2.8 Ricostruzione dei jet
2.8.3 Algoritmi di cono
Il primo utilizzo dell’algoritmo di cono per la misura dei jet `e avvenuto negli esperimenti UA1 e UA2 al Super Proton Synchrotorn Collider (SPSC) del CERN [ell89]. L’idea di funzionamento dell’algoritmo `e piuttosto semplice: tutte le particelle (partoni o adroni) o rilasci calorimetrici all’interno di cerchi di raggio R nello spazio η × φ vengono associati allo stesso jet. Le versioni dell’algoritmo differiscono nella scelta del centro dei cerchi da costruire. In questa tesi sono stati utilizzati coni seeded e coni MidPoint.
L’algoritmo di cono seeded
L’algoritmo di cono seeded `e il primo utilizzato nello studio dei jet. La procedura per la deter- minazione del jet `e piuttosto semplice. I centri dei cerchi vengono ottenuti da una procedura iterativa che parte da particelle o rilasci con energia trasversa ET sopra una certa soglia Tseed.
Questi “oggetti” (cos`ı verranno indicati i partoni, gli adroni o i rilasci a seconda della livello a cui `e applicato l’algoritmo di jet), chiamati seeds, iniziano la procedura iterativa:
• Si fa una lista degli oggetti con energia trasversa ET > Tseed ordinati in modo decrescente
in ET;
• Per tutti gli oggetti di questa lista vengono costruiti dei cerchi (o coni) nello spazio η × φ
centrati nella posizione dell’oggetto e con raggio R;
• Un oggetto i `e incluso nel jet C con centro (ηc, φc) se
p
(ηi− ηc)2+ (φi− φc)2≤ R;
• Per ogni cono viene calcolato il centroide (ηc, φc) di energia secondo le seguenti formule:
ηc= P i∈CET iηi P i∈CET i φc= P i∈CET iφi P i∈CET i
• I centroidi sono utilizzati come nuovo centro dei coni;
• La procedura viene ripetuta fino a che i jet non diventano stabili (per esempio il nuovo
centroide coincide con quello precedente);
• La procedura viene effettuata per tutti i seed dalla lista;
• Si applica una procedura di merging o splitting per i jet che condividono gli stessi adroni,
partoni o rilasci calorimetrici. Per questa procedura viene introdotto un nuovo parametro
f . Se la frazione dell’energia condivisa tra i due jet `e maggiore di f i due jet vengono uniti,
altrimenti gli oggetti in comune vengono divisi in base alla vicinanza in p∆η2+ ∆φ2 dai
centroidi.
Questo algoritmo `e molto semplice e rispetta quasi tutte le richieste descritte nella sezione 2.8.2. La richiesta che viene rispettata in modo peggiore da questo tipo di algoritmo `e la seconda: la presenza nell’algoritmo di una soglia Tseed fa l’algoritmo non infrared-safe. Questa caratteristica
pu`o produrre due tipi di problemi:
1. Sensibilit`a all’emissione soffice nel merging di jet (figura 2.11a): due seed che distano pi`u di R, ma meno di 2R in ∆η × ∆φ faranno ricostruire due differenti jet. Se tra i due seed `e emessa della radiazione soffice, questi due jet possono essere uniti in un solo jet.
2. Sensibilit`a all’emissione collineare nella formazione di jet con emissioni di energie dell’ordi- ne della soglia (figura 2.11b): nello splitting collineare di un partone di energia trasversa leggermente maggiore della soglia Tseed, possono essere generati due nuovi partoni con ener-
gie trasversa sotto soglia. Lo splitting collineare di un partone pu`o allora far fallire la ricostruzione del jet.
La scala di energia dei jet a cui questi problemi si presentano `e circa la scala di energia della soglia scelta. Studi effettuati nell’esperimento D0 hanno dimostrato che per soglie Tseed = 1.0 GeV,
questi problemi non influenzano la misura di jet con impulso trasverso superiore a 20 GeV [d007]. In questo lavoro di tesi il cono seeded `e stato usato per ricostruire jet di adroni, utilizzati per la stima delle incertezze legate alla calibrazione alla scala di energia dei jet e alla correzione per
2.8. RICOSTRUZIONE DEI JET 39
(a) (b)
Figura 2.11: Esempi di instabilit`a infrarossa dell’algoritmo cono con seed. Le lunghezze dei vettori `e proporzionale alla energia delle particelle che rappresentano. Ogni vettore `e preso come seed. [bla00]
a) La presenza di radiazione soffice tra due jet pu`o causare una unione dei jet che non accadrebbe in assenza della radiazione soffice.
b) La configurazione a sinistra non riesce a trovare un seed perch´e la sua energia `e divisa in differenti particelle collineari. La configurazione a destra produce un seed perch´e la sua energia `e maggiore della soglia.
la risoluzione (sezione 3.4). Le analisi sono state effettuate per raggi R = 0.7 e con il parametro
f = 0.5. Per il cono seeded la soglia Tseed `e di 2 GeV. Dato che la sezione d’urto verr`a studiata
per energie superiori a 20 GeV, i problemi di infrared-safety non dovrebbero condurre ad errori.
L’algoritmo di cono MidPoint
Date le buone caratteristiche dell’algoritmo di cono, i problemi di infrared-safety sono stati risolti in esperimenti precedenti in differenti modi. Uno di questi `e l’algoritmo di cono MidPoint. La differenza principale tra l’algoritmo MidPoint e il seeded `e la scelta dei punti iniziali dai quali far partire i cono. La scelta in questo caso usa le partizioni dell’insieme dei seed. Utilizzando i 4-impulsi degli oggetti che hanno passato la soglia Tseed, possono essere costruiti i 4-impulsi
pi; pi+ pj; pi+ pj+ pk; pi+ pj+ pk+ pl; ... relativi a tutte le partizioni dell’insieme dei seed.
Tutti questi 4-impulsi sono presi come punti di partenza (MidPoint) dell’algoritmo di ricostruzione di jet e si aggiungono ai seed.
Essendo il numero di partizioni per un insieme con n oggetti uguale a Pn = 2n− 1, questo
metodo diventa molto lungo quando si hanno molti oggetti iniziali5, mentre pu`o essere utilizzato
nel calcolo della sezione d’urto inclusiva dei jet al Next to Leading Order (al massimo tre partoni uscenti, sette punti di partenza).
In questa tesi il MidPoint `e stato usato per il calcolo della sezione d’urto al Leading Order e al Next to Leading Order, e per la stima degli errori dovuto agli ordini successi trascurati e alle incertezze nelle distribuzioni partoniche (sezione 3.3).
5Per diminuire il numero di punti di partenza a livello calorimetrico, possono essere presi come MidPoint solo