All'equilibrio la velocità media con cui l'energia viene trasferita alla can- tilever è uguale alla velocità media con cui l'energia viene dissipata dalla cantilever e dalla punta. È conveniente scrivere la potenza dissipata media come somma di due contributi [76]:
Il primo termine P0 può essere considerato come una dissipazione di back-
ground che è sempre presente. Nella maggior parte dei casi P0 comprende
la potenza dissipata dal corpo della cantilever (per esempio a causa dello smorzamento dovuto all'aria) ed è descritta da una semplice legge di atte- nuazione viscosa. Ptip, invece, comprende le dissipazioni localizzate in un
piccolo volume che include la punta e il campione in interazione tra loro. Innanzitutto calcoliamo Pin, ovvero la potenza trasmessa dall'oscillatore
alla cantilever, supponendo che essa abbia una costante elastica k e che la sua posizione zd(t) venga fatta oscillare in modo sinusoidale con ampiezza
Adalla frequenza ω. Se assumiamo che lo stato di oscillazione stazionario sia
sinusoidale, allora la de essione z(t) della cantilever dall'equilibrio può essere scritta come A cos(ωt+φ), dove A è l'ampiezza dell'oscillazione eettiva della cantilever e φ è la fase relativa all'oscillazione forzante. La potenza istantanea trasmessa dall'oscillatore alla cantilever è data dal prodotto tra la forza e la velocità:
Pin= F ˙zd
= k [z(t) − zd(t)] ˙zd.
(7.11) Integrando su un ciclo completo, otteniamoo la potenza media trasmessa:
Pin= Z 2πω 0 Pindt = 1 2kAdA ω sin φ. (7.12) Ritroviamo un risultato familiare, ovvero che la potenza trasmessa ad un oscillatore è massima quando la risposta è sfasata di 90◦rispetto alla forzante.
Adesso consideriamo la potenza persa dalla cantilever. Assumendo che la dissipazione di background sia ben descritta da uno smorzamento di tipo viscoso, abbiamo che Fvisc , b ˙z. Analogamente a prima, possiamo calcolare
la potenza media dissipata di background integrando su un ciclo completo: P0 = Z 2πω 0 P0dt = 1 2bA 2ω2. (7.13) Sperimentalmente il valore di b è ottenuto misurando la costante elastica k della cantilever (di solito è fornita dalla casa produttrice delle sonde), e poi misurando il fattore di qualità Q e la frequenza di risonanza ω0 dalla curva
conviene pertanto esprimere il valore di b con questi parametri, per ottenere Ptip = 1 2 kA2ω Q QAd A sin φ − ω ω0 (7.14) Notiamo che l'Eq. 7.14 non implica che la frequenza di risonanza o il fattore di qualità rimangano costanti, ma suppone solamente che sia il coe ciente di smorzamento viscoso b a rimanere invariato.
Solitamente si sceglie come frequenza della forzante una frequenza di ri- sonanza meccanica della cantilever, cioè ω = ω0. In questo caso, se de niamo
l'ampiezza libera della cantilever come A0 = QAd, l'Eq. 7.14 si sempli ca e
diventa Ptip = 1 2 kA2ω0 Q A0 A sin φ − 1 (7.15) oppure, in termini dell'energia dissipata Edis= Ptip· 2πω [77],
sin φ = QEdis πkA0A + ω ω0 A A0 . (7.16)
Da questa equazione possiamo dedurre che, se la punta non dissipa energia, allora l'ampiezza e la fase non sono indipendenti tra loro. Sperimentalmente le misure in tapping mode sono condotte mantenendo l'ampiezza di oscilla- zione costante, quindi è solo quando l'interazione punta-campione varia che si osserva un contrasto di fase.
A questo punto è necessario però fare un'importante osservazione. Poiché la funzione sin φ è simmetrica intorno a 90◦, lo sfasamento può non dipendere
solamente dall'energia dissipata ma anche dal passaggio dalla zona di poten- ziale attrattivo (φ>90◦) a quella di potenziale repulsivo (φ<90◦) [83][88].
Quindi lo sfasamento è un parametro che contiene informazioni rilevanti cir- ca il tipo di interazioni che la sonda sperimenta. Il contrasto di fase osservato quando la fase salta da regime attrattivo a regime repulsivo - e viceversa - non è dato dalla dissipazione, ma dalla competizione tra forze attrattive e repulsive. Tuttavia, se ssiamo i parametri dello strumento in modo da con- durre la misura interamente in un certo regime (di solito si lavora in regime repulsivo), allora le variazioni di fase sono espressione dell'energia dissipata tra la punta e il campione.
Con questo modello possiamo valutare l'ordine di grandezza della poten- za massima dissipata. Infatti, se consideriamo valori tipici per i parametri (ovvero k ∼ 40 N/m, Q ∼ 1000, ω0 ∼ 100 kHz e A ∼ 10 nm), otteniamo
una potenza dissipata dell'ordine di qualche decimo di pW , che corrispon- de a circa 25 eV per ogni colpo della cantilever sul campione [76]. Anche se questa energia è su ciente a rompere molti legami chimici, se l'area di
contatto ha dimensioni trasversali solo di qualche nanometro l'energia su un singolo atomo si riduce ad una frazione di eV . Ciò spiega il motivo per cui il tapping mode risulta essere una modalità operativa che non distrugge il campione.
Concludendo, possiamo dire che questo modello dimostra che lo sfasa- mento tra l'oscillazione forzante e quella eettiva della cantilever è legato alla potenza dissipata sul campione. Le uniche ipotesi a cui il modello fa capo sono che il moto stazionario della cantilever sia sinusoidale e che lo smorzamento dell'oscillazione della cantilever sia descritto da un coe cien- te di attrito viscoso che rimane invariato quando la punta interagisce con il campione. In ne, è importante evidenziare che il modello riesce a calcolare l'energia totale persa quando la punta interagisce con il campione, ma non co- me essa viene dissipata. Come già aermato in questo capitolo, la forza sulla punta può essere la somma di vari contributi simultanei (forze capillari, forze di van der Waals, forze magnetiche), ma quello che lo strumento AFM misura è solo la forza totale sulla punta. Ciononostante, le mappe a contrasto di fase che otteniamo con un AFM in tapping mode possono essere interpretate in termini di energia dissipata e quindi da esse possiamo trarre informazioni su eventuali disomogeneità super ciali di proprietà meccaniche o composizione, anche in assenza di rilevanti variazioni topogra che. La capacità di rivelare tali disomogeneità è la principale motivazione per la grande diusione della tecnica descritta nell'ambito dell'analisi nanometrica di materiali e super ci.