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Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2008/2009 Matematica 1

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Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2008/2009

Matematica 1

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 23 ottobre 2010

Istruzioni.

• Il foglio con il testo, compilato con nome e cognome ed eventualmente numero di matricola, va consegnato assieme alla bella copia. Non si consegnano brutte copie.

• I due gruppi di domande, intitolati Domande elementari e Domande teoriche, vanno scritti in ordine di comparsa sul foglio del testo e vanno scritti su un foglio diverso dal terzo gruppo di domande, detto Esercizi.

• Per l’ammissione all’orale, lo studente dovr`a raggiungere un punteggio totale di almeno 16/30 e raccogliere almeno la met`a del punteggio in ciascun gruppo di do- mande.

Domande elementari.

1. (2 punti) Risolvere l’equazione

√ 2 x + 1 − √

3 x − 1 = 0.

2. (2 punti) Risolvere la disequazione

√ 2 x − 1 − √

x + 2 > 0.

(2)

Domande teoriche.

1. (i) (3 punti) Enunciare e dimostrare il Teorema di de l’Hospital per una funzione reale di variabile reale.

(ii) (3 punti) Calcolare quindi i limiti

x→0

lim

sin

2

2x

x

2

, lim

x→+∞

1 − cos

2

x

x

2

, lim

x→0

1 − cos

2

x

x

2

lim

x→+∞

e

x

ln x , utilizzando il teorema, discutendo poi la correttezza dei risultati trovati.

2. (i) (3 punti) Fornire la definizione di limite finito di una funzione reale di variabile reale per x → +∞.

(ii) (3 punti) Utilizzando la definizione di limite, dimostrare che

x→+∞

lim

2x + 1 x − 1 = 2.

Esercizi.

1. (5 punti) Dire quale, tra le seguenti applicazioni, f

1

, f

2

ed f

3

: R

3

→ R

2

, f

1

(x, y, z) = (x + y + z, x

2

)

f

2

(x, y, z) = (x − y + z, x + y

2

) f

3

(x, y, z) = (x + y − z, z)

`e lineare. Per l’applicazione lineare, determinare la matrice di rappresentazione usando la base {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} in R

3

e la base canonica in R

2

.

2. (2 punti) Dire per quale valore di λ le matrici

 1 4 2 1

 e

 1 2 λ 1



commutano.

3. (5 punti) Studiare la funzione

f (x) = e

g(x)

con g(x) = x

2

− 2 x x

2

+ 1 . 4. (2 punti) Calcolare la media della funzione

f (x) =

 e

sin x

cos x x ≤ 0 2 + e

cos x

sin x x > 0

sull’intervallo [−π/2, π/2] ed indicare se si applica il teorema della media.

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