Dinamica del punto materiale parte seconda

Dinamica del punto materiale parte seconda

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

Dinamica del punto materiale parte seconda

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

dal Programma

o   Dinamica del punto materiale

Interazioni fondamentali. Principio d’inerzia e introduzione al concetto di forza. Leggi di Newton. Sistemi di riferimento inerziali. Quantità di moto e impulso. Esempi di forze: forza peso, elastica, di attrito statico e dinamico, reazioni

vincolari, tensioni. Pendolo semplice. Energia cinetica,

Lavoro, Potenza. Lavoro e variazione dell’energia cinetica.

Forze conservative. Energia potenziale e conservazione

dell’energia meccanica. Lavoro delle forze non conservative e principio di conservazione dell’energia. Analisi dei

diagrammi di energia potenziale. Momento della quantità di moto. Momento di forza. Teorema del momento angolare.

Moti relativi (cenni): sistemi di riferimento in moto relativo traslatorio, rotatorio. Teorema delle velocità relative.

Sistemi di riferimento non inerziali. Forze apparenti.

Principio di relatività Galileiana.

Lavoro

o  Lavoro di una forza, definizione:si considera la forza che agisce su un p.to materiale e lo spostamento del

p.to materiale. Il lavoro della forza è il prodotto scalare tra forza e

spostamento.

n  Spostamento infinitesimo: dL = FŸds n  Spostamento finito:

o  Forza costante: L=FŸΔs=FΔs cosθ

o  Unità di misura [L]=N m =J (Joule)

L = !

F • d ! s

i f

∫

Lavoro

o  Sul Mazzoldi è usato il simbolo W (work)

L = !

F • d ! s

i f

∫

Lavoro

o  Se ho più forze che agiscono sul punto

materiale (mentre questo si sposta) posso considerare il lavoro della forza risultante

L = !

F • d ! s

i f

∫ ^{= ( F !}

^{+ F !}

^{+... + F !}

^{)• d s !}

i f

∫ ^{= L}

^{+ L}

^{+... + L}

Potenza (di una forza)

o  La potenza è la derivata del lavoro

rispetto al tempo (potenza istantanea)

o  Unità di misura: [P]=J/s=W (Watt)

o  Posso definire anche una potenza media:

P

=L/Δt

P = dL

dt = !

F • d ! s

dt = !

F • !

v

Energia cinetica del p.to materiale

o  Si definisce Energia cinetica del punto materiale la seguente quantità:

o  Unità di misura: [E]=J (Joule)

E

= 1

2 mv

= 1 2

p

m

Energia cinetica del p.to materiale

o  Si definisce Energia cinetica del punto materiale la seguente quantità:

o  Unità di misura: [E]=J (Joule)

o  L’energia cinetica dipende solo dalla velocità del p.to materiale e dalla sua

massa (la definizione non è collegata alle eventuali forze che agiscono sul p.to

materiale)

E

= 1

2 mv

= 1 2

p

m

Teorema dell’ energia cinetica

o  collega la variazione di energia cinetica di un punto materiale al lavoro delle forze (di tutte le forze) che hanno agito sul punto materiale :

dL = !

F • d !

s = m !

a • d !

s = m d ! v

dt • d !

s = m !

v • d ! v = = md

!

v • !

( v ) ^{= d} (

^mv

) ^{= dE}

L = dL = dE

i f

∫ ^{= E}

⁻

i f

∫ ^E

Solo se considero tutte le forze (F=F₁+F₂+…+F_n), posso scrivere F=ma Il lavoro fatto dalle forze che agiscono sul punto materiale è pari alla variazione di energia cinetica del punto materiale

Adesso applicheremo le definizioni ed i teoremi introdotti al caso delle

diverse forze considerate: forza peso,

forza elastica, forza di attrito.

Lavoro della forza peso

o  La forza è costante F=P=mg

L = !

F • d ! s

A B

∫ ^{= F • d ! s !}

A B

∫ ^{= m g • ! r !}

r !

= !

r

− ! r

L= −mg(z

− z

)

Definisco Energia Potenziale della forza peso la quantità E

=mgz

L= −mg(z

− z

) = −(E

− E

) = −ΔE

Il lavoro della forza peso è pari all’opposto della variazione dell’energia potenziale

Lavoro della forza peso

L= −mg(z

− z

) = −(E

− E

) = −ΔE

Un punto di massa m si trova alla base di un piano inclinato liscio. La sua velocità vale v_A (fig.a). Calcolare a che altezza si ferma

Lavoro della forza elastica

o  F=-kxu _x

L = −kx !

u

• d ! s

A B

∫ ^{= −kx u !}

^{• dx}

A B

∫ ^{u !}

^{= −k x dx}

A B

∫ ⁼

= − (

kx

−

kx

) ^{= −ΔE}

E

=

kx

definizione di Energia potenziale elastica

Lavoro della forza di attrito

o  attrito statico o  dL=FŸds

o  caso statico à non vi è spostamento

n  il lavoro è nullo !

Lavoro della forza di attrito

o  attrito dinamico o  dL=F

Ÿds

o  Lo spostamento è sempre opposto alla forza di attrito (perché lo spostamento infinitesimo e la velocità hanno sempre stessa direzione e verso)

n  infatti: F

=-µ

Nu

(u

è il versore tangente)

o  quindi dL=|F

||ds| cosπ=-|F

| |ds| = -µ

|N||ds|

n  il lavoro della forza di attrito è sempre negativo

L = − µ

^{N u !}

• d ! s

A B

∫ ^{= − µ}

^{N ds}

A B

∫

Il lavoro della forza di attrito dipende dalla lunghezza del percorso per andare da A a B

Forze Conservative

o  Una forza si dice

“conservativa” se,

comunque considerati

due punti nello spazio (A e B), il lavoro della

forza per andare da A a B non dipende dal

particolare percorso scelto.

n  Forze conservative: Peso, forza elastica, forza

centrale (elettrica, gravitazionale)

n  Forza non conservativa:

forza di attrito

Proprietà delle forze conservative

o  Il lavoro compiuto dalla

forza conservativa lungo un qualsiasi percorso chiuso è nullo

o  Ad ogni forza conservativa si può associare un’ energia

potenziale, E

definita in modo tale che le differenze dell’energia potenziale tra A e B da il lavoro fatto per

andare da A a B

n  L’energia potenziale è definita

“a meno di una costante arbitraria”

o  hanno “valore fisico” solo le differenze di Energia

potenziale

E_P=E_P(r_P) = E_P(x_P,y_P,z_P)

Proprietà delle forze conservative

o  Ad ogni forza conservativa si può associare un’ energia potenziale, E

definita in modo tale che le differenze dell’energia potenziale tra A e B da il lavoro fatto per andare da A a B

n  L’energia potenziale è definita “a meno di una costante arbitraria”

o  hanno “valore fisico” solo le differenze di Energia potenziale

L = E (A)-E (B) = -ΔE E_P=E_P(r_P) = E_P(x_P,y_P,z_P)

E

(B) = E

(A) − !

F • d ! s

A B

∫

Devo assegnare, in maniera arbitraria, un valore all’energia potenziale in un punto (A). Una volta assegnato tale

valore, non posso più cambiare (a meno

Proprietà delle forze conservative

L_AàB= E_P(A)-E_P(B) = -ΔE_P E_P=E_P(r_P) = E_P(x_P,y_P,z_P)

E

(B) = E

(A) − L • d ! s

A B

∫

Devo assegnare, in maniera arbitraria, un valore all’energia potenziale in un punto (A). Una volta assegnato tale

valore, non posso più cambiare (a meno di non ricalcolare E_P in tutto lo spazio)

Posso dire che l’energia potenziale della forza peso è nulla al livello del pavimento di questa aula (O), oppure a livello del suolo (atrio, O’)

Energia potenziale: sommario

o  per tutte le forze conservative il lavoro si esprime sempre come l’opposto della

varaizione dell’energia potenziale relativa alla specifica forza

o  non esiste una formula generale

dell’energia potenziale, ma l’espressione esplicita dipende salla particolare forza conservativa cui essa si riferisce

o  Nei casi studiati (alla lavagna)

n  forza peso: E

=mgz

n  forza elastica: E

=1/2Kx

Conservazione Energia Meccanica

o  Il teorema dell’energia cinetica vale sempre:

o  Se sono presenti solo forze conservative

n  per ciascuna di esse si può definire l’energia

potenziale e sostituire al lavoro di ciascuna forza l’opposto della variazione di energia potenziale corrispondente:

L = dL = dE

i f

∫ ^{= E}

⁻

i f

∫ ^E

dL è il lavoro di tutte le forze presenti: dL=(F₁+F₂+...+F_n)Ÿds

L = L

+ L

+... + L

= E

− E

= ΔE

−ΔE

− ΔE

−... − ΔE

= ΔE

E

= E

+... + E

−ΔE

= ΔE

Δ(E

+ E

) = 0

Conservazione Energia Meccanica

o  Definisco “Energia meccanica” la somma di tutte le energie potenziali (E

=E

+…+E

) e

dell’energia cinetica (E

)

n  E

=E

+E

[E

]=J (Joule)

o  Principio di conservazione dell’energia meccanica:

n  se sono presenti solo forze di tipo conservativo,

l’energia meccanica di un punto materiale si conserva

L = L

+ L

+... + L

= E

− E

= ΔE

−ΔE

− ΔE

−... − ΔE

= ΔE

E

= E

+... + E

−ΔE

= ΔE

Δ(E

+ E

) = 0

ΔE

= 0 ⇔ E

= E

+ E

= costante

Teorema dell’energia cinetica in

presenza di forze non conservative

o  Se su un punto materiale agiscono sia forze conservative che forze non conservative, per le prime potrò definire l’energia potenziale

(E

)

o  In tal caso l’energia meccanica non si

conserva, ma la sua variazione è pari al lavoro fatto dalle forze non conservative

L

(A → B) = ΔE

= E

(B) − E

(A) = E

(B) + E

(B) − E

(A) − E

(A)

Esercizi dal Mazzoldi Nigro Voci

Es 4.4 Nel sistema in figura, tutti I piani sono lisci. Se si abbandona il punto materiale in A, con velocità iniziale nulla, determinare dove arriva

Es 4.5 Nel sistema in figura, il piano è liscio. Se si trasmette al punto, in un tmpo molto breve, un impulso J parallelo e concorde all’asse x, determinare di quanto si comprime la molla

Esercizi dal Mazzoldi Nigro Voci

Es 4.6 Studiare il moto del pendolo semplice applicando il principio di conservazione dell’energia

Esercizi dal Mazzoldi Nigro Voci

Es 4.8 Il punto materiale si trova su un piano non liscio, ad una quota iniziale h e velocità iniziale nulla. Determinare con quale velocità arriva alla fine del piano inclinato.

Esercizi dal Mazzoldi Nigro Voci

Momento angolare e momento della forza

o  Abbiamo definito il momento di un vettore

(applicato in P) rispetto ad un punto O (polo):

M

=OP x v

o  Definiamo “momento angolare” , il momento del vettore quantità di moto (p=mv). Ovviamente bisogna riferirsi ad un polo O

n  se si cambia polo:

o   Il momento di una forza è definito in modo analogo:

L = ! ! r × !

p = OP × m ! v !

L

= !

L

+ OO'× m ! v

M = ! !

r × !

F = OP × !

F

M_O = !

M_O' + OO'× ! F

se ci sono più forze, con ! ! ! ! ! !

Unità di misura

o  momento angolare:

o  Momento di una forza:

[L]=m kg m s

= kg m

s

= N m s L = ! !

r × !

p = OP × m ! v

M = ! ! r × !

F = OP × ! F

[M]=m N = m kg m s

= kg m

s

Teorema del momento angolare

o  Calcoliamo la derivata rispetto al tempo di L

L = ! ! r × !

p = OP × m !

v _{M =} ^! _{r ×} ^! _{F = OP ×} ^! F ^!

d ! L

dt = d ! r

dt × !

p + !

r × d ! p

dt = 0 + !

r × !

F = !

M !

M = d ! L dt

Teorema del momento angolare per il p.to materiale: “la derivata rispetto al tempo del momento angolare rispetto ad un polo O è pari al momento della risultante di tutte le forze

rispetto allo stesso polo 0”

Corollario (conservazione del momento angolare): se M_O=0 à L_O=cost.

Teorema del momento angolare

L = ! ! r × !

p = OP × m !

! v

M = !

r × !

F = OP × ! F

M = ! d ! L dt

o   Integriamo questa equazione su un tempo finito Δt=t

-t

M !

t_i t_f

∫ ^{dt = Δ L = ! L !}

^{− L !}

o  Se la forza è applicata per un tempo molto breve (forza

impulsiva) tra 0 e t (t piccolo) à r resta costante:

M !

0 t

∫ ^{dt ' = ( r × ! F) !}

0 t

∫ ^{dt = r × ! F !}

0 t

∫ ^{dt ' = r × ! J = Δ ! L !}

Teorema del momento

dell’impulso: “ la variazione del momento angolare è pari al momento

dell’impulso applicato al p.to materiale”

r × ! !

J = Δ !

L

Lavoro nel moto circolare

o  nel moto circolare, riferendosi al centro della circonferenza per calcolare il momento delle forze, possiamo esprimere il lavoro tramite il modulo del momento della forza:

L = F

A B

∫ ^{ds = rF}

A B

∫ ^{d θ = M}

A B

∫ ^{d θ}

Poiché il moto è circolare, contribuisce al lavoro solo la componente della forza tangente alla traiettoria (per quella normale, il lavoro è nullo). Inoltre, quale che sia la forza F, risulta M=r x F = r F_T u_Z à M=|M|=r |F_T|