• Non ci sono risultati.

1.1 METODI BASATI SUL MODELLO DI MACCHINA

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "1.1 METODI BASATI SUL MODELLO DI MACCHINA "

Copied!
78
0
0

Testo completo

(1)

1

INTRODUZIONE

Molteplici schemi e tecniche di controllo sono state sviluppate per gli azionamenti elettrici, sia per motivi storici sia per le diverse condizioni e necessità applicative che si riscontrano in ambito industriale. Storicamente nelle applicazioni in cui si richiedeva un controllo di velocità/posizione, si preferivano azionamenti in corrente continua data la loro semplicità di controllo, che inizialmente veniva risolta con semplici circuiti elettromeccanici; mentre per i motori in alternata, si avevano semplici controlli che eseguivano un soft-start della macchina evitando partenze della stessa a piena tensione, eliminando quindi gli inconvenienti che ne potevano derivare. Con l’aumento delle potenzialità dell’elettronica di potenza e dei sistemi di controllo anche gli azionamenti in alternata hanno subìto una evoluzione, rendendoli in alcuni campi preferibili alle applicazioni in corrente continua (come ad esempio nella trazione elettrica). Infine l’avvento dei motori brushless ha permesso di trovare un compromesso tra le applicazioni in continua e in alternata, grazie soprattutto alle caratteristiche costruttive della macchina stessa; infatti questa presenta, a parità di coppia/potenza, un volume di ingombro inferiore rispetto ai classici azionamenti in alternata (elevata densità di coppia/potenza), ed allo stesso tempo non presenta problematiche di manutenzione e dinamica da imputare rispettivamente a spazzole e collettore che si hanno tipicamente sulle macchine in continua. Ovviamente le tre tipologie di azionamenti menzionate godono di pregi e difetti che le rendono più o meno adatte alle diverse tipologie applicative presenti in ambito industriale: i motori in corrente continua vengono utilizzati maggiormente per applicazioni a bassissimo costo in assenza di controllo o con controlli estremamente semplici anche se ancora si trovano in applicazioni ad elevata potenza quali la trazione elettrica (ferroviaria) e sollevamento (gru e carriponte), ma la tendenza negli ultimi anni è stata quella di sostituire tali azionamenti con azionamenti a motore asincrono data la loro maggiore robustezza, affidabilità ed economicità (anche grazie alla sempre crescente economicità dei sistemi di controllo anche più sofisticati). Vengono infatti utilizzati in quasi tutti i campi applicativi sia in ambito industriale che domestico, per applicazioni ad elevata e bassa dinamica in un amplissimo range di potenze (anche per potenze oltre il MW) quali trazione, pompe, ventilazione, macchine utensili etc. I motori brushless possono essere applicati in tutti i settori dove una volta venivano utilizzati i motori in continua ed in particolare per applicazioni in cui sono richieste alte o altissime prestazioni sia statiche che dinamiche come nei settori dell’avionica, automotive, robotica etc. Questi ultimi sono quelli che però presentano costi ancora elevati dovuti soprattutto alla industria dei magneti permanenti; la produzione dei magneti in terre rare richiede risorse e costi elevati per non parlare del grande impatto ambientale che ha la loro produzione. Viste però le elevate potenzialità degli azionamenti brushless, e per molte applicazioni anche azionamenti con motori ad induzione, mondo accademico ed industriale hanno volto la propria attenzione verso l’ottimizzazione e la ricerca di nuove tipologie/strategie di controllo che potessero rendere più efficiente l’azionamento stesso.

Ad oggi le tecniche di controllo più avanzate per azionamenti brushless e motori ad induzione si basano sul controllo vettoriale, il quale prevede una modellazione del drive basata sulla teoria unificata delle macchine e più in particolare sulla scrittura delle equazioni fondamentali di macchina secondo le trasformazioni di Clarke e Park.

(2)

2 In generale queste consentono di rendere più snello il modello matematico di macchina, nonché il controllore che ne deriva è di più semplice implementazione e migliora l’azionamento in quanto a dinamica, robustezza ed affidabilità. In base alle specifiche di controllo quali coppia, velocità o posizione e non solo, esistono diverse tecniche di controllo vettoriale, la cui differenza principale si basa sulla manipolazione e l’uso che si fa delle equazioni all’interno del controllore stesso, quali SVM-DTC e FOC.

Malgrado la maturità a livello industriale e le indiscusse qualità del controllo vettoriale in generale, questo non è privo di inconvenienti; uno su tutti è la necessità di avere l’informazione di posizione angolare rotorica rispetto al sistema statorico. Tale informazione oltre ad essere utilizzata come feedback per un eventuale controllo di posizione/velocità è necessaria anche per l’implementazione stessa del controllo in quanto consente il passaggio da una rappresentazione all’altra del modello (trifase-clarke-park e viceversa).

Attualmente tale informazione viene ricavata direttamente tramite l’utilizzo di strumenti di misura quali encoder o resolver che presentano alcune problematiche quali ad esempio la risoluzione di misura e disturbi sulla misura effettuata che sono tanto più incidenti sul controllo quanto più elevata è la precisione richiesta. Inoltre il costo di tali strumenti incide non poco sul costo dell’azionamento, e data la loro delicatezza unita spesso alle gravose condizioni operative dell’azionamento (come l’inquinamento ambientale e le elevate temperature) porta necessariamente a costi manutentivi elevati, ed in alcuni casi estremi alla non utilizzabilità di tali azionamenti.

Negli ultimi anni si è cercato di ottenere controlli vettoriali comunque affidabili e robusti eliminando però dal drive gli strumenti di misura di posizione/velocità, arrivando a quello che viene comunemente chiamato controllo sensorless.

Uno schema di principio di un controllo sensorless è riportato in Figura 1; l’idea è quella di eliminare la componente hardware dei sensori sostituendola con l’implementazione software di stimatori e o osservatori che a partire da grandezze di macchina di più semplice accessibilità, come tensioni e correnti, permettono di elaborare on-line queste misure attraverso opportune manipolazioni delle equazioni di macchina fornendo il valore stimato della posizione angolare di rotore.

Figura 1 Stima della posizione a partire da misurazioni di tensione e corrente

(3)

3 La implementazione software di stimatori e o osservatori implica la necessità di avere a disposizione dei sistemi elettronici di elaborazione sofisticati ma che allo stesso tempo, soprattutto a livello industriale, giustifichino l’eliminazione del sensore angolare a fronte di un minor costo dell’azionamento. Lo sviluppo iniziale di queste tecniche trovava maggiori difficoltà soprattutto per la limitata potenza computazionale dei sistemi elettronici; problema oggi ampiamente superato grazie allo sviluppo sempre crescente dell’elettronica di potenza, microcontrollori e DSP con maggiore potenza computazionale, nonché un miglioramento e ottimizzazione degli schemi di controllo. La riduzione dei costi è uno dei motivi che ha spinto verso la ricerca e lo sviluppo delle tecniche sensorless; ovviamente il sensore non è l’unica voce di costo che va considerata, ma anche il cablaggio, la manutenzione, le appropriate interfacce e strumenti di misura. Sulla base di queste considerazioni si possono individuare i diversi vantaggi che comporta l’utilizzo di tale tecnica di controllo, quali: la riduzione delle connessioni elettriche (le uniche presenti saranno le fasi di alimentazione della macchina) comporta una minore alterazione della stima della posizione angolare dovuta ad interferenze elettromagnetiche ed una conseguente riduzione dei costi di installazione, la rilevazione di posizione è effettuata a livello software e dunque inserita nell’elettronica di controllo che potrà essere dislocata in altra sede rispetto alla macchina, riducendo cosi le problematiche relative all’inquinamento ambientale ed alle temperature operative della macchina, inoltre la riduzione dei dispositivi in gioco diminuisce le probabilità di guasto nonché la riduzione dei costi di manutenzione. Infine l’installazione dei sensori di posizione prevede una speciale procedura di calibrazione per la rilevazione della posizione assoluta che chiaramente viene a mancare nelle applicazioni sensorless riducendosi cosi i tempi di installazione del sistema.

Come esposto di seguito, le tecniche sensorless presentano schemi e caratteristiche dinamiche diverse in funzione del range di velocità che si vuole coprire tramite il controllo stesso. Queste saranno applicabili sia a motori ad induzione che a motori a magneti permanenti PMSM, ma saranno messe in evidenza le caratteristiche che presenta ciascuna tecnica in corrispondenza di un azionamento brushless. Si è deciso di orientare l’attenzione nei confronti di tali azionamenti (e non ai motori asincroni) perché possiedono un margine di sviluppo maggiore anche in un ottica di promozione e miglioramento dell’efficienza energetica dei sistemi elettrici; campo in cui gli azionamenti brushless potrebbero avere una spinta maggiore per il prossimo futuro.

(4)

4

CAPITOLO 1

TECNICHE SENSORLESS

Originariamente l’idea del posizionamento sensorless per le macchine brushless, venne introdotta (nella seconda metà degli anni ’70) con una tecnica conosciuta come “rilevazione della forma d’onda” (waveform detection), utilizzata per determinare la posizione rotorica nei motori passo passo, a riluttanza variabile e alimentati in tensione, attraverso l’analisi della forma d’onda delle correnti. Da allora sono state studiate molteplici tecniche in ambito accademico, portando questa categoria ad essere individuata come “rilevazione indiretta della posizione” (indirect position sensing); terminologia giustificata dal fatto che la posizione è ricavata indirettamente dalla misura e dalla rilevazione delle forme d’onda di tensione e di corrente che alimentano la macchina. Oggi viene accettato il termine “sensorless” per indicare appunto l’assenza del sensore di posizione/velocità, ma sono comunque richiesti sensori di tensione e/o corrente necessari per l’implementazione del controllo.

In letteratura si riscontra una grande varietà di tecniche sensorless [1]–[3] che si caratterizzano per tipologia di azionamento a cui sono asservite (nel campo brushless a magneti permanenti superficiali o interni, in corrente continua o alternata, sinusoidale o trapezoidale), nonché per le equazioni di macchina sfruttate per il calcolo della posizione; si differenziano inoltre per la dinamica voluta e per il range di velocità in cui l’azionamento opera.

Una classificazione delle tecniche sensorless [4], generalmente accettata, è riportata schematicamente in Figura 1.1, dove una prima classificazione viene fatta sulla base del modello matematico della macchina, attraverso il quale è possibile dedurre la posizione angolare di rotore con opportune manipolazioni delle equazioni stesse.

Figura 1.1 Classificazione delle tecniche sensorless

(5)

5 I “Model Based methods” forniscono una stima della posizione rotorica a partire da una descrizione matematica della macchina brushless a frequenza nominale e dalla misura di correnti e tensioni statoriche, la cui stima può essere effettuata tramite tecniche in anello aperto o chiuso.

Mentre nelle tecniche “Saliency based” la stima della posizione rotorica viene ricavata sulla base delle grandezze dipendenti dalla anisotropia di macchina (e quindi indirettamente dalla posizione) e per esaltare tali caratteristiche è spesso necessaria una iniezione di tensione o corrente in alta frequenza.

Ciascuna tecnica è caratterizzata da dinamica e robustezza diverse, le prime infatti sono ottime per il controllo a media-alta velocità, ma perdono la loro efficacia alle basse velocità e soprattutto in condizioni statiche. Le seconde invece, vengono principalmente utilizzate per il controllo a bassa velocità e per l’avviamento del motore. Dunque viene da se che per le applicazioni più complete e complesse è necessario che le tecniche interagiscano, rendendo necessaria la presenza di un sistema di switching che permetta il passaggio da un controllo all’altro in modo da seguire la dinamica completa della macchina.

1.1 METODI BASATI SUL MODELLO DI MACCHINA

Nei casi più comuni i metodi che si basano sul modello di macchina sono dei veri e propri stimatori dello stato. Si implementa a livello software un modello dinamico di macchina basato su equazioni scritte in riferimento alla frequenza nominale, a cui vengono forniti in ingresso tutti i segnali di controllo e di alimentazione della macchina. Sulla base di questi segnali vengono calcolate in tempo reale le grandezze di stato di interesse, come ad esempio la Forza Contro- Elettromotrice, il Flusso di rotore, o la Induttanza Statorica da cui può essere estratta l’informazione di posizione o velocità di rotore.

Questi metodi vengono ampiamente utilizzati per la stima di velocità e/o posizione, ma sono particolarmente efficaci per applicazioni di medio alta velocità. Ciò è dovuto alle equazioni sfruttate per la stima dello stato che come detto sono scritte in riferimento alla frequenza nominale di macchina in cui si assume una distribuzione sinusoidale del flusso di traferro, trascurando armoniche di ordine diverso dalla fondamentale ed effetti secondari; rendendo quindi il modello inappropriato per descrivere la dinamica completa dei PMSM. In particolar modo alle basse velocità (tipicamente non meno del 5% della velocità nominale) e ancor di più in caso di macchina ferma, si perde la capacità di effettuare una stima della posizione e/o velocità, tanto che si rende necessaria la presenza di un metodo alternativo in grado di eseguire uno start del motore.

Tipicamente si possono distinguere due applicazioni di questi metodi: in anello aperto o stimatori, ed in anello chiuso detti osservatori.

Nel primo caso si esegue una stima diretta dello stato e quindi della posizione a partire da grandezze di ingresso che vengono misurate dall’impianto come tensione e corrente; nel secondo caso invece si esegue un confronto tra le grandezze misurate e le stesse ottenute tramite il modello dinamico di macchina, e l’errore che ne scaturisce viene fornito in ingresso all’osservatore per far si che il modello converga alle grandezze misurate.

(6)

6 In questo modo ci si assicura che l’osservatore fornisca una stima accurata e più precisa possibile dello stato di interesse (back EMF, Flux Linkage …) da cui poi verrà dedotta la posizione o velocità rotorica. Risulta ovvio che i metodi open-loop sono di più semplice applicazione, ma la stima risulta fortemente influenzata dalla variazione dei parametri del motore (resistenze ed induttanze influenzate da temperatura e frequenza) e dal rumore introdotto dalle misure di tensione e corrente.

Gli osservatori invece richiedono un maggiore sforzo per il settaggio e la calibrazione dell’algoritmo, ma sono decisamente più robusti tanto da renderli preferibili ai primi nelle applicazioni di elevata dinamica e precisione.

1.1.1 STIMA IN ANELLO APERTO

In Figura 1.2 è riportata una rappresentazione schematica di un controllo sensorless con stima della posizione in open loop, in cui la stima di posizione viene effettuata sulla base della grandezza di stato, a sua volta calcolata a partire dal modello di macchina e dalle misurazioni di tensione e corrente effettuate sull’impianto.

Figura 1.2 Controllo sensorless con stima della posizione/velocità in anello aperto

Di seguito una breve descrizione dei principali stimatori adottati che si differenziano per la grandezza di stato dalla quale si effettua la stima della posizione rotorica.

(7)

7 1.1.1.1 STIMA SULLA BASE DELLA FORZA CONTRO-ELETTROMOTRICE [5]

Come noto il modello elettrico di una macchina brushless può essere scritto in funzione delle grandezze di fase statorica, ed utilizzando appropriate tecniche di trasformazione (Clarke e Park) si può ottenere un modello dinamico di macchina scritto per un sistema di riferimento statorico (assi α,β) o rotorico (assi d, q).

Senza effettuare tutti i passaggi, il modello di un generico PMSM può essere scritto in relazione ad un sistema di riferimento statorico (α, β) secondo le seguenti equazioni:

= 0

0 + + ∆ cos(2 ) ∆ sin( )

∆ sin( ) − ∆ cos(2 ) ∙

+ − sin

cos

Dove = e ∆ =

Mentre Vα , Vβ , iα , iβ rappresentano le componenti di tensione e corrente lungo gli assi ortogonali di riferimento statorico (α,β); Rs rappresenta la resistenza degli avvolgimenti statorici, ωre la velocità angolare elettrica di rotore e θre la posizione di rotore rispetto allo statore; p esprime la derivata temporale e ψm l’ampiezza del flusso rotorico. Infine Ld

ed Lq sono le induttanze di macchina espresse nel riferimento rotorico (d,q).

Se più specificatamente si considera un motore IPMSM (a magneti interni) data la sua anisotropia si ha che ΔL ≠ 0 e come si nota le equazioni contengono termini con dipendenza θre e 2θre, pertanto non convenienti per una stima della posizione.

Se si esamina invece un SPMSM (a magneti superficiali) si può ignorare l’anisotropia della macchina, quindi Ld = Lq e dunque ΔL ≈ 0. Le precedenti equazioni diventano:

= 0

0 + 0

0 ∙ + − sin

cos

Come si vede l’informazione della posizione rotorica è contenuta nella sola forza contro- elettromotrice (indicata con E)

= − sin

cos

Questa metodologia è applicabile anche per motori IPM, grazie alla introduzione del concetto di forza contro-elettromotrice estesa (back EEMF) che permette di scrivere le equazioni di macchina secondo un riferimento rotorico (d,q), come segue:

= −

+ 0

0 ∙ + 0

Dove = + + − + rappresenta la forza

controelettromotrice estesa.

(8)

8 Portando poi questo modello sul piano di riferimento statorico (α, β) si ottiene:

= −

− − + 0

0 ∙ + − sin

cos

E come si osserva, ancora una volta l’informazione della posizione rotorica è contenuta nella EEMF.

Pertanto una volta calcolate Eα ed Eβ (componenti delle forze controelettromotrici semplici o estese) sarà possibile calcolare la posizione rotorica, ad esempio con una operazione banale del tipo:

= tan ⁄

Le correnti e le tensioni che compaiono all’interno delle equazioni sono i valori trasformati delle tensioni e correnti misurate direttamente sull’impianto.

Questo metodo è di semplice applicazione e non necessita di stimatori di stato complessi, ma può essere influenzato dalla accuratezza con cui si scelgono i parametri di macchina e dalla precisione delle misure di tensione e corrente.

Infine si intuisce che alle basse velocità il valore della EMF (o EEMF) è molto piccolo e addirittura si annulla a macchina ferma, pertanto in queste condizioni la tecnica fin qui descritta perde di efficacia; infatti vengono utilizzate altre tecniche più indicate per range di velocità più bassi.

1.1.1.2 CALCOLO BASATO SUL FLUSSO CONCATENATO [6]

A partire dalle precedenti equazioni e per semplicità dalle equazioni di macchina a magneti superficiali scritte per un riferimento statorico (α,β) :

= + − sin = +

= + + cos = +

si può ricavare il flusso concatenato con gli avvolgimenti di statore

= ( − )

= ( − )

Inoltre sapendo che il flusso rotorico può essere determinato come:

= − = sin

= − = cos

(9)

9 Si può infine determinare una stima della posizione rotorica come segue:

= tan ⁄

Ancora una volta l’accuratezza del metodo è fortemente influenzata dalla qualità delle misurazioni di tensione e corrente nonché dalla scelta dei valori assegnati ai parametri di macchina. Inoltre si effettuano operazioni di integrazione, si necessita quindi una appropriata gestione di problematiche quali l’inserimento di congrue condizioni iniziali e saturazione.

Infine il metodo dà ottimi risultati allo stato stazionario in cui il flusso statorico e rotorico sono sincroni (ipotesi iniziale sulla base della quale si può determinare il flusso rotorico a partire da quello statorico), mentre le prestazioni calano notevolmente in condizioni transitorie.

1.1.1.3 CALCOLO SULLA BASE DELLA INDUTTANZA [7]

La seguente metodologia sfrutta le caratteristiche di anisotropia della macchina, in particolar modo della variazione spaziale della induttanza di fase della macchina. Risulta evidente quindi che questa tecnica è particolarmente efficace per brushless a magneti interni che posseggono una elevata differenza tra Ld ed Lq (elevata anisotropia), in alcuni casi si richiede ad esempio che Lq/Ld > 2,5.

Per contro risulta inutilizzabile in caso di PMSM a magneti superficiali.

La variazione spaziale della induttanza di una fase è chiaramente funzione della posizione rotorica rispetto allo statore. In prima analisi se il sistema di alimentazione (quindi l’inverter) opera ad una elevata frequenza di switching, allora si possono assumere costanti i valori di induttanza e forza controelettromotrice durante un periodo di commutazione. Queste ipotesi permettono di scrivere l’equazione di una generica fase di macchina (indicata semplicemente con “a”) come segue:

= + +

Dove “ea” forza controelettromotrice sulla fase a.

Da cui si può ricavare il valore della induttanza

= − −

Il valore di “ea” è direttamente proporzionale alla velocità angolare ω, infatti = con k costante di motore; quindi si può scrivere

= = ( − )

( − )

Ovvero il valore istantaneo di “ea” può essere calcolato attraverso la conoscenza della posizione valutata nei due istanti precedenti.

(10)

10 Per la determinazione della posizione rotorica si confronta il valore della induttanza calcolata come sopra, con una tabella di riferimento compilata in fase di progetto. In essa si fa corrispondere un valore di induttanza ad uno specifico angolo rotorico. È evidente quindi che l’accuratezza della stima dipende fortemente dalla risoluzione della tabella (variazione minima che intercorre tra un valore angolare e l’altro) e dai valori della induttanza calcolati. Inoltre le derivate di corrente e posizione devono essere calcolate ad ogni ciclo di commutazione pertanto la stima della posizione è più soggetta ad elevati rumori di misura.

1.1.2 METODI IN ANELLO CHIUSO

In linea di principio un osservatore in anello chiuso può essere rappresentato come in figura 1.3

Figura 1.3 Schema di principio di un osservatore in anello chiuso

In ingresso all’osservatore si hanno sia i segnali di controllo dell’inverter (segnali di controllo dello switching delle valvole), sia le misure di tensione e corrente di alimentazione della macchina.

All’interno dell’osservatore si processano i segnali di comando dell’inverter tramite un modello dinamico del drive, in modo da ottenere una stima delle grandezze di tensione e di corrente di ingresso della machina. Queste vengono confrontate con le stesse misurate direttamente dall’impianto, e l’errore che ne scaturisce viene mandato in ingresso ad uno schema di aggiustamento che, assieme ad una appropriata scelta dei parametri dell’osservatore (i quali possono essere entrambe lineari o non-lineari), assicurano la convergenza delle grandezze stimate a quelle misurate sull’impianto; di conseguenza si garantisce la convergenza della stima dello stato da cui poi si ricava la posizione e/o velocità della macchina.

(11)

11 La scelta del modello dinamico è critica e sulla base di esso cambia non solo la struttura dell’osservatore risultante, ma anche le sue prestazioni. In letteratura si possono trovare molte tipologie di osservatori che associano a diversi modelli di macchina, differenti schemi di aggiustamento dello stato.

Di seguito si riporta una breve descrizione di vari osservatori che si differenziano per i diversi schemi interni di aggiustamento dello stato e del modello dinamico di riferimento, nonché dalla natura dello stato stimato (Back EMF, EEMF, Flusso).

1.1.2.1 OSSERVATORI LINEARI

Si fa ricorso ad una modellazione con equazioni lineari dello stato, dove ad esempio la Forza Contro Elettro Motrice o la EEMF (a seconda che si abbia un SPMSM o un IPMSM) viene calcolata attraverso uno stimatore lineare; ad esempio in figura 1.4 è riportato lo schema di un osservatore lineare del disturbo [8].

Figura 1.4 Osservatore lineare dello stato

Prendendo ad esempio l’osservatore del disturbo sviluppato in [8], si esegue una modellazione della macchina IPMSM (modello elettrico) sulla base di un riferimento statorico (α, β) ed introducendo il concetto di Forza Elettro-Motrice Estesa (EEMF) si ottengono le seguenti equazioni di macchina (non si riportano tutti i passaggi)

= + −

− −

+ − − + − sin

cos Dove la forza elettromotrice estesa è rappresentata da

, = = − − + − sin

cos

(12)

12 Si considera la EEMF come un disturbo di tensione e la si stima attraverso un osservatore del disturbo (di tensione) il quale sarà progettato sulla base della teoria del controllo lineare e in maniera tale che vengano garantite stabilità e robustezza del sistema.

Pertanto a partire dalle precedenti espressioni del modello si possono scrivere le equazioni di stato come segue

= 0 + 0 + 0

=

Dove

= − + −

= − 1

=

= 1

= − − − sin

cos

= [ , 0]

= 1 00 1

= 0 −11 0

Il termine W è una linearizzazione dell’errore ed è presente solo quando id o iq variano, e data l’elevata dinamica dell’anello di controllo della corrente (all’interno di un controllo di velocità), queste variazioni sono molto veloci e pertanto si inserisce un filtro passa basso per limitare l’effetto di W.

Per stimare lo stato viene progettato un osservatore di ordine ridotto del tipo

̂ = ̂ + ̂ +

̂ = ̂ + ̂ − dove “ ^ ” indica il valore stimato e “ ~ ”indica il valore nominale

Con G si indica la matrice di guadagno dell’osservatore che viene scelta secondo il classico metodo di assegnazione dei poli di un sistema lineare, al fine di ottenere le performance desiderate.

(13)

13 Infine sulla base della stima della EEMF si ottiene la posizione di rotore, ad esempio calcolata come

= tan ̂ ⁄ ̂

Altra particolarità del metodo appena presentato è la possibilità di ottenere informazioni sulla posizione anche alle basse velocità. Infatti osservando l’equazione prima scritta della EEMF si nota la presenza di un termine differenziale in iq, questo indica che quando la velocità di rotore è prossima allo zero, la EEMF non è nulla se la iq varia(contrariamente a quanto detto nei paragrafi precedenti). Tale proprietà può essere sfruttata per la determinazione della posizione alle basse velocità.

Ovviamente si possono trovare altre varianti, come ad esempio in [9] e [10] in cui il modello della macchina viene scritto per un riferimento di sistema rotorico, oppure in [11]

in cui l’osservatore viene progettato per la stima del flusso (e non della EMF). In ogni caso l’accuratezza dell’osservatore è garantita da una scelta appropriata della matrice di guadagno G, ma si richiede comunque l’inserimento dei parametri di macchina (costanti nel modello) la cui variazione durante le diverse condizioni di funzionamento della macchina (frequenza, temperatura) può inficiare sulla accuratezza dello stimatore. Altro aspetto che può compromettere la stima è l’eventuale presenza di rumori all’interno delle misure di tensione e corrente.

1.1.2.2 OSSERVATORI NON LINEARI

Tra gli osservatori non lineari che si possono trovare nella teoria dei sistemi di controllo, una tipologia molto utilizzata ai fini del controllo sensorless è la famiglia dei così detti Sliding Mode Observers (SMO).

In linea di principio uno SMO altera la dinamica del sistema non lineare tramite un segnale di ingresso discontinuo che forza la dinamica del sistema a “muoversi” lungo una predeterminata superficie (selezionata tra le possibili traiettorie di funzionamento del sistema) detta appunto “sliding surface”.

Come si osserva in figura 1.5, in ingresso all’osservatore si ha una funzione discontinua dell’errore generato dal confronto tra grandezze misurate e stimate (le correnti). In generale la “superficie di scorrimento” è descritta da S=0 e lo scorrimento lungo la superficie comincia dopo un tempo finito quando le traiettorie del sistema raggiungono la superficie. La dinamica degli stati desiderati dipende solo dalla superficie scelta e non è influenzata dalla struttura del sistema o dall’accuratezza dei parametri. Dunque almeno teoricamente la dinamica del sistema rimane confinata all’interno della “sliding surface”.

(14)

14

Figura 1.5 Osservatore non lineare, Sliding Mode Observer (SMO)

In realtà l’implementazione di questa metodologia su sistemi reali conduce ad una approssimazione del comportamento teorico accennato precedentemente. Infatti l’utilizzo di un segnale di controllo (ingresso) pulsato ad elevata frequenza, causa una oscillazione (chatter) della dinamica del sistema in una zona ristretta attorno alla superficie di scorrimento. Tali oscillazioni della traiettoria giustificano la presenza del filtro passa-basso (LPF) riportato in Figura 6. Tipicamente lo SMO viene progettato sulla base di equazioni di macchina (PMSM) scritte per un riferimento statico (α,β) e raramente per un riferimento rotorico.

Ad esempio in [12] viene presentato uno SMO per una macchina SPMSM, progettato come segue

̂̂ = − 0

0 −

̂

̂ +

1 − 1 +

+ ∙ ∙ ̂ −

̂ −

Dove ωc è la frequenza di taglio del filtro passa-basso, “sgn“ è ovviamente la funzione

“segno” introdotta anch’essa per mitigare le problematiche di “chattering” sulla dianamica; “ l ” è il guadagno in anello chiuso dell’osservatore e “ k ” è il guadagno del termine discontinuo (l’errore).

In questo caso la “sliding surface” è rappresentata da

= [ ̂ − ̂ − ] = 0

Attraverso una scelta appropriata di “ K “ ed “ l “, la funzione di Lyapunov = 2 > 0 e < 0 vengono soddisfatte garantendo la stabilità del sistema. Una volta raggiunta la superficie di scorrimento, le componenti della Forza Contro-Elettromotrice vengono stimate tramite

̂̂ = ∙ (1 + ) ∙

+ ∙ ̂ −

̂ −

(15)

15 Da cui poi si ricava la posizione e/o velocità rotorica come nei casi precedenti.

Si possono trovare molte varianti di questa metodologia, ad esempio in [13] e [14] si sostituisce la funzione segno rispettivamente con la funzione saturazione e la funzione sigmoidale; mentre in [15] tramite l’ausilio della EEMF si applica un osservatore sliding mode ad un IPMSM.

Fino ad ora è stato descritto un osservatore sliding mode che più propriamente viene individuato con l’acronimo CSMO ovvero “Continuous-time Sliding Mode Observer”, infatti per esso viene richiesta una frequenza di campionamento molto elevata; ma ultimamente vengono utilizzati sempre più frequentemente i Discrete-time Sliding Mode Observer (DSMO) ed in particolare i Qasi-Siding Mode Observer (QSMO), i quali non richiedono una elevata frequenza di campionamento come i precedenti.

In generale le caratteristiche peculiari di questa metodologia di controlo, come la robustezza rispetto alle condizioni di esercizio e alla variazione dei parametri di macchina, degradano al diminuire della frequenza di campionamento e della frequenza di aggiornamento del loop di controllo. Inoltre se il guadagno di commutazione è scelto in maniera ottimale lo SMO presenta delle performance dinamiche nettamente superiori ad un osservatore lineare del disturbo.

1.1.2.3 SISTEMI ADATTIVI – MRAS (Model Reference Adaptive System)

L’idea di base di un sistema adattivo è quella di eseguire il controllo di un dato sistema effettuando una stima online dei parametri del sistema o del controllore (o di entrambe) che altrimenti risultano essere incerti o sconosciuti. Risulta chiaro dunque che l’obiettivo che si vuole raggiungere con questo metodo è proprio quello di limitare o addirittura annullare le problematiche derivanti dalle variazioni dei parametri di macchina, dovute principalmente alla temperatura operativa del sistema, di cui risentono i metodi precedenti.

Il controllo adattivo si può distinguere in controllo diretto in cui viene eseguita la stima delle grandezze di controllo (nel caso specifico la velocità); oppure in controllo indiretto in cui il MRAS viene adottato come stimatore dei parametri del modello di riferimento e si delega ad altra struttura in parallelo la stima della grandezza di controllo.

Figura 1.6 Schema di principio di un MRAS diretto

(16)

16 In un metodo adattivo diretto, come rappresentato in Figura 1.6, la tensione di alimentazione del drive viene mandata in ingresso ad un modello “regolabile” di macchina attraverso cui si stimano le correnti di macchina per poi confrontarle con quelle misurate direttamente sull’impianto. L’errore che scaturisce dal confronto tra grandezze stimate e misurate attiva un algoritmo adattivo che modifica la grandezza di aggiornamento all’interno del modello “regolabile” in modo da forzare a zero l’errore. In questo modo si ottiene anche una stima accurata della velocità/posizione rotorica.

Ad esempio in [16] viene applicato un controllore MRAS ad un motore brushless IPM, il cui modello di riferimento è del tipo:

= + dove

= +

;

= −

− − ;

=

Da cui il modello regolabile sarà appunto del tipo

= +

Dove in la grandezza regolabile (di aggiornamento) sarà proprio . Pertanto il meccanismo adattivo modificherà la velocità angolare secondo l’algoritmo

= ̂ − ̂ − − ̂

+ ̂ − ̂ − − ̂

+ (0)

Dalla quale si può ricavare banalmente la posizione di rotore

=

1.1.2.4 FILTRO DI KALMAN ESTESO – EKF (Extended Kalman Filter)

Il filtro di Kalman esteso è un algoritmo ricorsivo che risolve il problema della stima ottima dello stato per sistemi non lineari su cui agiscono rumori sullo stato e/o sull’uscita (rumori generalmente gaussiani). L’utilizzo di questo metodo porta a notevoli miglioramenti della robustezza rispetto ai rumori di misura e all’accuratezza dei parametri di macchina;

purtroppo però le difficoltà che si incontrano nella valutazione del rumore di misura, che comportano una difficile messa a punto dell’algoritmo, in aggiunta alla elevata potenza computazionale richiesta fanno si che questa tecnica non sia molto appetibile aa livello industriale.

(17)

17

1.2 METODI BASATI SULLA ANISOTROPIA DI MACCHINA [17]

Tutti i “model-based methods” descritti in precedenza presentano una dinamica di controllo inaccettabile alle basse velocità e a macchina ferma. Questo è dovuto principalmente al modello cui si fa riferimento e più in particolare alle grandezze che si utilizzano per estrarre l’informazione di posizione rotorica (Back EMF, Flusso, Induttanza). Come si è visto tutte le grandezze di stato da stimare sono in qualche modo proporzionali alla velocità angolare di macchina, dunque alle basse velocità si riduce il modulo delle grandezze di stato fino ad annullarsi a macchina ferma, rendendo così il metodo inefficace per la stima di posizione/velocità. Per ovviare a questo problema si fa uso di metodologie che stimano la posizione rotorica basandosi sulle proprietà anisotrope della macchina. Più in particolare queste tecniche misurano la risposta della macchina a fronte di una eccitazione in alta frequenza, distinta da quella fondamentale per ottenere la coppia nominale, imposta tramite l’inverter di alimentazione. Risulta evidente quindi che i motori brushless a magneti permanenti interni (IPMSM), che presentano per natura un certo grado di anisotropia, si prestano molto a questa tipologia di controllo; mentre i motori a magneti superficiali (SPMSM) presentano una modesta anisotropia, pertanto i metodi in alta frequenza saranno più complessi e sofisticati al fine di ottenere la medesima efficacia di controllo rispetto ai precedenti IPMSM.

1.2.1 METODI IN ALTA FREQUENZA

Sono state sviluppate molteplici tecniche tutte molto differenti tra di loro; nello schema di figura 1.7 è riportata una classificazione dei principali metodi di analisi sensorless

Figura 1.7 Classificazione dei metodi in alta frequenza

(18)

18 Le differenze principali tra i vari metodi possono essere ricondotte a tre aspetti principali:

- Il principio su cui si basa la rilevazione della anisotropia di macchina per la stima della posizione rotorica: ad esempio per un IPMSM in [18] la posizione rotorica viene stimata tracciando la variazione delle induttanze di statore; mentre per un SPMS, in cui la variazione spaziale delle induttanze è circa pari a zero, in [19], [20] si sfrutta la saturazione di flusso della macchina anch’essa dipendente dalla posizione rotorica.

- La tipologia di eccitazione in alta frequenza: il segnale di eccitazione può essere continuo o discontinuo; può essere ottenuto iniettando direttamente un segnale portante con forma d’onda sinusoidale o quadrata, oppure tramite PWM (Pulse Width Modulation).

- Il metodo di elaborazione e l’osservatore di anisotropia: in [21] e [22] si propongono osservatori in anello chiuso per la stima della anisotropia di macchina.

Indipendentemente dalle suddette differenze, i vari metodi sono comunque accomunati dagli stessi principi fisici, in particolare tutti si basano su una modellazione di macchina in alta frequenza. Generalmente il modello viene derivato da quello a frequenza nominale, assumendo che ad elevate frequenze i termini resistivi possano essere trascurati e quindi eliminati dalle equazioni; inoltre considerando che il segnale in alta frequenza sia spettralmente separato dalla eccitazione fondamentale, allora è possibile eliminare dalle equazioni anche la forza controelettromotrice. Con queste assunzioni di partenza la macchina risulta essere un carico puramente induttivo, dove le induttanze di fase sono funzione della posizione rotorica rispetto a quella statorica. Considerando ad esempio il modello di un PMSM scritto per un riferimento rotorico (d,q), applicando le precedenti ipotesi si giunge al seguente modello in alta frequenza:

,

, = 0

0 ∙ ,

,

Dove vd,h e vq,h rappresentano le componenti (sui due assi ortogonali d e q) della tensione ad alta frequenza iniettata nello statore; mentre id,h e iq,h rappresentano le componenti della corrente che scaturisce a fronte dell’alimentazione in alta frequenza. Ovviamente per ridurre vibrazioni, rumore acustico e perdite aggiuntive dovute alla elevata frequenza, l’ampiezza dei segnali iniettati dovrà essere molto più piccola rispetto all’ampiezza delle tensioni fondamentali di alimentazione;

in questo modo anche le correnti indotte presenteranno una ampiezza limitata, visto che la presenza del termine derivativo può farle crescere a dismisura causa l’elevata frequenza in gioco.

Naturalmente il modello qui riportato è esemplificativo, ma non sempre è possibile trascurare le componenti resistive e le perdite per effetto pelle [23],[24]; infatti in [25] si propone un modello di macchina in alta frequenza basato sulla impedenza proprio per tener conto anche dei termini resistivi.

(19)

19

Figura 1.8 Schema a blocchi di un drive sensorless basato sulla iniezione di segnali in alta frequenza

In Figura 1.8 si è riportato lo schema a blocchi di un possibile controllo sensorless dove si è evidenziata la possibilità di poter iniettare le grandezze in alta frequenza su un riferimento rotorico o su un riferimento statorico, indicandole rispettivamente vdq,h, vαβ,h.

Nelle applicazioni industriali la tecnica più utilizzata è quella con eccitazione continua con iniezione di un segnale portante in HF. Ultimamente però la tendenza è quella di sfruttare metodi con eccitazione discontinua in particolar modo lo “ Indirect Flux Detection by On-line Reactance Measurement (INFORM)” [26], con il quale si identifica la variazione della induttanza statorica in funzione della posizione rotorica applicando alla macchina vettori spaziali di tensione in diverse direzioni e valutando la risposta della macchina in termini di corrente.

(20)

20

CAPITOLO 2

MODELLAZIONE MATEMATICA DELLE COMPONENTI DEL DRIVE

2.1 SCELTA DELL'AZIONAMENTO

Nel precedente capitolo sono state descritte le sole tecniche sensorless adottate per azionamenti brushless e come visto sono le più disparate, distinguendosi per tipo di azionamento (brushless isotropo o anisotropo) sia per dinamica (alta e bassa velocità di controllo). Data la vasta gamma di possibilità, si è resa necessaria la scelta di un azionamento che avesse non solo una valenza sperimentale, ma anche una industriale. A tale scopo è stata condotta una ricerca sul web selezionando le proposte commerciali di alcune aziende di livello mondiale che si occupano di automazione, come Microchip, Microsemi, Freescale e Texas Instruents. Per le aziende appena citate si riscontra un allineamento tra i prodotti proposti, almeno per quanto riguarda le strategie di controllo adottate. Queste infatti adottano tecniche di tipo model based, in cui gli osservatori dello stato eseguono una stima delle bemf, dalle quali si ricava l'informazione di posizione e velocità angolare di macchina. Tipicamente gli algoritmi più utilizzati sono l'osservatore di Luenberger di ordine ridotto (associati alla teoria degli osservatori del disturbo), sliding mode observer (SMO) e metodi adattivi MRAS. Ciascuno adotta diversi sistemi di start-up per ovviare alle problematiche che i sistemi suddetti presentano alle basse velocità. Per restringere ulteriormente il campo ed arrivare quindi alla scelta definitiva, si è rivolta l'attenzione alle tecniche di controllo di più semplice applicazione, che richiedono cioè una elaborazione ed una implementazione più semplice, sia dal punto di vista degli algoritmi che dal peso computazionale degli stessi. La scelta è dunque ricaduta su un azionamento brushless con magneti superficiali, controllo di tipo sensorless con osservatore di ordine ridotto delle bemf, associato ad uno stimatore di posizione e velocità angolare di tipo Phase Locked Loop. Per l’avviamento del motore e la gestione del controllo alle basse velocità si è adottata la strategia proposta da Freescale (analizzata nel dettaglio nei successivi paragrafi), che esegue l’avviamento della macchina con un controllo di velocità in Open Loop.

A seguito della scelta dell’azionamento si è proceduto con la modellazione matematica dei vari componenti, quali il motore brushless, il controllo di velocità e lo stimatore di velocità e posizione angolare, per poter poi arrivare alla implementazione in ambiente simulativo.

(21)

21

2.2 MODELLO MATEMATICO DEL MOTORE BRUSHLESS

Nel seguente paragrafo si riportano le equazioni di equilibrio elettromeccanico che caratterizzano una macchina brushless secondo una trattazione semplificata, ma che comunque metta in evidenza il modello effettivamente utilizzato per le successive simulazioni in ambiente simulink.

Figura 2.1 Rappresentazione di motori brushless a magneti superficiali e a magneti interni

Il motore brushless, come d'altronde tutte le macchine elettriche, presenta una complessità geometrica e della fisica che lo governa, tali da rendere una sua completa modellazione inappropriata e di scarsa applicabilità anche in ambiente simulativo. A tale scopo si introducono delle ipotesi semplificative che rendono il modello matematico più semplice, fornendo comunque un sistema equivalente in grado di descrivere la macchina in esame con un grado di approssimazione non troppo distante dalla realtà.

Tenuto conto delle caratteristiche costruttive di macchina, tra cui statore trifase avvolto e rotore a magneti permanenti; le principali ipotesi che si fanno sono le seguenti:

- Si considera il circuito magnetico di macchina funzionante in condizioni lontane dalla saturazione e si ignorano gli effetti dell’isteresi magnetica, al fine di poter ritenere il comportamento della macchina lineare, garantendo l’applicabilità del principio di sovrapposizione degli effetti;

- Si suppone che la permeabilità magnetica del ferro sia infinita rispetto a quella dell’aria, in questo modo si possono trascurare le cadute di fmm (forza magnetomotrice) nei tratti in ferro in cui si sviluppano le linee di campo magnetico e supporre che le stesse linee si mantengano perpendicolari all’interfaccia aria-ferro;

- Si trascurano gli effetti di estremità in modo da poter considerare un andamento identicamente ripetuto per tutti i piani ortogonali all’asse di macchina, e che le linee di campo siano contenute su tali piani;

- Si suppone che la superficie interna di statore (quella affacciata al traferro) sia perfettamente liscia, eliminando cosi le aperture di cava, dove i conduttori presenti in una singola cava vengono concentrati e adagiati sulla superficie di statore (ora liscia) in corrispondenza della mezzeria dell’apertura della stessa cava;

- Si suppone che i magneti permanenti siano dimensionati in maniera tale da non risentire degli effetti smagnetizzanti o magnetizzanti dei campi prodotti dalle correnti di statore, inoltre si ritiene che la permeabilità dei magneti sia pari a quella dell’aria;

- Infine si suppone che la distribuzione di flusso al traferro sia sinusoidale.

(22)

22 Dalle precedenti assunzioni, da opportune valutazioni (che in questa sede non si riportano) e considerando il caso più completo di macchina anisotropa si arriva alle seguenti relazioni :

Equazioni di equilibrio elettrico

= 0 0

0 0

0 0

∙ + (2.1)

Dove Va,b,c e Ia,b,c sono le tensioni di fase e le correnti degli avvolgimenti statorici; con R si indica la resistenza di avvolgimento statorico, e con ψa,b,c si indica il flusso concatenato con gli avvolgimenti statorici. Riscrivendo in forma compatta la precedente si ottiene:

[ ] = [ ] ∙ [ ] + [Ψ] (2.2) Relazioni flusso-corrente

= ∙ +

[Ψ] = [ ] ∙ [ ] + [Ψ ] (2.3)

Dove ψPMa,b,c rappresenta il flusso concatenato con gli avvolgimenti statorici dovuto al campo magnetico prodotto dai magneti permanenti posizionati sul rotore.

Assumendo che la macchina sia anisotropa e simmetrica, le autoinduttanze hanno espressione:

= + + ∙ cos (2 )

= + + ∙ cos (2 − 4 3 ) (2.4)

= + + ∙ cos (2 − 2 3 )

Dove si è indicato con: Ll l’induttanza di dispersione che tiene conto dei flussi che si concatenano con gli avvolgimenti statorici senza intersecare il rotore; mentre gli ultimi due addendi costituiscono la induttanza di magnetizzazione dove Lm è la componente costante e Lv l’ampiezza della componente di anisotropia. Infine θe rappresenta l’angolo elettrico che intercorre tra l’asse magnetico della fase “a” e l’asse magnetico del rotore.

Mentre le mutue induttanze sono:

= − 1 2 + ∙ cos (2 − 2 3 )

= − 1 2 + ∙ cos (2 ) (2.5)

= − 1 2 + ∙ cos (2 − 4 3 )

(23)

23 Il flusso concatenato dei magneti permanenti risulta essere:

= ∙ ( )

= ∙ ( − 2 3 ) (2.6)

= ∙ ( − 4 3 )

dove è il flusso proprio dei magneti permanenti presenti nel rotore.

Inserendo la (2.3) in (2.2), si ottiene la seguente espressione matriciale:

[ ] = [ ] ∙ [ ] + [ ]

· [ ] + [ ] · [ ]

+ [Ψ ] (2.7)

Moltiplicando la (2.7) per [ ] si ottiene l’equazione di equilibrio alle potenze:

[ ] ∙ [ ] = [ ] ∙ [ ] ∙ [ ] + [ ] ∙ [ ]

[ ] · [ ] + [ ] ∙ [ ] · [ ] + [ ] ∙ [Ψ ] (2.8)

Si può inoltre dimostrare che:

([ ] ∙[ ]∙[ ])= 2 ∙ [ ] ∙ [ ] ∙ [ ]+ [ ] ∙ [ ]∙ [ ] (2.9)

Pertanto la (2.8) diventa

[ ] ∙ [ ] = [ ] ∙ [ ] ∙ [ ] + ∙ [ ] ∙[ ]∙[ ] + ∙ [ ] ∙ [ ]∙ [ ] + [ ] ∙ [Ψ ] (2.10)

dove il primo membro rappresenta la potenza elettrica totale; mentre a secondo membro il primo addendo rappresenta le perdite per effetto joule, il secondo è la variazione di energia elettromagnetica immagazzinata nelle induttanze e gli ultimi due termini rappresentano la potenza meccanica. Definendo con ωm la velocità angolare meccanica di rotore, ωe la pulsazione elettrica, θe la posizione angolare elettrica di rotore misurata tra l’asse magnetico della fase “a”

(per esempio sulle ascisse) e l’asse magnetico di rotore (solidale con il rotore e quindi rotante insieme ad esso) e con p le coppie polari, si hanno le seguenti espressioni:

= ∙ = 1

2∙ [ ] ∙ [ ]

∙ [ ] + [ ] ∙ [Ψ ] (2.11)

∙ = 1

2∙ [ ] ∙ [ ]

∙ [ ] + [ ] ∙ [Ψ ] (2.12)

= 1

2∙ [ ] ∙ [ ]

∙ [ ] + [ ] ∙ [Ψ ]

= ∙ 1

2∙ [ ] ∙ [ ]

∙ ∙ [ ] + [ ] ∙ [Ψ ]

(24)

24

= ∙ 1

2∙ [ ] ∙ [ ]

∙ [ ] + [ ] ∙ [Ψ ]

(2.13)

Con le ovvie definizioni

= ∙

;

=

L’equazione (2.13) rappresenta la coppia elettromagnetica e come si osserva è composta di due termini, il primo dovuto alla anisotropia della struttura di rotore mentre il secondo è dovuto alla mutua interazione tra i due campi elettromagnetici generati rispettivamente dagli avvolgimenti di statore e dai magneti permanenti presenti sul rotore.

Aggiungendo alle precedenti relazioni l’equazione di equilibrio meccanico, si ottiene il modello completo del motore a magneti permanenti (nel caso specifico magneti interni) secondo le grandezze di fase:

[ ] = [ ] ∙ [ ] + [ ]

· [ ] + [ ] · [ ]

+ [Ψ ]

= ∙ 1

2 ∙ [ ] ∙ [ ]

∙ [ ] + [ ] ∙ [Ψ ]

(2.14)

− − = 1

∙ ∙

=

Dove il termine rappresenta l’attrito viscoso presente nel motore.

Come si osserva il sistema ottenuto è un modello non lineare, in cui i parametri di macchina, in particolare le induttanze, sono funzione della posizione angolare elettrica di rotore.

Pertanto non si presta molto per un possibile algoritmo di controllo di posizione e velocità della macchina. Si ricorre dunque ad altri tipi di modellazione che consentono di ridurre il numero di equazioni in gioco e rendono le rimanenti più manipolabili, e quindi più adatte per l’implementazione di una strategia di controllo sofisticata.

A partire dal precedente modello si esegue una trasformazione delle grandezze di fase, in vettori complessi disposti su un piano il quale, a seconda della trasformazione scelta, può essere solidale allo statore o sincrono al rotore. Queste vengono più propriamente dette trasformazione secondo Clarke e trasformazione secondo Park. Di seguito si riportano i principi ed i modelli che si ottengono secondo le due trattazioni, ma senza entrare nel dettaglio, supponendo che il lettore conosca già l’argomento affrontato.

(25)

25 Figura 2.2 Definizione delle coordinate di riferimento per la modellazione di un PMSM

2.2.1 MODELLAZIONE SECONDO CLARKE

Come già accennato questo tipo di trasformazione permette di rappresentare tre grandezze di fase (a, b, c) con un unico vettore disposto su un piano complesso, che nel caso della trattazione di Clarke, tale piano è solidale allo statore (α, β,o).

Nel modello che si ottiene, a partire dal sistema (2.14), le grandezze di statore e rotore sono ancora valutate in riferimenti solidali con i rispettivi supporti fisici, pertanto la dipendenza dalla posizione angolare nei coefficienti induttivi permane.

Considerando, per completezza di trattazione, la presenza di una componente omoplare (o) la matrice di trasformazione ad ampiezza di fase costante si scrive:

, , → , , = [ ] = 2 3

1 − 1 2 − 1 2

0 √3

2 −√3 2

− 1 2 − 1 2 − 1 2 ;

(2.15)

, , → , , = , , → , , = [ ] =

1 0 1

− 1 2 √3

2 1

− 1 2 − √3 2 1 Da cui le grandezze di fase vengono trasformate nel seguente modo:

= [ ] ∙ [ ] ; = [ ] ∙ [ ] ; Ψ = [ ] ∙ [Ψ ] (2.16) E viceversa:

[ ] = [ ] ∙ ; [ ] = [ ] ∙ ; [Ψ ] = [ ] ∙ Ψ (2.17)

Dove

(26)

26

= ; = ; Ψ =

Con riferimento alle equazioni (2.2), (2.3) e (2.17), si riscrivono le equazioni di equilibrio elettrico come segue:

[ ] = [ ] ∙ [ ] + [L][ ] + [Ψ ]

= [ ][ ] ∙ [ ] + [ ][L][ ] + [ ][Ψ ] (2.18)

Dopo alcuni passaggi algebrici, che in questa sede vengono omessi, si ha che:

[ ][ ][ ] = [ ] = 0 0

0 0

0 0

; [ ][ ] = =

0

; (2.19)

[ ][L][ ] =

+3

2 0 0

0 +3

2 0

0 0

+3 2

cos(2 ) sin(2 ) 0

sin(2 ) − cos(2 ) 0

0 0 0

(2.20)

Come si vede la matrice delle induttanze è stata scomposta nella componente costante e nella componente di anisotropia che continua ad essere funzione dell’angolo elettrico .

Inserendo le (2.19) e (2.20) nella (2.18), e considerando trascurabile la componente omopolare delle grandezze in gioco (si considera una terna equilibrata e simmetrica con angolo di sfasamento di 120°), dopo alcuni passaggi algebrici, si ottiene il seguente sistema di equilibrio elettrico:

= 0

0 + + 3

2

3 3 2

2 − 3

2

+ 3 −sin 2 cos 2

cos 2 sin 2 + (2.21)

Dove per semplicità di scrittura si è posto:

= +3

2 ; = cos 2 ; = sin 2 e la forza contro elettromotrice come:

= = ∙ −sin

cos (2.22)

(27)

27 Le equazioni (2.21) e (2.22) rappresentano il modello elettrico della macchina brushless secondo il riferimento (α,β), e come si può notare il sistema ha una equazione in meno rispetto al precedente; ciononostante il modello mantiene un certo livello di complessità visto che le induttanze mantengono la loro dipendenza dalla posizione angolare elettrica del rotore. In effetti il modello ottenuto non viene utilizzato per la implementazione simulativa, si preferisce ad esso il modello ottenuto tramite trattazione di Park.

Tuttavia va ricordato che il modello ottenuto è rappresentativo di un motore brushless anisotropo (a magneti interni), ma che con le dovute considerazioni può essere applicato anche per motori brushless a magneti superficiali ottenendo un modello ulteriormente semplificato.

Nel caso di motore brushless a magneti superficiali si può ipotizzare che i campi magnetici, che si sviluppano all’interno del traferro, non osservino variazioni di geometria e di materiali (quindi di permeabilità magnetica) al variare della posizione angolare di rotore. In questo modo la componente anisotropa delle induttanze scompare (Lv = 0); rimanendo la sola componente costante, che rappresenta l’induttanza propria degli avvolgimenti statorici. Applicando tale considerazione al precedente modello, si ottiene il modello elettrico del motore brushless a magneti superficiali (secondo Clarke):

= 0

0 + 0

0 ∙ + −sin

cos

(2.23)

Risulta ora più chiara la semplicità del modello equivalente (2.23) con cui viene descritto il comportamento elettrico della macchina: le induttanze perdono la loro dipendenza dalla posizione angolare elettrica di rotore, mentre l’informazione di posizione e velocità angolare è inglobata nella forza controelettromotrice. Da qui si capisce come questo modello possa essere sfruttato per estrarre, tramite osservatore dello stato, le informazioni di posizione e velocità angolare e poter implementare così un controllo sensorless.

Questo modello verrà utilizzato nel seguito per la trattazione e la modellazione dell’osservatore di Luenberger, ma non per la implementazione del modello di macchina in ambiente simulativo;

pertanto non si prosegue con la scrittura delle equazioni di equilibrio elettromagnetico e meccanico, sviluppate invece con la successiva trattazione.

Figura 2.3 Modello equivalente della macchina SPMSM secondo Clarke

(28)

28 2.2.2 MODELLAZIONE SECONDO PARK

Anche per questo caso si riportano i principi e le equazioni fondamentali che caratterizzano il modello di macchina senza scendere troppo nel dettaglio.

La trattazione proposta da Park è del tutto analoga alla precedente, soltanto che la trasformazione delle grandezze di fase, in vettori complessi, avviene su un piano di riferimento solidale al rotore propriamente indicato con gli assi(d, q, o). Dato che il nuovo piano di riferimento è sincrono alla rotazione del rotore (in quanto solidale ad esso), la matrice di trasformazione delle grandezze di fase (presenti sullo statore) sarà funzione della posizione angolare elettrica, ovvero l’angolo che descrive l’asse magnetico di rotore rispetto all’asse magnetico della fase “a”.

Considerando per completezza anche la componente omopolare, le matrici di trasformazione e trasformazione inversa sono definite dalle matrici (2.24).

[ ( )] = [ ] =2 3∙

cos ( ) cos ( − 2 3 ∙ ) cos ( − 4 3 ∙ )

−sin ( ) −sin ( − 2 3 ∙ ) −sin ( − 4 3 ∙ )

1 2 1

2 1

2

(2.24)

[ ( )] = [ ] =

cos ( ) −sin ( ) 1

cos ( − 2 3 ∙ ) −sin ( − 2 3 ∙ ) 1 cos ( − 4 3 ∙ ) −sin ( − 4 3 ∙ ) 1

Da cui le grandezze di fase vengono così trasformate:

= [ ] ∙ [ ] ; = [ ] ∙ [ ] ; Ψ = [ ] ∙ [Ψ ] (2.25) E viceversa:

[ ] = [ ] ∙ ; [ ] = [ ] ∙ ; [Ψ ] = [ ] ∙ Ψ (2.26) Dove:

= ; = ; Ψ =

Considerando le equazioni (2.2), (2.3) e (2.26), si riscrive l’equazione di equilibrio elettrico come segue:

[ ] = [ ] ∙ [ ] + [L][ ] + [Ψ ]

= [ ][ ] ∙ [ ] + [ ][L][ ] + [ ][Ψ ] (2.27)

(29)

29 Dopo alcuni passaggi algebrici si ha:

[ ][ ][ ] = [ ] = 0 0

0 0

0 0

; [ ][ ] = = 1

0

0 ; (2.28)

[ ][L][ ] =

0 0

0 0

0 0 (2.29) Dove si è posto

= +3

2( + ) = +

= +3

2( − ) = +

=

(2.30)

Come si vede, la matrice delle induttanze è diventata parametrica, ovvero ha perduto la dipendenza dalla posizione angolare elettrica rotorica. La semplificazione che se ne ricava dunque è notevole, non per altro questa è la modellazione più utilizzata per l’implementazione di macchine brushless a livello simulativo.

Sostituendo le (2.28) e (2.29) nella (2.27), e considerando trascurabile la componente omopolare, si ottiene il seguente modello elettrico di un generico motore brushless (secondo Park):

= −

+ 0

0 + 0

1

(2.31) La semplificazione del modello elettrico è notevole rispetto ai casi precedenti: il numero delle equazioni si può ridurre a due (semplificazione della componente omopolare), la matrice delle induttanze perde la dipendenza dalla posizione angolare di rotore, si riduce conseguentemente il numero delle variabili in gioco passando da 4 (nei casi precedenti tensioni, correnti, velocità e posizione angolare) a 3 variabili, pur rimanendo una non linearità delle equazioni vista la dipendenza dalla velocità .

Il modello di cui alle (2.31), viene detto generico perché adattabile sia per un motore a magneti interni che per un motore a magneti superficiali. L’unica accortezza, che bisogna avere nei due casi, è il valore da far assumere alle due induttanze di asse diretto (Ld) e di asse di quadratura (Lq); infatti per i due casi si ha:

brushless isotropo Ld = Lq brushless anisotropo Ld ˂ Lq

(30)

30 Figura 2.4 Modello equivalente del motore SPMSM secondo Park

Analogamente a quanto fatto per il modello alle grandezze di fase, si può determinare l’equazione di equilibrio alle potenze; a partire dalla equazione di equilibrio elettrico, moltiplicando le tensioni per le corrispondenti correnti e sommando membro a membro, si ottiene:

+ = ∙ + + ∙ ( ) + ( ) + ∙ ∙ (2.32)

dove Pe è la potenza elettrica di ingresso, Pjoule rappresenta la potenza persa per effetto joule sulle resistenze di fase, Wm è la variazione di energia magnetica immagazzinata nelle induttanze e Pem è la potenza elettromeccanica. Il rapporto nella equazione (2.32) permette di mantenere la conservazione di energia nella trasformazione da riferimento di fase (stazionario) al sistema di riferimento rotante d,q. Pertanto, tenuto in conto che

= ∙ (2.33) L’espressione della coppia elettromotrice può essere espressa come segue:

=3

2∙ ∙ +3

2∙ ∙ − ∙ ∙ (2.34) L’equazione (2.34) rappresenta la coppia elettromotrice sviluppata da un motore a magneti interni, in cui si può notare la presenza di due addendi: il primo che rappresenta la coppia dovuta al flusso dei magneti permanenti, il secondo invece è la coppia dovuta alla struttura anisotropa del rotore. Risulta evidente che nel caso di macchina isotropa, il secondo addendo della coppia elettromotrice scompare (Ld = Lq) ottenendo così la coppia elettromagnetica (2.35).

=3

2∙ ∙ (2.35) Infine si scrive l’equazione di equilibrio meccanico (2.36):

− − =1

∙ ∙ (2.36) ottenendo il modello completo della macchia brushless, di equazioni (2.31), (2.34) e (2.36).

2 3 ∙ 2

3 ∙ 2

3 ∙ 2

3 ∙

(31)

31 2.2.3 IMPLEMENTAZIONE DEL MOTORE IN AMBIENTE MATLAB SIMULINK

Per l’implementazione della macchina SPM in ambiente simulativo, si è fatto uso del modello di Park di cui alle equazioni (2.31), (2.34) e (2.36). In particolare dalle equazioni di equilibrio elettrico (2.31) sono state ricavate le equazioni di stato mettendo in evidenza le correnti di asse diretto e di quadratura, e trasformando secondo Laplace sono state ottenute le equazioni (2.37).

= − +

= − − −

(2.37)

Dove le componenti di asse diretto e di quadratura delle tensione e delle correnti saranno rispettivamente gli ingressi e le uscite del sistema di equilibrio elettrico. In figura 2.5 è riportato lo schema a blocchi delle equazioni (2.37) e (2.34) che rappresentano appunto l’equilibrio elettrico e l’equazione della coppia elettromagnetica.

Figura 2.5 Schema a blocchi delle equazioni di equilibrio elettrico della macchina brushless

In figura 2.6 è riportata invece la implementazione della equazione di equilibrio meccanico.

Figura 2.6 Schema a blocchi della equazione di equilibrio meccanico del motore brushless

1 Tem

-K-

psi/Lq

-K-

R/Lq -K-

R/Ld

-K-

Lq/Ld

-K-

Ld/Lq

1 s 1 s

1.5*p*((psi*u(2))+((Ld-Lq)*u(1)*u(2)))

-K-

1/Lq -K-

1/Ld

3 Vq

2 we

1 Vd

2 we (rad_s)

1 e_theta (rad) p

p

1 s 1

s

u y

Coulomb and Viscous Friction 1/J

1/J 2

Te 1 Tr

(32)

32 Figura 2.7 Schema a blocchi completo del PMSM

Non avendo a disposizione una macchina brushless SPM, da cui poterne ottenere i dati di targa, sono stati utilizzati i dati di un motore SPM fornito dalla libreria standard di simulink, i cui dati vengono riportati nella tabella 2.1

Vn = 220 V Tensione concatenata nominale

In = 12 A Corrente nominale

Pn = 3 hp Potenza nominale

R = 0.2 ohm Resistenza di fase

Ld = 8.5 mH Induttanza di asse diretto

Lq = 8.5 mH Induttanza di asse in quadratura

Fn = 60 Hz Frequenza nominale

P = 4 Coppie polari

Ωn = 900 rpm Velocità di rotazione nominale

J = 0.089 kg m^2 Inerzia

K = 0.005 Nms Costante di attrito viscoso

Tabella 2.1 Parametri caratteristici della macchina SPM implementata in ambiente simulink

Connettori alle fasi di alimentazione

1 3 m

C 2 B 1 A

d,q

e_theta a,b,c

dq_to_abc

a,b,c

e_theta d,q

abc_to_dq Iph

Vph A

B

C Input connector

Tr

Te

wm (rpm) m_theta (rad) e_theta (rad) we (rad_s) Equazioni meccaniche Vdq

we

id,iq

Tem Equazioni elettriche

1 Tr

we (rad_s) e_theta (rad) wm (rpm) m_theta (rad)

(33)

33

2.3 MODELLAZIONE DELL’OSSERVATORE DELLO STATO

Il concetto base per un controllo sensorless è quello di eliminare il sensore di posizione e/o velocità (hardware), rimpiazzandolo con un algoritmo (software) in grado di ricavare tali informazioni a partire dalla misura di altre grandezze, che richiedono sistemi di misura meno ingombranti e sofisticati, quali le tensioni e le correnti di alimentazione della macchina stessa.

A tale scopo si osservano i modelli della macchina, ottenuti nel precedente paragrafo, andando alla ricerca di quelle grandezze o espressioni che contengono le informazioni di posizione e velocità angolare e che possono essere ricavate tramite semplici manipolazioni algebriche.

Considerando una macchina brushless a magneti superficiali, le equazioni di equilibrio elettrico secondo le trattazioni di Clarke e Park sono rispettivamente i sistemi (2.23) e (2.31).

Mettendo a confronto i due modelli, risulta evidente come la trattazione secondo Park non contenga l’informazione di posizione angolare; mentre invece la trattazione secondo Clarke presenta le informazioni di posizione e velocità angolare in un unico elemento, ovvero nella forza controelettromotrice. Pertanto il modello (2.23) sarà proprio quello di riferimento per realizzare lo stimatore di posizione e velecità angolare.

2.3.1 OSSERVATORE DI LUENBERGER DI ORDINE RIDOTTO (OSSERVAORE DEL DISTURBO) [27]

Si consideri nuovamente il sistema (2.23), e lo si ponga in forma di equazioni come segue:

= + +

= + + (2.38)

indicando con l’operatore = e dove

= − sin

= cos (2.39)

Risulta evidente che le forze controelettromotrici rendono non lineare il sistema, in quanto dipendenti da posizione e velocità angolare. La presenza di questo termine renderebbe inapplicabile la teoria del controllo lineare.

Se si riscrive il sistema (2.38) in forma compatta e del tutto generale, si ha:

[ ] = [ ][ ] + [ ] [ ] + [ ] (2.40) Si può ovviare al problema della non linearità considerando la forza controelettromotrice come un disturbo di tensione, e quindi riscrivendo la precedente come segue:

[ ] − [ ] = [ ][ ] + [ ] [ ] (2.41) Dunque considerando come ingressi del sistema le tensioni e come uscite le correnti, in termini di schema a blocchi, si può ottenere una struttura dell’osservatore come quella di figura 2.5

(34)

34 Figura 2.5 Configurazione dell'osservatore del disturbo

Dove la forza controelettromotrice viene ricavata per differenza tra la tensione reale, in ingresso alla macchina, e la tensione stimata tramite l’osservatore.

Pertanto le equazioni di equilibrio elettrico, a partire dalle quali si realizza l’osservatore, saranno (in forma generale):

[ ] = [ ][ ] + [ ] [ ] (2.42) A partire da queste il primo passo è quello di portare il precedente sistema in forma di stato, ovvero nella forma generica:

= +

=

Dove si è indicato con x le variabili di stato, A la matrice di transizione dello stato (o matrice dinamica), B matrice degli ingressi, u gli ingressi ed y le uscite.

Si selezionano come variabili di stato le correnti e le forze controelettromotrici in quanto la loro conoscenza permette una descrizione elettromagnetica completa della macchina, e perché ovviamente nelle bemf è presente l’informazione di posizione angolare a cui si vuole arrivare. Si considerano come ingressi del sistema le tensioni e come uscite le correnti

Inoltre per la realizzazione dell’osservatore si assume che [ ] = = 0

L’errore di stima dell’osservatore causato dall’assunzione = 0 è piccolo, come verrà poi mostrato in seguito.

Come conseguenza delle precedenti considerazioni si arriva alla scrittura delle equazioni di stato:

=

− 0

0 −

− 1 0

0 − 1

0 0 0 0

0 0 0 0

+

1 0

0 1

0 0 0 0

0 0

(2.43)

0 0

= 1 0 0 1

0 0 0 0

Riferimenti

Documenti correlati

10.4 – Stati di tensione e deformazione indotti dalla presenza di cavità 254 10.5 – Analisi numerica parametrica della resistenza dei pilastri 256 10.6 – Analisi numerica

 C.2 Evidenze scientifiche sull’efficacia di componenti protesici ad alta tecnologia per amputati di arto inferiore. C3) Il collaboratore sarà inserito nella Direzione Ricerca

Calcolo Numerico (Ingegneria Energia/Meccanica, Canale B)..

Così come le “informazioni fornite” da una grandezza scalare possono venire rappresentate mediante un punto su una retta, le “informazioni fornite” da una grandezza

Certo,  qui  la  posizione  del  giovane  filosofo  è  ancora  immatura, 

Da quando il video del riccio morto do- po essere stato usato come palla da calcio e poi abbandonato sui binari della fer- rovia della Torino- Ceres, in via Biaune a Cirié, ha fatto

[r]

La distanza angolare di un astro dall’equatore celeste rimane costante e di conseguenza rimane costante la distanza angolare della proiezione del punto ove si trova l’astro