Metodi Matematici per l’Ec. e l’Az. 2

Prove di esame del corso di

Metodi Matematici per l’Ec. e l’Az. 2

Parti B di MATEMATICA FINANZIARIA

1 - ESERCIZIO

Si intende avviare un progetto di investimento che richiede un finanziamento di 500ml.

a) Si considerano due possibili finanziamenti:

- rimborso con rate annue costanti in 3 anni ad un tasso di finanziamento pari al 10%.

- rimborso in tre anni con rate di importo rispettivamente di 250, 200 e 150 ml ciascuna.

Costruire il piano di ammortamento del primo finanziamento.

b) Stabilire secondo il criterio del VAN, dato un costo opportunità del capitale proprio i = 7%, la convenienza relativa tra le due forme di finanziamento.

c) Il progetto è caratterizzato dai seguenti flussi di cassa:

Tempo Flussi

0 -1000

1 600

2 600

3 600

Calcolare il VAN e l’APV del progetto.

d) Giustificando la risposta, dato che il massimo finanziamento è pari a 500, deter- minare la quota α ottima di finanziamento da utilizzare.

SOLUZIONE

La rata di ammortamento è data da:

R = 500 a_3|0.1= 500

1−(1.1)⁻³ 0.1

= 201. 06

Il piano d’ammortamento è dato da:

t R I C E D

0 - - - - 500

1 201.06 50 201.06-50= 151. 06 151. 06 500-151. 06 = 348. 94 2 201.06 34.8 94 201.06-34.8 94 = 166. 17 317. 23 348. 94-166. 17 = 182. 77 3 201.06 18.2 77 201.06-18.2 77 = 182. 78 500 0

b) Il VAN dei due finanziamenti è dato da:

V AN_a = +500 − 201.06a3|0.07= 500 − 201.061 − (1 + 0.07)⁻³

0.07 = −27. 645 V AN_b = +500 − 250

1 + 0.07− 200 (1.07)²− 150

(1.07)³= −30. 777 Conviene quindi la prima forma di finanziamento.

c) Il VAN e l’APV del progetto sono rispettivamente:

V AN_cp = −1000 + 600a3|0.07= −1000 + 6001 − (1 + 0.07)⁻³ 0.07 = 574.59 AP V = 574.59 − 27.645 = 546.95

d) Se possibile conviene utilizzare completamente mezzi propri poichè il VAN del finanziamento è negativo.

2 - ESERCIZIO

Un contratto di leasing è caratterizzato dalle seguenti condizioni:

a) valore di fornitura 2000 Euro, b) durata 12 mesi, c) tasso di interesse contrattuale j₁₂=12%, d) anticipo in contanti pari al 20% del valore di fornitura, e) valore di riscatto pari al 10% del valore di fornitura, e) canoni mensili posticipati

• Si ricavi il canone di leasing;

• Dato che la il costo opportunità del capitale proprio della società di leasing pari al 0.5% (=0.005) mensile, determinare il V AN del contratto per la società di leasing.

• La società di leasing potrebbe impiegare i 2000 Euro del valore di fornitura anzichè nell’acquisto del bene da cedere in leasing in un progetto che le garan- tirebbe i seguenti flussi:

0 1 2

-2000 1000 1300

Sarebbe più conveniente questa scelta o l’acquisto del bene da cedere in leasing?

SOLUZIONE

• La rata di leasing è soluzione dell’equazione:

2000 = 2000 ∗ 0.2 + 2000 ∗ 0.1 ∗ (1 + i12)⁻¹²+ Ca_12|i12 da cui:

C =2000 − 400 − 2000 ∗ 0.1 ∗ (1 + i12)⁻¹² a_12|i12

Poichè j₁₂= 12%, si ha i₁₂= 1% e quindi

a_12|i12=1 − (1 + 0.01)⁻¹² 0.01 = 11. 255 e quindi:

C =2000 − 400 − 2000 ∗ 0.1 ∗ (1 + 0.01)⁻¹²

11. 255 = 126.39Euro

• Dato che la società di leasing è caratterizzata da un costo opportunità del capitale proprio pari al 0.5% =(0.5/100= .00 5) mensile, il V AN del contratto di leasing per la società di leasing è dato da:.

V AN_leas= −2000 + 2000 ∗ 0.2 + 2000 ∗ 0.1 ∗ (1 + .00 5)⁻¹²+ 126.39a_12|0.005

= −2000 + 2000 ∗ 0.2 + 2000 ∗ 0.1 ∗ (1 + 0.005)⁻¹²+ 126.391−(1+.00 5)⁻¹² 0.00 5

= 56. 898

• Nel caso la società attivasse il progetto, il VAN sarebbe:

V ANPr og= −2000 + 1000 (1 + 0.005)⁻¹²+ 1300 (1 + 0.005)⁻²⁴= 95. 247 Quindi sarebbe più conveniente utilizzare i 2000E per l’attivazione del progetto e non impiegarli nell’acquisto del bene da cedere in leasing.

3 - ESERCIZIO

Un debito di 10000Euro viene rimborsato mediante il pagamento di 4 rate semestrali posticipate con rate costanti e ad un tasso di interesse del 10% su base annua.

a) Si rediga il piano d’ammortamento.

b) Il debito viene estinto anticipatamente rispetto alla scadenza prevista contrat- tualmente. Alla fine del secondo semestre si provvede infatti al pagamento della rata in scadenza e del debito residuo maggiorato di una penale del 2% e di una commissione fissa di 250Euro. Si determini il TIR dell’operazione finanziaria.

c) Si determini il VAN dell’operazione di cui al punto b) dato che il contraente del debito ha un costo opportunità, su base composta semestrale, del capitale proprio del 4%.

SOLUZIONE

a) L’importo delle singole rate è ottenuto mediante la soluzione di:

10000 = Ra_4Ii2

dove i₂= (1 + 0, 1)^1/2− 1 = 1. 048 8 − 1 = 4, 8 8%. Di conseguenza si ha:

a4Ii2=1 − (1 + i2)⁻⁴

i₂ =1 − (1, 048 8)⁻⁴

0, 048 8 = 3, 555 9

e l’importo della singola rata è dato da:

R = 10000

3, 555 9= 2812, 2 Il Piano d’ammortamento è quindi:

Tempo Quota

Capitale

Quota

Interesse Rata Debito

Estinto

Debito Residuo

0 - - - - 10000

0,5 2812.2 − 488 = 2324.2 10000 ∗ 0.0488 = 488.0 2812.2 2324.2 7675.8 1 2812.2 − 374.58 = 2437.6 7675.8 ∗ 0.0488 = 374.58 2812.2 4761.8 5238.2 1,5 2812.2 − 255.62 = 2556.6 5238.2 ∗ 0.0488 = 255.62 2812.2 7318.4 2681.6

2 2812.2 − 130.86 = 2681.6 2681.6 ∗ 0.0488 = 130.86 2812.2 10000 0 b) I flussi di cassa in presenza di estinzione anticipata del debito sono dati da:

tempo 0 0.5 1

Flussi 10000 -2812.2 -2812.2 − 5238. 2 (1 + 0.02) − 250 = −8405. 2 e il calcolo del TIR richiede la determinazione della soluzione dell’equazione:

10000 − 2812.2

(1 + x)^0.5−8405. 2 (1 + x)= 0 che ha come soluzione x^∗= 0.140 90.

c) Il VAN dell’operazione è dato da:

10000 −2812.2 1.04 −8405. 2

(1.04)²= −475. 12E

4 - ESERCIZIO

Un investitore ha una disponibilità di 950E. Considera come opportunità di investi- mento l’acquisto di BOT o di Treasury Bills.

Un BOT di valore nominale 100E con vita residua 1 anno (360 gg) è quotato 95E. Un Treasury Bill con vita residua di 1 anno (360 gg) e nominale di 100$ ha una quotazione di 6. Il tasso di cambio E/$ è pari a 0.98 (cioè 1 dollaro costa 0.98 euro).

a) Determinare il prezzo di un Treasury Bill e il numero di titoli americani che l’investitore può acquistare.

b) Determinare l’ammontare di dollari che l’investitore avrà a disposizione alla sca- denza del Treasury Bill. Quale il tasso di cambio E/$ tra un anno che renderebbe equivalente l’acquisto di BOT o di Treasury Bill?

c) Dato che è possibile acquistare solo un numero intero di titoli di stato americano e dato che l’investitore può depositare l’ammontare non impiegato in Treasury Bill

in un conto corrente in Euro che viene remunerato ad un tasso di interesse semplice annuo del 2%, determinare l’ammontare di Euro che l’investitore avrà a disposizione alla scadenza del Treasury Bill, dato che il futuro tasso di cambio euro/$ sarà pari a 1.02E/$.

SOLUZIONE a)

P^{T B}= 100 µ

1 − 0.06360 360

¶

= 94$

Disporre di 950E è equivalente a disporre 950 ∗ 1

0.98= 969. 39$

e dunque l’investitore può acquistare 969. 39

94 = 10. 313 unità di Treasury Bill.

b) Tenendo i Treasury Bills sino a scadenza l’investitore disporrà tra un anno di:

10.313 ∗ 100 = 1031.3$

Acquistando BOT disporrà invece di 1000E. Il tasso di cambio S₁che renderà equiv- alente le due strategie è dato da:

1031.3 ∗ S1= 1000 da cui:

S1= 1000

1031.3= 0.969 65E/$

c) Potendo acquistare solo un numero intero di Treasury Bill, l’investitore ne acquis- terà 10 per una spesa complessiva di 940$. Gli rimarrano quindi 29.39$ (969.39 − 940), equivalenti a 29.39*0.98= 28. 802 E che potrà investire ad un tasso del 2%.

L’ammontare di Euro di cui disporrà tra un anno sarà quindi 28. 802$ ∗ (1 + 0.02) + 1000$ ∗ 1.02E/$ = 1049. 4E mentre se avesse acquistato BOT avrebbe ottenuto solo 1000E.

5 - ESERCIZIO

Un progetto di investimento è descritto da un esborso iniziale di 1000E e da incassi futuri mensili di 100E per 5 anni.

a) Dato un costo opportunità del 2% composto mensilmente determinare il VAN del progetto (suggerimento: usa a_nm|im).

b) La società attiva anche un contratto di leasing caratterizzato da un valore del bene di 200E, un anticipo del 5% del valore del bene, un riscatto pari al 3% del valore del bene. Il contratto prevede 12 canoni mensili per un anno. Determinare il canone del leasing dato un tasso di finanziamento mensile pari al 4%.

c) Il contratto di leasing del punto precedente prevede anche il pagamento di spese forfettarie di 10E al momento della stipula, spese di incasso per ciascun canone di 1E. Determinare l’APV del progetto utilizzando il VAN del progetto già ottenuto al punto a il VAN del contratto di leasing dato il costo opportunità del 2% composto mensile (suggerimento: usa ancora a_nm|im).

SOLUZIONE

Un progetto di investimento è descritto da un esborso iniziale di 1000E e da incassi futuri mensili di 100E per 5 anni.

a) Dato un costo opportunità del 2% composto mensilmente il VAN del progetto (utilizzando a_nm|im) risulta

V AN = −1000 + 100a12∗5|i12

= −1000 + 1001 − (1 + 0.02)⁻⁶⁰ 0.02

= 2476.1 b) Il canone risulta pari a:

C = 200 − 0.05 ∗ 200 − 0.03 ∗ 200 ∗ (1 + 0.04)⁻¹²

1−(1+0.04)⁻¹² 0.04

= 186. 25 9. 385 1

= 19. 846

c) Se il contratto di leasing del punto precedente prevede anche il pagamento di spese forfettarie di 10E al momento della stipula e spese di incasso per ciascun canone di 1E, allora l’APV del progetto risulta pari a (si può utilizzare il VAN del progetto già ottenuto al punto (a) cui si aggiunge il VAN del contratto di leasing al costo opportunità del 2% composto mensile):

AP V = V ANCP+ V AN_leas

= 2476.1 +

³

200 − 10 − 0.05 ∗ 200 − (19.846 + 1) a12|0.02− 0.03 ∗ 200 ∗ (1 + 0.02)⁻¹²

´

= 2476.1 + Ã

200 − 10 − 0.05 ∗ 200 − (19.846 + 1)1 − (1 + 0.02)⁻¹²

0.02 −

−0.03 ∗ 200 ∗ (1 + 0.02)⁻¹²´

= 2476.1 + 180.0 − 20.846 ∗ 10. 575 − 4. 731 0

= 2430.9

6 - ESERCIZIO

Un contratto di leasing è caratterizzato dalle seguenti condizioni:

a) valore di fornitura 2000 Euro, b) durata 12 mesi, c) tasso di interesse contrattuale j₁₂=12%, d) anticipo in contanti pari al 20% del valore di fornitura, e) valore di riscatto pari al 10% del valore di fornitura, e) canoni mensili posticipati

• Si ricavi il canone di leasing;

• Dato che la società di leasing ha acquistato il bene per 1800E e impone una spesa forfettaria di 100E, spese di incasso canoni pari a 3E e spese di riscatto pari a 30E, determinare il V AN del contratto per la società di leasing avendo questa un costo opportunità del capitale proprio pari a j₁₂=12%.

• La società di leasing potrebbe impiegare i 1300 Euro del valore di fornitura anzichè nell’acquisto del bene da cedere in leasing in un progetto che le garan- tirebbe i seguenti flussi:

0 1 2

-1300 900 800

Sarebbe più conveniente questa scelta o l’acquisto del bene da cedere in leasing?

SOLUZIONE

• La rata di leasing è soluzione dell’equazione:

2000 = 2000 ∗ 0.2 + 2000 ∗ 0.1 ∗ (1 + i12)⁻¹²+ Ca_12|i12 da cui:

C =2000 − 400 − 2000 ∗ 0.1 ∗ (1 + i12)⁻¹² a_12|i12

Poichè j₁₂= 12%, si ha i₁₂= 1% e quindi a_12|i12=1 − (1 + 0.01)⁻¹²

0.01 = 11. 255 e quindi:

C =2000 − 400 − 2000 ∗ 0.1 ∗ (1 + 0.01)⁻¹²

11. 255 = 126.39Euro

• Il V AN del contratto di leasing per la società di leasing è dato da, tenendo conto del costo d’acquisto del bene e delle maggiori entrate dovute alle spese ac- cessorie:

V AN_leas= −1800 + 2000 ∗ 0.2 + 100 + (2000 ∗ 0.1 + 30) ∗ (1 + i12)⁻¹²+ (C + 3) a_12|i12

= −1800 + 2000 ∗ 0.2 + 100 + (2000 ∗ 0.1 + 30) ∗ (1 + 0.01)⁻¹²+ (126.39 + 3)^1−(1+.01)_0.01⁻¹²

= −1300.0 + 230 ∗ 0.887 45 + 129.39 ∗ 11. 255

= 360. 40

• Nel caso la società attivasse il progetto, il VAN sarebbe:

V AN_{Pr og} = −1300 + 900 ∗ (1 + 0.01)⁻¹²+ 800 ∗ (1 + 0.01)⁻²⁴

= 128.76

Quindi sarebbe più conveniente utilizzare i 1300E per l’acquisto del bene da cedere in leasing.

7 - ESERCIZIO

Un’impresa deve decidere se accedere ad un prestito di 10000E. Deve decidere se attivarlo in Euro o in Dollaro.

a) Il prestito in Euro viene ripagato con quattro rate trimestrali costanti ad un tasso j4= 8%. Costruire il piano d’ammortamento del prestito e calcolare il VAN del finanziamento dato che il costo opportunità del capitale proprio dell’impresa è pari al 1% trimestrale.

b) Al momento della decisione il tasso di cambio E/$ (quanti euro per acquistare un dollaro) è pari a 1E/$. Se attiva il prestito in dollari, lo ripaga mediante quattro rate semestrali costanti ad un tasso j₂^$= 10%. Determinare l’importo della rata.

c) Tenendo conto che il tasso di cambio E/$ (quanti euro per acquistare un dollaro) nei prossimi quattro semestri è stimato pari a:

Tempo E/$

0 1

0,5 1,1

1 1,2

1,5 1,1

2 0,95

calcolare il VAN in Euro del finanziamento in dollari e determinare tra le due opzioni la più conveniente.

SOLUZIONE

a) L’importo della rata in Euro è dato da:

R^E=10000 a_4|0.08 4

= 10000

1−(1+0.02)⁻⁴ 0.02

= 2626. 2

Il piano d’ammortamento è dato da:

T empo Rata Interessi Capitale Debito

0 − − − 10000

0.25 2626. 2 0.02 ∗ 10000 = 200 2426.2 10000 − 2426.2 = 7573. 8 0.5 2626. 2 0.02 ∗ 7573. 8 = 151. 48 2474. 7 7573. 8 − 2474. 7 = 5099.1 0.75 2626. 2 0.02 ∗ 5099.1 = 101.98 2524. 2 5099.1 − 2524. 2 = 2574. 9

1 2626. 2 0.02 ∗ 2574. 9 = 51. 498 2574. 7 0

Il VAN del finanziamento in Euro è dato da:

V AN^E = 10000 − 2626. 2a4|0.01

= 10000 − 2626. 21 − (1 + 0.01)⁻⁴ 0.01

= −247. 34

b) Se accede al finanziamento in dollari, data la parità del tasso di cambio ottiene subito 10000$. La rata per ripagare questo finanziamento ammonta a:

R^$=10000

a_4|0.05 = 10000

1−(1+0.05)⁻⁴ 0.05

= 2820. 1$

c) Tenendo conto che il tasso di cambio E/$ (quanti euro per acquistare un dollaro) nei prossimi quattro semestri è stimato pari a, per ogni data possiamo convertire l’importo della rata in Dollari in Euro:

Tempo E/$ Rata in Euro

0 1 10000$∗1E/$

0,5 1,1 -2820. 1$ ∗ 1.1E/$ = −3102. 1E 1 1,2 -2820. 1$ ∗ 1.2E/$ = −3384. 1E 1,5 1,1 -2820. 1$ ∗ 1.1E/$ = −3102. 1E 2 0,95 -2820. 1$ ∗ 0.95E/$ = −2679. 1E

Per calcolare il VAN determiniamo il costo opportunità del capitale proprio su base annua:

i = (1 + 0.01)⁴− 1 = 0.04060 4 Il VAN in Euro del finanziamento in dollari è quindi dato da:

V AN = +10000 − 3102.1

1.04060 4¹²− 3384.1

1.040604− 3102.1

1.040604³²− 2679.1 1.04060 4²

= −1689.5

che rappresenta il VAN in Euro del finanziamento in dollari. L’impresa opterà per il finanziamento in Euro.

8 - ESERCIZIO

E’ dato il seguente progetto di investimento:

Epoche 0 1 2

F lussi −100 80 60

Il progetto è finanziabile al 50% mediante il seguente finanziamento

Epoche 0 1 2

F lussi 50 −26 −27 Il costo opportunità del capitale proprio è pari al 5%.

• stabilire se il TIR del finanziamento sia inferiore o meno al 5%;

• determinare l’APV del progetto e stabilire se convenga utilizzare il finanzia- mento.

• Quale l’ammontare della rata del debito al tempo 2 che renderebbe indifferente l’utilizzo o meno del finanziamento?

SOLUZIONE

• Il valore attuale netto a tasso 0.05 del finanziamento è V AN (0.05) = 50 − 26

1.05− 27

(1.05)²= 0.748 3 > 0

ed essendo positivo indica che il tasso del finanziamento è inferiore al 5%.

• L’APV a tasso 0.05 della combinazione investimento/finanziamento è AP V (0.05) = −50 + 54

1.05+ 33

(1.05)²= 31.361 > 0

e, per quanto concluso al punto precedente, conviene attivare il finanziamento.

• La rata x che renderebbe indifferenti è soluzione dell’equazione:

−100 + 80 1.05+ 60

(1.05)²= −50 + 54

1.05+60 − x (1.05)² da cui risolvendo si avrebbe:

x = 27.825

9 - ESERCIZIO

Un imprenditore decide di attuare un progetto di investimento caratterizzato dai seguenti flussi in Euro:

Tempo Flussi

0 -1000

1 800

2 800

Dato che per l’attivazione del progetto è necessario un finanziamento pari all’intero importo del progetto, decide di valutare la convenienza delle due seguenti alternative:

• accensione di un prestito da ripagare con 4 rate semestrali costanti secondo il regime dello sconto commerciale al tasso annuo di sconto del 7%.

• accensione di un prestito in valuta straniera di durata biennale, con rate annue costanti in regime di interesse composto al tasso annuo del 6%, tenuto conto di una svalutazione annua del cambio dollaro/euro del 1% e dato che il tasso di cambio corrente è 1.1$/E (quindi se oggi S_t = 1.1 allora S_t+3 = 1.1 ∗ (1 + 0.01)³).

Applicando il criterio dell’APV, quale tra le due proposte l’investitore decide di attivare dato che il suo costo opportunità pari al 4%?

SOLUZIONE

Determiniamo l’importo delle rate utilizzando l’espressione del valore attuale di una rendita di rata r pagata m volte l’anno e durata n anni al tasso di sconto d, data da:

A = nmr µ

1 − dnm + 1 2m

¶

Nell’es. in questione A rappresenta l’ammontare del debito, cioè 1000. Inoltre n = 2, m = 2 e d = 0.07 per cui:

r = A

nm¡

1 − d^nm+12m

¢ = 1000

2 ∗ 2 ∗¡

1 − 0.07^2∗2+1_2∗2 ¢ = 273. 97

risulta la rata d’ammortamento del debito. Quindi se si adotta questa scelta i flussi di cassa del progetto sarebbero dati da:

t Inv.to Debito Flussi Netti V.A. (i = 5%)

0 -1000 +1000 0 0

0.5 -273. 97

1 800 -273. 97 520.67 ^520.67

(1+0.05)

1.5 -273. 97

2 800 -273. 97 520.67 ^520.67

(1+0.05)²

APV₁= 468.14

Per valutare la convenienza della scelta, determiniamo l’APV che risulta essere:

AP V = 0 + 800a_2|0.04− 273. 97a4|i2

con

i₂= (1 + 0.04)¹²− 1 = 0.01980 4.

Quindi:

APV₁ = 0 + 800a_2|0.04− 273. 97a4|i2

= 8001 − (1 + 0.04)⁻²

0.04 − 273. 971 − (1 + 0.01980 4)⁻⁴ 0.01980 4

= 465. 18

Nel secondo caso, occorre determinare innanzitutto l’importo del debito in valuta straniera che è

1000Euro

¡₁

1.1

¢E/$ = 1000 ∗ 1.1$ = 1100$

La rata di rimborso in dollari è ottenuta risolvendo 1100$=Ra_2|0.06, da cui si ottiene l’ammontare della rata in dollari:

R_$= 1100

a_2|0.06$ = 1100

1−(1+0.06)⁻² 0.06

$ = 599. 98$

Per determinare le corrispondenti rate in Euro, occorre tenere conto della svalu- tazione del tasso di cambio. Si avrebbe quindi

t Flussi Debito in $ Tasso Cambio E/$ Flussi Debito in E

0 +1100 _1.1¹ +1000

1 -599. 98 1.1∗(1+0.01)¹ = 0.900 09 -599. 98 ∗ 0.900 09 = −540. 04

2 -599. 98 ¹

1.1∗(1+0.01)²= 0.891 18 -599. 98 ∗ 0.891 18 = −534. 69 Di conseguenza i flussi del progetto in questo secondo caso sono dati da:

t Inv.to Debito Flussi Netti V.A. (i = 4%)

0 -1000 +1000 0 0

1 800 −540. 04 +259. 96 _(1+0.04)^{259. 96} 2 800 −534. 69 +265. 31 ^{265. 31}

(1+0.04)²

APV₂= 495. 26

Poichè l’APV nel secondo caso risulta essere maggiore, l’imprenditore preferirà accedere al secondo finanziamento.

10 - ESERCIZIO

Un gestore ha in attivo una posizione lunga in 100 unità di zcb a 2 anni e 100 unità di zcb a 10 anni. Il valore nominale di ciascun zcb è100. Ha anche una posizione passiva in 195.19 zcb a 5 anni, ognuno di valore nominale 100. Il tasso di valutazione espresso dal mercato è del 10%.

a) Si calcoli il valore e la duration della posizione attiva

b) Si calcoli il valore e la duration della posizione passiva e si stabilisca se una variazione positiva dei tassi fa crescere o ridurre il valore della posizione complessiva (attivo-passivo).

c) Impostare il sistema lineare che il gestore deve risolvere per immunizzare il portafoglio alle variazioni dei tassi.

d) Senza risolvere il s.l. del punto precedente, stabilire se il gestore deve aumentare o ridurre la quantità di zcb a 10 anni.

SOLUZIONE

a) Il valore attuale e la duration della posizione attiva, dato un tasso i = 10%

sono:

A (0.1) = 100 ∗100

1.1²+ 100100 1.1¹⁰= 12120 D_A = 2 ∗ 100 ∗1.1¹⁰⁰²+ 10 ∗ 1001.1¹⁰⁰¹⁰

12120 = 4. 5448

b) Per il passivo si ha invece:

L (i) = 195.19 ∗100

1.1⁵= 12120.0 D_L = 5

Poichè si ha un’excess duration negativa, cioè

AD_A− LDL= 12120 ∗ (4. 5448 − 5) < 0 e poichè

V = A − L = 12120 − 12120 = 0

∆V = − ∆i

1 + i(AD_A− LDL) = − ∆i

1 + i∗ 12120 ∗ (4. 5448 − 5) > 0 una variazione positiva dei tassi comporterà una variazione positiva del valore netto del portafoglio.

c) Si deve ricombinare il portafoglio, trovando le quantità n₁e n₂degli zcb a 2 e 10 anni in modo che:

A^∗ = A (= L) A^∗D_A∗ = LD_L cioé

n₁∗100 1.1²+ n₂100

1.1¹⁰ = 12120 12120n₁∗ 2 ∗1.1¹⁰⁰²+ n₂∗ 10 ∗1.1¹⁰⁰¹⁰

12120 = 5 ∗ 12120

da cui si ha il SL:

½ n₁∗_1.1¹⁰⁰2+ n₂¹⁰⁰

1.1¹⁰= 12120 n₁∗ 2 ∗_1.1¹⁰⁰2+ n₂∗ 10 ∗_1.1¹⁰⁰10= 5 ∗ 12120

la cui soluzione (non richiesta è): n₁= 91. 658, n₂= 117. 89

d) Ovviamente il gestore deve aumentare la duration dell’attivo e quindi deve aumentare il numero di zcb a 10 anni e ridurre il numero di zcb a 2 anni.

11 - ESERCIZIO

Un gestore ha in attivo una posizione lunga in 100 unità di zcb a 1 anno e 100 unità di zcb a 20 anni. Il valore nominale di ciascun zcb è1. Ha anche una posizione passiva in 170. 35 zcb a 5 anni, sempre di valore nominale 1. Il tasso di valutazione espresso dal mercato è del 10%.

a) Si calcoli il valore e la duration della posizione attiva.

b) Si calcoli il valore e la duration della posizione passiva e si stabilisca se una variazione positiva dei tassi fa crescere o ridurre il valore della posizione complessiva (attivo-passivo).

c) Impostare il sistema lineare che il gestore deve risolvere per immunizzare il portafoglio alle variazioni dei tassi.

d) Senza risolvere il s.l. del punto precedente, stabilire se il gestore deve aumentare o ridurre la quantità di zcb a 20 anni.

SOLUZIONE

Un gestore ha in attivo una posizione lunga in 100 unità di zcb a 1 anno e 100 unità di zcb a 20 anni. Il valore nominale di ciascun zcb è1. Ha anche una posizione passiva in 170. 35 zcb a 5 anni, sempre di valore nominale 1. Il tasso di valutazione espresso dal mercato è del 10%.

a) Il valore attuale e la duration della posizione attiva, dato un tasso i = 10%

sono:

A (0.1) = 100 ∗ 1

1.1+ 100 1

1.1²⁰= 105. 77 D_A = 1 ∗ 100 ∗1.1¹ + 20 ∗ 100_1.1¹20

105. 77 = 3. 6702 b) Per il passivo si ha invece:

L (i) = 170.35 ∗ 1

1.1⁵= 105. 77 D_L = 5

Poichè si ha un’excess duration negativa, cioè

AD_A− LDL= 105.77 ∗ (3. 6702 − 5) < 0 e poichè

V = A − L = 105.77 − 105.77 = 0

∆V = − ∆i

1 + i(AD_A− LDL) = − ∆i

1 + i∗ 105.77 ∗ (3. 6702 − 5) > 0

una variazione positiva dei tassi comporterà una variazione positiva del valore netto del portafoglio.

c) Si deve ricombinare il portafoglio, trovando le quantità n₁e n₂degli zcb a 1 e 20 anni in modo che:

A^∗ = A (= L) A^∗D_A∗ = LD_L cioé

n₁∗100 1.1+ n₂ 100

1.1²⁰ = 105.77 105. 771 ∗ n1∗1.1¹ + 20 ∗ n2∗1.1¹²⁰

105. 77 = 5 ∗ 105.77

da cui il Sistema Lineare:

½ n₁∗¹⁰⁰1.1+ n_21.1¹⁰⁰20= 105.77 1 ∗ n1∗1.1¹ + 20 ∗ n2∗1.1¹²⁰= 5 ∗ 105.77 la cui soluzione (non richiesta è): {n1= −29. 393, n2= 186. 88}.

d) Ovviamente il gestore deve aumentare la duration dell’attivo e quindi deve aumentare il numero di zcb a 20 anni e ridurre il numero di zcb a 1 anno.