Analisi statiche non lineari (push-over)
III.1 Analisi dei carich
Dal capitolo C.7 delle suddette norme tecniche, possiamo ricavare le azioni da inserire nelle analisi successive:
1) peso proprio;
2) spinta idrostatica e azioni inerziali in presenza di sisma 3) sottospinte
4) spinta del ghiaccio 5) azione sismica
Capitolo III
1) Spinta del ghiaccio
Per dighe in zone in cui è possibile la formazione sulla superficie del serbatoio di uno strato di ghiaccio con spessore superiore a 20 cm, sarà considerata tra le azioni la relativa spinta orizzontale, il cui valore caratteristico può essere assunto corrispondente alla pressione di 150 kPa, applicata sulla proiezione verticale della superficie di contatto tra ghiaccio e paramento della diga. Come possiamo notare però dall’andamento termico registrato dalla strumentazione per la temperatura dell’aria, le fasi di temperatura negativa risultano esigue e di entità ridotta rispetto alle fasi di temperatura positiva. Riteniamo quindi molto improbabile la formazione di accumuli di ghiaccio oltre i 20cm di spessore.
2) Sottospinte idrauliche
La costruzione in esame risulta munita di canne di drenaggio sia nel corpo della diga sia di fori di drenaggio della fondazione, adeguatamente manutenute e di dimensione ed interasse tale da rispettare i limiti imposti in normativa. Perciò possiamo assumere un coefficiente di abbattimento delle sottopressioni n=0,35. Assumeremo inoltre, come ipotesi cautelativa, l’altezza del livello idrico sul paramento di valle pari ad h=0. Le sottopressioni verranno inserite con andamento variabile linearmente fra i seguenti punti della superficie di contatto fra calcestruzzo e roccia di fondazione:
1) piede dei conci lato monte; 2) linea dei drenaggi;
Capitolo III
Figura 3.1.1 Schema generale di normativa per il calcolo e l’applicazione delle sottospinte idrauliche
Seguendo lo schema di figura si sono calcolate le varie sottospinte per i diversi conci che essendo fondati a diverse quote e presentando quindi lunghezze di base differenti risultano sollecitati da sottopressioni di diversa entità l’uno dall’altro. I risultati sono riassunti nella tabella sottostante dove si sono raggruppati i conci con uguali dimensioni:
Conci larghezza altezza profondità ln n d·H n·d·H
I-II 8.4542 10 7 2.8 0.35 68670 24034.5 III 15.523 20 17 3.1 166770 58369.5 IV 19.407 25 23 3.25 225630 78970.5 V 26.8313 35 33 3.55 323730 113305.5 VI 30.8113 40 38 3.7 372780 130473 VII 38.5141 50 48 4 470880 164808 VIII 42.3655 55 53 4.15 519930 181975.5 IX 50.0683 65 63 4.45 618030 216310.5 X-XI 54.69 71 68 4.63 667080 233478 XII 46.2169 60 58 4.3 568980 199143 XIII 38.5141 50 48 4 470880 164808 XIV-XV 34.8127 45 43 3.85 421830 147640.5 XVI 23.2063 30 28 3.4 274680 96138 XVII-XVIII 19.3375 25 23 3.25 225630 78970.5 XIX-XX-XXI-XXII 15.6361 20 18 3.1 176580 61803 XXIII-XXIV-XXV 11.7953 15 13 2.95 127530 44635.5 XXVI-XXVII 8.4525 10 7 2.8 68670 24034.5
Capitolo III
Dalla tabella ricaviamo il grafico delle sottopressioni inserite nel modello FEM in funzione della distanza dal piede di monte dei rispettivi conci:
Figura 3.1.2 Sottospinte idrauliche causate dal livello d’invaso del serbatoio alla base dei conci costituenti la diga.
4) Forze Statiche Equivalenti con procedura PEER
Nella presente tesi ci si è riferiti al processo descritto da Anil Chopra e Arnkjell Lokke nelle PEER (Pacific Earthquake Engineering Research Center) nel quale le mancanze del precedente procedimento vengono inserite nel calcolo delle sovrappressioni dinamiche. Gli autori considerano un sistema bidimensionale costituito da diga monolitica in calcestruzzo a gravità supportato su una superficie orizzontale del sottostante basamento in roccia flessibile idealizzato come semipiano viscoelastico semipiano e serbatoio di acqua, eventualmente con presenza di sedimenti sul fondo, tendente a infinito.
0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 0 10 20 30 40 50 P re ss io ne (Pa )
Distanza da piede diga lato monte (m) Sottospinte idrauliche
Capitolo III
Figura 3.1.3 Sistema bidimensionale considerato nella trattazione di Anil Chopra e Arnkjell Lokke.
La massima risposta della diga nel suo modo di vibrazione fondamentale, comprendente gli effetti di interazione dinamica diga-acqua-fondazione, può essere stimata con
un'analisi statica della diga sottoposta a forze laterali equivalenti statiche agenti sulla superficie di monte della diga, calcolate secondo la relazione seguente:
𝑓1(𝑦) = Γ′1∙𝐴(𝑇
′ 1, 𝜁′1)
𝑔 ∙ [𝑤𝑠(𝑦) ∙ 𝜙1(𝑦) + 𝑔𝑝(𝑦, 𝑇′𝑟)] (3.1.3) Dove:
1) ϕ1(y) è la componente orizzontale di spostamento del paramento di monte della
diga nella forma del modo di vibrare fondamentale, nel caso di fondazione rigida e serbatoio pieno;
2) ws(y) è il peso per unità di altezza della diga;
3) A(T’1, ζ’1) è l’accelerazione spettrale massima al periodo T’1, con spettro ricavato
per il sito di costruzione con smorzamento pari a ζ’1;
4) g è l’accelerazione di gravità;
5) Γ’1 rappresenta il fattore di partecipazione modale dato da:
Γ′1 = 𝐿′1 𝑀′1 (3.1.4) Con: 𝑀′1 = 𝑀1 + ∫ 𝑝(𝑦, 𝑇′ 𝑟) 𝐻 𝑜 ∙ 𝜙1(𝑦)𝑑𝑦 (3.1.5) 𝐿′1 = 𝐿1+ ∫ 𝑝(𝑦, 𝑇′𝑟)𝑑𝑦 𝐻 (5.1.6)
Capitolo III
Nelle quali H rappresenta la profondità del livello d’invaso, mentre la massa generalizzata e il coefficiente di forza del sisma sono dati dalle relazioni:
𝑀1 = 1 𝑔∫ 𝑤𝑠(𝑦) 𝐻𝑠 𝑜 ∙ 𝜙12(𝑦)𝑑𝑦 (3.1.7) 𝐿1 = 1 𝑔∫ 𝑤𝑠(𝑦) ∙ 𝜙1(𝑦)𝑑𝑦 (3.1.8) 𝐻𝑠 𝑜
con Hs è l’altezza della diga.
6) La funzione p(y, T’r) è il valore della funzione complessa rappresentante che
rappresenta la pressione idrodinamica sul paramento di monte dovuto alle accelerazioni armoniche al periodo T’r nella forma del modo di vibrare
fondamentale.
Il periodo di vibrazione fondamentale del sistema SDOF equivalente, che rappresenta la modalità di risposta fondamentale della diga, fissato il livello d’invaso, risulta:
𝑇′
𝑟 = 𝑅𝑟∙ 𝑇1 (3.1.9)
Dove T1 è il periodo di vibrazione fondamentale della diga su suolo rigido con serbatoio
vuoto. Il coefficiente Rf risulta maggiore di 1 poiché il periodo di vibrazione aumenta
considerando l’effetto idrodinamico dell’acqua, la quale aggiunge massa al sistema abbassando conseguentemente la frequenza di vibrazione.
Mentre il periodo di vibrazione naturale del sistema SDOF equivalente, rappresentante la risposta del sistema con serbatoio pieno e fondazione flessibile, è espresso dalla relazione:
𝑇′
𝑓 = 𝑅𝑓∙ 𝑇1 (3.1.10)
Dove anche qui il coefficiente Rf risulta maggiore di 1, aumentando il periodo di vibrazione
grazie alla di flessibilità della fondazione. I coefficienti Rr e Rf dipendono quindi da i
moduli elastici del calcestruzzo, della roccia di fondazione e dal valore del coefficiente α=0.75 (valore consigliato dagli autori per dighe esistenti), rapporto tra l’ampiezza della pressione idrodinamica riflessa e l’ampiezza delle onde di pressione idrodinamica incidenti sul paramento. Essi possono quindi essere ricavati facilmente da tabelle fornite dagli autori, nella loro trattazione del fenomeno. Ne riportiamo un estratto:
Capitolo III
Tabella 3.1.2 Tabelle per la ricerca dei valori di Rr, Rf in base ai valori del modulo elastico del calcestruzzo Es e
del modulo elastico della roccia di fondazione Ef.
Per finire il periodo naturale di vibrazione del sistema SDOF equivalente, considerando l’interazione diga-fondazione-livello serbatoio risulta il seguente:
𝑇′
𝑓= 𝑅𝑟∙ 𝑅𝑓∙ 𝑇1 (3.1.11)
Considerando oltre al modo di vibrazione fondamentale, anche modi superiori, dovremmo aggiungere all’analisi anche una distribuzione di forze seguente la seguente legge:
Capitolo III Con: 𝐵1 = 0.20 𝐹𝑠𝑡 𝑔 ( 𝐻 𝐻𝑠) 2 (3.1.13) Dove Fst è la forza idrostatica totale sulla diga. Tale coazione non è stata però considerata
nel procedimento utilizzato nella presente tesi per la ricerca della forma delle forze statiche lineari.
Il considerare le varie interazioni nel calcolo delle forze statiche equivalenti richiederebbe una nuova valutazione del coefficiente di smorzamento del sistema dato dalla relazione:
𝜉′ 1 = 1 𝑅𝑟∙ 1 (𝑅𝑓)3 ∙ 𝜉1+ 𝜉𝑟+ 𝜉𝑓 (3.1.14)
Ciò è stato omesso risultando tale smorzamento superiore al quello suggerito in normativa e con il quale sono stati riprodotti gli spettri di risposta elastici. Tale considerazione va anche a favore di sicurezza poiché aumentando lo smorzamento si ridurrebbero le ordinate spettrali.
Adesso forniamo alcune formule fornite dagli autori per il calcolo dei valori fondamentali richiesti nel procedimento sopra esposto.
Modo di vibrare fondamentale
Per il calcolo del periodo fondamentale di vibrazione di costruzione in calcestruzzo monolitica, serbatoio vuoto e fondazione rigida possiamo utilizzare il seguente valore:
𝑇1 = 1.4 ∙ 𝐻𝑠 √𝐸𝑠
(3.1.15)
Dove Hs è l’altezza della diga in piedi, e Es è il modulo elastico del calcestruzzo calcolato
in psi. La forma del modo di vibrazione fondamentale risulta invece la seguente: Deformata Modale Standard
y[m] y/Hs φ(y)
70 1 1 66.5 0.95 0.866 63 0.9 0.735 59.5 0.85 0.619 56 0.8 0.53 52.5 0.75 0.455 49 0.7 0.389
Capitolo III 45.5 0.65 0.334 42 0.6 0.284 38.5 0.55 0.24 35 0.5 0.2 31.5 0.45 0.165 28 0.4 0.135 24.5 0.35 0.108 21 0.3 0.084 17.5 0.25 0.065 14 0.2 0.047 10.5 0.15 0.034 7 0.1 0.021 3.5 0.05 0.01 0 0 0
Tabella 3.1.3 Forma modale fondamentale
Della quale possiamo ricavare il grafico sottostante:
Figura 3.1.4 Grafico dell’andamento dello spostamento in funzione dell’altezza nella modalità principale di vibrazione
Pressione Idrodinamica
Gli autori hanno provveduto ad un procedimento sbrigativo per ricercare il valore della p(y, T’r) dell’equazione (5.1.3). Fornendo così una funzione adimensionale gp(y’)/wH,
dove y’=y/H e w è il peso dell’acqua, ricavata per vari valori del coefficiente α e del rapporto fra i periodi:
0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Altez za (m) Spostamento normalizzato Forma modale fondamentale
Capitolo III
𝑅𝑤 =
𝑇1𝑟
𝑇′𝑟 (3.1.16)
Dove T’1 è il periodo di vibrazione fondamentale dovuto al contenimento dell’acqua
ritrovabile con la relazione:
𝑇1𝑟 =
4 ∙ 𝐻
𝐶 (3.1.17) Con H altezza del livello d’invaso e C velocità delle onde di pressione nell’acqua stimata di 4720 ft/s. I valori di gp(y’)/wH, in base al rapporto H/Hs (altezza totale della diga,
altezza livello d’invaso) sono esposti nella tabella seguente, mentre quelli per un rapporto diverso di H/Hs possono essere ricavati moltiplicando i precedenti per (H/Hs)2.
Capitolo III
Massa e coefficiente di forza del sisma generalizzati
La valutazione della massa generalizzata M’1 e il coefficiente di forza del sisma generalizzati
L’1 del SDOF equivalente, inclusi gli effetti idrodinamici, possono essere calcolati le
seguenti formule: 𝑀′ 1 = (𝑅𝑟)2∙ 𝑀1 (3.1.18) 𝐿′ 1 = 𝐿1+ 1 𝑔∙ 𝐹𝑠𝑡∙ ( 𝐻 𝐻𝑠) 2 ∙ 𝐴𝑝 (3.1.19) Dove Fst è la forza idrostatica e Ap è il coefficiente di forza idrodinamica, integrale della
funzione di pressione 2gp(y’)/wH sulla profondità dell’acqua, con H/Hs=1. Ap risulta
tabellato per vari valori di Rw e del coefficiente α:
Tabella 3.1.5 Valori della funzione Ap in funzione del rapporto Rw e del coefficiente di riflessione α
Perciò l’andamento delle forze statiche equivalenti normalizzate, da applicare al paramento di monte risulta il seguente:
Capitolo III
Figura 3.1.5 Grafico dell’andamento delle forze statiche equivalenti totali e delle forze di inerzia e idrodinamiche dovute all’interazione fluido struttura.
III.2 Pushover
Una volta calcolate le forze statiche equivalenti, applicandole al paramento di monte della costruzione ed incrementandole fino alla rottura di essa, ricaviamo le curve di resistenza. Le diverse curve sono state calcolate variando l’angolo di attrito del calcestruzzo φ nelle discontinuità orizzontali, che simulano le superfici di scorrimento dovute alle riprese di getto, e l’angolo d’attrito φv sulle superfici verticali di contatto fra concio e concio. Non
avendo informazioni per una valutazione esatta di φv si è proceduto a fornire un limite
superiore della risposta del sistema, costituito da un valore di φv= 45°, e un limite inferiore
costituito da un φv= 0°. La risposta reale del sistema ipotizzando un angolo di attrito
compreso fra questi due valori limite sarà compresa fra le curve ricavate con i due valori riportati sopra. Si sono inoltre svolte le analisi sul modello a concio singolo variando l’angolo di attrito del calcestruzzo φ. Ciò ha permesso di mettere in luce, con un confronto con il modello completo tridimensionale con φv=0, l’influenza del terreno circostante e
modalità di collasso altrimenti trascurate con il modello a concio singolo. Il punto di controllo rispetto al quale si è misurato lo spostamento in funzione del taglio alla base Vb
è stato posizionato a quota 1104m s.l.m. nel concio X nel punto dove è situato il pendolo rovescio. La scelta è stata effettuata valutando tale punto più rappresentativo della totalità della costruzione che a differenza di punti situati nel coronamento, risente in maniera minore di scorrimenti differenziali, localizzati soprattutto in sommità, fra conci adiacenti.
0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 A lte zz a (m) Spostamento normalizzato Forze statiche equivalenti
Forze inerzia + idrodinamiche Forze inerzia
Capitolo III