5.1 Analisi dimensionale del fenomeno
Il fenomeno idraulico oggetto del presente studio è influenzato da diverse variabili, le quali devono
essere opportunamente individuate al fine di riuscire a descrivere in modo completo il processo di
scavo a valle di rampe in pietrame.
Tale processo può essere descritto dal seguente legame funzionale:
0 ) , , , , , , , , , (z q h1 ρ ∆ρ i d50 σ gν = f dove: • z è la profondità di scavo; • q è la portata unitaria;
• h1 è il tirante del getto in uscita dalla rampa;
• ρ è la densità dell'acqua;
• ∆ρ è la densità sommersa del materiale costituente il fondo mobile; • i è la pendenza della rampa;
• d50 è il diametro del setaccio che lascia passare il 50% in peso del materiale;
• σ è il coefficiente di non uniformità dei sedimenti; • g è l’accelerazione gravitazionale;
• ν è la viscosità cinematica dell’acqua. Le ipotesi che vengono fatte riguardano:
• condizioni idrauliche relative al tipo di risalto che si forma la piede della rampa; • condizioni di trasporto solido al fondo, le quali influenzano il tipo di deposito che si forma a valle dello scavo;
La prima ipotesi consente di distinguere il problema in base al tipo di risalto che si instaura nel
canale nella zona in cui si ha passaggio da corrente veloce a lenta.
Poiché nel presente studio le condizioni idrodinamiche sono tali da determinare solo condizioni di
risalto libero a valle della rampa, è possibile prescindere da questo parametro.
In base alla seconda ipotesi, i dati sperimentali raccolti sono stati successivamente organizzati
distinguendo le prove sperimentali in cui le condizioni di trasporto solido al fondo a valle dello
scavo erano tali da determinare la formazione di una cosiddetta “duna lunga”, da quelle in cui
invece le azioni tangenziali al fondo erano tali da non consentire la formazione di alcun deposito
(Condizioni di Trasporto), in quanto tutto il materiale scavato al piede della rampa veniva
trasportato nel corso del test a valle del modello.
Infine i valori del numero di Reynolds sono risultati compresi tra 10000 e 100000. Questo significa
che a causa delle condizioni di elevata scabrezza testate, il moto può essere considerato
completamente turbolento, per cui le forze di tipo viscoso non influenzano i dati sperimentali.
In base alle ipotesi fatte, il precedente legame funzionale può essere ridotto al seguente:
f(z,h1,q,ρ,∆ρ,i,d50,σ,g)=0 (5.1) L’applicazione del teorema Π, ο teorema di Buckingham, consente di esprimere la relazione (5.1) facendo ricorso a quattro raggruppamenti adimensionali Π1, Π2, Π3, Π4 oltre alla pendenza i e al
coefficiente di non uniformità s dei sedimenti:
φ(Π1,Π2,Π3,Π4,i,σ)=0 (5.2)
essendo φ un simbolo funzionale.
In particolare, scegliendo come fondamentale la terna di grandezze dimensionalmente indipendenti
q, ρ, d50, atte a rappresentare una terna di grandezze base per un sistema di unità di misura, il
raggruppamento Π1 è individuato dalla seguente relazione: z d q ⋅ ⋅ ⋅ = Π α ρβ γ 50 1
in cui α, β e γ sono costanti numeriche.
Sostituendo nell’equazione precedente le unità di misura di ciascuna variabile si perviene alla
seguente relazione: m m m s kg s m ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = Π 2α −α β 2β −4β γ 1
Poiché il raggruppamento Π1 è adimensionale, i valori numerici delle costanti α, β e γ sono
deducibili risolvendo il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite che deriva dalla
precedente equazione: 1 4 2 0= α − β +γ + β α 2 0= − + β = 0
La terna soluzione del sistema di equazioni risulta:
0 = α 0 = β 1 − = γ
Pertanto il raggruppamento Π1 è dato da:
50 1 d z = Π
Ripetendo la procedura per gli altri raggruppamenti si ottiene:
50 1 2 d h = Π
ρ ρ ∆ = Π3 2 3 50 4 q d g⋅ = Π
Altri raggruppamenti adimensionali possono essere ricavati mediante opportuna combinazione di quelli già determinati e possono essere utilizzati in sostituzione proprio dei Πi (i = 1,..,4).
Combinando Π1 con Π2, si ottiene:
1 50 50 2 1 1 h d dz ⋅ = Π Π = Ψ
La relazione funzionale (5.2) diviene pertanto:
0 ) , , , , , (Ψ1 Π2 Π3 Π4 σ = φ i
Analogamente si può ricavare:
2 / 1 2 / 1 50 2 / 1 1 2 / 1 4 3 2 2 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ ⋅ ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Π ⋅ Π ⋅ Π = Ψ ρ ρ d g v
In definitiva la relazione funzionale (2) diviene:
0 ) , , , , , (Ψ1 Ψ2 Π2 Π3 σ = φ i
Il parametro adimensionale Π3 è pressoché costante per i materiali generalmente utilizzati per cui può essere trascurato.
Il parametro adimensionale Π2 si è dimostrato, mediante studi sperimentali effettuati da Altri Autori, ininfluente sulle variabili esaminate.
0 ) , , , (Ψ1 Ψ2 σ = φ i
Sostituendo i raggruppamenti adimensionali si ottiene:
0 , , , 50 1 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ∆ σ ρ ρ φ i d g v h z
Così z/h1 può essere espresso utilizzando la seguente relazione funzionale esplicita:
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ∆ = = σ ρ ρ ϕ , , 50 1 1 i d g v F h z d
5.2 Influenza del sorting granulometrico sul processo di
scavo
I corsi d’acqua naturali sono caratterizzati da un fondo alveo granulometricamente eterogeneo che ha un comportamento differente, ai fini della condizione di inizio del moto, rispetto ad un letto costituito da particelle di eguale dimensione. E’ generalmente accettato che nelle misture di sedimenti le particelle più piccole sono schermate da quelle grossolane e necessitano, pertanto, per l’inizio del moto, di valori più elevati dello sforzo tangenziale di quelli necessari per particelle a granulometria uniforme di pari diametro. Al contrario le particelle più grandi presenti nella mistura sarebbero mobilizzate, in confronto con il caso monogranulare, da valori più contenuti dello sforzo tangenziale perché caratterizzate da una accresciuta esposizione all’azione della corrente.
Quindi la mobilità delle particelle più fini sarebbe ridotta dall’effetto di schermatura operato dalle particelle grossolane mentre queste ultime avrebbero una mobilità ed una instabilità esaltata dalla loro condizione di particelle che protrudono dal fondo alveo.
Numerosi esperimenti di laboratorio hanno dimostrato la presenza di una condizione di equimobilità delle diverse frazioni che compongono una mistura di sedimenti; indipendentemente dalla dimensione delle particelle, quindi, si verifica il movimento ad uno stesso valore dello sforzo tangenziale.
5.3 Definizione variabili
Nel presente studio è fondamentale definire alcuni concetti di base al fine di una completa comprensione dei fenomeni che saranno nel seguito esaminati.
I dati dedotti dai tests effettuati sono distinguibili per assenza e presenza di opera di protezione. Di seguito (Figura 1) si visualizzano le variabili di maggiore interesse, la cui definizione è riportata in Legenda. l0 lf h1 zM h0 zm zm zmax xm xM lfs ls xs h1 zM zsm2 a zsm1 xsm1 xsm2 xM
Figura 5.3.1 Definition sketch
La definizione delle variabili in Figura 5.3.1 è riportata in Legenda.
Uno fra i più importanti parametri che considereremo è il numero di Froude, pari al rapporto fra la velocità media della corrente e quella delle piccole oscillazioni. Tale parametro adimensionale ci consente di suddividere una corrente in subcritica (F<1) e supercritica (F>1). L’espressione del numero di Froude è la seguente:
h g
v F
⋅
= con g accelerazione di gravità e h e v rispettivamente tirante idrico e velocità della corrente.
Faremo uso del F principalmente per la classificazione del tipo di risalto che si genera al piede della rampa.
Un più importante parametro, ancora adimensionale, strettamente connesso al F è il numero di Froude densimetrico o sedimentologico (Fd), che ci consente di raffrontare le caratteristiche del
fondo mobile con quelle della corrente. E’ definito come:
i s di d g v F ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − = ρ ρ
ρ , ed in pratica risulta pari al rapporto fra la spinta idrodinamica S esercitata
su una generica particella da una corrente di velocità v e il peso sommerso P’ della particella stessa. Elevando al quadrato e moltiplicando numeratore e denominatore per di2 si ottiene infatti:
d d C P S F ⋅ = ' 2
5.4 Classificazione del risalto
Durante l’esecuzione delle prove sperimentali presso il Laboratorio di Idraulica presso il Dipartimento di Ingegneria Civile dell’Università di Pisa sono stati osservati numerosi comportamenti idrodinamici della corrente che non sempre è stato possibile indagare e spiegare per la molteplicità delle variabili influenti.
Il fenomeno che ha ricevuto maggiore attenzione è senza dubbio stato il risalto idraulico, che è un fenomeno dissipativo che consente il passaggio di una corrente da veloce a lenta.
Nei nostri esperimenti la posizione occupata dal risalto si discostava di poco dalla sezione di estremità della rampa in pietrame, raccordando in questo modo la corrente veloce di monte con quella lenta di valle. Si è cercato di effettuare una distinzione in funzione del numero di Froude (F) misurato sulla rampa, quindi relativo alla corrente veloce, del tipo di materiale di fondo (s) e della pendenza i.
Al fine di dare una corretta presentazione a tale lavoro si fa una distinzione fra le seguenti tipologie di risalti:
• Free Mobile Bed (FMB), risalto di tipo libero. Questa prima categoria si suddivide
ulteriormente in:
o Risalto di tipo ondulare, si verifica per i numeri di F(di monte) più bassi. E’ presente indagando tutte le pendenze; talvolta per le pendenze minori permane per tutta la gamma di F esaminata (Figura 5.4.1). La superficie libera appare come una serie di piccole ondulazioni che si vanno smorzando verso valle. L’energia dissipata è circa nulla.
o Risalto di tipo wave. Questo risalto si verifica in tutte le pendenze testate per i F più elevati. Talvolta è risultato difficile distinguere, nel caso di pendenza molto lieve, tale risalto da quello ondulare. E’ il risalto sempre presente quando perveniamo alla condizione di Trasporto (ossia alla scomparsa di duna nel profilo di scavo) per il materiale di fondo costituente il bacino di dissipazione. Si presenta con un’onda stazionaria molto evidente che ricade in maniera piuttosto intensa sul fondale. La peculiarità più interessante è l’esistenza di un nucleo di vorticità interno che agisce sul fondo richiamando materiale da valle verso monte, al piede della rampa (Figure 5.4.2-5.4.3).
Figura 5.4.2 Test sperimentale con risalto wave
Figura 5.4.3 Test sperimentale con risalto wave
• Submerged Mobile Bed (SMB), risalto di tipo sommerso al piede della rampa.
Si verifica per le pendenze elevate aumentando il F dalla condizione di risalto libero di tipo ondulare. Per le pendenze minori il risalto sommerso scompare lasciando il posto a quello libero. E’ sempre presente su pendenze elevate, in maniera stabile per bassi F, in convivenza con il risalto libero tipo wave per i F più elevati.
Figura 5.4.5 Test sperimentale con risalto tipo sommerso
Figura 5.4.6 Test sperimentale con risalto tipo sommerso
E’ da rilevare che la precedente suddivisione non è tuttavia univoca. All’interno di un medesimo test spesso si verifica una situazione di transizione fra i risalti libero tipo wave e sommerso, che tratteremo nel seguito.
