Matematica con elementi di Informatica

Derivate di funzioni notevoli

Matematica

con elementi di Informatica

Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica

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Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche

Anno Accademico 2020/2021

Derivate di funzioni notevoli

Dai limiti notevoli si possono ricavare subito le derivate di alcune funzioni notevoli.

1 D(sin x) =cos x , x ∈_R;

2 D(cos x) = −sin x , x ∈_R;

3 D(log_ax) = ¹_{xln a}¹ , x >0, a>0, a6=1;

4 D(a^x) =a^x·ln a, x ∈_{R, a}>0;

5 D(x^a) =ax^a−1, x >0, a∈_R;

D sin x = cos x

Dimostrazione.

∆ sin x

∆x = ^sin(x+h) −sin x x+h−x =

= sin x cos h+sin h cos x−sin x

h =

= sin xcos h−1

h +cos xsin h h

e quindi, facendo il limite per ∆x =h→0, D(sin x) = lim

∆x→0

∆ sin x

∆x =sin x·0+cos x·1=cos x

D cos x = − sin x

Dimostrazione.

∆ cos x

∆x = ^cos(x+h) −cos x x+h−x =

= cos x cos h−sin h sin x−cos x

h =

= cos xcos h−1

h −sin xsin h h

e quindi, facendo il limite per ∆x =h→0, D(cos x) = lim

∆x→0

∆ cos x

∆x =cos x·0−sin x·1= −sin x

D log

x =

Dimostrazione. Abbiamo

∆ logax

∆x = ^loga(x+h) −log_ax

h = ^{loga 1}+^h_x
h

Allora, facendo il limite per ∆x =h →0 e il cambio di variabile y =h/x,

hlim→0

∆ logax

∆x = lim

y→0

log_a(1+y)

xy = ¹

x 1 ln a Ovviamente da questo si ricava

D ln x = ¹ x

Da

= a

ln a

Dimostrazione.

∆a^x

∆x = ^a

x+h−a^x

h =a^xa^h−1 h e facendo il limite per ∆x =h →0 otteniamo

∆xlim→0

∆a^x

∆x =a^xln a Ovviamente da questo si ricava

De^x =e^x

Dx

= ax

Dimostrazione. Osserviamo che

∆x^a

∆x = (x+h)^a−x^a

h =x^a 1+ ^h_x
^a−1 h

Allora, facendo il limite per ∆x =h →0 e il cambio di variabile y =h/x,

hlim→0

∆x^a

∆x =x^a lim

y→0

(1+y)^a−1

xy =ax^a−1