Come abbiamo già accennato, le tuning fork al quarzo sono diventate, grazie alla loro stabilità e precisione, un componente molto comune nei si- stemi che richiedono la presenza di un sensore (o attuatore) di oscillazione. Inoltre la loro diusione, ad esempio come oscillatori dei normali orologi al quarzo, è stata facilitata dal fatto che hanno un basso consumo di potenza e sono vendute ad un prezzo irrisorio. Una tuning fork commerciale di quelle da noi usate è inserita in un cilindro metallico protettivo lungo 8 mm dal diametro di 3 mm ed è applicata ad uno zoccolo a due terminali (vd. Figura 7.7). Il cilindro metallico può essere facilmente rimosso con delle pinze o con uno strumento apposito che lo taglia alla base.
Figura 7.7: Schema di una tuning fork commerciale.
Il principio di base di una tuning fork è quello del diapason: due rebbi sono connessi ad un'estremità e il sistema possiede una ben de nita frequenza di risonanza fondamentale determinata dalle proprietà del materiale e dalla geometria del risuonatore. Una formula approssimata che lega la frequenza
di risonanza ω0 di una fork alle sue dimensioni è data da [92][93]: ω0 = 1.015 w 2πL s E ρ (7.17)
dove w è la larghezza dei rebbi, L è la loro lunghezza, E ≈ 7.87 · 1010P aè il
modulo di Young del quarzo e ρ = 2650 kg/cm3 è la sua densità. Poiché le
dimensioni tipiche delle fork commerciali, quali quelle da noi utilizzate, sono L ≈ 3 mm e w ≈ 330 µm, ritroviamo una frequenza di risonanza teorica di circa 32 280 kHz, in buon accordo con quella nominale, pari a 32 768 Hz= 215
Hz.
Il fattore di qualità Q è una quantità fondamentale per caratterizzare il comportamento di un qualsiasi risuonatore. Esistono varie de nizioni del fattore di qualità. Le due più importanti sono:
1. il rapporto tra energia immagazzinata nel risuonatore ed energia dissi- pata in un ciclo di oscillazione;
2. la larghezza a metà altezza dello spettro di potenza.
La de nizione fondamentale è la prima, mentre la seconda è valida solo se il fattore di qualità è abbastanza grande (Q>10) da poter associare il risuo- natore ad un oscillatore debolmente smorzato [94]. I risuonatori al quarzo hanno un Q misurato molto alto, dell'ordine delle centinaia e delle migliaia. Questa caratteristica è dovuta all'elevata rigidità del quarzo, il quale consen- te un elevato con namento di energia nei rebbi della fork, e alla geometria del diapason, che dà un nodo nella regione di contatto (zoccolo) con il mondo esterno.
La posizione degli elettrodi sul substrato di quarzo determina la defor- mazione subita dalla fork quando ad essa viene applicato un campo elettrico. Per ottenere un moto essurale dei due rebbi sul piano della fork, occor- re collocare elettrodi di polarità opposta (generalmente lm di argento) sui lati adiacenti dei rebbi stessi. Questa con gurazione determina i modi di vibrazione permessi alla fork [94][95] quando essa viene usata come attuatore piezoelettrico, ovvero i modi di vibrazione a cui essa è sensibile nell'impiego come sensore (il nostro caso). La frequenza di risonanza fondamentale in- torno a 32 kHz corrisponde al primo modo essurale ma la meccanica della tuning fork suggerisce che vi siano anche altre risonanze. In letteratura si trovano modelli [96] concepiti per calcolare l'impedenza elettrica e il moto della fork in un certo range di frequenza: essi riescono a riprodurre fedel- mente i dati sperimentali sulle risonanze delle fork, almeno nei primi modi essurali e torsionali. Ad esempio, una fork commerciale presenta, oltre al modo fondamentale intorno a 32 kHz, un altro modo essurale a circa 191
Figura 7.8: Modello del moto tra 0 e 250 kHz di una fork con Q = 1000 sotto l'azione di un potenziale di 0.5 V. Le due risonanze intorno a 32 kHz e 191 kHz corrispondono a modi essurali della fork, mentre la risonanza a circa 181 kHz rappresenta un modo torsionale. I disegni schematici della fork aiutano a capirne il moto d'oscillazione. Tutti i modi sono stati osservati sperimentalmente. Figura tratta da [96].
kHz e un modo torsionale vicino a 181 kHz (vd. Figura 7.8 tratta da [96]). Il secondo modo essurale, che è quello a cui siamo interessato poiché impiega- to nelle nostre misure, comporta un movimento complesso con un nodo (di ampiezza di oscillazione) a metà lunghezza dei rebbi stessi.
Come già detto, con il nostro strumento abbiamo operato usando in con- temporanea due frequenze di oscillazione, una corrispondente al modo fon- damentale di oscillazione della tuning fork e l'altra, chiamata convenzional- mente RF, corrispondente ad un secondo modo essurale a frequenza più alta.
Operativamente, la fase preliminare alle scansioni prevede la ricerca e individuazione delle frequenze di risonanza. Questa operazione non è sempre agevole, soprattutto per l'oscillazione del secondo modo (RF), dato che essa normalmente raggiunge ampiezze minori (a parità di forzante) e insiste in un
regime di frequenza in cui sono visibili diverse strutture. Osserviamo poi che, sia per motivi di banda passante dell'elettronica sia per possibili fenomeni di accoppiamento (pick-up) dei segnali, molti più evidenti a frequenze alte, il rumore elettronico di fondo non è trascurabile.
Un altro particolare accorgimento va preso quando si tratta di scegliere l'ampiezza del segnale modulante. In Figura 7.9 sono mostrate le rappre- sentazioni del segnale totale (somma) che teoricamente (cioè considerando unitario, indipendentemente dalla frequenza, il fattore di trasmissione tra ampiezza della forzante e ampiezza eettiva di oscillazione) giunge alla son- da nel caso in cui si abbia un rapporto in frequenza ω0/ωRF di circa 1/7
(mediamente è quello che abbiamo usato sperimentalmente) e un rapporto in ampiezza A0/ARF pari a 20/1 oppure 10/7 (parametri di esempio). Se
supponiamo, ragionevolmente, che la modulazione RF abbia caratteristiche meccaniche simili a quelle del modo fondamentale, cioè che il movimento del- la punta avvenga in direzione verticale, allora possiamo renderci conto che l'intento principale della modulazione è quello di aumentare la risoluzione modulando la pressione quando si ha il contatto della punta con il materiale. Infatti il rapporto tra le frequenze è tale che, pur nella breve durata del con- tatto tra punta e campione, avvengono diversi cicli di modulazione ad alta frequenza. Se l'ampiezza del segnale RF è paragonabile a quella della fonda- mentale la punta si muoverà prevalentemente ad alta frequenza: in un certo senso è come se perdesse la capacità di riconoscere la risonanza fondamen- tale, quindi non vibrerà con ampiezza su ciente (Fig. 7.9-b) per eettuare il tapping. Se d'altro canto il rapporto A0/ARF risulta grande (>150), il
contributo della modulazione non sarà per niente signi cativo.
Purtroppo la risposta in frequenza del piezo di dithering (e dell'elettronica di miscelazione) al momento non è nota, per cui non possiamo aermare con certezza quale sia l'eettivo rapporto tra le ampiezze di oscillazione: nelle nostre esperienze i migliori risultati sperimentali sono stati ottenuti con valori di A0/ARF < 1 (vd. paragrafo successivo). Questo rapporto è di cilmente
valutabile anche a partire dall'ampiezza dell'oscillazione della tuning fork letta dai lock-in. Infatti la sensibilità della tuning fork è nota, come dato nominale, solo per il modo fondamentale dell'oscillazione (circa 27 µV/nm [89]), mentre questo dato non è disponibile per il secondo modo essurale. A titolo di informazione, tenendo conto del dato nominale, l'ampiezza di oscillazione nel modo fondamentale tipica usata negli esperimenti è stata di circa 100 nm; sono state eettuate anche scansioni con ampiezze maggiori ma con risultati meno soddisfacenti.
Figura 7.9: Gra ci ampiezza/tempo (in unità arbitrarie) del segnale somma a cui è sottoposto la sonda. Si suppone una forma sinusoidale sia per la modu- lazione fondamentale sia per la RF, della forma A0cos(ω0t) e ARFcos(ωRFt), rispettivamente.