s] Massa part. in x [%] Massa part. in y [%] 1 1,914 0,588 42,3 0,0 2 2,438 0,410 13,4 0,2 3 2,654 0,377 6,5 0,4 4 3,241 0,308 0,0 0,2 5 3,407 0,293 0,0 21,1 6 3,516 0,284 0,0 2,4 7 3,793 0,264 2,0 11,8 8 3,907 0,256 4,7 3,7 9 4,131 0,242 0,4 0,9 10 4,553 0,220 0,1 19,1 11 4,598 0,217 0,3 0,0 12 4,867 0,205 0,2 0,0
Percentuale massa partecipante 69,9% 59,8%
261 Nelle analisi sismiche di questo tipo è necessario tenere in conto che abbiamo a che fare con strutture ad infiniti gradi di libertà in quanto le masse sono distribuite lungo l’altezza. Questa situazione implica che per raggiungere valori dell’85% della massa partecipante (richiesta delle NTC 2008 per la valutazione degli effetti negli elementi strutturali) è necessario prendere in considerazione un numero di modi propri ben maggiore di 12. In particolare in questo studio possiamo notare come il primo modo coinvolga il 42% della massa partecipante complessiva e come questo sia il valore massimo raggiunto. Gli altri 11 modi analizzati raggiungono assieme un 28% per arrivare al 12° modo ad un valore di massa partecipante pari al 69,9%. Tale valore è inferiore al limite minimo imposto dalla norma, ma rappresenta un valore già buono della massa partecipante per una struttura del genere. Nella direzione y non si ha un modo nettamente predominate sugli altri, salvo riscontrare che i modi 5, 7 e 10 coinvolgono il 52% delle massa partecipante totale e ai restanti 9 modi è attribuito un 7,8% per arrivare al valore complessivo di 59,8%.
1° modo di vibrare T= 0,588 s
Il primo modo di vibrare è di tipo traslazionale in direzione trasversale con coinvolgimento degli elementi che costituiscono l’aula della cattedrale. La percentuale di massa partecipante è pari al 42% di quella totale, valore elevato per strutture in muratura di questo genere e di gran lunga maggiore rispetto a tutti gli altri modi. Dalla deformata possiamo notare come tale oscillazione possa:
- indurre effetti torsionali nel tamburo in quanto esso risulta efficacemente vincolate su un lato e libero di muoversi sull’altro; - portare alla formazione di un meccanismo
negli archi delle navate sprovvisti di catene; - attivare cinematismi di ribaltamento delle
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2° modo di vibrare T= 0,410 s
3° modo di vibrare T= 0,377 s
Il secondo modo di vibrare è ancora di tipo traslazionale in direzione trasversale, tuttavia in questo caso oltre agli elementi che costituiscono l’aula è coinvolta nell’oscillazione anche la parte absidale. La percentuale di massa partecipante è sensibilmente inferiore rispetto al primo modo e pari al 13,4% di quella totale. Dalla deformata possiamo notare come tale oscillazione possa:
- portare alla formazione di un meccanismo negli archi delle navate sprovvisti di catene; - attivare cinematismi di ribaltamento delle
pareti laterali dell’abside e delle navate laterali.
Il terzo modo di vibrare è ancora di tipo traslazionale in direzione trasversale. Questo modo tende a richiamare il primo, salvo che anziché oscillare tutta l’aula, sono le sole navate laterali che si muovono in controfase. La massa partecipante coinvolta è pari al 6,5% della massa partecipante complessiva.
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5° modo di vibrare T= 0,293 s
7° modo di vibrare T= 0,264 s
Il quinto modo di vibrare è il primo dei modi traslazionali in direzione longitudinale. Questo modo coinvolge il 21,1% della massa partecipante complessiva. Nell’oscillazione sono coinvolte tutte le parti che costituiscono la cattedrale. Un moto di questo tipo può essere responsabile
- dell’attivazione del meccanismo di
ribaltamento della facciata;
- dell’attivazione del meccanismo di
ribaltamento dell’abside;
- formazione di lesioni da taglio nelle pareti laterali.
Il settimo modo di vibrare è rappresentato da una oscillazione flessionale composta da una componente trasversale e una longitudinale. Questo modo coinvolge il 2,0% della massa partecipante in direzione trasversale e l’11,8% della massa partecipante in direzione longitudinale.
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10° modo di vibrare T= 0,220 s
Per capire l’entità dell’azione sismica che coinvolge la nostra struttura abbiamo ricavato lo spettro di progetto dove sull’asse delle ascisse sono riportati i periodi e su quello delle ordinate le accellerazioni spettrali in termini di g.
Lo spettro di progetto è stato ottenuto a partire da quello elastico utilizzando i seguenti parametri:
Vita nominale della costruzione ܸே 50 anni
Coefficiente d’uso della costruzione ܥ௨ 1,5 Vita di riferimento della costruzione ܸோ 75 anni
Categoria di sottosuolo A
Categoria topografica T2
Fattore di struttura q 1,5
Il decimo modo di vibrare è di nuovo di tipo traslazionale in direzione longitudinale, con coinvolgimento del 19,1% della massa partecipante complessiva. Dalla deformata si nota che l’oscillazione riguarda la cupola e il sottostante tamburo, la parte sommitale della facciata e quella dell’abside. Questi elementi tendono a vibrare in maniera autonoma rispetto alla restante parte, come spesso accade in edifici di questo tipo.
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Fig. 213. Localizzazione dei periodi principali sullo spettro di progetto.
Riportando sulle ascisse i periodi principali, ovvero quelli in grado di coinvolgere una percentuale significativa della massa partecipante, si nota che i primi tre modi vanno ad intersecare il grafico lontano dalla zona a tratto costante. Questo indica che i valori di accelerazione spettrale che mettono in moto il sistema sono inferiori rispetto al valore massimo raggiungibile. Viceversa dal quarto modo le accelerazioni spettrali da mettere in conto sono prossime al valore massimo di 0,243g. In particolar al decimo modo di vibrare che, come abbiamo detto, tende a scuotere principalmente il tamburo e la soprastante cupola, corrisponde l’accelerazione spettrale massima. Questo risultato non gioca a favore del grave dissesto riscontrato sulla cupola e sulle strutture di sostegno.
266 Per comprendere gli effetti che un evento sismico potrebbe provocare alla cupola è stata eseguita una analisi spettrale in cui è stato messo in conto solo il decimo modo di vibrare.
Fig. 214. Sequenza di figure relative all’oscillazione del sistema.
Dalla deformata si nota che l’oscillazione in direzione longitudinale coinvolge la porzione di struttura che emerge dalla copertura impegnandola flessionalmente e inducendo un moto sussultorio sulle strutture di sostegno.
Tale oscillazione sollecita principalmente elementi strutturali con le carenze statiche descritte. In particolare
- il tamburo, impegnato flessionalmente, è soggetto a cicli di carico e scarico che, in un caso, tendono a richiudere le lesioni presenti e, nell’altro, tendono ad amplificarle; questo fenomeno potrebbe portare a conseguenze fatali, poiché il cedimento di una sola porzione del tamburo porterebbe al collasso di tutta la struttura soprastante;
- la sottostruttura, di cui fa parte l’arco trionfale e i pilastri, è soggetta a un moto sussultorio che determina un importante incremento di spinta nell’arco e conseguentemente un aumento delle compressioni negli elementi verticali.
Il sisma va dunque a massimizzare l’impegno statico degli elementi che attualmente mostrano punti di debolezza.
Dall’analisi spettrale sono state ricavate le risultanti alla base delle strutture di appoggio indotte dallo scuotimento. In figura 215 sono mostrate le basi dei pilastri di
267 sostegno della cupola in una sezione trasversale passante per l'arco di mattoni. Come riportato in tabella xx, si riscontra un notevole aumento dello stato di sollecitazione.
Valori in (kN) RZ,1 RX,1 RZ,2 RX,2 RZ,3 RX,3 RZ,4 RX,4
Carichi statici 150 53 1490 10,4 1480 16,4 182 87,6
Carichi dinamici 23,2 13,2 221,6 4,8 148 6,2 52 18,8
Incremento 15% 25% 15% 46% 10% 37% 29% 25%
Tab. 19. Valori delle reazione vincolari alla base dei pilastri relativi al piano dell’arco in mamttoni.
Fig. 215. Identificazione delle reazioni vincolri alla base dei pilastri relativi al piano dell’arco in mamttoni.
In particolare, si osserva un incremento di spinta per effetto del sisma pari a circa il 28% di quella relativa ai carichi statici.
Questi risultati, anche se provenienti da una analisi che mal si addice al caso di edifici di tal genere, forniscono un’indicazione sugli effetti che un evento sismico potrebbe indurre sulla porzione di struttura analizzata.
Gli interventi di consolidamento proposti rientrano nell’ottica di un miglioramento del comportamento sismico della struttura. Infatti l’inserimento della catena alla base dell’arco in mattoni evita che l’incremento di spinta vada a gravare sulle strutture verticali, con conseguenze deleterie sulla statica dell'arco. Inoltre, l’introduzione di perforazioni armate nel tamburo, disposte sia radialmente che orizzontalmente, hanno lo scopo di rinforzare la porzione di muratura gravemente lesionata, andando ad assorbire le trazioni che nascono per effetto dello scuotimento, evitando quindi una ulteriore apertura delle lesioni.
