4. Analisi dei risultati
4.2 Analisi delle risposte raccolte
Riportiamo nuovamente il quesito INVALSI con l’obiettivo di apprendimento di riferimento e i risultati nazionali in modo da facilitare il confronto con i risultati ottenuti.
4.2.1: “Codici”
Obiettivo di apprendimento: “Riconoscere e risolvere problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza.”
Il testo originale INVALSI
Domanda D20, livello 8, proposta nel 2014:
Risultati del campione nazionale:
Item A B C D Mancate D20 8,3% 5,9% 34,1% 51.1% 0.6% La stessa19 domanda nella prova proposta
Luisa non ricorda bene la combinazione del lucchetto della sua bicicletta. La combinazione si ottiene girando quattro rotelline, ognuna delle quali riporta tutte le cifre da 0 a 9.
19 Abbiamo mantenuto il testo della domanda originale scegliendo però di renderla aperta. Per ulteriori chiarimenti si veda il capitolo 3.
47 Luisa non ricorda per nulla la seconda cifra della combinazione ma sa che:
● la prima cifra è 6 ● la terza cifra è 3 o 4 ● l’ultima cifra è 1
Quante combinazioni al massimo dovrà provare Luisa per riuscire ad aprire il lucchetto della sua bicicletta? Scrivi il procedimento che hai utilizzato per rispondere (disegni, calcoli…).
Risultati ottenuti nella prova proposta:
La tabella mostra come la domanda, nella forma da noi proposta, ottenga per le risposte corrette percentuali simili a quelle del campione nazionale, questo è confortante poiché è indice della solidità del risultato nazionale.
É preoccupante, invece, la percentuale molto alta di studenti che si astengono, tale comportamento, che non è stato riscontrato nella prova nazionale, è presente per tutte le domande che sono state trasformate in aperte; sono note infatti, sia dai dati nazionali (INVALSI) che internazionali (OCSE-PISA), le difficoltà argomentative che hanno gli studenti italiani.
Risultati ottenuti Corretta Errata Mancata
58.5% 26.4% 15.1%
Sono state ritenute corrette le risposte che, oltre a fornire l’esatto risultato, contenessero anche il procedimento o una giustificazione adeguata, da notare è il fatto che nessuno studente ha risposto fornendo solo il risultato numerico.
Le risposte raccolte evidenziano diversi processi risolutivi: la maggior parte degli studenti che ha risposto correttamente ha proceduto per tentativi scrivendo tutte le combinazioni che rispettano in vincoli dati:
48 Alcuni si sono aiutati con un diagramma ad albero:
C’è chi invece si è affidato solo al “conteggio astratto” delle combinazioni per rispondere in modo corretto:
“20 combinazioni. Perché avendo la 1° e la 4° certe la seconda ha 10 possibilità (0-9) ma la terza ne ha 2 (3 e 4) quindi 10x2=20.”
C’è anche chi ha impostato il calcolo astratto ma poi, per sicurezza ha preferito fare la “riprova”:
49 Analizzando le risposte errate quello che sembra emergere è una scarsa attenzione dedicata alla lettura del testo e non un’effettiva difficoltà dovuta alle competenze matematiche richieste per rispondere.
Solo un protocollo infatti sembra evidenziare difficoltà al di là della comprensione del testo: i dati infatti sono ben riportati, ed il problema è nel conteggio effettivo dei casi possibili:
C’è anche chi evidenzia tutti i dati ma risponde ad una domanda diversa rispetto a quella del testo proposto: “Quante combinazioni senza ripetizione al massimo dovrà provare Luisa per riuscire ad aprire il lucchetto della sua bicicletta?”:
La lettura non attenta, e comunque la perdita di informazioni essenziali è ricorrente nei protocolli errati. In particolare è possibili riconoscere due tipologie di protocollo:
1) si contano le combinazioni di tre cifre:
50
4.2.2: Il superenalotto
Obiettivo di apprendimento: “In semplici situazioni aleatorie, individuare gli eventi elementari, assegnare a essi una probabilità, calcolare la probabilità di qualche evento, scomponendolo in eventi elementari disgiunti.”
Il testo originale INVALSI
Domanda D12, livello 8, proposta nel 2015
Risultati del campione nazionale:
Item A B C D Mancate D12 18% 67% 6.7% 6.6% 1.7%
La stessa domanda nella prova proposta:
Nel gioco del superenalotto ogni giocatore sceglie almeno sei numeri interi compresi tra 1 e 90. Gli organizzatori estraggono a caso sei numeri, sempre compresi tra 1 e 90.
Vincono i giocatori che hanno scelto proprio gli stessi numeri estratti dagli organizzatori del gioco.
Sara ha scelto i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Guglielmo ha scelto i numeri 7, 12, 15, 23, 28, 34.
1) Sara e Guglielmo hanno la stessa probabilità di vincere? A. No, perché i numeri scelti da Sara sono consecutivi
B. Sì, perché tutti i numeri hanno la stessa probabilità di essere estratti C. No, perché Sara e Guglielmo non hanno scelto gli stessi numeri D. Sì, perché non conosciamo i numeri usciti nelle estrazioni precedenti 2) Sai calcolare la probabilità di vincere che ha Sara? E quella che ha Guglielmo? Scrivi il ragionamento e i calcoli che hai fatto per arrivare al risultato.
51 Risultati ottenuti nella prova proposta:
In linea con le percentuali nazionali abbiamo ottenuto che il distrattore più efficace è stato l’opzione A: “No, perché i numeri scelti da Sara sono consecutivi”.
É interessante anche notare che, nonostante un’alta percentuale di studenti abbia scelto l’opzione corretta, nessuno è riuscito a calcolare la probabilità richiesta. Non ci aspettavamo che gli studenti rispondessero utilizzando le combinazioni, dal momento che in nessuna classe del campione il calcolo combinatorio è stato affrontato, ma che qualcuno riuscisse a impostare i calcoli giusti in termini di probabilità di eventi composti20. La maggior parte degli studenti ha risposto al secondo item fornendo una giustificazione dell’opzione scelta e non provando a calcolare la probabilità richiesta.
Risultati ottenuti
Item A B C D Mancate
1 11.2% 73% 7.9% 7.9% 0
Tra chi ha scelto correttamente la risposta B si ha che le risposte all’item 2 sono:
Item Corrette Errate Mancate
2 0 54.3% 45.7%
Nei protocolli che hanno come scelta l’opzione A: “No, perché i numeri scelti da Sara sono consecutivi” è forte la convinzione (evidenziata da espressioni del tipo “sicuramente”, “per forza”, “è normale”) che la probabilità di vincita della sestina scelta da Sara sia più bassa rispetto all’altra:
“I numeri di Sara sono troppo piccoli per essere scelti, invece i numeri di Guglielmo si
perché intanto sono numeri grandi e sono sia pari che dispari”
20La risposta corretta all’item in questione può essere calcolata come 1
𝐶90,6 che
52 Nei protocolli che seguono vince ancora l’idea che l’estrazione di numeri consecutivi sia meno probabile, nonostante i calcoli, seppur errato, riportati nel secondo item siano incoerenti con l’opzione scelta:
“Ogni numero ha la stessa probabilità che venga estratto ossia 1|90 ma la probabilità che escano tutti i numeri consecutivi è minore rispetto alla probabilità che escano numeri non consecutivi fra loro quindi sicuramente la probabilità che ha Sara è minore di quella
di quella di Guglielmo”
Tra chi ha scelto l’opzione D: “Sì, perché non conosciamo i numeri usciti nelle estrazioni precedenti” la giustificazione più ricorrente è stata la seguente: “numeri che escono con più frequenza hanno più probabilità di essere estratti”.
“Per sapere se S e G hanno la stessa probabilità di vincere si dovrebbero sapere i numeri usciti nelle estrazioni precedenti poiché se un numero x è uscito con più frequenza ha più probabilità di uscire anche in questo turno. Quindi hanno la stessa probabilità di vincere perché non conosciamo i numeri usciti nelle estrazioni precedenti”
Nessuno studente che ha risposto scegliendo l’opzione C ha fornito una giustificazione.
Le risposte al secondo item di chi ha scelto correttamente l’opzione B: “Sì, perché tutti i numeri hanno la stessa probabilità di essere estratti” sono state di diverso tipo; alcuni studenti hanno fornito una giustificazione della risposta data facendo riferimento a argomentazioni di tipo matematico:
53 altri invece hanno risposto utilizzando la loro esperienza di vita quotidiana: “non credo che gli organizzatori abbiano truffato il gioco in modo da dare maggiori probabilità ai numeri non consecutivi”:
Ci sono studenti che hanno effettivamente provato a calcolare la probabilità richiesta; i procedimenti più ricorrenti sono i seguenti:
1) alcuni non hanno tenuto conto che nel gioco del superenalotto non si reinseriscono i numeri nell’urna dopo ciascuna pescata:
2) altri non hanno calcolato solamente la probabilità che un numero della sestina uscisse nella prima estrazione:
3) altri ancora sono riusciti a capire di dover calcolare la probabilità di un evento composto ma non sono riusciti a individuare i casi favorevoli di ogni estrazione:
4) infine alcuni studenti hanno riconosciuto di non saper calcolare la probabilità richiesta:
54 “non lo riesco a calcolare perché non so calcolare quale è la probabilità di estrazione di
55
4.2.3: Scommesse
Obiettivo di apprendimento: “In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e cominciare ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima quantificazione, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili”.
Il testo originale INVALSI
Domanda D11, livello 8, proposta nel 2011
Risultati del campione nazionale:
Item Corrette Errate Mancate D11a 33.3% 64.9% 1.8%
D11b 16.6% 71.6% 11.8%
La stessa domanda nella prova proposta:
Per scegliere chi deve lavare i piatti del pranzo, Marco, Lorenzo e Livia decidono di lanciare 2 volte una moneta da 1 Euro come quella che vedi in figura:
Stabiliscono che:
● se verranno 2 croci, laverà i piatti Marco; ● se verranno 2 teste, laverà i piatti Livia;
● se verranno una testa e una croce, laverà i piatti Lorenzo.
Pensi che tutti e tre abbiano la stessa probabilità di lavare i piatti? ☐Sì ☐No
56 Risultati ottenuti nella prova proposta:
I risultati ottenuti sono perfettamente in linea con quelli del campione nazionale, sia per il primo item a risposta chiusa, che per il secondo a risposta aperta; l’unica differenza sostanziale è la percentuale degli astenuti relativi al secondo item, si noti però che il quesito INVALSI di riferimento è di livello 8, quindi inserito nella prova nazionale e influisce sulla valutazione dello studente, la prova da noi proposta invece come già sottolineato non ha avuto nessun riscontro valutativo.
Risultati ottenuti Sì No Mancate
65.1% 33.3% 1.6%
Tra chi ha risposto correttamente No le percentuali relative alla giustificazione sono:
Corrette Errate Mancate
14.3% 66.7% 19%
I protocolli degli studenti che hanno risposto “sì” evidenziano che non è stato tenuto conto del fatto che la moneta venisse lanciata due volte; sembra infatti che gli studenti abbiano chiaro quale sia la probabilità che esca testa oppure croce in un lancio ma non riescano ad estendere il concetto di probabilità all’evento composto:
In alcuni casi invece la probabilità viene calcolata in modo errato:
“Perché la probabilità che vengano due teste è di 1 su 3, la probabilità di 2 croci è di 1 su 3 e anche la probabilità che vengano una testa e una croce è di 1 su 3”
Sono interessanti anche i seguenti protocolli che fanno riferimento all’imprevedibilità degli eventi, imprevedibilità che fa sì che la probabilità di lavare i piatti sia la stessa per tutti e tre i ragazzi:
57
“Perché non si sa da che faccia partiamo e il numero di giri in aria non è fisso”
Tra gli studenti che hanno risposto “no”, pochissimi hanno fornito la giustificazione corretta, tra le giustificazioni scorrette c’è chi è convinto che sia più probabile ottenere la stessa faccia in due lanci:
“No perché c’è più probabilità che ne vengano due dello stesso tipo di fila che una testa e una croce e quindi Marco e Livia hanno una probabilità maggiore rispetto a Lorenzo”
“è più probabile che lavino i piatti A e B perché è più probabile che esca 2 volte testa o croce”
ma anche chi è convinto del contrario:
Nel protocollo riportato sotto invece è evidente che lo studente abbia individuato la giusta motivazione anche se non è riuscito a formalizzarla correttamente:
Tra le giustificazioni corrette invece c’è chi utilizza il linguaggio matematico elencando tutti i possibili eventi e calcolando in modo corretto le probabilità:
58 “Insieme delle combinazioni: TT, TC, CT, CC. Marco e Livia hanno meno probabilità di lavare i piatti rispetto a Lorenzo; tri i due Marco e Livia hanno
uguale probabilità di lavare i piatti (1\4) Lorenzo 1\2.”
E chi invece dichiara esplicitamente di non saper calcolare la probabilità ma riporta un ragionamento abbastanza corretto:
59
4.2.4: Palline
Obiettivo di apprendimento: “In semplici situazioni aleatorie, individuare gli eventi elementari, assegnare a essi una probabilità, calcolare la probabilità di qualche evento, scomponendolo in eventi elementari disgiunti.”
Il testo originale INVALSI D18, livello 8, proposta nel 2016
Risultati del campione nazionale:
Item A B C D Mancate D18 16.6% 8.1% 31% 41.7% 2.6% La domanda nella prova proposta
In un sacchetto ci sono solo 4 palline blu. Quante palline verdi si devono inserire nel sacchetto affinché la probabilità di estrarre una pallina verde sia 23 ?
A.☐ 2 B.☐ 12 C.☐ 6 D.☐ 8
Scrivi i calcoli, il procedimento o i disegni che hai utilizzato per rispondere.
Risultati ottenuti nella prova proposta:
Come è successo a livello nazionale anche gli studenti del campione tra i distrattori hanno scelto con più frequenza l’opzione C, inoltre è confortante che la maggioranza di chi ha scelto l’opzione corretta sia stata in grado di seguire il procedimento giusto.
Risultati ottenuti
A B C D Mancate
4.8% 4.8% 25.4% 57.1% 7.9%
Tra chi ha scelto l’opzione D le percentuali riguardanti il procedimento seguito per rispondere sono:
Corretto Errato Mancato
60 In alcuni casi la scelta dell’opzione C pare essere dettata dal fatto che 6 fosse il numero che più facilmente poteva essere ottenuto combinando i dati a disposizione, nei protocolli che seguono sembra che gli studenti abbiano risposto senza seguire una particolare strategia ma cercando di manipolare i numeri che avevano a disposizione talvolta utilizzando anche il simbolo “=” in modo errato:
C’è anche chi ha interpretato male il testo o probabilmente non ha ben chiara la definizione di probabilità classica:
Chi ha scelto l’opzione corretta ha applicato strategie diverse per rispondere: 1. alcuni studenti hanno proceduto per tentativi, calcolando la probabilità di
estrarre una pallina verde per ciascuna delle opzioni proposte
2. altri si sono aiutati con un disegno, sempre procedendo per tentativi:
61 4. e infine chi ha ragionato in termini di proporzionalità: per ogni pallina blu
62
4.2.5: Ancora palline
Obiettivo di apprendimento: “significato della probabilità e sue valutazioni. Semplici spazi (discreti) di probabilità: eventi disgiunti, probabilità composta, eventi indipendenti. Nozione di probabilità, con esempi tratti da contesti classici e con l’introduzione di nozioni di statistica.”
Il testo originale INVALSI
Domanda D29, livello 10, proposta nel 2016
Risultati del campione nazionale:
Item A B C D Mancate D29 12.3% 12.5% 24.7% 45.3% 5.2 %
La domanda nella prova proposta
Nella scatola A vi sono 6 palline verdi e 4 rosse.
Nella scatola B vi sono invece 12 palline verdi e 5 rosse.
Quante palline verdi si devono spostare dalla scatola B alla scatola A affinché la probabilità di estrarre una pallina verde da A diventi uguale alla probabilità di estrarre una pallina verde da B?
A.☐ 5 B. ☐ 7 C. ☐ 4 D. ☐ 2
Come hai fatto a rispondere? Scrivi qui sotto i calcoli, il ragionamento che hai fatto o i disegni che ti sono serviti.
Risultati ottenuti nella prova proposta:
Di nuovo l’andamento dei risultati ottenuti è lo stesso evidenziato dal campione nazionale.
Risultati ottenuti
A B C D Mancate
63 Il 3,8% mancante nella tabella ha risposto con un risultato non presente tra le opzioni.
I risultati relativi al procedimento utilizzato da chi ha risposto correttamente al primo item sono:
Corretto Errato Mancato
61.8% 20.6% 17.6%
Alcuni studenti hanno aggiunto l’opzione 3 a quelle proposte perché togliendo 3 palline dalla scatola B e aggiungendone 3 nella scatola A si ha che il numero di palline verdi in entrambe le scatole è lo stesso, tali studenti non tengono conto del fatto che anche le palline rosse influiscono sul calcolo della probabilità:
Un numero abbastanza consistente di studenti ha scelto l’opzione C: 4, purtroppo però nessuno di loro ha descritto il procedimento che ha utilizzato per rispondere in modo da poter capire il motivo della scelta.
Solamente nel protocollo che segue il procedimento seguito per rispondere è corretto, sembra infatti che questo studente sia in grado di calcolare la probabilità utilizzando la definizione classica, ma tale procedimento porta, non si capisce per quale motivo, ad una risposta scorretta:
64 Tra gli studenti che hanno scelto correttamente l’opzione D: 2, qualcuno ha seguito un procedimento scorretto che nella maggior parte dei casi è questo:
“Nella scatola A servono 2 palline rosse per essere equivalenti con quelle verdi 6-4=2= differenza tra palline verdi e rosse che identifica le palline rosse necessarie per diventare
equivalenti a quelle verdi”
I procedimenti corretti che hanno portato alla risposta corretta sono di due tipi: 1. Procedere per tentativi utilizzando tutte le opzioni fornite nel testo:
2. Fare in modo che il rapporto tra le palline rosse e quelle verdi nelle due scatole fosse lo stesso:
“Se le probabilità devono essere uguali allora anche il rapporto tra le palline di diversi colori devono essere uguali, quindi basta spostare 2 palline verdi nella scatola A affinché
le palline verdi nelle scatole siano il doppio delle rosse”
Anche in alcune risposte a questa domanda tra i procedimenti emergono i misconcetti relativi al simbolo di uguaglianza; è noto in didattica della matematica come il simbolo “=” sia spesso interpretato dagli studenti come “operatore che
65 fornisce il risultato corretto” e non come relazione tra i simboli a sinistra e i simboli a destra:
66
4.2.6: Verso la probabilità condizionata
Obiettivo di apprendimento: “Significato della probabilità e sue valutazioni. Semplici spazi (discreti) di probabilità: eventi disgiunti, probabilità composta, eventi indipendenti.”, “Nozione di probabilità, con esempi tratti da contesti classici e con l’introduzione di nozioni di statistica.”
Il testo originale INVALSI
Domanda D12, livello 10, proposta nel 2014
Risultati del campione nazionale:
Item Corrette Errate Mancate D12_a 83% 12.1% 4.7%
D12_b 83.3% 11.6% 5%
D12_c 32% 38.2% 29.2%
D12_d 24.1% 45.4% 29.9%
La stessa domanda nella prova proposta
È stato effettuato un sondaggio su un campione di 1500 donne di età compresa tra i 25 e i 55 anni per conoscere la loro opinione su una rivista mensile dedicata alla salute.
Si sono ottenuti i seguenti risultati:
Occupate Disoccupate Giudizio positivo 450 276
67 a. Quante sono le donne che hanno espresso un giudizio positivo?
b. Quante sono le donne disoccupate intervistate?
c. Scegliendo a caso una delle donne intervistate, qual è la probabilità che abbia espresso un giudizio negativo? Scrivi il procedimento utilizzato per rispondere.
d. Scegliendo a caso una delle donne intervistate tra quelle che hanno espresso un giudizio positivo, qual è la probabilità che sia una donna occupata? Scrivi il procedimento utilizzato per rispondere.
Risultati ottenuti nella prova proposta:
Le percentuali delle risposte corrette ai primi due item sono molto alte, ciò significa che gli studenti di questo campione (in linea con quelli del campione nazionale) non hanno problemi nella lettura di una tabella a doppia entrata, le risposte errate agli item in questione, infatti, sono dovute ad errori di calcolo; d’altro canto invece le percentuali delle risposte corrette agli item c e d riguardanti la probabilità sono basse, e più di un terzo degli studenti ha preferito non rispondere.
Risultati ottenuti
Item Corrette Errate Mancate
a 90.6% 7.5% 1.9%
b 88.7% 9.4% 1.9%
c 35.8% 30.2% 34.0%
d 30.2% 30.2% 39.6%
Le risposte errate all’item c sono dovute nella maggior parte dei casi ad errori di calcolo e non ad una mancata comprensione del testo o ad un’applicazione errata della definizione di probabilità classica; certo è evidente che il concetto di probabilità non sia chiaro per tutti gli studenti visto l’alto numero di astenuti. Solamente il protocollo che segue mostra un’applicazione errata del concetto di probabilità, infatti, sebbene lo studente sia riuscito ad individuare il numero di casi possibili e casi favorevoli non è arrivato al risultato corretto ma al suo reciproco:
Altri studenti invece hanno fornito all’item c una risposta qualitativa e non quantitativa come era richiesto: “La probabilità che sia stato espresso un giudizio negativo a maggiore perché i giudizi negativi sono di più” questo è vero, infatti i
68 giudizi negativi sono 774 su 1500, mentre quelli positivi 726 su 1500:
Gli studenti che hanno risposto correttamente invece hanno fornito il risultato in percentuale:
Oppure come rapporto:
Analizzando le risposte all’item d, concettualmente più difficile, è emerso che molti studenti non sono stati in grado di controllare tutte le richieste; si chiedeva infatti di calcolare la probabilità che una donna fosse occupata scegliendo tra quelle che avevano espresso un giudizio positivo.
Alcuni studenti hanno scelto come casi favorevoli il numero di donne occupate che hanno espresso un giudizio positivo, ovvero 450, ma come casi possibili hanno scelto l’intero campione (1500), e non il numero di donne che hanno espresso un giudizio positivo:
Altri invece hanno risposto alla domanda “qual è la probabilità che una donna sia occupata?”
C’è anche chi si è accorto di aver commesso un errore, come evidenziano le cancellature, ma poi risponde correttamente:
70
4.2.7: Meteorologia
Obiettivo di apprendimento: “Valori medi e misure di variabilità. Calcolare i valori medi e alcune misure di variabilità di una distribuzione.”, “Definizioni e proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità, nonché uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche”.
Il testo originale INVALSI
D12, livello 10, proposta nel 2015.
Risultati del campione nazionale:
Item Corrette Errate Mancate D12_a 34.5% 59.4% 6.1%
D12_b 62.6% 29% 8.4% La stessa domanda nella prova proposta
Una stazione meteorologica nelle Alpi ha misurato le temperature, in gradi