Elementi di probabilità

L’argomento principale di questa sezione è la probabilità elementare; nella didascalia sotto al titolo è presente una breve descrizione di quello che si può trovare.

Fig3: La sezione di elementi di probabilità

La prima attività presente è un forum in cui gli studenti possono segnalare errori, suggerire modifiche da apportare, chiedere aiuto ai compagni o al docente o semplicemente discutere di un argomento.

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Fig4: Il forum

Inoltre è stata data la possibilità agli studenti di aprire nuovi argomenti di discussione così da permettergli di confrontarsi tra di loro in un contesto diverso da quello della classe; è noto infatti, in didattica della matematica, che l’apprendimento avviene anche nel confronto tra pari.

L’e-book: Calcolo combinatorio e probabilità

L’e-book è suddiviso in due capitoli. Il primo, dal titolo “Calcolo combinatorio”, contiene sei paragrafi, il primo dedicato al fattoriale gli altri a disposizioni semplici e con ripetizione, permutazioni semplici e con ripetizione e combinazioni semplici; il secondo, dal titolo “Probabilità elementare” contiene quattro paragrafi dedicati alla definizione classica di probabilità, alla definizione e alla descrizione di uno spazio di probabilità e alla probabilità di eventi composti.

La teoria è descritta in modo schematico e riassuntivo, infatti l’e-book è stato pensato come uno strumento di richiamo e ripasso per studenti che hanno seguito una o più lezioni frontali fatte dall’insegnante.

Per decidere gli argomenti da inserire nell’e-book sono state seguite le Indicazioni Nazionali, le Linee Guida e i traguardi per lo sviluppo delle competenze delineati dal gruppo di lavoro INVALSI nel 201523_{; sono stati consultati inoltre diversi libri} di testo di matematica del biennio e il web.

I quiz

Nella piattaforma sono stati raccolti tutti i quesiti INVALSI di livello 8 e livello 10 dell’ambito Dati e Previsioni; i quesiti sono stati inseriti nel deposito delle domande presente nella piattaforma e sono stati suddivisi secondo le seguenti categorie: probabilità-livello8, probabilità-livello10, statistica-livello8 e statistica- livello10.

Il testo INVALSI è stato mantenuto identico, così come è stata rispettata la tipologia di domanda: a risposta multipla, a corrispondenza24, numerica25 e vero o falso, componimento. Per completezza sono state inserite anche le domande a risposta aperta (poche relative all’ambito dati e previsioni) nonostante non si

23 _{Le Indicazioni Nazionali, le Linee Guida e traguardi per lo sviluppo delle competenze sono}

consultabili ai seguenti URL:

http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/nuovi_tecnici/INDIC/_LINEE_GUIDA_TECNICI_.pdf http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/nuovi_professionali/linee_guida/_LINEE%20GUIDA%20I STITUTI%20%20PROFESSIONALI_.pdf http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/licei2010///decreto_Indicazioni_nazionali%20_26_05.pdf http://www.indicazioninazionali.it/documenti_Indicazioni_nazionali/indicazioni_nazionali_infanzi a_primo_ciclo.pdf 24

La risposta a ciascuna sotto domanda deve essere selezionata da un elenco di risposte possibili.

25 _{Consente l'uso di risposte numeriche, possibilmente con unità, valutate rispetto a modelli di}

89 possa fornirne una correzione immediata come avviene invece per tutte le altre tipologie di risposta.

Le domande nella categoria Probabilità sono 44 di cui 19 sono di livello 8 e 25 di livello 10.

Per ogni domanda è stato inserito un feedback dipendente dalla risposta fornita dallo studente; il feedback contiene un suggerimento oppure la correzione della risposta fornita; quando è possibile il feedback fornisce anche il link alle pagine dell’e-book che trattano la teoria utile a rispondere.

Vediamo un esempio in figura 5:

Fig5: Un esempio di feedback

Sulla piattaforma è possibile svolgere due quiz: il primo “INVALSI-liv8” propone allo studente 4 domande casuali scelte dalla categoria probabilità-livello8; il secondo “INVALSI-liv10” propone allo studente 6 domande casuali scelte dalla categoria probabilità-livello10. Una volta che un quiz viene terminato viene fornita immediatamente la correzione contenente non solo il numero di risposte errate o corrette ma anche feedback differenziati e la risposta corretta nel caso in cui quella scelta fosse errata.

Le lezioni

Nel corso sono presenti sette lezioni interattive dedicate alla probabilità; tutte sono state create partendo da quesiti INVALSI significativi sia dal punto di vista dei contenuti che da quello dei risultati ottenuti dal campione nazionale.

Più che lezioni vere e proprie sono stati costruiti esercizi interattivi arricchiti spesso utilizzando applet dinamiche create con Geo ebra26.

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90 Una lezione tipo nella nostra piattaforma si svolge in questo modo: la prima pagina è una pagina domanda in cui si chiede di rispondere un quesito INVALSI; a questo punto, se la risposta è corretta, l’utente viene inviato alla pagina conclusiva della lezione in cui comunque viene riportato il procedimento corretto che portava alla soluzione, se la risposta è errata l’utente può scegliere di riprovare a rispondere, di rinunciare e vedere la soluzione, o di avere ulteriori aiuti per cercare di arrivare da solo alla soluzione.

In questo modo si intende innescare un processo di riflessione metacognitiva sulle proprie conoscenze, che può portare alla valutazione della possibilità di poter arrivare alla risposta al quesito da soli, eventualmente colmando alcune carenze relative alle conoscenze in gioco.

Tutto il percorso pone lo studente in condizione di scegliere “cosa fare” al fine di favorire l’assunzione della responsabilità dell’apprendimento da parte di chi apprende.

L’obiettivo delle lezioni presenti quindi non vuole essere quello di testare le competenze dello studente che vi partecipa27, ma soprattutto quello di guidarlo nella scoperta dell’argomento della lezione che ha scelto, in modo da accrescere la sua conoscenza nel caso in cui la sua risposta sia stata errata o di fargli acquisire sicurezza nel caso in cui abbia risposto correttamente.

Affinché questo processo di scoperta fosse il più efficace possibile è stato deciso di sottoporre, in versione cartacea, la maggior parte dei quesiti scelti a studenti del biennio di scuola secondaria di secondo grado28_{, chiedendo loro di spiegare nel} modo più dettagliato possibile il procedimento adottato per rispondere.

Saranno descritte dettagliatamente a titolo di esempio tre lezioni della sezione di probabilità: “Una lezione di calcolo combinatorio”, “Probabilità e palline” e “Marco, Livia e Lorenzo: chi la vera i piatti?”.

27 _{Cosa che comunque è resa possibile da Moodle che salva i precorsi delle lezioni per ogni utente.} 28

91 Una lezione di calcolo combinatorio

Questa lezione è stata costruita partendo dal quesito INVALSI D11-livello8-2011, reso in maniera identica sulla piattaforma:

Attraverso la versione cartacea di questa domanda proposta in classe, era emerso che le risposte errate erano spesso dovute ad una lettura frettolosa del testo: molti studenti, infatti, rispondendo ignoravano che le rotelline da girare fossero 4 e che lo 0 fosse una cifra utilizzabile.

Nel caso in cui non si invii la risposta esatta, si apre una pagina come questa che fornisce di nuovo il testo dell’esercizio leggermente modificato:

A questo punto si può scegliere come procedere: si può provare a rispondere di nuovo, si può ricevere un altro aiuto, oppure si può vedere la risposta corretta.

92 La maggior parte degli studenti che ha risposto correttamente a questo quesito nella versione cartacea ha proceduto per tentativi; quindi scegliendo l’opzione “voglio un altro aiuto” si apre la pagina di figura 6 costruita inserendo un applet dinamica creata utilizzando la vista foglio di calcolo di GeoGebra: in questo modo si può provare a digitare i codici richiesti e il sistema avverte di possibili duplicati. Quando si pensa di aver inserito tutti i codici possibili si chiede di contarli e di inserire da tastiera il risultato ottenuto.

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Fig6: pagine con applet dinamica

Nel caso in cui il risultato sia quello corretto (20), l’utente viene inviato alla pagina che contiene la risposta corretta e i calcoli necessari per raggiungerla; nel caso in cui quello fornito non sia il risultato corretto si apre la pagina di figura 7. Alcuni studenti, infatti, per rispondere avevano utilizzato il diagramma ad albero:

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fig7: il diagramma ad albero

Adesso tutti i procedimenti più utilizzati dagli studenti nella versione cartacea sono stati presentati, quindi cliccando sul pulsante “Come potevo rispondere senza utilizzare il diagramma ad albero?” si accede ad una pagina che presenta la soluzione dell’esercizio utilizzando solamente calcoli e non un metodo visivo, a questa pagina accede anche chi precedentemente aveva risposto in maniera corretta:

95 Probabilità e palline

Questa lezione è stata costruita partendo da due quesiti INVALSI molto simili che parlano di palline da aggiungere o da spostare da scatole o sacchetti per ottenere una determinata probabilità di estrazione:

Cliccando sulla lezione “Probabilità e palline” si apre una pagina di domanda a risposta multipla che ripropone il quesito D18, è stato deciso di proporre prima il quesito D18 poiché essendo di livello 8 dovrebbe risultare più semplice rispetto all’altro di livello 10.

Tra le risposte errate fornite dagli studenti nella versione cartacea era evidente che molti non avessero chiara la definizione di probabilità e che altri avessero scelto casualmente; quindi scegliendo l’opzione errata si accede alla pagina seguente in cui il link rimanda al capitolo dell’e-book dedicato alla definizione di probabilità classica:

Adesso si può scegliere se rispondere di nuovo alla domanda iniziale, se vedere qual è la risposta corretta o se ricevere un altro aiuto.

Nel caso in cui si scelga di ricevere un aiuto, la pagina che si presenta è quella di figura 8; l’applet è stata costruita utilizzando GeoGebra: spostando il cursore appaiono le palline verdi nel scatola e la relativa probabilità di estrarne una. Tra le

96 risposte corrette fornite dal campione in molti si erano serviti di disegni raggruppando le palline nei modi più opportuni; per questo motivo anche l’applet permette di muovere con il mouse le palline all’interno della scatola, ma non di farle uscire. Adesso si può decidere di rispondere di nuovo, ricevere un ulteriore aiuto o vedere la risposta corretta.

97 Cliccando sul tasto “voglio un altro aiuto” si accede ad una pagina che mostra come questo quesito potesse essere svolto con l’utilizzo di un’equazione; questo procedimento non è stato seguito da nessuno studente del nostro campione, ma ci è sembrato opportuno suggerire anche questo modo di rispondere:

Avendo ricevuto tre aiuti diversi adesso si può scegliere di rispondere ricominciando da capo, oppure di vedere la risposta corretta.

Alla pagina di correzione accede anche chi ha dato la risposta esatta alla domanda originale e si suggeriscono due giustificazioni diverse del fatto che 4 sia l’opzione giusta:

98 Quindi si passa al quesito D29:

Scegliendo l’opzione scorretta si accede ad una pagina molto simile a quella di figura 8; infatti è presente di nuovo un applet dinamica che permette, spostando il cursore dello slider, di aggiungere palline verdi alla scatola A e toglierle dalla scatola B e di muovere le palline all’interno di ogni scatola:

99 Quindi si può scegliere di tornare di nuovo alla domanda per rispondere correttamente, di vedere un altro aiuto oppure di vedere la risposta corretta.

Se si scegliere di ricevere un altro aiuto di nuovo si accede ad una pagina che risolve il problema utilizzando un’equazione fratta; dopodiché di nuovo si può accedere alla domanda iniziale oppure alla risposta corretta:

La pagina che presenta la risposta corretta è stata creata ricordando le giustificazioni corrette della versione cartacea del quesito D21: la maggior parte degli studenti ha controllato che il rapporto tra le palline di colori diversi nelle due scatole fosse lo stesso; abbiamo comunque deciso di fornire anche la soluzione che facesse riferimento direttamente al calcolo della probabilità:

101 Marco, Livia, Lorenzo: chi laverà i piatti

Questa lezione è costruita intorno al quesito INVALSI D11:

Su Moodle è possibile inserire delle domande a risposta aperta; ovviamente la correzione alla risposta non viene effettuata automaticamente; i testi sono salvati e sarà poi il docente del corso che li visualizzerà e li potrà correggere.

Viste le criticità che il quesito ha rivelato, sia a livello nazionale che per il nostro campione e visto che dall’analisi delle risposte alla domanda proposta in classe è emerso che in pochi giustificano correttamente la risposta “No”; abbiamo deciso che valesse la pena creare una lezione anche su questo quesito, nonostante non fosse possibile creare un feedback immediato per le giustificazioni.

Abbiamo ritenuto che potesse essere costruttivo per gli utenti del corso che la lezione procedesse in questo modo: nella home del corso cliccando sulla lezione “Marco, Livia e Lorenzo: chi laverà i piatti?” si apre la pagina seguente che riporta esattamente il primo item del quesito D11:

102 Dal momento che le giustificazioni corrette sono state date in percentuale bassissima, sia scegliendo la risposta “Sì”, che la risposta “No”, si apre una pagina che contiene un video autoprodotto incorporato da YouTube; il video probabilmente attirerà con più facilità l’attenzione dello studente rispetto ad una spiegazione scritta, quindi è proprio attraverso questo strumento che verrà fornita in modo dettagliato la risposta esatta:

Nel video, della durata di circa 2 minuti, creato con PowerPoint utilizzando i commenti audio, si dice fornisce la risposta corretta dandone una spiegazione. In questo modo tutti gli studenti vengono a conoscenza gradualmente del ragionamento corretto. Il video inizia con la rilettura del quesito proposto, seguito si elencano tutte le configurazioni possibili che si possono ottenere con la moneta:

103 Ed infine si calcola la probabilità che ciascuno dei ragazzi lavi i piatti; nonostante questo non fosse esplicitamente richiesto dal quesito.

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