UNIVERSITÀ DI PISA
Scuola di Ingegneria
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E INDUSTRIALE
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Edile e delle Costruzioni Civili
Tesi di Laurea
ANALISI NON LINEARI PER VERIFICHE SISMICHE
SU DIGHE IN CALCESTRUZZO A GRAVITÀ ESISTENTI:
APPLICAZIONE A UN CASO STUDIO
Relatori Candidato
Dott. Ing. Anna De Falco Edoardo Pampana
Ing. Giacomo Sevieri
Indice
Indice
Introduzione………...pag. 3
Capitolo I: Descrizione dell’opera
I.1 Inquadramento ………..….……….…………..……...pag. 4 I.2 Descrizione della costruzione…...………...…….pag. 6 I.3 Descrizione della sezione di sbarramento ………...……….…...pag. 9 I.4 Modellazione della geometria dell’opera…….………...pag. 13 I.5 Strumentazione e monitoraggio………...pag. 15 I.6 Caratterizzazione sismica del sito………...pag. 20 I.7 Campagne di indagine diagnostica………...…...pag. 22
Capitolo II: Validazione del modello FEM
II.1 Correttezza delle geometrie ………..….…………...…..……..…...pag. 32 II.2 Schematizzazione dei carichi agenti ………..….………..………...pag. 37 II.3 Assegnazione dei valori parametri meccanici e termici dei materiali...……..pag. 38
Capitolo III: Analisi statiche non lineari (pushover)
III.1 Analisi dei carichi………….………..….…………...…..…….….pag. 50 III.2 Pushover……….……….….pag. 61
Capitolo IV: Analisi incrementali dinamiche
IV.1 Definizioni fondamentali………...pag. 83 IV.2 Curve IDA………..……..pag. 84 IV.3 Stati limite nelle curve IDA………...pag. 87 IV.4 Analisi di più curve IDA………...pag. 89
Indice
Capitolo V: Registrazioni
V.1 Storie temporali……….………..….pag. 92 V.2 Parametri geofisici………....pag. 93 V.3 UHS e curva di probabilità di eccedenza ………...………..….pag. 97 V.4 Conformità con lo spettro di risposta………...pag. 99 V.5 Selezione delle storie temporali………...pag. 103
Capitolo VI: Analisi incrementali dinamiche (IDA)
VI.1 Selezione degli accelerogrammi...………..….…………...…..…....pag. 108 VI.2 Curve IDA………...……….……...pag. 119
Introduzione
Introduzione
Nessun ramo dell'ingegneria ha probabilmente a che fare con così tante incertezze come l’ingegneria sismica, data la grande variabilità dei parametri in gioco e dei fenomeni studiati. Esempi di tale variabilità sono la ricorrenza e l’intensità dei terremoti, le caratteristiche del moto del suolo, gli effetti del terreno, gli effetti topografici, le proprietà strutturali e il loro comportamento dinamico non lineare.
In questa tesi si affronta il problema della valutazione della vulnerabilità sismica delle dighe esistenti a gravità attraverso analisi non lineari diverse, condotte con modelli geometrici e meccanici che possano riprodurre in maniera quanto più realistica il comportamento della struttura. Con riferimento a un caso studio di una diga italiana, situata in una zona ad alta sismicità, si descrive il processo di calibrazione del modello, a partire dai dati del monitoraggio, e si effettuano analisi non lineari diverse, dalla statica equivalente, alla statica non lineare, alla dinamica incrementale, mostrando l’estrema variabilità dei risultati in relazione alle ipotesi di comportamento della diga.
In dettaglio, la calibrazione del modello è condotta utilizzando un metodo di identificazione che impiega metodologie probabilistiche e che per la prima volta viene applicato in questo contesto. I modelli scelti sono essenzialmente due, quello che schematizza il comportamento della diga come concio singolo e quello che schematizza l’opera come struttura tridimensionale completa, con ipotesi diverse relative al contatto tra i giunti. Per ciascun modello sono state identificate le proprietà dei materiali. Dopo aver svolto le analisi statiche, sotto l’effetto dei pesi propri e della spinta idrostatica, con le relative sottopressioni, sono state dunque effettuate le analisi sismiche, valutando i diversi scenari di danno relativi alle ipotesi scelte per il modello. Particolare attenzione è rivolta alla Incremental Dynamic Analysis (IDA) e alla sua applicazione nel contesto delle opere di sbarramento. Sono quindi stati confrontati gli esiti delle analisi statiche non lineari con quelle delle analisi dinamiche incrementali.
Si discute infine la significatività delle ipotesi di base del modello in relazione alla particolare analisi svolta e si mette in luce l’estrema variabilità dei risultati al variare del modello, delle non linearità del materiale e della particolare schematizzazione dell’azione sismica.
Capitolo I
Capitolo I
Descrizione dell’opera
Il caso studio consiste in una grande diga a gravità posta in una zona ad elevata sismicità. In primo luogo si forniscono dati di inquadramento generale, per la caratterizzazione sismica dell’area, e una descrizione della geometria dell’opera e dei terreni circostanti, entrambi necessari alla modellazione con software FEM, successivamente si passa ai procedimenti per l’identificazione delle caratteristiche dei materiali con conseguente calibrazione del modello stesso.
I.1 Inquadramento
La diga, realizzata tra il 1971 ed il 1976 dall'Ente Nazionale per l'Energia Elettrica a raccoglie i deflussi di un fiume del Sud Italia.
La progettazione cominciò a partire dal 1968, con un primo progetto di massima, mentre invece il progetto esecutivo fu terminato il 1 luglio del 1970 ed al quale furono apportate varianti in corso d’opera fino ad arrivare al 1973, essendo i lavori iniziati il 22 settembre 1971 e conclusi il 30 ottobre del 1976. Il compito principale della diga consiste nella regolazione annuale delle portate di due fiumi e di due fossi, con produzione di energia elettrica. Riportiamo alcune foto satellitari per l’inquadramento dell’area di interesse e foto aeree del bacino e dello sbarramento:
Capitolo I
Figura 1.1.2 Foto satellitare di inquadramento della stretta e del bacino.
Capitolo I
I.2 Descrizione della costruzione
Passiamo alla descrizione generale dell’opera riportando i dati dimensionali relativi allo sbarramento, alle 3 luci sfioranti poste sui conci X e XI e le varie quote di invaso massimo e di sfioro, con i rispettivi franchi di sicurezza rispetto al ciglio della diga:
- La diga è del tipo a gravita ordinaria, in calcestruzzo, tracimabile in corrispondenza dei conci X e XI, con andamento planimetrico spezzato costituito da due tratti rettilinei raccordati tra loro con una curva ad ampio raggio situata in concomitanza dei conci XVIII e XIX. Il coronamento, percorso dalla strada provinciale, ha larghezza di 6m oltre due sbalzi laterali di 1,5m ciascuno, cosi da realizzare una carreggiata stradale di larghezza 7,50m.
- Lo scarico di superficie e costituito da 3 luci sfioranti di larghezza pari ad 11.00m ciascuna, ubicate in corrispondenza dei conci X e XI. Il ciglio sfiorante della diga e posto a quota di 1123.00 m s.l.m. e consente, con un livello del serbatoio a quota 1124.00 m s.l.m., di smaltire una portata di 68.7 mc/s.
- La struttura è composta da 27 conci (numerazione crescente verso ovest), separati tra loro da giunti di dilatazione verticali permanenti, che si estendono all'intera sezione trasversale della diga e nei quali sono stati inserite lastre di materiale compressibile per uno spessore totale di 1.5 cm spalmate sui due lati con vernice anti umido, la cui tenuta e assicurata da un nastro di polivinile protetto a monte da una trave coprigiunto a forma di cuneo in cemento armato; i giunti sono provvisti di canne di drenaggio per lo scolo delle acque di filtrazione.
- Il profilo dei conci e caratterizzato dal classico triangolo fondamentale, raccordato in sommità, a valle, con una curva di raggio 25,84 m a quota 1109,90 m s.l.m. (15,10 m sotto la quota del coronamento). Il paramento di monte ha una pendenza di 0,03 e quello di valle 0,72; la larghezza massima in fondazione raggiunge i 54,69m e tutti i conci prevedono un basamento in calcestruzzo incassato nella roccia d’imposta a profondità variabile. I
- Riassumendo in sintesi le caratteristiche generale dello sbarramento: - Altezza della diga (ai sensi del DM82) 71.00 m
- Altezza di massima ritenuta 65.0 m - Quota del coronamento 1125.00 m s.l.m. - Franco (ai sensi del DM82) 1.0 m
- Franco netto (ai sensi del DM82) 0.45 m - Sviluppo del coronamento 450.00m - Volume della diga 310000 mc.
Capitolo I
Figura 1.2.1 Sezioni verticali e sezione orizzontale dei conci IX, e del concio sfiorante X, dalle quali si sono ricavate le dimensioni per la creazione del modello per le analisi dinamiche IDA con accelerogrammi.
- Per l’allontanamento delle acque di filtrazione, provenienti dal paramento di monte, è sto installato un sistema drenante in corpo diga e costituito da canne con diametro 20 cm, interasse 3m poste in prossimità del paramento di monte, facenti capo a tre cunicoli longitudinali d'ispezione disposti a differenti quote, dai quali le perdite vengono convogliate in un unico pozzetto di raccolta e, da questo, scaricate a valle della diga. Prima però l’acqua di drenaggio e fatta confluire nel cunicolo perimetrale inferiore, dove ne viene effettuata la misura.
Capitolo I
Figura 1.2.2 Particolare del giunto di dilatazione de paramento di monte con sezione della trave di coprigiunto di forma cuneiforme.
I.3 Descrizione della sezione di sbarramento
La morfologia del bacino sotteso dallo sbarramento è quella tipica dell'altopiano, caratterizzata da rilievi di modesta levatura e pendii poco acclivi, con inclinazioni generalmente inferiori ai 30°. La valle del fiume è ovunque piuttosto ampia, salvo che in corrispondenza della stretta dove è presente lo sbarramento ed è interamente incisa nelle rocce del basamento cristallino. Le sponde del bacino presentano quindi pendenza ridotta, limitata copertura detritico alluvionale delle rocce cristalline di base e assenza di vegetazione d'alto fusto e di insediamenti abitativi. La zona della stretta presenta una lieve asimmetria in conseguenza di una maggiore acclività del profilo della sponda sinistra rispetto a quello della destra orografica come mostrato sotto.
Capitolo I
Figura 1.3.1 Prospetto di monte con indicato il profilo naturale del terreno e Sezione longitudinale della diga con indicate i percorsi e le quote raggiunte dai cunicoli di ispezione.
PR O SP ETT O D I M O N TE D ELL A DIG A
Capitolo I
Le informazioni riguardanti invece il terreno circostante la stretta e di conseguenza il profilo orografico da inserire nelle modellazioni sono state ricavate dalle planimetrie riportanti posizione della diga e le linee di livello, con variazione di altezza di 5m per la planimetria 1, alla quale però è stata affiancata la planimetria numero 2, con unità di dislivelli pari a 10m, per ovviare alle mancanze riscontrate in alcune zone della planimetria 1.
Capitolo I
Capitolo I
I.4 Modellazione geometrica dell’opera
Tramite le informazioni sopra esposte e i disegni di progetto si è potuto ricavare la geometria dell’insieme terreno-struttura e dei pendii circostanti, così da permettere la creazione del modello FEM richiesto nelle successive analisi.
Quindi sono stati realizzati, con il programma di disegno tecnico AutoCAD, due modelli: a) Modello completo tridimensionale.
b) Modello di un concio singolo (concio tracimabile X).
che successivamente sono stati importati nel programma agli elementi finiti Ansys R17.2. Nel modello (a) le dimensioni della porzione di terreno circostante la costruzione e in profondità rispetto ad essa sono state scelte secondo la regola di 1.5H, con H altezza dello sbarramento inserendo in seguito, per simulare la presenza del terreno oltre l’insieme modellato, vincoli esterni la cui tipologia verrà ripresa in seguito. Per il modello (b), invece, sono state modellate solo le porzioni di terreno entro i piani passanti per le superfici laterali del concio rappresentato.
Capitolo I
Figura 1.4.2 Modellazione geometrica dell’opera competa vista lato monte.
Capitolo I
I.5 Strumentazione e monitoraggio
Il sistema di monitoraggio installato sulla costruzione prevede misure di diverse grandezze. - Grandezze misurate con cadenza giornaliera:
1) Temperatura dell’aria rilevata mediante termometro di minima e massima; la temperatura dell’aria presenta il tipico andamento periodico con minimi invernali generalmente misurati nel mese di gennaio e massimi estivi nel mese di agosto. La temperatura massima assoluta e stata registrata il 25 agosto 2007 con 37 °C mentre la minima il 27 gennaio 2000 con -8 °C. Il valor medio della temperatura dell'aria risulta pari a circa 11 °C mentre l’escursione annuale media e pari a 25°C
2) Pioggia registrata con pluviografo;
3) Manto nevoso, misurato attraverso palina metrica;
Figura 1.5.1 Schema generale della posizione dei pendoli nel Concio X. Evidenziare in rosso i punti dove si effettuano le misure
Capitolo I
4) Quota del livello di invaso misurata tramite misuratore di tipo piezoresistivo; il serbatoio presenta una regolazione stagionale dei livelli idrostatici, mediamente caratterizzata da riempimenti del bacino nei periodi invernale e primaverile e svasi in estate ed autunno. Nell’arco dell’intero ciclo storico di osservazione (1978÷2016) il livello e oscillato tra la quota minima di regolazione 1063 m s.l.m., raggiunta durante lo svaso completo del 11 novembre 2011, alla quota massima di 1222.96 m s.l.m. del 30 aprile 1993, 4 centimetri inferiore alla quota di massima regolazione. La quota media dell’invaso e pari a circa 1105 m s.l.m. mentre l’ampiezza media annuale dell’escursione e pari a circa 18 m.
5) Temperatura dell’acqua in superficie e a 5 metri di profondità, misurata mediante termometro a immersione; il valor medio della temperatura dell'acqua (disponibile solo a partire dal 1995) in superficie e a 5 m di profondità risulta rispettivamente pari a 12.5 e 11.5 °C con escursione media annua di circa 15°C.
6) Stato atmosferico determinato con apparecchiatura installata nella stazione meteorologica.
7) Grandezze legate agli eventi meteorologici e idrologici (piene) di particolare importanza, desumibili dall’andamento dei volumi d’invaso, dalle precipitazioni, dalle condizioni di funzionamento degli scarichi e dalle registrazioni idrometriche. - Misurazione spostamenti della struttura
1) Spostamenti planimetrici rilevati con cadenza quindicinale da un collimatore automatico con mire mobili e da 4 pendoli rovesci installati nei conci IX, X, XII e XVII ad 11 postazioni. Dei dati disponibili verranno considerati solamente gli spostamenti registrati dal pendolo rovescio situato nel concio X e alle quote di 1104 m s.l.m, nel cunicolo di ispezione e drenaggio, e di 1064.31 m s.l.m, nel cunicolo perimetrale. La motivazione sta nel fatto che le misure risultano rilevate in numero maggiore rispetto agli altri conci durante l’intero periodo di vita della diga e quindi non presentano buchi nell’insieme delle misure; inoltre le successive operazioni di identificazioni dei materiali si sono eseguite rispetto al concio più alto dei 27 costituenti la diga.
2) spostamenti altimetrici misurati attraverso due estensimetri a lunga base.
3) rotazioni e dilatazioni misurate con cadenza mensile mediante catene clinometriche ed estensimetri sui giunti tra i conci.
4) deformazione della formazione d’imposta misurata con frequenza mensile mediante 4 postazioni di rockmeter installati a monte e a valle dei cunicoli trasversali.
Capitolo I
Figura 1.5.2 Sezione longitudinale con posizione dei pendoli rovesci installati e evidenziato il pendolo considerato nella validazione del modello FEM.
Capitolo I
Capitolo I
Figura 1.5.3 Storie temporali della variazione di temperatura media giornaliera durante la vita della costruzione e della variazione id temperatura media dell’acqua d’invaso a 5 metri sotto il pelo libero.
Capitolo I
- Sottopressioni, livelli piezometrici della falda, temperature corticali della struttura e perdite.
1) Sottopressioni, misurate con frequenza quindicinale sia mediante 32 fori di drenaggio attrezzati con manometri installati all’interno del cunicolo perimetrale della diga, sia anche attraverso 9 celle di pressione di tipo “Maihak”;
2) livelli piezometrici, misurati con cadenza settimanale attraverso due serie di piezometri installate a valle diga.
3) temperature diga, misurate con frequenza quindicinale, in 10 punti corticali mediante elettrotermometri.
I.6 Caratterizzazione sismica del sito
La caratterizzazione sismica del sito di costruzione dello sbarramento è stata eseguita seguendo le norme tecniche per la progettazione e la costruzione degli sbarramenti di ritenuta (dighe e traverse) del 6 giugno 2014 per dighe esistenti. Le suddette norme definiscono come “grande diga” la costruzione più alta di 15 metri con un bacino di più di 1 milione di metri cubi di acqua e la classificano come “strategica”. Da queste informazioni possiamo ricavare la vita nominale, il coefficiente d’uso ed infine il periodo di riferimento per l’azione sismica.
4) Vita nominale per Grandi dighe esistenti VN ≥ 50 anni
5) Coefficiente d’Uso per dighe di importanza strategica CU=2.
6) Periodo di riferimento: VR = CU ·VN = 2·50 = 100 anni.
Conoscendo VR, tramite le prefissate probabilità di eccedenza PVr, definite dalle norme,
troviamo i periodi di ritorno dell’azione sismica riferiti ai vari stati limite. VR=100 anni SLO PVr(%)=81 SLD PVr(%)=63 SLV PVr(%)=10 SLC PVr(%)=5 TR 60 100 950 1950
Tabella 1.6.1 Tempi di ritorno dell’azione sismica per i rispettivi stati limite da normativa.
Dal periodo di riferimento possiamo anche ricavare gli spettri di risposta riferiti al sito di costruzione della diga per terreni di tipo “A” e coefficiente topografico T1.
Capitolo I
Figura 1.6.1 Spettri di risposta elastici per il Comune in cui si trova la diga.
Oltre agli spettri di risposta elastici si è ricercato il grafico di disaggregazione, necessario alla selezione degli accelerogrammi per le analisi non lineari dinamiche. Tale grafico viene fornito dall’INGV (Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia) però esso prende in considerazione solamente un periodo di riferimento di 50 anni. Perciò si è potuto ricavare una disaggregazione per un tempo di ritorno TR=950 anni equivalente ad uno stato limite
SLV.
Figura 1.6.2 Mappa pericolosità sismica per l’area comprendente il comune in cui è situata la diga in esame. 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 Sa (T ) (g ) T (s) Spettri di risposta elastici
SLO SLD SLV SLC
Capitolo I
Figura 1.6.3 Grafico di disaggregazione equivalente ad un TR=950 anni per il sito di costruzione dello sbarramento
nel Comune in cui risiede la diga.
I.7 Campagne di indagine diagnostica
Si riportano i dati raccolti tramite le varie campagne di indagine, susseguitesi durante la vita della costruzione, sui vari materiali utilizzati nella costruzione dell’opera e sulla roccia della sezione di sbarramento. In seguito si estraggono le distribuzioni delle caratteristiche fisico meccaniche degli stessi materiali per le successive operazioni di identificazione.
Calcestruzzo
Durante la costruzione della diga sono stati eseguiti 208 prelievi dai getti di calcestruzzo, di cui 166 dal corpo diga (fino a quota 1123.5 m s.l.m., cubetti 30x30x30cm) e 42 dal coronamento (cubetti 20x20x20cm). Le prove hanno indagato la resistenza cubica mono-assiale di rottura a compressione media Rbm, il peso di volume medio ρc, la permeabilità
dei cubetti e le relative dispersioni, tutti per periodi di maturazione del conglomerato pari a 7, 28 e 90 giorni. Il nostro interesse è rivolto ai dati riferiti al calcestruzzo derivante dal corpo della diga per un tempo di maturazione di 90 giorni, evidenziati nella tabella sottostante.
Capitolo I
Tabella 1.7.1 Dati della Rbm e del ρc con relative dispersioni riscontrati nelle prove in laboratorio sui 208 provini di calcestruzzo prelevati dai getti durante la costruzione dell’opera, con evidenziati i dati di interesse.
I valori di permeabilità del calcestruzzo valutati in laboratorio su 23 serie di 2 provini 20x20x20cm sottoposti per 10 giorni ad una pressione di 10 atmosfere risultano complessivamente modesti (valore medio 3·10-8 cm/s) anche se la dispersione è circa di
84%.
Dai dati riportati in tabella si è potuto assumere le seguenti funzioni di densità di probabilità.
1) distribuzione log-normale della resistenza cubica mono-assiale media Rb=25.3
MPa con CoV=16%.
2) distribuzione log-normale del peso di volume medio ρc =2520 Kg/m3 con
CoV=1%.
Figura 1.7.1 Distribuzione della resistenza a compressione cubica media mono-assiale del calcestruzzo Rbm con
media 25.3 MPa e CoV =16%
Dalla resistenza cubica ciò possiamo ricavare la resistenza mono-assiale cilindrica media fcm tramite la relazione di normativa:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 De ns ità di pr ob ab ilit à Rb(MPa)
Distribuzione lognormale resistenza a compressione mono-assiale cubica
Capitolo I
𝑓𝑐𝑚 = 0.83 ∙ 𝑅𝑏𝑚 = 21 𝑀𝑃𝑎 (1.7.1)
E da quest’ultima possiamo a sua volta calcolare il valore del modulo elastico secondo la relazione ricavata dall’Eurocodice 2 per calcestruzzo con aggregati arenacei:
𝐸𝑐𝑚 = 15400 ∙ √0.1 ∙ 𝑓3 𝑐𝑚= 19.7 𝐺𝑃𝑎 (1.7.2)
Da notare che le caratteristiche sopra ricavate mantengono la tipologia di distribuzione e la deviazione standard della Rb, essendo derivate da essa:
Figura 1.7.2 Distribuzione della resistenza cilindrica mono-assiale del calcestruzzo fc con media fc=21MPa e
distribuzione del valore del modulo elastico del stesso calcestruzzo con media Ecm=19.7GPa entrambe con
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 De ns ità di pr ob ab ilit à Ec (MPa)
Distribuzione log-normale modulo elastico del calcestruzzo
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 De ns ità di pr ob ab ilit à fc(MPa)
Distribuzione log-normale resistenza a compressione cilindrica del calcestruzzo
Capitolo I
Le indagini sperimentali sui 208 provini hanno anche rilevato le resistenze caratteristiche cubiche Rbk, valutate sia in cantiere che in laboratorio ufficiale, con la relativa deviazione
standard che per il caso di provini provenienti dal corpo della diga e con maturazione di 90 giorni, risulta del 16%.
Tabella 1.7.2 Dati della Rbk riscontrati nelle prove in laboratorio sui 208 provini di calcestruzzo prelevati dai getti
durante la costruzione dell’opera, con evidenziati i dati di interesse.
Dalla resistenza caratteristica cubica Rbk=18.4 MPa possiamo ricavare, tramite la semplice
relazione (1.7.1), anche la resistenza caratteristica cilindrica fck mantenendo inalterata la
deviazione standard:
𝑓𝑐𝑘 = 0.83 ∙ 𝑅𝑏𝑘 = 15.3 𝑀𝑃𝑎 (1.7.3)
Per quanto riguarda invece il valore della resistenza trazione media fctm, avendo a
disposizione il valore medio della fcm e la conseguente distribuzione associata, possiamo
facilmente ricavarne il valore secondo l’equazione 11.2.3a delle NTC2008: 𝑓𝑐𝑡𝑚= 0.30 ∙ 𝑓𝑐𝑚
2
3= 1.85 𝑀𝑃𝑎 (1.7.4) E derivando essa dalla fcm abbiamo mantenuto tipologia di distribuzione e deviazione
Capitolo I
Figura 1.7.3 Distribuzione della resistenza cilindrica mono-assiale del calcestruzzo Rb con media Rbm=21MPa e
distribuzione del valore del modulo elastico del stesso calcestruzzo con media Ec=19.7GPa entrambe con
deviazione standard CoV =16%.
Da fctm possiamo risalire alla resistenza a trazione caratteristica fctk tramite le semplici
relazione statistiche:
𝑓𝑐𝑡𝑘= 𝑓𝑐𝑡𝑚− 2 ∙ 𝜎 = 1.26 𝑀𝑃𝑎 (1.7.5)
𝑓𝑐𝑡𝑘= 0.7 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚= 1.3 𝑀𝑃𝑎 (1.7.6)
Prenderemo di conseguenza come resistenza a trazione caratteristica del calcestruzzo il valore minore fra due riportati sopra.
Per coefficiente di Poisson si è considerata una distribuzione di probabilità costante fra i valori di 0.1 e 0.3 non avendo informazioni specifiche riguardanti tale parametro meccanico: 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 De ns ità di pr ob ab ilit à fct (MPa)
Capitolo I
Figura 1.7.4 Distribuzione uniforme del coefficiente di Poisson relativo all’ammasso di calcestruzzo.
In ambito termico ci siamo riferiti al valore standard del coefficiente di dilatazione termica del calcestruzzo, desunto anche da caratteristiche termiche che hanno trovato positivo riscontro nei valori assegnati agli stessi materiali di altre dighe di tipologia analoga, inserendo però una variabilità in certo intervallo intorno al valore predominante così da poter assegnare a α una distribuzione log-normale con deviazione standard σ=45% e una moda di α=1.2·10-5(C°)-1:
Figura 1.7.5 Distribuzione del coefficiente di dilatazione termica del calcestruzzo αc con moda αc =1.2·10-5
(C°)-1 e CoV =45%. 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 De ns ità di pr ob ab ilit à νc
Coefficienti di Poisson Calcestruzzo
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005 De ns ità di pr ob ab ilit à αc
Capitolo I
Per l’angolo di attrito dell’ammasso di calcestruzzo ci siamo riferiti a valori tabellati forniti dall’ ITCOLD (comitato Nazionale Italiano per le Grandi Dighe) i quali attestano che per i calcestruzzi utilizzati la componente coesiva risulta:
𝑃𝑖𝑐𝑐𝑜 1𝑀𝑝𝑎 ≤ 𝐶𝑐 ≤ 2.1𝑀𝑃𝑎 (1.7.7)
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙 𝐶𝑐 = 0 (1.7.8)
Invece per l’angolo di attrito vengono forniti i seguenti intervalli:
𝑃𝑖𝑐𝑐𝑜 𝜑 = 57° (1.7.9) 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙 48° ≤ 𝜑 ≤ 49° (1.7.10) Il modulo elastico dinamico invece è stato derivato dai valori di velocità delle onde soniche (Vp) misurati durante prove di carotaggio sonico e cross-hole eseguite sotto il cunicolo
perimetrale in corrispondenza del Concio X. Le analisi effettuate hanno fornito un valore della velocità delle onde soniche di circa 5km/s, al quale secondo la teoria della propagazione delle onde corrisponde un modulo elastico dinamico:
𝐸𝑐𝑚 =[(1 − 2𝜐) ∙ (1 + 𝜐) ∙ 𝛾 ∙ 𝑉𝑝
2]
(1 − 𝜐) = 50 𝐺𝑃𝑎 (1.7.11)
Roccia di fondazione
Per quanto riguarda la roccia di fondazione, su cui è stata realizzata l’opera, le prove in laboratorio, svolte nel 1980, hanno interessato 31 provini estratti in corrispondenza del sondaggio sotto il Concio IX e sui quali sono state svolte le seguenti prove:
1) Misura del peso specifico:
I provini presentano valori molto vicini fra loro mostrando un andamento a distribuzioni log-normale con media γg = 2620 kg/m3 e CoV =50%.
Capitolo I
Figura 1.7.6 Distribuzione dei valori di densità della roccia γg riscontrati sui 31 provini di roccia.
2) Prova di resistenza a compressione mono-assiale eseguita per 12 provini e triassiale per 19 provini:
La quale ha fornito una distribuzione dei valori del tipo log-normale con media fgcm=51MPa e una CoV= 50%.
Valori ricavati dalle indagini 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 De ns ità di pr ob ab ilit à ρg
Capitolo I
Figura 1.7.7 Distribuzione della resistenza a compressione mono-assiale fgc della roccia di fondazione
3) Determinazione della velocita sonica (post essiccazione), con velocita tra 2 e 5 km/s, con valori percentualmente predominanti attorno a 4 km/s; determinazione della velocita sonica (materiale saturo) con velocita tra 4 e 6 km/s, con valori percentualmente predominanti attorno a 5 km/s.
4) determinazione del modulo elastico secante. I valori variano tra 10 e 30 GPa, con valore medio di Egm=15GPa.
Valori forniti ricavati dalle indagini
Valori forniti ricavati dalle indagini 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 20 40 60 80 100 120 140 De ns ità di pr ob ab ilit à fc (MPa)
Distribuzione log-normale della resistenza a compressione monoassiale della roccia
Capitolo I
Anche per il modulo elastico secante si è optato per una distribuzione log-normale con media Eg=15GPa e deviazione standard CoV=50%:
Figura 1.7.8 Distribuzione dei valori del modulo elastico della roccia di fondazione Eg.
5) Determinazione del coefficiente di Poisson. I valori di ν variano tra 0.1 e 0.3 in modo uniforme.
6) Prova di trazione indiretta o brasiliana eseguita su 12 provini dei 31 disponibili. La prova ha evidenziato un valore medio della resistenza a trazione ftm=3.9MPa con
una CoV=70%.
Figura 1.7.9 Distribuzione dei valori della resistenza a trazione fgt della roccia di fondazione.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 De ns ità di pr ob ab ilit à Eg (MPa)
Distribuzione log-normale modulo elastico roccia di fondazione
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 De ns ità di pr ob ab ilit à fgt (kPa)
Distribuzione log-normale resistenza a trazione della roccia di fondazione fgt(kPa)
Capitolo II
Capitolo II
Validazione del modello FEM
Il grado di affidabilità della risposta fornita dal modello matematico e funzione della sua capacita di riprodurre al meglio il comportamento della struttura reale, che è fornito dalle serie temporali delle misure di spostamento rilevate sull’opera. L’affidabilità della risposta fornita dal modello matematico dipende principalmente dai seguenti fattori:
1) Grado di correttezza delle geometrie modellate. 2) Adeguatezza della schematizzazione dei carichi agenti.
3) Affidabilità dei valori dei parametri meccanici e termici assegnati ai diversi materiali modellati.
Lo sviluppo dei tre fattori dominanti per la validazione del modello verrà effettuata sia per il modello completo 3D, sia per il modello a concio singolo.
II.1 Correttezza delle geometrie
Questo requisito è garantito dall’aver creato un modello geometrico 3D strettamente fedele alle dimensioni fornite nella documentazione tecnica in nostro possesso.
La mesh creata presenta un numero di elementi esaedrici pari a 100109 e numero dei nodi 452953. Rimane adesso da verificare l’indipendenza della soluzione dalla grandezza della mesh prescelta.
Capitolo II
1) 5m per i conci e 15m per la roccia:
Figura 2.1.1 Mesh 5 metri conci, 15 metri roccia di fondazione. (a) modello completo, (b) modello concio singolo
Capitolo II
2) 1.5m per i conci e 5m per la roccia:
Capitolo II
3) 0.7m per i conci e 5m per la roccia:
Figura 2.1.3 Mesh 0.7 metri conci, 5 metri roccia di fondazione. (a) modello completo, (b) modello concio singolo
Calcolando quindi gli spostamenti del punto a quota 1104 m s.l.m, con livelli d’invaso massimo, per le diverse mesh elencate si riscontrano i valori seguenti:
Dim. mesh calcestruzzo
(m) Dim. mesh roccia (m) Spostamento monte-valle (mm) Spostamento totale (mm)
5 15 7.8865 8.1752
0.7 5 7.8611 8.1887
0.5 5 7.8558 8.1782
Come possiamo notare, le differenze sono dell’ordine del centesimo di millimetro, che costituisce anche l’errore degli strumenti posti sulla costruzione per il monitoraggio
Capitolo II
periodico. Per questo motivo, possiamo affermare che la soluzione presentata dal software Ansys non dipende dalla raffinatezza della mesh.
Un ulteriore passo per una corretta modellazione agli elementi finiti riguarda la possibilità, con questa tipologia di analisi, di conoscere la distribuzione delle sollecitazioni di taglio, e quindi di definire un modello di stato limite individuato attraverso linee di plasticizzazione orizzontali. Il campo di sforzo lungo una di queste superfici di rottura orizzontali può in seguito essere utilizzata come dato di ingresso di un calcolo agli stati limite ultimi lungo detta superficie. La definizione delle potenziali superfici di rottura nel caso standard di una diga in calcestruzzo con piano di appoggio pressoché orizzontale è tratta dalle linee guida francesi CFBR, le quali suggeriscono come linee di rottura a taglio le riprese di getto presenti lungo lo sviluppo della costruzione e la superficie di contatto struttura-terreno.
Figura 2.1.4 Schematizzazione delle superfici di rottura a taglia lungo le riprese di getto dell’ammasso cementizio
Nel nostro caso, le linee di ripresa del getto si attestano a circa 2 metri l’una da l’altra per cui si è proceduto a dividere i conci dello sbarramento in modo da simulare la superficie
Capitolo II
Figura 2.1.5 Creazione delle superfici di rottura a taglia lungo le riprese di getto dell’ammasso cementizio.
II.2 Schematizzazione dei carichi agenti
Il carico agente considerato per la validazione del modello ad elementi finiti è solamente il carico idrostatico. Tale sollecitazione è stata imposta con l’ausilio del software stesso che
Capitolo II
automaticamente assegna la pressione idrostatica alle superfici selezionate specificando densità del fluido e livello del pelo libero.
Figura 2.2.1 Creazione delle superfici di rottura a taglia lungo le riprese di getto dell’ammasso
Il motivo per cui, in questa fase, si è considerato solamente il carico idrostatico, risiede nel fatto che il procedimento, utilizzato in seguito per la ricerca delle caratteristiche fisico-meccaniche dei materiali, prende in considerazione solamente la componente idrostatica dello spostamento totale registrato dal sistema di monitoraggio, una volta separata dalla componente termica attraverso l’utilizzo del metodo statistico che sarà esposto nel seguito.
II.3 Assegnazione valori dei parametri meccanici e termici dei materiali
modellati.
Lo scopo della presente tesi è la valutazione della vulnerabilità sismica dell’opera. Essa deve essere portata a termine tramite l’utilizzo di modelli FEM molto elaborati, il che genera il problema della presenza di un gran numero di incertezze. Per ridurle possiamo effettuare una caratterizzazione delle proprietà dei materiali il più precisa possibile, in base ai dati iniziali conosciuti, di modo che il loro valore sia il più possibile vicino ai quelli reali. I parametri meccanici dei materiali da utilizzare nei modelli sono stati determinati tramite una procedura di aggiornamento Bayesiano, che modifica le distribuzioni iniziali delle caratteristiche dei materiali, ottenute dalle prove in sito, sulla base delle informazioni provenienti dal monitoraggio della diga. I parametri termici dei materiali sono stati determinati sulla base della bibliografia disponibile, focalizzando la ricerca sui valori relativi a strutture paragonabili a quella oggetto del presente lavoro, in termini di tipologia dei materiali, anno di costruzione e tecnologie di messa in opera. L’aggiornamento bayesiano aggiorna le distribuzioni di probabilità delle caratteristiche dei materiali in ingresso, comunemente indicate come “prior distributions”, in modo tale che il comportamento del
Capitolo II
modello FEM riproduca il più fedelmente possibile il comportamento reale. In questo modo otteniamo delle distribuzioni di probabilità delle caratteristiche dei materiali, comunemente chiamate “posterior distributions”. Il procedimento appena descritto consente di ridurre e gestire le incertezze che affliggono il modello.
Elaborazione degli spostamenti registrati
Volendo concentrare l’attenzione solo sui parametri meccanici dei materiali, lo studio si è focalizzato solo sugli spostamenti dovuti alla variazione del livello d’invaso. A questo scopo, le misure di spostamento sono state distinte nelle due componenti dovute all’azione delle principali grandezze, l’invaso e la temperatura, con un’eventuale componente irreversibile. È stato quindi messo a punto il modello statistico di comportamento dell’opera. Il modello statistico è stato costruito esprimendo lo spostamento in un generico istante “t” come somma di:
a) Una componente periodica dovuta alla temperatura;
b) Una componente derivante da un polinomio che riproduce gli effetti legati alle oscillazioni del livello d’invaso;
c) Una componente di spostamento irreversibile derivante da funzione lineare. Passiamo ad esporre le relazioni matematiche utilizzate per esprimere le diverse componenti di spostamento elencate sopra:
a) Componente periodica di temperatura:
La componente termica di spostamento è stata riprodotta attraverso una serie di Fourier a quattro parametri del tipo:
𝛿𝑡𝑒𝑟 = 𝐴1∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ∙ 𝑡) + 𝐴2 ∙ cos(𝜔 ∙ 𝑡) + 𝐴3∙ 𝑠𝑒𝑛(2 ∙ 𝜔 ∙ 𝑡) + 𝐴4∙ 𝑐𝑜𝑠(2 ∙ 𝜔 ∙ 𝑡) (2.3.1)
b) Componente idrostatica:
La componente idrostatica di spostamento e stata riprodotta attraverso un polinomio di grado n=3 del tipo:
𝛿𝑖𝑑𝑟 = 𝐴5∙ 𝑄 + 𝐴5 ∙ 𝑄2+ 𝐴
8∙ 𝑄3 (2.3.2)
c) Componente irreversibile:
La componente irreversibile di spostamento e stata riprodotta attraverso una funzione lineare crescente con il tempo:
Capitolo II
𝛿𝑖𝑟𝑟 = 𝐼 + 𝑘 ∙ 𝑡 (2.3.3) La procedura è stata effettuata per i due punti a quote diverse interessati dalle misure del solito pendolo rovescio situato nel concio X, evidenziato nella descrizione del sistema di monitoraggio al capitolo I.
Figura 2.3.1 Punti di controllo utilizzati per l’identificazione dei materiali. (a) punto a quota 1104m s.l.m; (b) punto a quota 1064.31m s.l.m.
Capitolo II
Capitolo II
Come possiamo notare di grafici il periodo iniziale presenta misure in spostamento che non combaciano con la regressione trovata, mentre le successive risultano pressoché sovrapposte. Si è quindi optato per effettuare le analisi probabilistiche sul periodo compreso fra il 4 giugno 1991 e il 27 aprile 2016, scartando le misure precedenti
Ricavate le nove costanti troviamo, così, le componenti di spostamento per la rispettiva tipologia di carico:
Figura 2.3.2 Componente di spostamento δidr dovuta al livello d’invaso del serbatoio per il punto a quota
1063.31m s.l.m. partire dalla quota minima registrata.
Figura 2.3.2 Componente di spostamento δter dovuta alla temperatura per il punto a quota 1063.31m s.l.m.
3 13 23 33 43 53 63 73 -0.43 -0.33 -0.23 -0.13 -0.03 0.07 0.17 0.27 Qu ota in va so (m) Spostamento (mm)
Polinomio idrostatico punto quota 1064.31m s.l.m.
Polinomio d'Invaso -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 100000000 200000000 300000000 400000000 Spo stame nto (mm) Tempo (s)
Componente termica quota 1064.31m s.l.m.
Capitolo II
Figura 2.3.3 Componente di spostamento δirr dovuta alle irreversibilità per il punto a quota 1063.31m s.l.m.
Figura 2.3.4 Componente di spostamento δidr dovuta al livello d’invaso del serbatoio per il punto a quota 1104m
s.l.m. -0.85 -0.65 -0.45 -0.25 -0.05 0.15 0.35 0.55 0.75 0 100000000 200000000 300000000 400000000 500000000 600000000 700000000 Spo stame nto (mm) Tempo (s)
Componente irreversibile quota 1064.31m s.l.m.
Componente Irreversibile 3 13 23 33 43 53 63 73 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 In va so (m) Spostamento (mm)
Capitolo II
Figura 2.3.5 Componente di spostamento δidr dovuta al livello d’invaso del serbatoio per il punto a quota 1104m
s.l.m.
Figura 2.3.6 Componente di spostamento δidr dovuta al livello d’invaso del serbatoio per il punto a quota 1104m
s.l.m.
Scelta delle incertezze di modello
La risposta del modello ad elementi finiti risulta influenzata da una serie di parametri, che sono afflitti da incertezze. La determinazione delle incertezze di un modello dipende dalla natura del fenomeno fisico che vogliamo rappresentare e dal modello utilizzato per rappresentare tale fenomeno. Nel caso in esame, i parametri sono stati identificati con le seguenti grandezze: -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 200000000 400000000 600000000 800000000 1E+09 Spo stame nto (mm) Tempo (s)
Componente termica punto quota 1104m.s.l.m.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 200000000 400000000 600000000 800000000 1E+09 Spo stame nto (mm) Tempo (s)
Capitolo II
1) Modulo di elasticità del calcestruzzo Ec;
2) Coefficiente di Poisson del calcestruzzo νc;
3) Modulo di elasticità della roccia di fondazione Eg;
Il primo passo della procedura per la gestione delle incertezze è la valutazione dell’influenza che ciascuna di esse ha sulla risposta della struttura. Il risultato è espresso attraverso una superficie di risposta del modello, che ci consente di valutare l’effetto della variazione dei parametri in gioco. Questo primo passo rappresenta la soluzione del problema statistico inverso. A questo scopo, nel caso specifico è stato creato un modello surrogato tramite la procedura del general polynomial chaos expansion (gPCE). Essa consente di rappresentare la risposta del sistema (nel caso in esame si tratta degli spostamenti della diga registrati in corrispondenza di punti prestabiliti) attraverso una opportuna combinazione lineare di polinomi fino a un certo grado, scelti in funzione delle distribuzioni delle variabili, in modo da rendere l’errore di rappresentazione il più basso possibile. In particolare, una volta scelta la tipologia dei polinomi da utilizzare, sono definiti i coefficienti di combinazione della base dello spazio dei polinomi, in modo che tale base sia ortogonale. Tali coefficienti di combinazione sono determinati sulla base della risposta del modello calcolata in determinati punti dello spazio delle variabili casuali. La scelta dei punti avviene attraverso la minimizzazione dell’errore quadratico della superficie di risposta rispetto al modello FEM o analitico.Tale procedura assicura la velocizzazione dei processi di risoluzione dei problemi quando sono impiegate le metodologie probabilistiche e presenta il vantaggio che gli indicatori statistici sono parti della base dello spazio dei polinomi.
A tale scopo, sono state eseguite diverse analisi con valori delle caratteristiche dei materiali scelti secondo una procedura di sampling che seleziona combinazioni dei parametri di modo che possano essere utilizzati per la costruzione della base dell’espansione polinomiale. Il numero di analisi necessarie può essere ricavato con la seguente relazione: 𝑛 = (𝑞 + 1)𝑝 (2.3.4)
Dove:
1) n: numero di analisi necessarie; 2) q: grado dell’espansione polinomiale; 3) p: dimensione del problema.
Sostituendo i valori nella relazione troviamo che il numero di analisi necessario al processo risulta:
Capitolo II
Dall’analisi dei 4096 gruppi di valori si sono ricavate le “superfici di influenza” che mostrano l’influenza della variazione delle incertezze sulla risposta del modello, in termini di spostamento.
Figura 2.3.7 Superfici di risposta, per variazione dei moduli elastici EC ed EG, dei punti a quota 1104m s.l.m.
del modello a concio singolo (a) e del modello completo (b).
Superficie di risposta dello spostamento del punto a quota 1104m s.l.m. nel modello a concio singolo
Superficie di risposta dello spostamento del punto a quota 1104m s.l.m. nel modello completo
Ec Ec Eg
s c s
c
Capitolo II
Updating Bayesiano
La procedura di aggiornamento Bayesiano offre un modo di trattare le informazioni concettualmente diverso da tutti gli altri metodi statistici. Esso consiste nell’aggiornare le conoscenze in nostro possesso, che, nel nostro caso, riguardano le variabili scelte precedentemente Ec, νc, Eg, ρc, ρg, in funzione di nuove informazioni. L’aggiornamento è
fatto applicando il teorema di Bayes per ottenere una densità probabilità a posteriori per dati parametri sconosciuti. Il teorema è riassunto con la seguente relazione:
𝑝(𝜃|𝑥) = 𝑝(𝑥|𝜃) ∙ 𝑝(𝜃)
𝑝(𝑥) (2.3.5) dove
1) p(θ): sono le densità di probabilità iniziali, prior. 2) θ: è il vettore dei parametri governanti il fenomeno.
3) x: è un campione derivante dalle distribuzioni iniziali assegnate. 4) p(x) rappresenta probabilità marginale o evidenza
Così che la distribuzione a posteriori per θ tenga in conto sia la nostra prima distribuzione per θ, sia i dati osservati x.
La relazione utilizzata nella presente tesi è una forma applicativa del teorema sopra esposto, esplicabile con la relazione seguente:
𝑓′(𝜃) = 𝑘 ∙ 𝐿(𝑥|𝜗) ∙ 𝑓(𝜃) (2.3.6)
dove
5) k è una costante ricavabile con la seguente formula: 𝑘 = ∫ ∫ 𝐿(𝜽, 𝒙)∞ −∞ ∞ −∞ ∙ 𝑓(𝜽) ∙ 𝑑𝜃 (2.3.7) 6) L(x|θ) è la Likelyhood: 𝐿(𝑥|𝜃) ∝ ∏1 𝜎∙ [𝜑 ∙ ( 𝑟𝑖 ∙ (𝑥, 𝜗) 𝜎 )] 𝑛 𝑖=1 (2.3.8) Con
- φ densità di probabilità (pdf) con media 0 e deviazione standard 1.
- ri residual, differenze fra spostamento del modello e spostamento registrato dal
monitoraggio
Capitolo II
Le relazioni sopra riportate presentano una notevole difficoltà risolutiva. Per questo motivo si utilizzano algoritmi di come il MCMC o Markov Chain Monte Carlo per diminuire gli oneri computazionali.
Il procedimento esposto fornisce i seguenti risultati in termini di medie e deviazioni standard dalle quale possiamo ritrovare le rispettive distribuzioni.
Modello Concio Singolo Ec νc Eg θ0 σ0 media 20559 0.1761 21961 -6.1526 0.153 deviazione standard 2264.6 0.0567 4563.1 0.4074 0.031 Modello Completo Ec νc Eg θ0 σ0 media 25625 0.2468 11377 -6.1526 0.1174 deviazione standard 2045.1 0.05 3957.4 0.4074 0.02
Tabella 2.3.1 Valori di medie e deviazioni standard dei parametri in entrata dell’updating bayesiano.
Figura 2.3.8 Distribuzione finale o posterior dei valori di Ec modulo elastico del calcestruzzo.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 De ns ità di pr ob ab ilit à Ec (MPa)
Distribuzione Lognormale Ec(MPa)
Ec modello completo Ec concio singolo Ec indagini
Capitolo II
Figura 2.3.9 Distribuzione finale o posterior dei valori di
ν
c coefficiente di Poisson del calcestruzzo.
Figura 2.3.10 Distribuzione finale o posterior dei valori di
ν
c coefficiente di Poisson del calcestruzzo. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 De ns ità di pr ob ab ilit à Eg (MPa) Distribuzione log-normale Eg Eg modello completo Eg concio singolo Eg indagini 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5ν
cCoefficienti di Poisson Calcestruzzo νc νc modello completo
νc concio singolo νc indagini
Capitolo III
Capitolo III
Analisi statiche non lineari (push-over)
Per verifica della vulnerabilità sismica della costruzione ci si è riferiti alle indicazioni fornite dalle norme tecniche per la progettazione e la costruzione degli sbarramenti di ritenuta (dighe e traverse) del 6 giugno 2014. Esse prescrivono tipologia di analisi e condizioni di carico da considerare. Le analisi prescritte risultano la pseudo-statica o la statica non lineare (push-over), nelle quali si applicano in aggiunta agli altri carichi già presenti, le forze d’inerzia prodotte dal sisma, rappresentate da carichi statici equivalenti, e le sovrappressioni dinamiche dovuta al livello d’invaso. Gli scopi di tali analisi sono:
1) In primo luogo evidenziare il comportamento lineare e conseguentemente la rigidezza mostrata dalla costruzione, variando alcuni parametri meccanici del calcestruzzo e l’entità della possibile interazione fra conci adiacenti.
2) Successivamente, esplorare il comportamento non lineare della costruzione, sempre al variare dei parametri suddetti, quando sottoposta a carichi crescenti. La condizione di carico considerata per la diga risulta quella di sisma in concomitanza livello d’invaso massimo, e orientamento del carico stesso lungo la direzione monte-valle, nella quale le forze sismiche sono concordi a quelle idrostatiche. Come parametro di danno dell’edificio, invece, si è scelto lo spostamento, sempre lungo la direzione monte-valle, del punto a quota 1104m s.l.m. nel concio X.
III.1 Analisi dei carichi
Dal capitolo C.7 delle suddette norme tecniche, possiamo ricavare le azioni da inserire nelle analisi successive:
1) peso proprio;
2) spinta idrostatica e azioni inerziali in presenza di sisma 3) sottospinte
4) spinta del ghiaccio 5) azione sismica
Capitolo III
1) Spinta del ghiaccio
Per dighe in zone in cui è possibile la formazione sulla superficie del serbatoio di uno strato di ghiaccio con spessore superiore a 20 cm, sarà considerata tra le azioni la relativa spinta orizzontale, il cui valore caratteristico può essere assunto corrispondente alla pressione di 150 kPa, applicata sulla proiezione verticale della superficie di contatto tra ghiaccio e paramento della diga. Come possiamo notare però dall’andamento termico registrato dalla strumentazione per la temperatura dell’aria, le fasi di temperatura negativa risultano esigue e di entità ridotta rispetto alle fasi di temperatura positiva. Riteniamo quindi molto improbabile la formazione di accumuli di ghiaccio oltre i 20cm di spessore.
2) Sottospinte idrauliche
La costruzione in esame risulta munita di canne di drenaggio sia nel corpo della diga sia di fori di drenaggio della fondazione, adeguatamente manutenute e di dimensione ed interasse tale da rispettare i limiti imposti in normativa. Perciò possiamo assumere un coefficiente di abbattimento delle sottopressioni n=0,35. Assumeremo inoltre, come ipotesi cautelativa, l’altezza del livello idrico sul paramento di valle pari ad h=0. Le sottopressioni verranno inserite con andamento variabile linearmente fra i seguenti punti della superficie di contatto fra calcestruzzo e roccia di fondazione:
1) piede dei conci lato monte; 2) linea dei drenaggi;
Capitolo III
Figura 3.1.1 Schema generale di normativa per il calcolo e l’applicazione delle sottospinte idrauliche
Seguendo lo schema di figura si sono calcolate le varie sottospinte per i diversi conci che essendo fondati a diverse quote e presentando quindi lunghezze di base differenti risultano sollecitati da sottopressioni di diversa entità l’uno dall’altro. I risultati sono riassunti nella tabella sottostante dove si sono raggruppati i conci con uguali dimensioni:
Conci larghezza altezza profondità ln n d·H n·d·H
I-II 8.4542 10 7 2.8 0.35 68670 24034.5 III 15.523 20 17 3.1 166770 58369.5 IV 19.407 25 23 3.25 225630 78970.5 V 26.8313 35 33 3.55 323730 113305.5 VI 30.8113 40 38 3.7 372780 130473 VII 38.5141 50 48 4 470880 164808 VIII 42.3655 55 53 4.15 519930 181975.5 IX 50.0683 65 63 4.45 618030 216310.5 X-XI 54.69 71 68 4.63 667080 233478 XII 46.2169 60 58 4.3 568980 199143 XIII 38.5141 50 48 4 470880 164808 XIV-XV 34.8127 45 43 3.85 421830 147640.5 XVI 23.2063 30 28 3.4 274680 96138 XVII-XVIII 19.3375 25 23 3.25 225630 78970.5 XIX-XX-XXI-XXII 15.6361 20 18 3.1 176580 61803 XXIII-XXIV-XXV 11.7953 15 13 2.95 127530 44635.5 XXVI-XXVII 8.4525 10 7 2.8 68670 24034.5
Capitolo III
Dalla tabella ricaviamo il grafico delle sottopressioni inserite nel modello FEM in funzione della distanza dal piede di monte dei rispettivi conci:
Figura 3.1.2 Sottospinte idrauliche causate dal livello d’invaso del serbatoio alla base dei conci costituenti la diga.
4) Forze Statiche Equivalenti con procedura PEER
Nella presente tesi ci si è riferiti al processo descritto da Anil Chopra e Arnkjell Lokke nelle PEER (Pacific Earthquake Engineering Research Center) nel quale le mancanze del precedente procedimento vengono inserite nel calcolo delle sovrappressioni dinamiche. Gli autori considerano un sistema bidimensionale costituito da diga monolitica in calcestruzzo a gravità supportato su una superficie orizzontale del sottostante basamento in roccia flessibile idealizzato come semipiano viscoelastico semipiano e serbatoio di acqua, eventualmente con presenza di sedimenti sul fondo, tendente a infinito.
0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 0 10 20 30 40 50 P re ss io ne (Pa )
Distanza da piede diga lato monte (m) Sottospinte idrauliche
Capitolo III
Figura 3.1.3 Sistema bidimensionale considerato nella trattazione di Anil Chopra e Arnkjell Lokke.
La massima risposta della diga nel suo modo di vibrazione fondamentale, comprendente gli effetti di interazione dinamica diga-acqua-fondazione, può essere stimata con
un'analisi statica della diga sottoposta a forze laterali equivalenti statiche agenti sulla superficie di monte della diga, calcolate secondo la relazione seguente:
𝑓1(𝑦) = Γ′1∙𝐴(𝑇
′ 1, 𝜁′1)
𝑔 ∙ [𝑤𝑠(𝑦) ∙ 𝜙1(𝑦) + 𝑔𝑝(𝑦, 𝑇′𝑟)] (3.1.3) Dove:
1) ϕ1(y) è la componente orizzontale di spostamento del paramento di monte della
diga nella forma del modo di vibrare fondamentale, nel caso di fondazione rigida e serbatoio pieno;
2) ws(y) è il peso per unità di altezza della diga;
3) A(T’1, ζ’1) è l’accelerazione spettrale massima al periodo T’1, con spettro ricavato
per il sito di costruzione con smorzamento pari a ζ’1;
4) g è l’accelerazione di gravità;
5) Γ’1 rappresenta il fattore di partecipazione modale dato da:
Γ′1 = 𝐿′1 𝑀′1 (3.1.4) Con: 𝑀′1 = 𝑀1 + ∫ 𝑝(𝑦, 𝑇′ 𝑟) 𝐻 𝑜 ∙ 𝜙1(𝑦)𝑑𝑦 (3.1.5) 𝐿′1 = 𝐿1+ ∫ 𝑝(𝑦, 𝑇′𝑟)𝑑𝑦 𝐻 (5.1.6)
Capitolo III
Nelle quali H rappresenta la profondità del livello d’invaso, mentre la massa generalizzata e il coefficiente di forza del sisma sono dati dalle relazioni:
𝑀1 = 1 𝑔∫ 𝑤𝑠(𝑦) 𝐻𝑠 𝑜 ∙ 𝜙12(𝑦)𝑑𝑦 (3.1.7) 𝐿1 = 1 𝑔∫ 𝑤𝑠(𝑦) ∙ 𝜙1(𝑦)𝑑𝑦 (3.1.8) 𝐻𝑠 𝑜
con Hs è l’altezza della diga.
6) La funzione p(y, T’r) è il valore della funzione complessa rappresentante che
rappresenta la pressione idrodinamica sul paramento di monte dovuto alle accelerazioni armoniche al periodo T’r nella forma del modo di vibrare
fondamentale.
Il periodo di vibrazione fondamentale del sistema SDOF equivalente, che rappresenta la modalità di risposta fondamentale della diga, fissato il livello d’invaso, risulta:
𝑇′
𝑟 = 𝑅𝑟∙ 𝑇1 (3.1.9)
Dove T1 è il periodo di vibrazione fondamentale della diga su suolo rigido con serbatoio
vuoto. Il coefficiente Rf risulta maggiore di 1 poiché il periodo di vibrazione aumenta
considerando l’effetto idrodinamico dell’acqua, la quale aggiunge massa al sistema abbassando conseguentemente la frequenza di vibrazione.
Mentre il periodo di vibrazione naturale del sistema SDOF equivalente, rappresentante la risposta del sistema con serbatoio pieno e fondazione flessibile, è espresso dalla relazione:
𝑇′
𝑓 = 𝑅𝑓∙ 𝑇1 (3.1.10)
Dove anche qui il coefficiente Rf risulta maggiore di 1, aumentando il periodo di vibrazione
grazie alla di flessibilità della fondazione. I coefficienti Rr e Rf dipendono quindi da i
moduli elastici del calcestruzzo, della roccia di fondazione e dal valore del coefficiente α=0.75 (valore consigliato dagli autori per dighe esistenti), rapporto tra l’ampiezza della pressione idrodinamica riflessa e l’ampiezza delle onde di pressione idrodinamica incidenti sul paramento. Essi possono quindi essere ricavati facilmente da tabelle fornite dagli autori, nella loro trattazione del fenomeno. Ne riportiamo un estratto:
Capitolo III
Tabella 3.1.2 Tabelle per la ricerca dei valori di Rr, Rf in base ai valori del modulo elastico del calcestruzzo Es e
del modulo elastico della roccia di fondazione Ef.
Per finire il periodo naturale di vibrazione del sistema SDOF equivalente, considerando l’interazione diga-fondazione-livello serbatoio risulta il seguente:
𝑇′
𝑓= 𝑅𝑟∙ 𝑅𝑓∙ 𝑇1 (3.1.11)
Considerando oltre al modo di vibrazione fondamentale, anche modi superiori, dovremmo aggiungere all’analisi anche una distribuzione di forze seguente la seguente legge:
Capitolo III Con: 𝐵1 = 0.20 𝐹𝑠𝑡 𝑔 ( 𝐻 𝐻𝑠) 2 (3.1.13) Dove Fst è la forza idrostatica totale sulla diga. Tale coazione non è stata però considerata
nel procedimento utilizzato nella presente tesi per la ricerca della forma delle forze statiche lineari.
Il considerare le varie interazioni nel calcolo delle forze statiche equivalenti richiederebbe una nuova valutazione del coefficiente di smorzamento del sistema dato dalla relazione:
𝜉′ 1 = 1 𝑅𝑟∙ 1 (𝑅𝑓)3 ∙ 𝜉1+ 𝜉𝑟+ 𝜉𝑓 (3.1.14)
Ciò è stato omesso risultando tale smorzamento superiore al quello suggerito in normativa e con il quale sono stati riprodotti gli spettri di risposta elastici. Tale considerazione va anche a favore di sicurezza poiché aumentando lo smorzamento si ridurrebbero le ordinate spettrali.
Adesso forniamo alcune formule fornite dagli autori per il calcolo dei valori fondamentali richiesti nel procedimento sopra esposto.
Modo di vibrare fondamentale
Per il calcolo del periodo fondamentale di vibrazione di costruzione in calcestruzzo monolitica, serbatoio vuoto e fondazione rigida possiamo utilizzare il seguente valore:
𝑇1 = 1.4 ∙ 𝐻𝑠 √𝐸𝑠
(3.1.15)
Dove Hs è l’altezza della diga in piedi, e Es è il modulo elastico del calcestruzzo calcolato
in psi. La forma del modo di vibrazione fondamentale risulta invece la seguente: Deformata Modale Standard
y[m] y/Hs φ(y)
70 1 1 66.5 0.95 0.866 63 0.9 0.735 59.5 0.85 0.619 56 0.8 0.53 52.5 0.75 0.455 49 0.7 0.389
Capitolo III 45.5 0.65 0.334 42 0.6 0.284 38.5 0.55 0.24 35 0.5 0.2 31.5 0.45 0.165 28 0.4 0.135 24.5 0.35 0.108 21 0.3 0.084 17.5 0.25 0.065 14 0.2 0.047 10.5 0.15 0.034 7 0.1 0.021 3.5 0.05 0.01 0 0 0
Tabella 3.1.3 Forma modale fondamentale
Della quale possiamo ricavare il grafico sottostante:
Figura 3.1.4 Grafico dell’andamento dello spostamento in funzione dell’altezza nella modalità principale di vibrazione
Pressione Idrodinamica
Gli autori hanno provveduto ad un procedimento sbrigativo per ricercare il valore della p(y, T’r) dell’equazione (5.1.3). Fornendo così una funzione adimensionale gp(y’)/wH,
dove y’=y/H e w è il peso dell’acqua, ricavata per vari valori del coefficiente α e del rapporto fra i periodi:
0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Altez za (m) Spostamento normalizzato Forma modale fondamentale
Capitolo III
𝑅𝑤 =
𝑇1𝑟
𝑇′𝑟 (3.1.16)
Dove T’1 è il periodo di vibrazione fondamentale dovuto al contenimento dell’acqua
ritrovabile con la relazione:
𝑇1𝑟 =
4 ∙ 𝐻
𝐶 (3.1.17) Con H altezza del livello d’invaso e C velocità delle onde di pressione nell’acqua stimata di 4720 ft/s. I valori di gp(y’)/wH, in base al rapporto H/Hs (altezza totale della diga,
altezza livello d’invaso) sono esposti nella tabella seguente, mentre quelli per un rapporto diverso di H/Hs possono essere ricavati moltiplicando i precedenti per (H/Hs)2.
Capitolo III
Massa e coefficiente di forza del sisma generalizzati
La valutazione della massa generalizzata M’1 e il coefficiente di forza del sisma generalizzati
L’1 del SDOF equivalente, inclusi gli effetti idrodinamici, possono essere calcolati le
seguenti formule: 𝑀′ 1 = (𝑅𝑟)2∙ 𝑀1 (3.1.18) 𝐿′ 1 = 𝐿1+ 1 𝑔∙ 𝐹𝑠𝑡∙ ( 𝐻 𝐻𝑠) 2 ∙ 𝐴𝑝 (3.1.19) Dove Fst è la forza idrostatica e Ap è il coefficiente di forza idrodinamica, integrale della
funzione di pressione 2gp(y’)/wH sulla profondità dell’acqua, con H/Hs=1. Ap risulta
tabellato per vari valori di Rw e del coefficiente α:
Tabella 3.1.5 Valori della funzione Ap in funzione del rapporto Rw e del coefficiente di riflessione α
Perciò l’andamento delle forze statiche equivalenti normalizzate, da applicare al paramento di monte risulta il seguente:
Capitolo III
Figura 3.1.5 Grafico dell’andamento delle forze statiche equivalenti totali e delle forze di inerzia e idrodinamiche dovute all’interazione fluido struttura.
III.2 Pushover
Una volta calcolate le forze statiche equivalenti, applicandole al paramento di monte della costruzione ed incrementandole fino alla rottura di essa, ricaviamo le curve di resistenza. Le diverse curve sono state calcolate variando l’angolo di attrito del calcestruzzo φ nelle discontinuità orizzontali, che simulano le superfici di scorrimento dovute alle riprese di getto, e l’angolo d’attrito φv sulle superfici verticali di contatto fra concio e concio. Non
avendo informazioni per una valutazione esatta di φv si è proceduto a fornire un limite
superiore della risposta del sistema, costituito da un valore di φv= 45°, e un limite inferiore
costituito da un φv= 0°. La risposta reale del sistema ipotizzando un angolo di attrito
compreso fra questi due valori limite sarà compresa fra le curve ricavate con i due valori riportati sopra. Si sono inoltre svolte le analisi sul modello a concio singolo variando l’angolo di attrito del calcestruzzo φ. Ciò ha permesso di mettere in luce, con un confronto con il modello completo tridimensionale con φv=0, l’influenza del terreno circostante e
modalità di collasso altrimenti trascurate con il modello a concio singolo. Il punto di controllo rispetto al quale si è misurato lo spostamento in funzione del taglio alla base Vb
è stato posizionato a quota 1104m s.l.m. nel concio X nel punto dove è situato il pendolo rovescio. La scelta è stata effettuata valutando tale punto più rappresentativo della totalità della costruzione che a differenza di punti situati nel coronamento, risente in maniera minore di scorrimenti differenziali, localizzati soprattutto in sommità, fra conci adiacenti.
0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 A lte zz a (m) Spostamento normalizzato Forze statiche equivalenti
Forze inerzia + idrodinamiche Forze inerzia
Capitolo III
Modello completo tridimensionale
Le curve riportate sotto manifestano grandi spostamenti dopo un certo limite di taglio alla base. Questo potrebbe non essere veritiero di un comportamento reale della costruzione, infatti, avendo preso un punto più basso del coronamento, non possiamo garantire che gli spostamenti trovati per il punto di controllo non significhino un collasso delle componenti che si trovano al di sopra di esso. Inoltre vi sarebbe uno spostamento limite, sconosciuto per carenza di informazioni, dovuto alla resistenza degli impianti installati sulla diga, che porterebbe ad invalidare l’analisi oltre un certo limite di spostamento del punto di controllo stesso. Quindi si è deciso di interrompere le analisi dove lo spostamento massimo di almeno una delle componenti della costruzione presentava un salto di circa un ordine di grandezza rispetto allo spostamento registrato nello step precedente.
0.0 1000000.0 2000000.0 3000000.0 4000000.0 5000000.0 6000000.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Vb (kN) δc (m)
Curve di capacità modello completo φv=45°
φ=45° φ=57° φ=62°
Capitolo III
Figura 3.2.1 Pushover modello completo con Vb taglio alla base e δc spostamento punto di controllo con φ= 45°,
57°, 62° e angolo φv=45° costante.
Le modalità di collasso mostrate nei tre casi presentano differenze sostanziali fra loro: - φ =45° e φv=45° 0.0 500000.0 1000000.0 1500000.0 2000000.0 2500000.0 3000000.0 3500000.0 4000000.0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Vb (kN) δc (m)
Zoom curve di capacità modello completo φv=45°
φ=45° φ=57° φ=62°
Capitolo III
Figura 3.2.2 Modalità di collasso modello completo φ =45° e φv=45°, (a) vista lato monte, (b) vista lato valle, (c) zoom zona più sollecitata.
Le figure mostrano come la modalità di collasso sia costituita da un generale scorrimento nella zona dei conci tracimabili, dove l’altezza della diga raggiunge il massimo. Si può osservare come l’angolo di attrito verticale generi un effetto, prevedibile, di ritenuta verso le sponde. Ciò è spiegabile poiché, con attrito verticale fra i giunti si istaura, un effetto piattabanda, o di trasferimento ad arco, con conseguente creazione di una curva delle pressioni interna ai giunti verticali, che trasferisce lo sforzo alle sponde, rendendo più rigida la costruzione.
