CAPITOLO 1

CAPITOLO 1

La tecnica Monopulse

1.1 Principi di funzionamento ed architetture

Per inseguire un bersaglio in movimento bisogna conoscerne le coordinate al variare del tempo.

Esistono diverse tecniche che permettono di misurare la coordinata angolare di un bersaglio al fine di tenere il radar costantemente puntato su di esso. Le principali sono: - sequential lobing

- conical scan - monopulse

La tecnica sequential lobing determina la posizione angolare del bersaglio rispetto ad una direzione di riferimento, corrispondente all’asse dell’antenna, sfruttando le differenze di ampiezza tra i voltaggi ottenuti alternando periodicamente il fascio tra due posizioni [Gal96]. Il segno della differenza determina la direzione verso cui ruotare l’antenna per allinearla al bersaglio. Se invece si volessero determinare due posizioni angolari, per esempio una sul piano azimutale e l’altra su quello di elevazione, si avrebbe bisogno di due ulteriori posizioni in cui spostare il fascio.

Con la tecnica conical scan il fascio ruota con continuità intorno ad un asse di rotazione che forma con l’asse dell’antenna il cosiddetto angolo di “squint”, per cui un eventuale bersaglio non in asse con la direzione di rotazione del fascio produce un segnale modulato ad una frequenza pari a quella di rotazione. L’ampiezza della modulazione dipende dalla forma del fascio, dall’angolo di squint ma soprattutto dall’angolo tra la direzione del bersaglio e la direzione di rotazione. La fase della modulazione dipende invece dalla direzione dell’angolo tra la direzione del bersaglio e quella di rotazione.

Tali tecniche necessitano dell’utilizzo di quattro o più impulsi per cui, affinche’ i risultati siano soddisfacenti, è necessario che il bersaglio sia fermo e che non ci siano fluttuazioni della radar cross section (RCS); per superare tali limitazioni si utilizza una

tecnica più efficace, sebbene più costosa, ovvero quella monopulse. Essa consente di aggiornare la posizione del bersaglio ad ogni singolo impulso (da qui il nome “monopulse”) [Gal96].

La tecnica monopulse, contrariamente agli altri due metodi che utilizzano un solo fascio di antenna in divisione di tempo, sfrutta due fasci simultanei, parzialmente sovrapposti e disassati, ottenuti da un riflettore e due illuminatori adiacenti (figura 1.1).

Fig. 1.1 - Fasci di antenna simultanei, parzialmente sovrapposti e disassati.

Con opportuni circuiti a radiofrequenza (figura 1.2) si possono ottenere due segnali, il segnale somma Σ e il segnale differenza ∆, attraverso i quali ricostruire la posizione angolare del bersaglio.

Fig. 1.2 - Struttura ibrida a 180°.

Il segnale somma è equivalente al segnale che si sarebbe ottenuto se al posto dei due fasci A e B se ne fosse avuto solamente uno uguale alla somma dei due, A + B. Il segnale

differenza è equivalente al segnale che si sarebbe ottenuto se al posto dei due fasci A e B se ne fosse avuto solamente uno uguale alla differenza dei due, A – B (figura 1.3).

Fig. 1.3 – Fascio somma (A + B) e fascio differenza (A – B).

Nella maggior parte delle applicazioni è necessaria una localizzazione tridimensionale (distanza, azimut ed elevazione), pertanto un sistema monopulse è costituito da un riflettore e quattro illuminatori in modo da ottenere una misura angolare sia lungo il piano di elevazione che lungo quello azimutale (figure 1.4 e 1.5).

Fig. 1.4 - Visione laterale dell’architettura di un sistema monopulse per ottenere la misura

Fig. 1.5 - Visione frontale dell’architettura di un sistema monopulse per ottenere la misura

angolare sia in elevazione che in azimut.

I fasci A, B, C e D si intersecano in prossimità dei punti a -3dB e gli illuminatori sono posizionati in maniera tale da ricevere la massima energia da un bersaglio in asse con l’antenna. Un sistema monopulse è infatti studiato per rivelare ogni disallineamento del bersaglio rispetto all’asse centrale dell’antenna, attraverso l’analisi del segnale ottenuto sottraendo i segnali in ingresso alle trombe di destra da quelli in ingresso alle trombe di sinistra e del segnale ottenuto sottraendo i segnali in ingresso alle trombe superiori da quelli in ingresso alle trombe inferiori. In questo modo si rivela l’eventuale sbilanciamento energetico rispettivamente sul piano azimutale e sul quello di elevazione (figura 1.6).

Fig. 1.6 – Rappresentazione schematica del calcolo dello sbilanciamento energetico sul

piano azimutale e sul piano di elevazione.

I segnali differenza sono nulli quando il bersaglio è in asse e aumentano in ampiezza man mano che il disallineamento cresce, inoltre ruotano di 180° quando si passa da un lato all’altro dell’asse centrale.

Il circuito a radiofrequenza di un ricevitore monopulse relativo alla struttura a quattro trombe quadrate è quello illustrato in figura 1.7:

Fig. 1.7 - Ricevitore RF monopulse.

dove

(

1 2 A B C D

)

Σ = + + + (1.1)

(

) (

(

1 2 t A B C D

)

)

∆ = + − + (1.2)

(

) (

(

1 2 e A C B D

)

)

∆ = + − + (1.3)

Il segnale somma viene utilizzato per ricavare le informazioni sulla distanza del bersaglio. I segnali differenza, combinati con il segnale somma, ci forniscono l’errore angolare azimutale

Σ

t

∆ e di elevazione ∆ . Questi segnali-errore vengono inviati al servo _e sistema il quale modificherà posizione e orientamento dell’antenna in maniera tale che il suo asse centrale, detto anche boresight, risulti centrato perfettamente sul bersaglio [Gal96] (figura 1.8).

Fig. 1.8 - Sistema di servo controllo dell’azimut e dell’elevazione [Sko80].

La figura 1.9 rappresenta lo schema a blocchi di un radar monopulse. Il segnale somma, il segnale differenza in elevazione e il segnale differenza in azimut sono tutti traslati a frequenza intermedia usando tre mixer pilotati da un unico oscillatore locale al fine di mantenere costanti le relazioni tra le fasi. Dal segnale somma a frequenza intermedia si ottiene l’ingresso video al range tracker, il quale stabilisce l’intervallo di arrivo dell’eco del bersaglio desiderato e fornisce gli impulsi rettangolari (gate) che attivano il ricevitore radar solo durante il breve periodo in cui l’arrivo dell’eco è previsto. L’output del range tracker pilota un blocco denominato con la sigla AGC (automatic gain control) il quale genera una tensione che normalizza i guadagni dei segnali sui tre canali; ciò è necessario per mantenere ad un livello costante e prefissato il livello del segnale ricevuto, indipendentemente dal fatto che il bersaglio sia vicino o lontano e che abbia una piccola o grande radar cross section. Un sistema AGC calcola la media dei campioni ricevuti e la confronta con un valore di riferimento, quindi attenua o amplifica il segnale variando il guadagno degli amplificatori per riportare il valore medio verso quello di riferimento; si richiede che i guadagni dei tre canali non differiscano molto (± ½ dB), proprio per questo motivo solitamente si utilizza un unico amplificatore.

L’operazione di media, in quanto tale, deve essere eseguita su un numero piuttosto grande di impulsi, quindi l’AGC deve avere una banda piuttosto stretta; poichè allo stesso tempo si necessita di una banda sufficientemente larga per inseguire le fluttuazioni dell’area equivalente del bersaglio è necessario giungere a un compromesso [Sko80].

Il segnale somma alla frequenza intermedia fornisce un segnale di riferimento ai phase sensitive detectors che producono l’errore angolare di inseguimento dai rispettivi segnali differenza ∆ e _t . Inoltre i phase sensitive detectors forniscono il verso dell’errore angolare. Infatti in un radar d’inseguimento ad impulsi l’uscita è un segnale video bipolare la cui ampiezza è proporzionale all’errore angolare e la cui polarità (positiva o negativa) corrisponde alla direzione dell’errore.

e ∆

Fig. 1.9 - Diagramma a blocchi di un convenzionale monopulse radar.

Per un radar che insegue un’unica coordinata angolare l’uscita del phase sensitive detector (informazione d’angolo) e quella del canale somma (informazione di distanza) possono essere rappresentate su un’interfaccia chiamata A-scope; il segnale proveniente dal canale somma e quelli provenienti dai phase sensitive detectors forniscono un’indicazione della distanza e della posizione angolare del bersaglio attraverso la rappresentazione sull’interfaccia di un segnale la cui ampiezza indica la distanza del bersaglio, la deviazione verso destra o sinistra rappresenta il segno dell’errore angolare, la pendenza è una misura dell’ampiezza dell’errore angolare; questo tipo di rappresentazione è stata denominata

Σ ∆

Fig. 1.10 - Diagramma a blocchi di un radar monopulse che stima una sola coordinata

angolare e interfaccia A-scope [Sko80].

Un operatore, osservando il segnale, agisce su una manopola allo scopo di mantenere un puntatore sul bersaglio desiderato. La posizione della manopola determina la velocità con la quale il puntatore segue il bersaglio; quando il bersaglio si muove con velocità costante la manopola non deve essere ruotata.

Talvolta è incredibilmente difficile per l’operatore eseguire le modifiche manualmente per cui si richiede l’impiego di un inseguitore automatico [Sko80].

Per comprendere come un sistema monopulse sia in grado di estrarre l’errore angolare di puntamento lungo il piano di elevazione, supponiamo di avere un sistema con due fasci di antenna che formano un angolo

α

_s con l’asse centrale. Il bersaglio è individuato dal punto T (figura 1.11).

Fig. 1.11 - Esempio di sistema monopulse.

Se, per semplicità, supponiamo che i fasci di antenna abbiano una forma triangolare possiamo ricavare gli andamenti del segnale somma Σ e differenza ∆ al variare dell’angolo α misurato rispetto al boresight, come illustrato in figura 1.12.

Fig. 1.12 - a) Fasci di antenna di forma triangolare; b) e c) andamento dei segnali Σ e ∆ in

Dalla figura si evince che il segnale somma è costante nell’intervallo angolare di ampiezza 2

α

_s centrato sul boresight, mentre il segnale differenza presenta, all’interno di tale intervallo, un andamento lineare con pendenza doppia rispetto a quella del pattern elementare g(α); tale pendenza diventa costante al di fuori del suddetto intervallo, detto di “pull in” poiché al suo interno si ha la possibilità di far chiudere un anello di inseguimento angolare. In termini più generali, indicando con g(α) il pattern di antenna elementare e approssimando il fascio differenza in termini della derivata di g(α) si può scrivere che:

( )

(

)

( )

( )

1 s s s g α =g α α+ ≅g α +g′ α α (1.4)

( )

(

)

( )

( )

2 s s s g α =g α α− ≅g α −g′ α α (1.5) e quindi

( )

( )

(

1 2

)

( )

2 g α g α 2g s Σ = + ≅ α (1.6)

( )

( )

(

1 2

)

( )

2 g α g α 2g′ _s ∆ = − ≅ α (1.7)

In cui g′

( )

α è la derivata di g(α). L’approssimazione vale nelle ipotesi in cui la differenza angolare del bersaglio rispetto al boresight non sia molto elevata e α_s sia piccolo rispetto alla larghezza dei fasci elementari. Si osserva che più i pattern di antenna sono separati, ovvero più α_s diventa elevato, e più la pendenza che descrive l’andamento del segnale ∆ nell’intervallo di “pull in” diventa elevata; tale pendenza è importante in quanto legata al segnale errore di misura che viene utilizzato per azionare il servo meccanismo in grado di orientare l’antenna verso il bersaglio. La determinazione dello spostamento angolare si ottiene a partire dal rapporto:

( )

( )

ss g g α α α ′ ∆ ≅ Σ (1.8)

1.2 Estrazione dei parametri angolari di un sistema Monopulse

Fissato il valore α_s il fattore

|∆|/|Σ|

dipende esclusivamente dal pattern elementare

( )

g α

.

Supponiamo che il valore di α da misurare sia sufficientemente basso in modo da poter utilizzare le approssimazioni che esprimono Σ e ∆ in funzione di g(α); se g(α) è gaussiano , ovvero:

( )

_2exp

(

2

)

g α ≡ −kα (1.9) in cui k = 4· ln2, si ha

( )

_{2 2 exp}

(

2

)

g′ α = − kα −kα (1.10)

e quindi si ha l’andamento del segnale somma Σ e del segnale differenza mostrato in figura 1.13.

∆

Considerando le formule (1.8) – (1.10) si ha:

2kα αs Km ∆ ≅ = Σ α (1.11) in cui Km =2 4ln 2αs e in cui B

θ

α

θ

= è l’angolo del bersaglio normalizzato rispetto a θB, che è l’angolo del fascio a -3dB.

Come ordine di grandezza α_s è dell’ordine dell’unità e quindi (in pratica è compreso tra 1.5° e 2°). Noto il rapporto

2.7726 m k ≅ m K Σ ∆ e noto il coefficiente è possibile ricavare : m K

m K

α = ∆

Σ (1.12)

Fig. 1.13 - Fasci di antenna gaussiani e sovrapposizione dei segnali Σ e ∆ al crescere

dell’angolo di squint.

In figura sono mostrati gli andamenti del fascio di antenna e dei segnali somma e differenza sul piano cartesiano nel caso specifico di pattern elementare gaussiano; si distingue un primo caso (1) in cui i fasci sono simmetrici, ovvero si intersecano a -3dB, ed un secondo caso (2) in cui non lo sono. Dalle figure si evince che al crescere dell’angolo di squint (disallineamento angolare tra i due fasci) aumenta l’intervallo di “pull in” (intervallo angolare nel quale si puo approssimare che il segnale somma abbia un andamento lineare) ma decresce il segnale

Σ

.

Il coefficiente viene misurato sganciando i sistemi di asservimento e ruotando l’antenna lungo il piano azimutale o lungo quello di elevazione [Gal96]. Per definizione si ha: m K

( )

( )

₀ m B d K d ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ = ⎛ ∆ ⎞ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ Σ ⎝ ⎠ (1.13) m

K può essere ricavato anche indirettamente andando a determinare il valore massimo sul canale

∆ e l’angolo in cui il segnale Σ si interseca con quello∆. Se il valore misurato di

m

K è basso, il sistema monopulse non è buono per i suoi scopi ovvero la precisione angolare è degradata.

Per misurare il dato angolare occorre calcolare, oltre al rapporto Σ

∆ , anche il segno,

per sapere se il bersaglio si trova a destra oppure a sinistra dell’asse principale.

Più esattamente, indicando con ϕ_∆Σ l’angoloformato dai vettori rappresentativi del segnale somma e differenza (figura 1.14), occorre calcolare:

(

)

sgn cosϕ_∆Σ

Fig. 1.14 - Rappresentazione vettoriale dei segnali Σ e ∆ nel piano complesso.

Nel caso ideale ϕ_∆Σ

= 0

oppure ϕ_∆Σ

= π.

Quindi per ricavare il segnale errore da

inviare al servo sistema di controllo della posizione dell’antenna occorre ricavare la quantità:

cosϕ_∆Σ ∆

Σ

che è equivalente al prodotto scalare:

2 2 x x y y Σ ∆ + Σ ∆ ∆Σ = Σ Σ (1.14)

Essendo rispettivamente la parte reale e quella immaginaria di Σ e rispettivamente la parte reale e quella immaginaria di

y e x Σ Σ ∆_x e ∆_y ∆

.

Posto: = , S Σ D= ∆ Σ Σ (1.15)

si ottiene che il valore stimato dell’angolo è pari a:

(

B B x x y y m m S D S D S D K K θ θ θ = = +

)

(1.16)

Lo schema che realizza questa stima angolare e’ illustrato in figura 1.15 [Gal96].

x D y D x S y S

∆

Σ

B km θ

_θ

ˆ

Fig. 1.15 - Schema del circuito che stima l’angolo.

1.3 Errore di stima Monopulse

La precisione angolare di un radar d’inseguimento è influenzata da fattori quali: le proprietà meccaniche dell’antenna del radar e del supporto su cui è montato, il metodo attraverso il quale è misurata la posizione angolare dell’antenna, la qualità del servo sistema, la stabilità dei circuiti elettronici, il livello di rumore del ricevitore, la larghezza

del fascio di antenna, le fluttuazioni atmosferiche e le caratteristiche di riflessione del bersaglio. Questi fattori possono degradare l’accuratezza angolare facendo sì che il fascio di antenna fluttui intorno alla traiettoria esatta del bersaglio; queste fluttuazioni sono talvolta chiamate tracking noise o jitter. In molti casi i due fattori che in definitiva limitano la precisione angolare dei radar d’inseguimento sono gli errori meccanici e le caratteristiche di riflettività del bersaglio.

Un semplice bersaglio radar come una sfera liscia non provoca degradazioni dell’inseguimento angolare. La radar cross section di una sfera infatti è indipendente dalla particolare direzione da cui è vista, conseguentemente la sua eco non fluttua nel tempo; comunque la maggior parte dei bersagli radar è di gran lunga più complessa di una sfera e l’ampiezza del segnale d’eco, proveniente da un bersaglio complesso, può differire anche di molto al variare dell’angolo di osservazione.

Un bersaglio complesso, come un velivolo o una nave, può essere considerato come un insieme di elementi scatteranti indipendenti; il segnale d’eco può essere rappresentato come il vettore somma dei contributi provenienti da ognuno degli elementi scatteranti di cui è costituito il nostro bersaglio.

Se l’angolo di osservazione cambia, come accade a causa del moto del bersaglio o delle turbolenze nel caso di un velivolo, variano anche le ampiezze e le fasi dei singoli contributi e di conseguenza anche il vettore somma; si generano così le fluttuazioni di ampiezza.

Le fluttuazioni d’ampiezza del segnale d’eco sono rilevanti nei radar che utilizzano i metodi lobe switching e conical-scan, mentre sono poco significative nei radar che sfruttano la tecnologia monopulse; infatti i primi due metodi, per ottenere la misura dell’errore angolare, richiedono un intervallo di tempo finito che corrisponde almeno ad un periodo di rivoluzione del fascio d’antenna. Se durante tale tempo di osservazione la radar cross section varia, tale cambiamento sarà interpretato erroneamente come un segnale di errore angolare. Il monopulse, a differenza degli altri metodi, non è soggetto a questo tipo di errori poiché esso agisce a divisione di circuito anziché di tempo e quindi fluttuazioni di ampiezza esistenti sui segnali A B C e D non influenzano i segnali Σ, ∆t e ∆e.

Variazioni dell’angolo di osservazione del bersaglio possono far sì che il centro apparente di riflessione del bersaglio si sposti da un punto all’altro, generando così un disturbo chiamato fluttuazione d’angolo o glint. Tale centro potrebbe non coincidere con quello del bersaglio e addirittura non è necessario che gli appartenga fisicamente, potrebbe infatti trovarsi anche al di fuori di esso per un intervallo di tempo significativo. Per un

bersaglio poco distante o relativamente grande le fluttuazioni angolari possono essere il principale fattore limitante dell’accuratezza angolare.

Un’altra limitazione dell’accuratezza di inseguimento è la potenza di rumore del ricevitore. L’accuratezza della misurazione d’angolo è inversamente proporzionale alla radice quadrata del rapporto segnale-rumore; poiché il rapporto segnale-rumore è proporzionale a 1₄

R , l’errore angolare dovuto al rumore del ricevitore è proporzionale al quadrato della distanza del bersaglio.

Un’ulteriore fonte di disturbo è rappresentata dal rumore del servo sistema, causato dal meccanismo di adeguamento della direzione dell’antenna; l’entità di tale rumore è essenzialmente indipendente dall’eco del bersaglio e sempre e comunque indipendente dalla distanza.

Fig. 1.16 - Contributi di rumore per un radar che utilizza la tecnica monopulse.

La figura 1.16 mostra le prestazioni del sistema monopulse; essa riporta la grandezza / _B

ϑ

σ θ (varianza della stima normalizzata alla larghezza del fascio) in funzione della distanza del bersaglio dal radar.

La curva 1 indica il contributo di rumore termico del ricevitore, la curva 2 riporta il contributo di rumore dovuto al bersaglio (glint), la curva 3 è la composizione delle prime

due, la curva 4 descrive il contributo di rumore provocato dal servo sistema. Si evince che le prestazioni si deteriorano sia alle basse che alle alte distanze, mentre le migliori performance si rilevano alle distanze intermedie.

La tecnica monopulse, oggi largamente impiegata nei sistemi radar per il controllo del traffico aereo, è in grado di puntare continuamente un bersaglio aggiustando la mira ripetutamente a partire dalle informazioni ricevute da un unico impulso di ritorno.

Tuttavia nella pratica il radar invia più impulsi dando così la possibilità al rivelatore di migliorare la propria stima potendo contare su un numero maggiore di dati. Tutto questo è possibile grazie all’importante sviluppo della tecnologia che ha reso disponibili elementi di memoria e di elaborazione particolarmente veloci e flessibili ed antenne molto efficienti [McG91].

Considerando il caso particolare in cui il bersaglio non varia la propria posizione rispetto al radar durante tutto l’intervallo temporale in cui il radar riceve N misurazioni indipendenti di e ∆ Σ , lo stimatore a massima verosimiglianza è dato da :

1 1 ˆ _Re N k k ML N k k θ = = ⎧ ⎫ ∆ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎬} ⎪ _Σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

∑

∑

(1.17)

dove e sono rispettivamente i campioni di segnale in ingresso al ricevitore sul canale differenza e su quello somma.

k

∆ Σk

La stima viene quindi perfezionata attraverso una “integrazione” degli echi [Kan77]. Ovviamente all’aumentare del numero di impulsi le prestazioni del radar migliorano perchè aumentano le informazioni a disposizione per poter effettuare la stima, tuttavia occorre considerare che nella realtà il tempo disponibile risulta limitato a causa del movimento del bersaglio e della necessità di conoscerne la posizione con continuità.

In talune circostanze (rumore debole) può essere sufficiente un numero di osservazioni N basso per raggiungere una decisione in modo sufficientemente corretto, mentre in altre (rumore forte) potrebbe essere necessario un numero N elevato.

1.4 Diagramma di irradiazione dell’antenna

Come già scritto la tecnica monopulse determina la localizzazione di un singolo bersaglio a partire dal rapporto tra i campioni ricevuti simultaneamente sui canali somma e differenza. Solitamente l’antenna del radar è costituita da un array lineare di antenne e sfrutta un fascio in trasmissione e due fasci in ricezione. I pattern relativi ad un array lineare possono essere determinati a partire dai coefficienti peso w_Σ e , dal numero degli elementi che costituiscono l’array, dalla spaziatura tra i vari elementi dell’array e dalla frequenza di lavoro

w_∆ k

λ.

Un bersaglio posizionato in direzione θ_TG produce un vettore direzione dove

( )

TG 1 exp 2

(

)

... exp 2

(

(

1

)

)

T

s θ =⎡_⎣ j πφ j M − πφ ⎤_⎦ φ φ θ=

( )

TG =d sin

( )

θTG /λ. Il fascio somma e quello differenza saranno rispettivamente

( )

H

(

TG TG

q_Σ θ =w s_Σ θ

)

e

( )

H

(

TG TG

q_∆ θ =w s_∆ θ

)

. Il fascio somma q_Σ

( )

θ_TG è reale e pari con il massimo nella direzione di puntamento dell’antenna mentre q_∆

( )

θ_TG è reale e dispari con un nullo nella direzione di puntamento dell’antenna. La forma dei due fasci dipende dai valori assunti dai pesi w_Σ e w_∆.

Generalmente w_Σ è reale e pari mentre w_∆ è immaginario e dispari. Scegliendo

[

1 1 ... 1 1 1 ... 1

]

T w_Σ = e w_∆ =

[

j j ... j −j −j ... −j

]

T si ottiene [Mul04]:

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

1 0 exp 2 sin sin sin exp 1 sin sin sin K TG TG k TG TG TG d q j k d K d j K d θ π θ λ π θ λ π θ λ _{π θ} λ − Σ = ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎛ ⎜ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ = _⎜ − _⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

⎞ ⎟ (1.18)

( )

/ 2 1

( )

1

( )

0 / 2

exp 2 sin exp 2 sin

k K TG TG TG k k K d d q θ j j πk θ j j πk λ λ − − ∆ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}− _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑

θ

(

)

( )

( )

( )

1 cos sin exp 1 sin sin sin TG TG TG d K d j K d π θ λ π θ λ _{π θ} λ ⎛ ⎞ − _{⎜ ⎟} ⎛ ⎞ ⎝ = _⎜ − _⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ (1.19)

In figura 1.17 sono rappresentati gli andamenti del fascio somma e differenza

( )

norm TG

q_Σ θ e q_∆norm

( )

θ_TG , normalizzati al numero di elementi che compongono l’array, al variare dell’angolo k TG θ . -1 -0,5 0 0,5 1 -10 -5 0 5 10 sum beam difference beam a n te nn a pa tt e rn s

azimuth angle (degrees)

La direzione di puntamento dell’antenna è . Il valore del rapporto 0 d

λ è pari a 0.5. Per ottenere un angolo del fascio a metà potenza θ_B ≅2 sono necessari k =51 elementi.

Se entrambi i fasci ruotano elettronicamente con velocità angolare costante ω_R rad/s durante l’intervallo temporale in cui l’antenna illumina il bersaglio (ToT ), l’antenna induce una modulazione di ampiezza sul segnale di ritorno dal bersaglio su entrambi i canali che dipende dalla posizione del bersaglio e dalla direzione di puntamento dell’antenna. Si ha quindi:

(

,

)

sin sin sin sin TG R norm TG TG R d K n q n d K n π θ ω λ θ π θ ω λ Σ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ = ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T T ⎠ (1.20) e

(

,

)

1 cos sin sin sin TG R norm TG TG R d K n q n d K n π θ ω λ θ π θ ω λ ∆ ⎛ ⎞ − _⎜ − _⎟ ⎝ = ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T T ⎠

)

T (1.21)

dove n=0, 1, ... N-1, T è il periodo di ripetizione degli impulsi. Il numero di impulsi N all’interno dei punti a -3dB del fascio in trasmissione è dato da . Quindi la modulazione di ampiezza indotta sul segnale ricevuto è rappresentata dal vettore

(

/ B R N =θ ω Σ g per il canale somma e dal vettore g_∆ per quello differenza, dove:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 sin sin , , sin sin TG R TG norm TG TG R d K n g n q n d K n π θ ω λ θ θ π θ ω λ Σ Σ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ = = ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T T ⎠ (1.22) e

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

, , ,

sin sin 1 cos sin

sin sin TG norm TG norm TG TG R TG R TG R g n q n q n d d K n T K n d K n T θ θ θ π θ ω π θ ω λ λ π θ ω λ ∆ = Σ ∆ T ⎡ ⎤ ⎛ ₋ ⎞ ₋ ⎛ ₋ ⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎞⎟⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠⎦ = ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1.23)

In figura 1.18 sono rappresentati gli andamenti di g_Σ e g_∆ in funzione dell’angolo / TG n RT TG n B N θ − ω =θ − θ per K=51 e θB =2 . -1 -0,5 0 0,5 1 -10 -5 0 5 10 sum channel difference channel a n te nn a pa tt e rn s

azimuth angle (degrees)

Fig 1.18 – Modulazione introdotta dall’antenna sul canale somma e differenza [Mul04].

1.5 Modello dei dati

Supponendo che un unico bersaglio puntuale, con direzione di arrivo θ_TG e frequenza Doppler f , sia presente all’interno della cella di risoluzione in esame sul piano azimutale, D il vettore dei dati z è costituito da un insieme di echi ricevuti durante il ToT , sul canale somma e su quello differenza. L’n-esimo elemento di z è dato da:

2N N

( )

₍

(

₎

)

2 2 ( )

( )

₍

₎

, 0 , , 1,...2 1 D D j f n TG j f n N TG bg n e d n for n N z n bg n N e d n N for n N N N π π θ θ Σ − Σ ∆ ∆ ⎧ + = ⎪ = ⎨ _{− + − = +} ⎪⎩ ,1,... −1 − (1.24)

dove b è l’ampiezza complessa e incognita del segnale ricevuto, θTG∈

[

0,θB

)

, e è la frequenza Doppler del bersaglio normalizzata alla frequenza di ripetizione degli impulsi . Il termine

[

0.5,0.5

)

D

f ∈ −

PRF d_Σ

( )

n e d_∆

( )

n modellano il disturbo su entrambi i canali, costituito dalla sovrapposizione di clutter e rumore termico. Il problema di stima è stato svolto sotto le seguenti assunzioni su d_Σ

( )

n e d_∆

( )

n [Mul04]:

1. e sono processi stazionari complessi indipendenti dalle componenti del segnale.

( )

d_Σ n d_∆

( )

n

2. essi soddisfano le cosiddette mixing condition. 3. d_Σ

( )

n e d_∆

( )

n sono indipendenti l’uno dall’altro.

In notazioni vettoriali, il modello è dato da:

( )

z=a θ_TG b+d (1.25)

dove è il vettore complesso dei dati , è l’ampiezza

complessa e incognita del segnale ricevuto,

( )

0

(

2

)

T z z N ⎡ − ⎣ z= ... _{1 ⎤⎦} 2N×1 b TG

θ è la direzione di arrivo del segnale, a

( )

θTG è il vettore 2N×1 che può essere scritto come

( )

a

( )

_{( )}

a a TG TG TG θ θ θ Σ ∆ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (1.26) dove

( )

(

)

2 ₀ a , j f nD , ..., TG _n g TG n e n N π θ θ Σ Σ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ = −1 (1.27)

e

( )

(

)

2 ₀ a , j f nD , ..., TG _n g TG n e n N π θ θ ∆ ∆ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ = −1 1 ⎤⎦ (1.28)

Il vettore disturbo è costituito dai contributi dei canali somma e differenza . Si suppone che d 2N× T T T Σ ∆ ⎡ = ⎣

d d d d_Σ e d_∆ siano indipendenti e dati dalla sovrapposizione di rumore termico T T T e clutter

Σ ∆ ⎡ = ⎣ n n _{n ⎤⎦} T T T Σ ∆ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦

c c c . Il rumore termico n è modellato come un vettore gaussiano bianco complesso con media nulla, ovvero

dove

(

2

)

0 n CN σ n∼ , I 2 n

σ è la varianza di ogni componente di rumore e è la matrice identità I 2N×2N. I clutter e sono modellati come vettori di variabili aleatorie aventi distribuzione gaussiana complessa, a media nulla e matrice di covarianza

Σ

c c_∆

{ } { }

H H 2

c

E c c_{Σ Σ} =E c c_{∆ ∆} =σ M_Σ∆, dove σ è la varianza di ognuna delle componenti del _c2 clutter, M_Σ∆ è la matrice di covarianza normalizzata, cioè

[

M_Σ∆

]

_{i i,} =1 per . La matrice di covarianza del disturbo è

1 2 i= , ,...,N

{ }

2 2 2 2 2 2 2 0 0 M I M dd M I M M I H c n N d c c n d c n E σ σ σ σ σ σ σ Σ∆ Σ∆ N ⎡ + ⎤ = = + = _{= ⎢ ⎥} + ⎣ ⎦ (1.29)

doveI_N è la matrice identità N×N, d2 c2

2

n

σ =σ +σ è la potenza totale del disturbo e M è la matrice di covarianza del disturbo normalizzata, che è data da

1 1 1 M CNR M_c CNR CNR = + I + + (1.30)

Dove CNR è il rapporto clutter-rumore definito come CNR c2

2

n σ σ

= / . Quindi

. L’obiettivo è quello di stimare

(

₀ 2 d CN σ d∼ , M

)

θTG a partire dall’osservazione di campioni 2N

( )

{ }

2 1 0 N n z n −

= . Si sfrutta la conoscenza del diagramma di irradiazione dell’antenna

sul canale somma e su quello differenza e la conseguente modulazione di ampiezza impressa sul segnale riflesso dal bersaglio in entrambi i canali.

1.6 Stima ML e analisi delle simulazioni

Il vettore dei dati ha una distribuzione gaussiana complessa con funzione densità di probabilità condizionata a z TG θ e b data da:

(

)

( )

( )

(

)

1

(

( )

)

2 2 1 z z-A M z A z , exp M TG H TG TG TG N d d b b p _θ θ b θ θ σ πσ − ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (1.31)

La stima ML di θTG e b si ottiene massimizzando l’esponente di pzθ_TG

(

zθTG

)

rispetto a θ_TG e b.

Massimizzare _z

(

z ,

TG TG

)

p _θ θ b è equivalente a minimizzare la forma quadratica

( )

(

)

H 1

(

( )

)

H

TG b TG

θ −

− −

z A M z A θ b . Dopo opportune manipolazioni si trova [Mul02]:

( )

(

( )

( )

)

( )

( )

( )

( )

1 1 1 2 1 1 ˆ _{arg max} arg max H z M A A M A A M z z M a a M a ML TG TG H H TG TG TG TG TG H TG H TG TG θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − − − − = = 1 θ − (1.32)

Lo stimatore ML cerca il massimo della funzione monodimensionale _z

(

z ,

)

TG TG

p _θ θ b ;

il valore di θ_TG e b per cui si ha il picco della funzione corrisponde ai nostri ˆ

ML

TG

θ e ˆb _ML rispettivamente.

Ora si analizzano numericamente le prestazioni dello stimatore ML. Ricordando che l’errore quadratico medio è definito come _MSE

( )

_θˆ_{TG =E}

{

(

_θˆ_TG−θTG

)

2

}

_{, la radice} dell’errore quadratico medio (

( )

_{TG i}

( )

ˆ_TG 2

i i

RMSE= ⎡θ − θ ⎤

⎣ ⎦

∑

) si ottiene attraverso la

simulazione Monte Carlo. L’ viene ricavato con prove. In tutti i cicli la larghezza del fascio sul piano azimutale viene fissato a

RMSE 104

2

B

clutter è di tipo Lorenziano

(

AR

( )

1

)

simmetrica intorno alla frequenza nulla. Di

consequenza, la funzione di autocovarianza ha una forma esponenziale e gli elementi della matrice di covarianza del clutter sono dati da

[

]

2 i j

c ij

M_Σ∆ =σ ρ − con 0≤ ≤ρ 1, dove ρ è il coefficiente di correlazione del clutter. Lo scenario di riferimento è riferito al seguente set di parametri:

Larghezza del fascio a -3dB _{θB =2}

Numero di impulsi integrati N = 16

Direzione di arrivo del bersaglio θ_TG =_1.5

Frequenza Doppler del bersaglio f_D=0.3

Rapporto segnale-disturbo SDR=20dB

Rapporto clutter-rumore CNR= −∞ dB

Coefficiente di correlazione de clutter ρ=0.9

Tabella Ι – Parametri dello scenario analizzato

Ulteriori scenari si ottengono dal primo cambiando un solo parametro e mantenendo costanti tutti gli altri.

Le prestazioni dello stimatore ML sono analizzate in funzione di N, SDR, CNR, θ_TG, D

f .

In figura 1.19 è rappresentato l’andamento di in funzione del numero N di impulsi integrati. In figura 1.20 e 1.21 è rappresentato l’andamento di in funzione

di SDR nel caso di e nel caso CNR

RMSE

RMSE

CNR= −∞ dB = +∞dB.

Le curve in figura 1.22 e 1.23 mostrano l’andamento di RMSE in funzione di f e D di ϑTG .

La figura 1.24 mostra come il rapporto clutter-rumore (CNR ) influisce sulle prestazioni. La potenza totale del disturbo è mantenuta costante e pari a 2

1

d

σ = , il coefficiente di correlazione del clutter è fissato a ρ =0.9 e l’ampiezza complessa e incognita del segnale ricevuto viene cambiata ad ogni prova, in particolare viene definita b

come una variabile aleatoria normale con media nulla e varianza pari a (poichè la potenza totale del disturbo è unitaria). Il fatto di considerare l’ampiezza del segnale come una variabile aleatoria piuttosto che come una grandezza deterministica equivale a considerare il modello più realistico; inoltre, in questo caso, poichè non esiste una formula chiusa per lo stimatore a massima verosimiglianza, si utilizza la stessa formula relativa allo stimatore deterministico (1.32). Tutte le simulazioni (eccetto quelle che mettono in relazione l’ al variare del CNR) sono effettuate in presenza di solo rumore termico, ovvero la potenza del clutter è fissata a zero.

10 10SDR/ RMSE 0,001 0,01 0,1 1 10 20 30 40 50 60 RM S E ( D E G R E ES ) N

0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 RM S E ( D E G R E ES ) SDR (dB)

Fig. 1.20 – RMSE in funzione del rapporto segnale-disturbo SDR , ,

ampiezze aleatorie. CNR= −∞ dB 0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 RM S E ( D E G R E E S ) SDR (dB)

Fig. 1.21 – RMSE in funzione del rapporto segnale-disturbo SDR , ,

ampiezze aleatorie.

0,01 0,1 1 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 RM S E ( D E G R E ES ) Fd

Fig. 1.22 – RMSE in funzione della frequenza Doppler f_D, ampiezze aleatorie.

0,001 0,01 0,1 1 0 0,5 1 1,5 RM S E ( D E G R E E S ) THG 2

Fig. 1.23 – RMSE in funzione della direzione di arrivo del bersaglio ϑ_TG, ampiezze aleatorie.

0,001 0,01 0,1 1 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 RM SE ( D E G R E ES ) CNR (dB)

Fig. 1.24 – RMSE in funzione del rapporto clutter-rumore CNR, ampiezze aleatorie.

Dalle figure 1.19-1.24 si evince che le prestazioni dello stimatore per i parametri sopra elencati migliorano all’aumentare del numero di impulsi considerati N e all’aumentare del rapporto segnale-disturbo SDR, mentre risultano piuttosto insensibili alle variazioni della direzione di arrivo DOA del segnale e alle variazione della frequenza Doppler f . _D

Le figure 1.25-1.30 si riferiscono agli stessi scenari delle figure 1.19-1.24 con l’unica differenza che stavolta si è assunto che le ampiezze dei campioni di segnale utile in ingresso al ricevitore siano delle quantità deterministiche, ovvero che valga la relazione:

2 2 2 c n b SDR σ σ = +

0,001 0,01 0,1 1 10 20 30 40 50 60 R M SE ( D E G R E ES ) N

Fig. 1.25 – RMSE in funzione del numero degli impulsi N, ampiezze determinisriche.

0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 RM S E ( D E G R E E S ) SDR (dB)

Fig. 1.26 – RMSE in funzione del rapporto segnale-disturbo SDR, CNR ,

ampiezze deterministiche.

dB = −∞

0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 RM S E ( D E G R E ES ) SDR (dB)

Fig. 1.27 – RMSE in funzione del rapporto segnale-disturbo SDR, CNR ,

ampiezze deterministiche. dB = +∞ 0,001 0,01 0,1 1 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 RM S E ( D E G R E ES ) FD

Fig. 1.28 – RMSE in funzione del numero della frequenza Doppler f , ampiezze _D deterministiche.

0,001 0,01 0,1 1 0 0,5 1 1,5 RM S E ( D E G R E ES ) THG 2

Fig. 1.29 – RMSE in funzione del numero della direzione di arrivo del bersaglio θTG, ampiezze deterministiche. 0,001 0,01 0,1 1 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 RM S E ( D E G R E E S ) CNR (dB)

Confrontando tra loro le figure 1.19-1.24 e le figure 1.25-1.30 risulta evidente che gli andamenti delle curve sono pressocchè uguali e che le curve relative al caso in cui le ampiezze sono deterministiche, come era facile prevedere, sono leggermente più basse, ovvero le prestazioni migliori si ottengono proprio in quest’ultima condizione di lavoro.

1.7 Stima Monopulse e analisi delle simulazioni

A partire dalle espressioni dei vettori gΣ

(

θTG,n

)

e g∆

(

θTG,n

)

)

che rappresentano la modulazione complessiva indotta sull’ampiezza del segnale riflesso rispettivamente sul canale somma e su quello differenza, si calcola la funzione ottenuta dal rapporto

(

)

(

{

}

Re g _TG,n /g _TG,n

γ = _∆ θ _Σ θ calcolata per n= ed al variare dell’angolo 0 θTG in un intorno della direzione di puntamento dell’antenna (θTG = ). La funzione così ottenuta ha 0 l’andamento mostrato in figura 1.31.

-6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 ga m m a degrees

Ricordando che nella pratica il radar monopulse lavora con più impulsi piuttosto che con uno solo (come prevede la tecnica base), nell’implementazione si prenderanno in considerazione N impulsi e quindi si lavorerà con 2N campioni di segnale.

Dalle equazioni (1.22)-(1.23)-(1.24) si ricava il vettore dei dati (di dimensione ) da cui si ottiene un nuovo vettore dimensionale il cui generico termine è dato da T T Σ ∆ ⎡ = ⎣ z _{z , z ⎤⎦} 1 2N× N

( ) ( )

{

}

Re / j j

z = z_∆ z_{Σ j} , dove j=1, 2,...,N. A questo punto una possibile strategia di stima, oltre a quella di pag. 17, è la seguente: per ogni componente del vettore

z si calcola il valore di angolo

i

TG

θ per cui la funzione

(

( ) ( )

/

)

i i

TG TG i

g_∆ θ g_Σ θ − si z

annulla; dagli valori così ottenuti, si ricava la stima dell’angolo che è la media di tutti questi, ovvero: N 1 ˆ i Mono N TG i TG N θ θ ₌

∑

= _(1.33)

Si è trattato il caso in cui il bersaglio può essere considerato statico rispetto al radar durante il time-on-target (ToT), cioè, durante la registrazione degli N impulsi. In questo caso, a causa del movimento dell’antenna, lo stimatore (1.33) risulta polarizzato e la polarizzazione può essere calcolata. Si verifica facilmente che per la polarizzazione

{ }

ˆTG TG

b=E θ −θ vale la seguente firmula:

1 1 2 B b N θ ⎛ ⎞ = −_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (1.34)

per cui l’espressione dello stimatore monopulse non polarizzato diventa:

1 1 ˆ ₁ 2 i Mono N TG i B TG N N θ _θ θ ₌ = _{+ −}⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(1.35)

Come per lo stimatore ML, anche per quello monopulse si effettua l’analisi delle prestazioni andando a valutare gli andamenti dell’ , calcolato attraverso le simulazioni Monte Carlo, al variare di N, SDR, CNR,

RMSE TG

θ , f . Lo scenario di riferimento _D è sempre lo stesso. Le figure 1.32-1.43 mostrano gli andamenti delle stesse funzioni rappresentate nelle figure 1.19-1.30, nello stesso ordine ma per la stima monopulse.

0,001 0,01 0,1 1 10 20 30 40 50 60 RM SE (D E G R E ES ) N

Fig. 1.32 – RMSE in funzione del numero degli impulsi N, ampiezze aleatorie.

0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 R M SE (D E G R E E S ) SDR (dB)

Fig. 1.33 – RMSE in funzione del rapporto segnale-disturbo SDR, CNR , ampiezze aleatorie. dB = −∞ 0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 R M SE (D E G R E ES ) SDR (dB)

Fig. 1.34 – RMSE in funzione del rapporto segnale-disturbo SDR, CNR ,

ampiezze aleatorie. dB = +∞ 0,001 0,01 0,1 1 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 R M SE (D E G R E E S ) FD

0,001 0,01 0,1 1 0 0,4 0,8 1,2 1,6 RM S E (D E G R E ES ) THG

Fig. 1.36 – RMSE in funzione del numero della direzione di arrivo del bersaglio θ_TG, ampiezze aleatorie. 0,001 0,01 0,1 1 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 RM S E ( D E G R E ES ) CNR (dB)

0,001 0,01 0,1 1 10 20 30 40 50 60 RM S E ( D E G R E ES ) N

Fig. 1.38 – RMSE in funzione del numero degli impulsi N, ampiezze deterministiche.

0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 RM S E ( D E G R E E S ) SDR (dB)

Fig. 1.39 – RMSE in funzione del rapporto segnale-disturbo SDR, CNR ,

ampiezze deterministiche.

dB = −∞

0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 RM S E ( D E G R E ES ) SDR (dB)

Fig. 1.40 – RMSE in funzione del rapporto segnale-disturbo SDR, CNR ,

ampiezze deterministiche. dB = +∞ 0,001 0,01 0,1 1 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 RM S E ( D E G R E E S ) FD

Fig. 1.41 – RMSE in funzione del numero della frequenza Doppler f , ampiezze _D deterministiche.

0,001 0,01 0,1 1 0 0,4 0,8 1,2 1,6 RM S E ( D E G R E E S ) THG

Fig. 1.42 – RMSE in funzione del numero della direzione di arrivo del bersaglio θ_TG, ampiezze deterministiche. 0,001 0,01 0,1 1 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 RM S E ( D E G R E E S ) CNR (dB)

Fig. 1.43 – RMSE in funzione del rapporto clutter-rumore CNR, ampiezze deterministiche.

Dalle figure 1.30-1.43 si evidenzia che le prestazioni migliori si ottengono nel caso in cui le ampiezze complesse del segnale sono deterministiche; inoltre, le prestazioni

aumentano (ovvero l’RMSE diminuisce) all’aumentare del rapporto segnale-disturbo, all’aumentare del numero di impulsi N, mentre risulta insensibile alle variazioni della frequenza Doppler f e del rapporto clutter-rumore termico _D . Per quanto riguarda l’andamento dell’RMSE al variara della DOA del segnale, si nota che le prestazioni migliori si ottengono quando il bersaglio si trova nella zona centrale del fascio (il minimo si ottiene proprio quando DOA=1).

CNR

1.8 Confronto tra i due metodi di stima

A questo punto vengono effettuate delle considerazioni sui due diversi metodi di stima confrontando gli andamenti delle curve precedentemente analizzate nelle due diverse condizioni di lavoro, ovvero ampiezze aleatorie e ampiezze deterministiche.

Gli andamenti dei grafici nel caso deterministico e aleatorio sono abbastanza simili anche se, come si nota, le prestazioni migliorano leggermente, come è facile aspettarsi, nel caso in cui le ampiezze dei segnali siano deterministiche. Inoltre in tutti i casi lo stimatore ML supera quello monopulse in termini di prestazioni.

Nelle figure 1.44-1.49 vengono rappresentati gli andamenti di RMSE al variare rispettivamente di N e di SDR per CNR= −∞dB e per CNR= +∞dB. Gli andamenti delle coppie di curve (stimatore ML e monopulse) sono simili e le prestazioni migliorano all’aumentare di N e di SDR. Considerando la funzione RMSE (N) la differenza tra le curve decresce da per N=4 fino per N=64 nel caso aleatorio e da per N=4 per arrivare fino a per N=64 nel caso deterministico.

0.07 0.03 0.13

3

(8 10 )⋅ −

Negli altri due casi la differenza tra le curve per SDR=0 dB è di circa 0.3 e si annulla quasi completamente da SDR=40 dB in poi.

Nelle figure 1.50-1.51 sono rappresentati gli andamenti dell’RMSE al variare della frequenza Doppler del bersaglio. Gli andamenti delle coppie di curve sono ancora simili e costanti al variare di f . Nel caso di ampiezze aleatorie la differenza tra le curve si D mantiene all’incirca pari a , mentre nell’altro caso le curve sono leggermente più basse e la differenza è di circa .

0.4 0.3

Nelle figure 1.52-1.53 sono rappresentati gli andamenti dell’RMSE al variare dell’angolo di arrivo del bersaglio. La curva che mostra le prestazioni dello stimatore monopulse ha un andamento a parabola con concavità rivolta verso l’alto e centrata in 1;

quella relativa allo stimatore ML è costante e quasi tangente alla precedente proprio nei dintorni di uno.

Infine le figure 1.54-1.55 rappresentano gli andamenti dell’RMSE al variare del CNR; la curva relativa allo stimatore monopulse è piuttosto piatta, mentre quella relativa allo stimatore ML che già in partenza si trova sotto la precedente si abbassa ulteriormente all’aumentare del CNR. 0,001 0,01 0,1 1 10 20 30 40 50 60 ml(random) mono(random) RM S E ( D EG R E ES ) N

0,001 0,01 0,1 1 10 20 30 40 50 60 ml(determ) mono(determ) R M S E ( D EG R E ES ) N

Fig. 1.45 – RMSE versus N, ampiezze deterministiche.

0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ml(random) mono(random) RM S E ( D EGR E ES ) SDR (dB)

0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ml(determ) mono(determ) RM S E (D EG R E ES ) SDR (dB)

Fig. 1.47 – RMSE versus SDR, CNR= −∞dB, ampiezze deterministiche.

0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ml(random) mono(random) RM S E ( D EG R E ES ) SDR (dB)

0,001 0,01 0,1 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ml(determ) mono(determ) RM SE ( D EG R E ES ) SDR (dB)

Fig. 1.49 – RMSE versus SDR, CNR= +∞dB, ampiezze deterministiche.

0,001 0,01 0,1 1 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 ml(random) mono(random) RM S E ( D E G R E E S ) FD

0,1 1 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 ml(determ) mono(determ) R M S E ( D EG R E ES ) FD

Figg. 1.51 – RMSE versus FD, ampiezze deterministiche.

0,001 0,01 0,1 1 0 0,4 0,8 1,2 1,6 ml(random) mono(random) R M S E ( D EG R E ES ) THG

0,001 0,01 0,1 1 0 0,4 0,8 1,2 1,6 ml(determ) mono(determ) RM S E ( D EGR E E S ) THG

Fig. 1.53 – RMSE versus THG, ampiezze deterministiche.

0,001 0,01 0,1 1 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 ml(random) mono(random) RM S E ( D E G R E ES ) CNR (dB)

0,001 0,01 0,1 1 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 ml(determ) mono(determ) R M S E ( D EG R E ES ) CNR (dB)

Fig.1.55 – RMSE versus CNR, ampiezze deterministiche.

Per completezza in figura 1.56 è riportato l’istogramma dello stimatore monopulse e di quello ML quando due bersagli sono presenti nella stessa cellla di risoluzione. I parametri sono fissati nella tabella II:

Larghezza del fascio a -3dB _{θB =2}

Numero di impulsi integrati N = 16

Direzione di arrivo del bersaglio

1 0.9 , 2 1.5

TG TG

θ = θ =

Frequenza Doppler del bersaglio

1 0.3, 2 0.3

D D

f = − f =

Rapporto segnale-disturbo SDR₁=SDR₂ =20dB

Rapporto clutter-rumore CNR= −∞ dB

Coefficiente di correlazione de clutter ρ=0.9

0 100 200 300 400 500 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 θ (degrees) 0 100 200 300 400 500 600 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 θ (degrees)

Fig. 1.56 – Istogramma relativo allo stimatore ML e monopulse.

Dalla figura 1.56 si evince che la tecnica monopulse fornisce una sola stima, approssimativamente al centro dei due bersagli. La stima differisce sostanzialmente dal valore vero di entrambi i bersagli per cui tale tecnica non è applicabile in caso di presenza di più bersagli.