DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA A.A. 2011/2012
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA MECCANICA
DANIELE ANDREUCCI
DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA UNIVERSIT`A LA SAPIENZA
VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY
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Presentazione del corso.
Equazioni alle derivate ordinarie e alle derivate parziali.
L’idea del metodo di Fourier: soluzioni come sviluppi in serie di soluzioni a variabili separabili.
Studio qualitativo delle serie ottenute.
2. Gioved`ı 29/9/2011
L’equazione del calore come conseguenza della legge di Fourier.
L’equazione della diffusione come conseguenza della legge di Fick.
Flusso e condizioni al contorno.
Derivazione di Einstein dell’equazione della diffusione. Soluzione fondamentale e sua interpretazione probabilistica.
L’equazione di Laplace come caso stazionario dell’equazione del calore.
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.2.
3. Venerd`ı 30/9/2011
Derivazione dell’equazione della corda vibrante dalle leggi della meccanica.
Derivazione dell’equazione di Laplace dal principio variazionale di Dirichlet.
Soluzioni per variabili separabili dell’equazione del calore e delle onde.
Autofunzioni e autovalori del problema
X′′+ λX = 0 , 0 < x < L ; X(0) = X(L) = 0 . Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3, 1.4, 5.1.
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4. Mercoled`ı 5/10/2011
Definizioni di autofunzioni e autovalori per i problemi di Dirichlet e di Neumann per il laplaciano.
Teorema 4.1. Gli autovalori del laplaciano sono non negativi. Il pro- blema di Neumann ha l’autovalore nullo, il problema di Dirichlet non l’ha.
Esempio 4.2. Calcolo di autovalori e autofunzioni in dimensione 1. Teorema 4.3. Le autofunzioni corrispondenti a due autovalori diversi sono ortogonali.
Definizione di autofunzione normalizzata.
Introduzione al metodo di Fourier per l’equazione omogenea del calore in dimensione 1.
Paragrafi di riferimento sul testo: 5.2.
5. Gioved`ı 6/11/2011
Metodo di Fourier per l’equazione del calore (o delle onde) non omogenea.
Problemi di Cauchy per i coefficienti dello sviluppo in serie di autofunzioni.
Scelta delle condizioni al bordo per le autofunzioni.
Applicazione al problema della lunghezza critica.
Bilancio dell’energia per soluzioni dell’equazione del calore in un intervallo, con condizioni alla frontiera di tipo Neumann.
Equazione delle onde come ‘prodotto’ delle due equazioni di trasporto ut± cux = 0.
Paragrafi di riferimento sul testo: 5.3.
6. Mercoled`ı 12/10/2011
Rappresentazione delle soluzioni dell’equazione delle onde come f (x − ct) + g(x + ct).
Formula di D’Alembert.
Esercizi relativi.
Paragrafi di riferimento sul testo: 3.3, 10.1.
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Analisi della formula di D’Alembert: comportamenti tipici.
Formula dell’energia per l’equazione delle onde; caso con attrito.
Teorema 6.1.
Esercizi sull’equazione delle onde.
Paragrafi di riferimento sul testo: 10.1, 6.1.
8. Venerd`ı 14/10/2011
Prodotto scalare e norma in L2(I).
Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e triangolare; prime conseguenze.
Convergenza in norma.
Esercizi sull’equazione delle onde.
Bilancio di energia nei problemi al contorno per l’equazione del calore.
Paragrafi di riferimento sul testo: 7.1.
9. Mercoled`ı 19/11/2011
Sistemi ortonormali.
Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti, quindi L2(I) ha dimensione infinita come spazio vettoriale.
Approssimazione di funzioni con sistemi ortonormali.
Disuguaglianza di Bessel.
Sistemi ortonormali completi.
Paragrafi di riferimento sul testo: 7.2, 7.3.
10. Gioved`ı 20/10/2011
Identit`a di Parseval.
Un sistema ortonormale ϕn `e completo se e solo se (f, g) =
X∞ n=1
(f, ϕn)(g, ϕn) , per ogni f , g.
Il sistema ortonormale di Fourier in (0, 2π), e quelli dei seni e dei coseni in (0, π). Loro applicazioni alle equazioni a derivate parziali.
Completezza dei sistemi dei seni e dei coseni come conseguenza di quella del sistema di Fourier.
Paragrafi di riferimento sul testo: 7.4, 8.1, 8.2.
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11. Mercoled`ı 26/10/2011
Problemi al contorno con condizioni di tipo misto, e sistemi ortonormali in (0, π/2) collegati.
Il metodo della riflessione per problemi al contorno con condizioni di tipo misto.
Trasformazione di un sistema ortonormale in (c, d) in un sistema ortonormale in (a, b).
Il principio di massimo (debole) per l’equazione di Laplace.
Paragrafi di riferimento sul testo: 8.2, 8.3, 4.1.
12. Venerd`ı 28/10/2011 3 ore
Il principio di massimo forte per l’equazione di Laplace.
Applicazioni: unicit`a di soluzioni e dipendenza continua dai dati per il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace.
Soluzioni esplicite dell’equazione di Laplace: polinomi, soluzioni a va- riabili separabili. Soluzioni a variabili polari separabili: definite in spicchi di piano, corone circolari, tutto il piano. Soluzioni radiali nel piano e nello spazio.
Applicazione del metodo di Fourier all’equazione di Laplace in rettangoli.
Paragrafi di riferimento sul testo: 3.1, 3.2, 4.1, 4.2.
13. Mercoled`ı 2/11/2011
Prodotti di sistemi ortonormali.
Lemma di Hopf per l’equazione di Laplace.
Paragrafi di riferimento sul testo: 8.7, 4.5.
14. Gioved`ı 3/11/2011
Il principio di massimo, massimo forte e il lemma di Hopf per l’equazione del calore.
Applicazione del metodo di Fourier all’equazione di Laplace in strisce semiinfinite.
Il metodo di Fourier per problemi per le equazioni di evoluzione in rettangoli.
Paragrafi di riferimento sul testo: 4.3, 4.6, 8.7.
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Teorema generale sui sistemi ortonormali dati dalle autofunzioni del laplaciano.
Autofunzioni del laplaciano in cerchi; funzioni di Bessel.
Studio asintotico di soluzioni di problemi al contorno per l’equazione del calore.
Paragrafi di riferimento sul testo: 4.4, 9.1, 9.2, 9.5.
16. Mercoled`ı 9/11/2011
Introduzione alle soluzioni deboli.
Problema stazionario per la corda vibrante con carico discontinuo e di tipo delta di Dirac.
Problema stazionario per l’equazione del calore con diffusivit`a discontinua.
Condizioni di salto all’interfaccia.
17. Gioved`ı 10/11/2011
Sviluppi in serie di Fourier di soluzioni dell’equazione di Laplace in cerchi e in corone circolari.
Rappresentazione locale di funzioni armoniche come serie di Fourier in coordinate polari.
Propriet`a della media, su circonferenze e su cerchi.
Teorema di Liouville.
Paragrafi di riferimento sul testo: 9.4.
18. Venerd`ı 11/11/2011
Autofunzioni del Laplaciano in cerchi (funzioni di Bessel).
Definizione di soluzione debole.
Il metodo di Galerkin per equazioni ellittiche.
Paragrafi di riferimento sul testo: 9.5, 18.1, 18.5.
19. Mercoled`ı 16/11/2011
Soluzioni deboli.
Condizioni di salto.
Unicit`a della soluzione debole.
Paragrafi di riferimento sul testo: 18.1, 18.3, 18.5.
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20. Gioved`ı 17/11/2011
Soluzioni deboli per l’equazione del calore.
Esercizi sul principio di massimo per l’equazione del calore e di Laplace.
Il metodo di Galerkin per equazioni paraboliche. La matrice di rigidezza `e definita positiva.
Dati iniziali di tipo impulsivo per l’equazione delle onde (esercizio 3/310). Paragrafi di riferimento sul testo: 18.3, 18.5.
21. Venerd`ı 18/11/2011
Ricerca delle autofunzioni per il problema
−(a(x)ϕ′)′ = λϕ , 0 < x < L ; ϕ(0) = ϕ(L) = 0 , con a costante a tratti.
Il funzionale
J1(u) =
Z
Ω
|∇ u|2dx ,
per u ∈ K = {u | u = u0 su ∂Ω}, e suo collegamento con il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace. Stabilizzazione delle successioni minimizzanti.
Formula di rappresentazione per l’equazione del calore.
Effetto regolarizzante dell’equazione del calore.
Velocit`a infinita di propagazione delle perturbazioni per l’equazione del calore.
Paragrafi di riferimento sul testo: 18.2, 11.3, 11.4.
22. Mercoled`ı 23/11/2011
Vibrazioni di una corda con carico puntiforme. Caso con rigidit`a e senza rigidit`a.
Esercizi sull’equazione del calore.
23. Gioved`ı 24/11/2011
Stime di soluzioni del problema di Cauchy per l’equazione del calore.
Cammino medio di ordine√ t.
Esercizi sull’equazione di Laplace.
Paragrafi di riferimento sul testo: 11.3.
7
Principio di Duhamel. Problema non omogeneo per l’equazione delle onde.
Formula di rappresentazione per il problema di Dirichlet nel semipiano per l’equazione di Laplace.
Esercizi sul principio di Duhamel.
Paragrafi di riferimento sul testo: 11.2, 12.1, 12.2.
25. Mercoled`ı 30/11/2011
La trasformata di Fourier di funzioni integrabili e le sue propriet`a.
Applicazione della trasformata di Fourier alla determinazione della for- mula di rappresentazione per la soluzione dell’equazione di Laplace nel semipiano.
Paragrafi di riferimento sul testo: 14.1, 14.2, 14.4.
26. Gioved`ı 1/12/2011
La trasformata di Laplace e le sue propriet`a.
Applicazione della trasformata di Laplace alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti.
Applicazione della trasformata di Laplace alla risoluzione del problema di Cauchy per l’equazione del calore.
Esercizi sulla formula di rappresentazione per l’equazione del calore.
Paragrafi di riferimento sul testo: 15.1, 15.2, 15.3.
27. Mercoled`ı 7/12/2012
Esercizio: risoluzione del problema nel quarto di piano per l’equazione del calore con condizione al contorno di tipo di Robin, mediante la trasformata di Laplace.
Equazioni del quarto ordine: il bilaplaciano.
Le autofunzioni del laplaciano sono autofunzioni del bilaplaciano.
Teorema 27.1. Se u(x, y) `e armonica, allora xu, yu, (x2+ y2)u sono biarmoniche.
Il bilaplaciano in coordinate polari.
Risoluzione con il metodo di Fourier in un rettangolo.
Problema nella striscia infinita (0, π)×(−∞, ∞) con carico concentrato sul segmento y = 0; risoluzione per serie; condizioni di salto.
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28. Venerd`ı 9/12/2011
Soluzione di un problema per il bilaplaciano in coordinate polari nel cerchio con carico costante.
Soluzione del problema
∆ u = δ(x) , in R2.
Esercizi sull’equazione del calore.
29. Mercoled`ı 14/12/2011
Soluzione del problema
∆2u = δ(x) , in R2; confronto con il caso del Laplaciano.
Applicazione al problema per il bilaplaciano in coordinate polari nel cerchio con carico concentrato nel centro.
Esercizi sul metodo di Fourier per l’equazione delle conde.
30. Gioved`ı 15/12/2011
Ricapitolazione.
Esercizi sul metodo di Fourier per l’equazione del calore e di Laplace.
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