Dinamica del punto materiale parte prima

Dinamica del punto materiale parte prima

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

Dinamica del punto materiale parte prima

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

dal Programma

o   Dinamica del punto materiale

Interazioni fondamentali. Principio d’inerzia e introduzione al concetto di forza. Leggi di Newton. Sistemi di riferimento inerziali. Quantità di moto e impulso. Esempi di forze: forza peso, elastica, di attrito statico e dinamico, reazioni

vincolari, tensioni. Pendolo semplice. Energia cinetica,

Lavoro, Potenza. Lavoro e variazione dell’energia cinetica.

Forze conservative. Energia potenziale e conservazione

dell’energia meccanica. Lavoro delle forze non conservative e principio di conservazione dell’energia. Analisi dei

diagrammi di energia potenziale. Momento della quantità di moto. Momento di forza. Teorema del momento angolare.

Moti relativi (cenni): sistemi di riferimento in moto relativo traslatorio, rotatorio. Teorema delle velocità relative.

Sistemi di riferimento non inerziali. Forze apparenti.

Principio di relatività Galileiana.

Interazioni fondamentali

o  forza elettrica

o  forza magnetica

n  Lorentz, Maxwell à Forza elettro-magnetica

o  forza debole

n  Fermi

Weinberg-Salam à Unificazione della teoria

che descrive la forza elettromagnetica e quella debole: forza elettro-debole

o  forza forte (o di colore o nucleare) o  forza gravitazionale

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 4

Interazioni fondamentali

La forza

o  È una grandezza fisica vettoriale che si manifesta nell’interazione di due o più corpi ed è responsabile della variazione dello stato di moto dei corpi.

o  Si può definire operativamente, a partire dal modo in cui viene misurata, od a

partire dalle variazioni introdotte sui corpi.

o  Si sceglie la massa come unità di misura fondamentale e la forza diventa una

grandezza derivata

Principio di inerzia

o  Se un corpo (punto materiale) è

isolato esso perservera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme

(dovuto a Galilei)

o  corpo isolatoà nessuna forza agisce su di esso

n  F=0 à v=cost à a=0

Quanto detto vale però solo in una classe particolare di sistemi di È il primo principio della dinamica

II principio della dinamica

o  dovuta a Newton o  F=ma

o  racchiude in se tutta la dinamica (anche quella dei sistemi di punti materiali)

o  ma cosa è la massa ?

n  quella che compare nel II principio della dinamica è la massa inerziale

n  l’altra “massa” che incontreremo è la massa gravitazionale, nella legge di gravitazione universale di Newton.

o  sperimentalmente le due quantità “coincidono”

definizione di massa

o   sotto l’azione delle forze, i corpi cambiano il loro stato di moto

o  a parità di forza è diversa la variazione dello stato di moto (l’accelerazione) di un primo corpo

rispetto al secondo

o   se ho due corpi uguali e provo ad applicare

sempre una stessa forza prima ad uno (m) di essi e poi ad entrambi (2m), osservo che

l’accelerazione impartita ad entrambi è la metà

o   l’inerzia (la massa inerziale) quantifica la proprietà dei corpi ad opporsi alla variazione del loro stato di quiete o di moto uniforme

n  è più difficile far cambiare stato di moto a corpi di

maggior massa, rispetto che a corpi di piccola massa

o  l’unità di massa (inerziale) sarà la massa

(inerziale) associata ad un dato corpo (il kg

Quale unità fondamentale ?

o   si può sfruttare il II principio per definire l’unità di Forza (assumendo che la massa sia unità

fondamentale)

n  si poteva fare il viceversa (es. nel sistema degli

ingegneri, il kg peso è unità fondamentale, la massa è derivata)

o  Il Newton è la forza necessaria per impartire

un’accelerazione di 1m/s

all’unità di massa (al Kg)

n  [F] =kg m/s

=N

o   Come misuro la massa di altri corpi ?

n  Un corpo avrà massa x Kg, se è necessario applicare

una forza di x Newton per accelerarlo di 1m/s

La forza è un vettore “applicato”

o  I vettori si possono suddividere in due categorie

n  vettori liberi: posso traslarli liberamente nello spazio

o  sino ad ora abbiamo considerato solo questi

n  vettori applicati

o  è importante il punto in cui il vettore è applicato

n  non posso traslarlo.

o  Se su un corpo esteso applico una stessa forza, l’effetto sul moto del corpo dipende dal punto di applicazione della forza:

la forza è un vettore applicato

Terzo principio della dinamica

o  se un corpo A esercita una forza F _A,B sul corpo B, il corpo B esercita (“reagisce”

con) una forza F _B,A sul corpo A, e le due forze hanno stessa direzione, stessa

intensità ma versi opposti. Le due forze, inoltre, hanno la stessa retta d’azione.

tutte le forze possono essere o attrattive (come nel disegno) oppure

repulsive

Quantità di moto

o  è semplicemente la quantità vettoriale

p=mv

o  Possiamo riscrivere il II principio come: F = dp/dt

o  forma più generale della legge di

Newton (vale anche se la massa

cambia nel tempo)

Impulso (di una forza)

o  p=mv [p]=kg m/s o  F = dp/dt à dp=Fdt

n  l’azione di una forza per un tempo dt

provoca una variazione (infinitesima) della quantità di moto

o  in un tempo finito:

o  la quantità J è detta impulso della forza o  se la massa è costante:

o  valor medio (durante il tempo Δt) di una forza:

J = ! ! F dt '

0 t

∫ ^{= d p = ! p − ! p !}

^{= Δ p !}

p₀ p

∫

J = m ! !

v − ! v

( ) ^{= mΔ v !}

F !

= Δ !

p

Δt

Conservazione della quantità di moto

o  in assenze di forze (o se la risultante delle forze è nulla), si conserva la

quantità di moto del punto materiale

F = dp/dt ; F =0 à dp=0 à p=cost

Risultante delle forze

o  ovvia definizione.

o  Se si hanno più forze appliacate allo

stesso punto materiale, posso definire la loro somma vettoriale, che chiamo

risultante, e questa sola foza determina il moto

n  in altre parole la II legge di Newton obbedisce al principio di sovrapposizione.

R = ! !

F

+ !

F

+... + !

F

= ! F

i

∑

a = ! R ! m =

F !

m = ! a

i

∑

i

∑

La forza peso

o  Sperimentalmente tutti i corpi in

prossimità della superficie della Terra,

lasciati liberi, si muovono con una stessa accelerazione g (diretta verso il “basso”, o meglio verso il centro della terra). O, se preferite, se si vuole tenere un corpo

“fermo” bisogna applicare una forza verso l’alto pari, in modulo, ad mg. Vuol dire che sul corpo agisce una forza (dovuta all’attrazione gravitazionale della Terra) pari a

P=mg

Reazione vincolare

o  consideriamo il libro appoggiato sulla cattedra.

o  Quali forze agiscono su di esso ?

Il piano della cattedra esercita una forza N diretta verso l’alto che bilancia P=mg

Per il terzo principio, il corpo (il libro) esercià sul tavolo una forza uguale ed opposta –N

tende a deformare il tavolo veso il basso

Forza di attrito

o  due “formule” per l’attrito per esprimere due condizioni differenti

n  attrito statico (corpo fermo)

o  bisogna rompere i legami elettrostatici tra corpo e superficie di contatto

o  la formula da il valore massimo che la forza di attrito statico può assumere: F

<µ

N

o  il valore effettivo della forza di attrito va calcolato volta per volta

n  attrito dinamico (velocità corpo: v=vu

o  bisogna vincere dei legami elettrostatici residui tra corpo e superficie

o  la formula da direttamente la forza di attrito:

F

= -µ

Nu

Forza di attrito

o  attrito statico (corpo fermo)

n  la formula da il valore massimo che la forza di attrito statico può assumere: F

<µ

N

n  il valore effettivo della forza di attrito va calcolato volta per volta

Finché vi è attrito statico (corpo è fermo) la forza di attrito statico

è sempre opposta alla forza che tenderebbe a far muovere il corpo: F_V=-F_S

Forza di attrito

o  attrito dinamico (velocità corpo: v=vu

n  la formula da direttamente la forza di attrito:

F

= -µ

Nu

Piano inclinato (liscio)

P+N = m a

Proiezione sull’asse x (inclinato):

mg senθ = ma_x

x

Proiezione sull’asse y

(perpendicolare al piano inclinato):

N - mg cosθ = 0

y

a

= g senθ

N = mg cosθ

Piano inclinato (con attrito din.)

P+N = m a

Proiezione sull’asse x (inclinato):

mg senθ - µ_dmgcosθ= ma_x

x

Proiezione sull’asse y

(perpendicolare al piano inclinato):

N - mg cosθ = 0 ; come prima y

a

= g (senθ –µ

cosθ) N = mg cosθ

θ

θ

θ θ

θ θ

Piano inclinato (con attrito stat.)

P+N = m a = 0 v = 0

Proiezione sull’asse x (inclinato):

mg senθ - F_s= 0

Proiezione sull’asse y

(perpendicolare al piano inclinato):

N - mg cosθ = 0 ; come prima

mg sinθ=F

N = mg cosθ

Angolo θ_max massimo di “moto incipiente”. F_S=µ_sN = µ_s mg cosθ mg sinθ = µ_s mg cosθ

à

tg θ = µ

In generale

tg θ ≤ µ

Forza elastica

o  se prendiamo una barretta e la comprimiamo,

all’estremità si manifesta una forza che si oppone alla compressione.

o  se l’allunghiamo si manifesta una forza che si oppone all’ulteriore allungamento

o  La forza che si manifesta è proporzionale alla defornazione (allungamento o compressione)

o  per “amplificare” l’effetto, si considera una barretta molto sottile, avvolta a spirale: la molla

F=-kx u

la forza elastica è sempre rivolta verso la posizione di

Forza elastica

F=-kx u

a=F/m=-k/m x ; ω

=k/m d

x/dt

=-ω

x

x(t)=x

cos(ωt + φ

)

Moto “armonico” di periodo T=2π/ω=2π√(m/k) Se spostiamo dalla posizione di equlibrio

e lasciamo libero il corpo :

Devo conoscere le condizioni inizali: a t=0 x=x₀ e v=0 x(t=0)=x₀ =x₀cos(φ₀) à φ₀=0 à

x(t) = x

cos(ωt)

v(t) = -x

ω sin(ωt)

a(t) = - x

ω

cos(ωt)

Funi, tensioni e carrucole

o  leggete il par. 3.14 del Mazzoldi

Fune in tensione in quiete

ds

T - T

T F

T F elemento

di fune interno

elemento

di fune terminale

intera fune in tensione

F T

Funi, tensioni e carrucole

o  leggete il par. 3.14 del Mazzoldi

Pendolo semplice

o   costituito da punto materiale

appeso tramite fune inestensibile mg + T

= ma

LUNGO DIREZIONE TANGENTE:

R_T=-mg senθ =m a_T

LUNGO DIREZIONE TANGENTE:

R_N=T_F –mg cosθ =m a_N

Che moto descrive il punto materiale ? Un moto circolare di raggio L a_T = L α = L d²θ/dt² (acc. tangenziale) ; a_N=v²/L (acc. centripeta) à  (i) d²θ/dt²=-g/L senθ ; (ii) mv²/L = T_F – mg cosθ

Pendolo semplice

(i) d

θ/dt

=-g/L senθ ; (ii) mv

/L = T

– mg cosθ Ipotesi: senθ ≈ θ

(i) d²θ/dt² + g/L θ =0 ; posto ω’²=g/L

è l’equazione del moto armonico semplice:

θ(t)= θ

sin(ω ’ t + φ) il periodo del pendolo è

per lo spostamento (coordinata curvilinea s): s(t)=Lθ(t)=Lθ₀ sin(ω’t + φ) velocità angolare: ω(t)=dθ/dt=ω’θ₀ cos(ω’t + φ)

velocità lineare: v(t)=ds/dt = Lω’ θ₀ cos(ω’t + φ) T=2π/ω’=2π√(L/g)

Infine dall’eq. (ii) ricavo la tensione: T_f(t)=m[g cosθ(t) + v²(t)/L]

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto

y: N – mg cosθ = 0 à N=mgcosθ

Per il III principio, la forza che lo studente esercita sul piatto della bilancia è uguale ed opposta alla reazione vincolare: la “massa” segnata dalla

N

P

Forze agenti sul ragazzo

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Esercizi dal materiale didattico del Prof. Giglietto