Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell'Automazione
Anno Accademico 2005/2006
Matematica 1
Appello del 14 gennaio 2006
Nome:...
N. matr.:... Ancona, 14 gennaio 2006
Domande di sbarramento.
1. Sia f :( 1;1)! R la funzione f(x) = a x
, con a > 0. Quale di queste a erma-
zioni e vera?
1
f e strettamentecrescentese a<1;
2
f e strettamentedecrescentep er a>1;
3
f e strettamentecrescentep er a<1ed x>0;
4
f e strettamentedecrescentep er a<1.
2. Siano f : [a;b]! Re g : [a;b]! R due funzioni continue, derivabili in (a;b), con
g(x)6=0, etalichef(x)=g(x)siadecrescentein(a;b). Quale diquestea ermazioni
e vera?
1
deveessere f 0
<0e g 0
<0in (a;b);
2
f eg p ossono essere entramb e crescentiin (a;b);
3
almeno una dellefunzioni,f og, deveessere decrescentein (a;b);
4
almeno una dellefunzioni,f og, deveessere negativa in (a;b).
3. Sia f(x)continuaestrettamentecrescentein[a;b],conf(a)f(b)<0. Siax
0
2(a;b)
tale chef(x
0
)=0. Quale delleseguentia ermazionie vera?
1 R
b
a
f(x)dx= R
x
0
a
f(x)dx;
2 R
b
a
f(x)dx= R
b
x
0
f(x)dx R
x
0
a
jf(x)jdx;
3 R
b
a
f(x)dx= R
b
a
jf(x)jdx;
4 R
x
0
a
f(x)dx>
R
b
x
f(x)dx.
Fornireconlamassimaprecisionep ossibilelade nizionedilimitein nitodiuna funzione
f(x),de nita suun dominioD , p erx chetende ad un punto x
0 .
Esercizi.
1. Determinareparterealeeparteimmaginariadinumericomplessiz =(1+i) 2
=(2 i)
e z =(1+i)=(2 i) 2
.
2. Calcolare il limite
lim
n!1 p
n+1
n
log (n 2
+3):
3. Utilizzandoil teoremadi del'Hospital, calcolareil limite
lim
x!0
1 cosx
log (1+x 2
) :
4. Stabilirela convergenzadell'integraleimproprio
Z
=2
0 e
sinx
1
sinx dx
5. Studiare la funzione
f(x)= 2sin
2
x+3sinx 2
2
