ESERCIZI MATEMATICA DISCRETA (10/12/10)
1) a) Per definizione di funzione inversa, se aA e se f(a)=b allora f-1(b)=a.
Dunque f(f-1(b))=a ed f-1(f(a))=b, ossia ff-1 è la funzione identica di B, f-1f è la funzione identica di A.
b) Iniettività di f: se per assurdo a,bQ , ab, f(a)=f(b), allora avrebbe (3-5a)/4=(3-5b)/4 da cui con semplici passaggi si otterrebbe a=b (contraddizione).
Surgettività di f: preso un generico elemento bQ si deve trovare almeno un aQ tale che f(a)=b cioè (3-5a)/4=b, da cui si ricava a=(3-4b)/5Q. Da ciò segue anche la funzione inversa è definita da f-1(x)= (3-4x/5.
c) Una possibile soluzione è la funzione f(x)=x-4 (si verifica facilmente che è biunivoca).
2)
Possibili esempi di funzioni f: N N iniettive ma non surgettive sono f(x)=2x, oppure f(x)=x2 o ancora f(x)=x+1 (ed altre ancora).
Per costruire una funzione surgettiva ma non iniettiva f: N N potremmo per esempio porre f(1)=f(2)=1, f(3)=2, f(4)=3, f(5)=4 e così via, ossia considerare la funzione
f(x)=1 se x=1, f(x)=x-1 se x>1.
Se sostituiamo N con l’insieme {1,2,3,4,5}, le risposte ad ambedue i quesiti precedenti sono invece negative: infatti, per un teorema dimostrato, se dominio e codominio sono insiemi finiti con eguale cardinalità, una funzione è iniettiva se e solo se è surgettiva.
3) Un esempio (ma non l’unico) è dato da A={1,2}, B= {3,4,5}, C={6,7}, f(1)=3, f(2)=4, g(3)=6,g(4)=g(5)=7 (la f non è surgettiva, la g non è iniettiva ma g f è biunivoca perché associa 1 con 6 e 2 con 7).
4) Se gf é iniettiva per ipotesi, dimostriamo che f è iniettiva: se per assurdo a,bA, ab, f(a)=f(b), allora applicando la funzione g ad ambo i membri si avrebbe g(f(a))=g(f(b)) cioè (gf)(a)=(gf)(b), in contraddizione con l’iniettività di gf.
Se gf é surgettiva per ipotesi, dimostriamo che g è surgettiva: dato un generico elemento cC, dovremmo trovare almeno un elemento bB tale che g(b)=c. Ma essendo gf surgettiva , troviamo con certezza almeno un elemento aA tale che (gf)(a)=c, ossia g(f(a))=c ed allora l’elemento b cercato esiste ed è b=f(a).
