2. Una massa mA=5 kg è posta su un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito statico s=0.3 e coefficiente di attrito dinamico d=0.2. Una seconda massa mB=1 kg è collegata alla prima mediante una fune ideale ed è libera di muoversi in verticale mediante una carrucola liscia. Alla massa mA è inoltre applicata una forza costante F con direzione formante un angolo =10° con l’orizzontale.
a) si discuta per quali valori del modulo di F il sistema si sposta vincendo l’attrito statico.
b) si determini l’accelerazione con cui il sistema si muove nelle condizioni di primo distacco
3. Un pendolo semplice è costituito da una massa m=1kg e da un filo di massa trascurabile e di lunghezza L=60cm. Esso è messo in oscillazione da un impulso diretto lungo il moto di intensità I=2 kg m/s che agisce quando il pendolo è fermo ed inclinato di un angolo =10° rispetto alla verticale.
Determinare l’angolo di oscillazione massima del pendolo dopo l’impuso e la tensione massima del filo.
4. Un piattello di massa M=3 kg, attaccato ad una molla di massa trascurabile di costante elastica k=20 N/m, è messo in oscillazione lungo un piano liscio orizzontale.
Una proiettile di massa mA=100g viaggia alla velocità VA=100m/s impattando contro il piattello quando esso transita fuori dalla sua posizione di equilibrio in Xo=3cm con una velocità Vo=5m/s. L’urto è perfettamente anelsatico. Determinare la nuova velocità del sistema piattello proiettile, la nuova ampiezza di oscillazione, l’energia persa durante l’urto.
5. Un corpo rigido costituito da due dischi massicci concentrici di massa M1=5kg ed M2=10kg e raggi R1=1m ed R2=1.5m rotola senza strisciare lungo un piano orizzontale scabro sotto l’azione di un peso M collegato al disco interno mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile. Si determini l’accelerazione di caduta della massa M=15kg, ed il minimo coefficiente di attrito statico fra il piano ed il corpo che garantisca il puro rotolamento di
Un U ni iv ve er rs si it tà à d d i i R Ro om m a a “L “ La a Sa S a pi p ie en nz za a ” ” Fa F a co c o lt l tà à d d i i In I ng ge eg g ne n er ri ia a
FIFISSIICCAA A.A. 2013-2014 Ingegneria Gestionale (M-Z)
Esonero del 9 Maggio 2014
mA
M
VA
Vo
Xo
M M1
M2
R1
R2
mB
suolo F
mA
I
L
O
2. Applicando il secondo principio per ogni blocco si ottiene in condizione statica:
massa mB ; t) T mBg0 massa mA ;
0 0 cos
) )
g m Fsen R
A T F
n t
A n
s
sommando le equazioni lungo l’asse t per tutte le masse si ottiene l’espressione dell’attrito g
m F
As cos B soggetta alla verifica As sRn s
mAgFsin
da cui si ottiene il range di valori che garantiscono la statica
m m g
F
s B A
s
sin
cos 23.6 N
la forza minima per avere il primo distacco Fmin=23.6 N
Applicando il secondo principio si ottiene in condizione dinamica:
massa mB ; t) T mBgmAa massa mA ;
0 cos
) )
min min
g m sen F R
a m A T F
n t
A n
B d
sommando le equazioni si ottiene l’accelerazione
B A
A d B
m m
sen F g m g
m
a Fmincos min
B A
A d B d
m m
g m m
sen
Fmin cos
1
tan 1
tan 1
A d B
A s B s
d B
A A d B
m m
m m
m m
m gm
0.748 m/s2
3. L’impulso produce una variazione della quantità di moto nel punto (a) I pf pi mva dove pi=0 da cui si ricava va I m
L’angolo massimo si ottiene imponendo la conservazione dell’energia meccanica.
B B A
A T U T
U ossia
1 cos
1 cos
2
1mva2 mgL mgL
da cui l’oscillazione massima è
m gL
I
2 2
cos 2 arccos
49°52’
La tensione massima si ottiene quando il pendolo è nella posizione verticale (c)
3 2cos
2
max mg
L mg mv
T c 16.8 N
Un U ni iv ve er rs si it tà à d d i i R Ro om ma a “ “ La L a S Sa a pi p ie en nz za a ” ” Fa F a co c ol lt tà à d di i I I ng n g eg e g ne n e ri r ia a
FIFISSIICCAA A.A. 2013-2014 Ingegneria Gestionale (M-Z) Soluzione dell’esonero del 9 Maggio 2014
L(1-cos)
va
L
O
L(1-cos)
rif
(a)
(b)
(c)
mB
suolo F
mA
PB
T T
PA
As
t t n
Rn
4. L’intero processo viene scomposto in due fenomeni distinti consecutivi:
4.1 l’urto anelastico tra il proiettile ed il piattello in cui viene conservata la quantità di moto del sistema (particolari 1 e 2 in figura);
4.2 il fenomeno di oscillazione del sistema in cui viene conservata l’energia meccanica (particolari 2 e 3).
a) nuova velocità del sistema piattello/proiettile VA: velocità proiettile prima dell’urto
Vo: velocità blocco prima dell’urto
V: velocità del sistema piattello/proiettile dopo l’urto
M m
VV m
MVo A A A da cui
A A A o
m M
V m
V MV 1.61 m/s
(nella direzione dell’asse x)
b) energia persa a causa dell’urto
Energia cinetica prima dell’urto: 1 2 2 2
1 2
1
A A
o m V
MV
T 537.5 J
Energia cinetica dopo l’urto:
A A A o
A M m
V m V MV
m M
T
2 2
2 2
1 2
1 =4 J
Perdita di energia a causa dell’urto:
2
1 T
T
A
A A o A
A A
o A
m M
V m MV V
m M m V m M M
2 2 2
2
1 =
22 1
A O A
A V V
m M
m
M
=533.5 J
c) nuova velocità del sistema piattello/proiettile
E2: energia meccanica immediatamente dopo urto: 2
2 22 1 2
1
o
A V kX
m M
E
E3: energia meccanica alla massima elongazione : 3 2 2 1kA E
Imponendo E2 E3 si ottiene la massima elongazione 2 V2 k
m X M
A o A =64 cm
5. Studio del rotolamento della ruota
1a cardinale:
c s
n
a M M A T
g M M P R t n
2 1
2 1 12
)
) (Eq.1)
2a cardinale (rispetto ad un asse per C): ASR2TR1 Itot (Eq.2) (dove per la condizione di puro rotolamento =Vc/R2 da cui =ac/R2
Studio delle forze sul blocco M
t)
2 2 1 2
1 1
1 1
R R Ma R
R R Ma R
a M R dt V
M d dt M dv Ma T
P c c c c (Eq.3)
mA
M
VA
Vo
Xo
M+mA
V
Xo (3)
A (2) (1)
M P M1
M2
R1
R2
As
T T
Rn
t P12
Sommando la Eq.(2) con la Eq.(1) moltiplicata per R2 si riesce ad elimina il termine di attrito ricavando l’espressione della tensione T:
R R
R tot aC I R M T M2 2 1
2 2 2 1
che inserita nell’Eq.(3) porta
tot
c M R R M M R I
R R R g M
a 2
2 2 1 2 2 1
2 2
1 3.9 m/s2
dove il momento di inerzia dei due dischi rispetto al centro di massa è : 1 12 2 22 2 1 2
1M R M R
Itot
ossia ad una accelerazione di caduta del grave
2 2 1
R R a R
a c 6.5 m/s2
da cui la tensione della fune T M
ga
49.4 N da cui l’attrito statico As T
M1M2
aC -9.1 N(l’attrito è quindi diretto nel senso opposto a quello indicato in figura)
Ed infine la condizione sul coefficiente di attrito minimo
n s
s R
A 0.062
