Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2008/2009
Matematica 1
Nome ...
N. Matricola ... Ancona, 23 ottobre 2010
Istruzioni.
• Il foglio con il testo, compilato con nome e cognome ed eventualmente numero di matricola, va consegnato assieme alla bella copia. Non si consegnano brutte copie.
• I due gruppi di domande, intitolati Domande elementari e Domande teoriche, vanno scritti in ordine di comparsa sul foglio del testo e vanno scritti su un foglio diverso dal terzo gruppo di domande, detto Esercizi.
• Per l’ammissione all’orale, lo studente dovr`a raggiungere un punteggio totale di almeno 16/30 e raccogliere almeno la met`a del punteggio in ciascun gruppo di do- mande.
Domande elementari.
1. (2 punti) Risolvere l’equazione
√ 2 x + 1 − √
3 x − 1 = 0.
2. (2 punti) Risolvere la disequazione
√ 2 x − 1 − √
x + 2 > 0.
Domande teoriche.
1. (i) (3 punti) Enunciare e dimostrare il Teorema di de l’Hospital per una funzione reale di variabile reale.
(ii) (3 punti) Calcolare quindi i limiti
x→0
lim
sin
22x
x
2, lim
x→+∞
1 − cos
2x
x
2, lim
x→0
1 − cos
2x
x
2lim
x→+∞
e
xln x , utilizzando il teorema, discutendo poi la correttezza dei risultati trovati.
2. (i) (3 punti) Fornire la definizione di limite finito di una funzione reale di variabile reale per x → +∞.
(ii) (3 punti) Utilizzando la definizione di limite, dimostrare che
x→+∞