Dati e previsioni al termine dell'obbligo d'istruzione: un corso blended in risposta alle difficolta' riscontrate

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UNIVERSITÀ DI PISA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

Tesi di Laurea Specialistica

Dati e previsioni al termine della scuola dell’obbligo: un

corso blended in risposta alle difficoltà riscontrate.

7 Aprile 2017

RELATORE: CANDIDATA:

prof. Giuseppe Fiorentino Angela Marcheschi

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Sommario

Introduzione ... 4

1. Le rilevazioni PISA e INVALSI e la competenza matematica al termine dell’obbligo di istruzione ... 6

1.1 Le rilevazioni internazionali ... 6

1.2 Le rilevazioni nazionali ... 10

1.3 La competenza matematica al termine dell’obbligo di istruzione ... 12

2. L’E-learning... 14

2.1 Cenni storici ... 14

2.3 Moodle ... 15

2.4 E-learning per l’apprendimento della matematica ... 23

3. La costruzione della prova proposta ... 24

Domanda numero 1: “Codici” ... 25

Domanda numero 2: “Il superenalotto” ... 27

Domanda numero 3: “Scommesse” ... 29

Domanda numero 4: “Palline” ... 31

Domanda numero 5: “Ancora palline” ... 32

Domanda numero 6: “Verso la probabilità condizionata” ... 34

Domanda numero 7: “Meteorologia” ... 36

Domanda numero 8: “La gara di ballo” ... 38

Domanda numero 9: “Gestire una libreria” ... 41

Domanda numero 10: “Scegliere un campione” ... 43

4. Analisi dei risultati ... 45

4.1 Campione e modalità di somministrazione delle prove ... 45

4.2 Analisi delle risposte raccolte ... 46

4.2.1: “Codici” ... 46

4.2.2: Il superenalotto ... 50

4.2.3: Scommesse ... 55

4.2.4: Palline ... 59

4.2.5: Ancora palline ... 62

4.2.6: Verso la probabilità condizionata ... 66

4.2.7: Meteorologia ... 70

4.2.8: La gara di ballo ... 73

4.2.9: Gestire una libreria ... 76

4.2.10: Scegliere un campione ... 80

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5.1 Elementi di probabilità ... 87

L’e-book: Calcolo combinatorio e probabilità ... 88

I quiz ... 88

Le lezioni ... 89

5.2 Elementi di statistica ... 104

L’e-book: Statistica elementare ... 105

Le lezioni ... 106

5.3 La sezione dedicata al questionario ... 111

Conclusioni ... 112

Appendice: Le prove proposte... 114

Bibliografia ... 119

Sitografia ... 120

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Introduzione

Dal 2000 l’OCSE-PISA indaga triennalmente, a livello internazionale, sulle conoscenze e sulle competenze degli studenti alla fine dell’età dell’obbligo. Per la matematica, le competenze richieste riguardano le seguenti aree di contenuto: quantità, spazio e forma, cambiamento e relazioni, incertezza e dati.

Gli studenti italiani, nelle prime rilevazioni, hanno mostrato difficoltà soprattutto nelle aree di contenuto “Cambiamento e Relazioni” e “Incertezza e Dati”. Per questo motivo, oltre a introdurre in Italia un ente (INVALSI), che indagasse a livello nazionale annualmente sulle conoscenze e sulle competenze degli studenti, si è ritenuta opportuna la stesura di nuove Indicazioni Nazionali e Linee Guida che, tra le altre cose, estendessero a tutte le tipologie di scuole secondarie di secondo grado l’insegnamento della probabilità e della statistica elementare, completando così il percorso curricolare verticale dalla primaria alla secondaria di secondo grado. Ciò ha creato nella scuola, in particolare tra i docenti, molti problemi pratici: gli studi universitari seguiti dagli insegnanti di matematica spesso non prevedono corsi di statistica o probabilità, né di didattica di queste due discipline; nella scuola italiana, infatti, non c’è una tradizione consolidata di tale insegnamento.

Tra le competenze chiave che devono essere raggiunte al termine dell’obbligo d’istruzione nell’asse culturale matematico compare: “Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico.” C’è quindi un chiaro riferimento agli strumenti informatici come supporto alla comprensione di argomenti statistici.

Da qui l’idea della tesi: creare una piattaforma di E-learning (usando Moodle) che contenga il materiale necessario agli studenti per acquisire le conoscenze e le competenze richieste nell’ambito Dati e previsioni.

Il lavoro consta essenzialmente di 4 parti:

1) La costruzione di due prove utilizzate per raccogliere dati. Tali prove sono state assemblate utilizzando i quesiti INVALSI di livello 8 e livello 10, con contenuto prevalente "dati e previsioni". I quesiti selezionati sono quelli ritenuti più interessanti per centralità degli argomenti e per difficoltà riscontrata (quelli che hanno ottenuto delle percentuali molto basse di risposte corrette a livello nazionale). In generale, abbiamo deciso di lasciare invariato il testo delle domande ma abbiamo chiesto agli studenti di scrivere il procedimento utilizzato per rispondere, anche per le domande a risposta chiusa, così da capire quale sia il loro modo di ragionare. La scelta di costruire due prove è stata dettata dalla volontà di raccogliere dati

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5 qualitativi su più argomenti possibili riguardanti l’ambito Dati e Previsioni.

2) La somministrazione e la raccolta dei dati nelle seconde di secondo grado di alcune scuole della Toscana. In ogni classe sono state somministrate nello stesso momento due prove diverse: la classe è stata divisa a metà ed è stata data una prova alla prima metà e l’altra alla seconda.

3) L’analisi qualitativa dei dati raccolti.

4) La costruzione di una piattaforma, utilizzando Moodle, contenente e-book e esercizi interattivi in risposta alle difficoltà mostrate dagli studenti.

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1. Le rilevazioni PISA e INVALSI e la competenza

matematica al termine dell’obbligo di istruzione

1.1 Le rilevazioni internazionali

Dal 2000, l’OCSE (l’organizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico o Organisation for Economic Co-operation and Development – OECD) ha promosso il Programma per la valutazione internazionale dell'allievo (Programme for International Student Assessment – PISA): una rilevazione internazionale rivolta a studenti quindicenni (fine dell’età dell’obbligo scolare in diversi Paesi1₎ per valutare le conoscenze e competenze in matematica, scienze e lettura considerate essenziali per l’esercizio di una cittadinanza attiva. Dunque l’indagine PISA ha l’obiettivo di verificare se, e in che misura, i giovani che escono dalla scuola dell’obbligo nei diversi Paesi che partecipano all’indagine (che sono saliti dai 35 della prima edizione nel 2000, ai 72 nell’edizione 2015) abbiano acquisito alcune competenze giudicate essenziali per svolgere un ruolo consapevole e attivo nella società e per continuare ad apprendere per tutta la vita.

La periodicità della rilevazione è triennale e, a ogni edizione, il focus è su una delle tre discipline ovvero vengono indagate tutte, ma con una prevalenza di domande dedicate alla disciplina “centrale” dell’edizione. Nel 2003 il focus è stato sulla matematica così come nel 2012 mentre nel 2015 il focus è stato sulle scienze (per tale motivo ci riferiremo ai risultati ottenuti nel 2012).

Nel 2012 i paesi che hanno partecipato all’indagine sono stati 65 e il campione italiano è stato di 407 scuole per un totale di oltre 11.000 studenti, rappresentativo di una popolazione di circa 500.000 studenti.

La rilevazione PISA, non intende verificare i curricoli nazionali ma le competenze nelle tre discipline (matematica, scienze e lettura). Per quanto riguarda la matematica il framework teorico di PISA definisce “competenza matematica”, o “mathematical literacy”, “la capacità di un individuo di formulare, utilizzare e interpretare la matematica in una varietà di contesti. Include la capacità di ragionare matematicamente e di usare concetti, procedure, fatti e strumenti della matematica per descrivere, spiegare e predire fenomeni. Aiuta gli individui a riconoscere il ruolo che la matematica ha nel mondo e a formulare giudizi e decisioni ben fondati, come richiesto a cittadini costruttivi, impegnati e riflessivi”2_.

La literacy matematica, descritta in questo modo, non è un attributo o una dote che un individuo ha o non ha, ma può essere acquisita in maggiore o minore misura, ed è richiesta in vari gradi nella società. Essa è coinvolta in molte attività della vita reale, a partire dagli scambi di denaro per beni e servizi fino alle

1_{In Italia, dalla riforma Berlinguer, ci sono stati diversi cambiamenti riguardanti}

l’obbligo scolastico. Attualmente, dopo la riforma Gelmini, l’obbligo formativo (che lascia aperto lo spazio anche alla formazione professionale extra-scolastica) è fissato a 16 anni.

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7 situazioni in cui la matematica viene utilizzata per spiegare e prevedere fenomeni altamente complessi. Per questo motivo, PISA 2012 mira a rilevare non solo la misura in cui gli studenti sono in grado di riprodurre la conoscenza dei contenuti matematici, ma anche quanto essi riescono a estrapolare dalle loro conoscenze e ad applicarlo anche in situazioni nuove e non familiari.

Il focus sui contesti di vita reale si riflette anche nel riferimento all'utilizzo di "strumenti", che appaiono nella definizione di literacy matematica di PISA 2012. La parola "strumenti" qui si riferisce alle apparecchiature fisiche e digitali, software e dispositivi di calcolo ormai ampiamente diffusi nei luoghi di lavoro del XXI secolo.

Per la prima volta, in PISA 2012, la literacy Matematica è stata rilevata anche attraverso la somministrazione computerizzata delle prove; a tale scopo i quesiti sono stati specificamente adattati e gli studenti dovevano fornire le risposte attraverso un computer.3

Le prove sono costituite da uno stimolo (testo, diagramma o grafico, immagini) e una o più domande che possono essere chiuse a scelta multipla semplice o complessa, aperte a risposta univoca o a risposta breve, aperte a risposta articolata e indagano su quattro aree di contenuto: quantità, spazio e forma, cambiamento e relazioni, incertezza e dati.

I risultati degli studenti italiani nella rilevazione PISA 2003 nella quale, come detto, l’ambito matematico era prevalente presentarono diverse criticità, a partire dai punteggi medi ottenuti, riassunti nella seguente tabella (PISA restituisce i risultati indicizzandoli rispetto al valor medio dei Paesi partecipanti che per il 2003 è fissato in 500 punti): Paese Scala di competenza Quantità Spazio e forma Cambiamento e relazioni Incertezza OCSE 500 501 496 499 502 Italia 466 475 470 452 463 Gli studenti italiani ottennero punteggi inferiori alla media in tutti e quattro gli ambiti di contenuto. I risultati peggiori furono ottenuti nelle macro aree “Cambiamento e Relazioni” e “Incertezza”.

Solo Grecia, Turchia e Messico su 41 Paesi partecipanti ottennero risultati peggiori in matematica.

Un’altra criticità che emerse con particolare forza dai risultati italiani fu relativa al problema delle pari opportunità educative sia in termini di provenienza geografica (con grandissime differenze tra il Nord ricco del Paese e il Sud e le Isole):

3_{In PISA 2015 l’indagine è stata svolta totalmente attraverso la somministrazione}

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Macro-area Italia Nord Ovest

Nord Est

Centro Sud Sud Isole Scala di competenza 466 510 511 472 428 423 Che in termini di provenienza scolastica:

Tipo di scuola Sotto liv.1 Liv.1 Liv.2 Liv.3 Liv.4 Liv.5 Liv.6 Licei 5.4 12.4 22.8 28.0 19.3 9.1 3.0

Tecnici 10.1 16.9 27.4 25.0 14.4 5.2 1.1

Professionali 26.6 31.3 24.5 13.3 3.5 0.7 0.0

Media OCSE 8.2 13.2 21.1 23.7 19.1 10.6 4.0 Sebbene ci si aspettino risultati migliori ai licei, non è giustificabile il divario tra licei e professionali dal momento che PISA cerca di valutare le competenze di base matematiche necessarie per una cittadinanza attiva, si noti ad esempio che il 58% degli studenti dei professionali risulta terminare l’obbligo scolastico in condizione di analfabetismo matematico.

Questi risultati, come scritto, hanno avuto un'enorme risonanza per le criticità evidenziate e hanno profondamente influenzato la stesura delle nuove indicazioni legislative per la scuola (primo e secondo ciclo4) a partire dall’emanazione delle Indicazioni per il curricolo per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo dell’istruzione del 2007, passando per le Indicazioni Nazionali per i percorsi liceali e le Linee Guida per Istituti Tecnici e gli Istituti Professionali del 2010, fino ad arrivare alle nuove Indicazioni Nazionali per il curricolo per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo dell’istruzione del 2012.

Nella rilevazione internazionale PISA 2012 i risultati italiani sono nettamente migliorati, nonostante i nostri punteggi siano sempre inferiori alla media internazionale e le macro aree che mostrano le principali difficoltà siano ancora “Cambiamento e relazioni” e “Incertezza e dati”:

Paese Scala di competenza Quantità Spazio e forma Cambiamento e relazioni Incertezza e dati OCSE 494 495 490 493 493 Italia 485 491 487 477 482 Anche se ancora sussistono problemi di pari opportunità educative sia in termini di provenienza geografica:

4_{Il primo ciclo scolastico si struttura in due percorsi scolastici obbligatori: la scuola}

primaria, della durata di cinque anni, e la scuola secondaria di primo grado, della durata di tre anni. Il primo ciclo si completa con l’Esame di Stato che costituisce titolo

necessario per l’accesso al secondo ciclo. Il secondo ciclo riguarda la scuola secondaria di secondo grado e si articola in un percorso della durata di cinque anni. Anche il secondo ciclo si conclude con un Esame di Stato.

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Macroarea Italia Nord Ovest

Nord Est

Centro Sud Sud Isole Scala di

competenza 485 509 514 485 464 446

che in termini di provenienza scolastica, come si evince dal grafico:

Fig1: Punteggi medi nella scala complessiva di literacy matematica, per tipologia di

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1.2 Le rilevazioni nazionali

I risultati delle rilevazioni internazionali hanno stimolato l’esigenza di avviare una rilevazione nazionale delle competenze degli studenti. Il compito è stato affidato a INVALSI (Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema d’Istruzione) che ha iniziato a proporre prove a vari livelli della scuola primaria e secondaria con frequenza annuale a partire dall’anno scolastico 2007-20085_.

La prova INVALSI è passata dall’essere campionaria all’essere statutaria e, per quanto riguarda la prova di terza secondaria di primo grado (ovvero la terza media) è parte integrante dell’Esame di Stato finale.

Per quanto riguarda l’obbligo d’istruzione il riferimento legislativo è la Legge n.296 del 26 dicembre 2006 che ha elevato l’obbligo di istruzione in Italia a 10 anni, questo innalzamento è finalizzato all’acquisizione dei saperi e delle competenze chiave di cittadinanza: asse dei linguaggi, asse matematico, asse scientifico tecnologico, asse storico sociale.

Il riferimento per la valutazione della matematica nelle classi seconde della scuola secondaria di secondo grado è costituito dall’asse culturale matematico6_{, in esso si} dice che:

“L’asse matematico ha l’obiettivo di far acquisire allo studente saperi e competenze che lo pongano nelle condizioni di possedere una corretta capacità di giudizio e di sapersi orientare consapevolmente nei diversi contesti del mondo contemporaneo.

La competenza matematica, che non si esaurisce nel sapere disciplinare e neppure riguarda soltanto gli ambiti operativi di riferimento, consiste nell’abilità di individuare e applicare le procedure che consentono di esprimere e affrontare situazioni problematiche attraverso linguaggi formalizzati.

La competenza matematica comporta la capacità e la disponibilità a usare modelli matematici di pensiero (dialettico e algoritmico) e di rappresentazione grafica e simbolica (formule, modelli, costrutti, grafici, carte), la capacità di comprendere ed esprimere adeguatamente informazioni qualitative e quantitative, di esplorare situazioni problematiche, di porsi e risolvere problemi, di progettare e costruire modelli di situazioni reali. Finalità dell’asse matematico è l’acquisizione al termine dell’obbligo d’istruzione delle abilità necessarie per applicare i principi e i processi matematici di base nel contesto quotidiano della sfera domestica e sul lavoro, nonché per seguire e vagliare la coerenza logica delle argomentazioni proprie e altrui in molteplici contesti di indagine conoscitiva e di decisione.”

Le quattro competenze di base di questo asse culturale quindi sono:

1. Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico e algebrico,

5 _{In particolare nell’anno 2007-2008 è stato somministrato un test a scopo statistico agli} studenti di terza secondaria di primo grado, dall’anno successivo si è iniziato a somministrare un test agli studenti di seconda primaria, quinta primaria, prima secondaria di primo grado e terza secondaria di prima grado; dall’anno scolastico 2010-2011 il test è stato proposto anche agli studenti di seconda secondaria di secondo grado.

6_{Per ulteriori informazioni si rimanda al documento:}

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11 rappresentandole anche in forma grafica.

2. Confrontare e analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni.

3. Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi.

4. Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico.

Il Servizio Nazionale di valutazione al termine del biennio di secondaria superiore si pone l’obiettivo di testare con l’assolvimento dell’obbligo di istruzione tali competenze e di valutare la conoscenza della disciplina matematica intesa soprattutto come conoscenza concettuale e non di addestramento meccanico o di apprendimento mnemonico. Questo tipo di valutazione è, in gran parte, in linea con gli obiettivi di indagine di OCSE PISA.

Gli ambiti prevalenti, attorno ai quali vengono costruite le prove INVALSI, sono: ● Numeri

● Spazio e figure ● Relazioni e funzioni ● Dati e previsioni

Simili alle aree di contenuto di PISA (quantità, spazio e forma, cambiamento e relazioni, incertezza e dati).

I risultati della prova di Matematica di II secondaria di secondo grado suddivisi per ambito ottenuti nell’anno scolastico 2015-2016 sono i seguenti:

Ambito Numeri Spazio e figure Dati e previsioni Relazioni e funzioni Percentuale media risposte corrette 40,54 36.26 44.41 43.04

In questa tesi ci concentreremo sull’ambito Dati e Previsioni nonostante le percentuali delle risposte corrette degli studenti italiani ai quesiti INVALSI relativi a tale ambito in generale siano più alte rispetto alle altre, ma comunque non eccellenti.

Questo argomento è trattato poco in classe; prima delle rilevazioni internazionali e nazionali tale ambito veniva affrontato sono nel triennio della scuola di secondo grado e non in tutte le tipologie di istituto.

Dal 2010 con le Indicazioni Nazionali per i licei e con le Linee Guida per gli istituti tecnici e professionali, stilate affinché gli studenti al termine dell’obbligo d’istruzione avessero raggiunto la “competenza matematica” richiesta dall’OCSE, si richiede che gli studenti al termine dell’obbligo di istruzione siano a conoscenza almeno dei concetti di base della probabilità e della statistica.

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1.3 La competenza matematica al termine dell’obbligo di

istruzione

Per ogni tipologia di istituto (professionale, tecnico, liceo) e per ogni indirizzo di tale istituto nelle Linee guida e nelle Indicazioni Nazionali sono indicate le conoscenze e le abilità che gli studenti devono aver raggiunto alla fine del biennio.

Per quanto riguarda la matematica le Linee guida e le Indicazioni Nazionali sono strutturate in questo modo: prima di tutto sono indicate le linee generali e le competenze che devono essere raggiunte, in secondo luogo vengono descritti gli obiettivi specifici di apprendimento per ogni ambito della matematica (Aritmetica e algebra, Geometria, Relazioni e funzioni, Dati e previsioni).

Riportiamo di seguito gli obiettivi specifici di apprendimento relativi all’ambito dati e previsioni tratti dalle linee guida7 di un istituto professionale, di un istituto tecnico e dalle Indicazioni Nazionali8_{di un liceo classico e di un liceo scientifico.}

Dalle Linee Guida per gli istituti professionali

Conoscenze relative all’ambito Dati e previsioni: Dati, loro organizzazione e rappresentazione. Distribuzioni delle frequenze a seconda del tipo di carattere e principali rappresentazioni grafiche. Valori medi e misure di variabilità. Significato della probabilità e sue valutazioni. Semplici spazi (discreti) di probabilità: eventi disgiunti, probabilità composta, eventi indipendenti. Probabilità e frequenza.

Dalle Linee Guida per gli istituti tecnici

Conoscenze relative all’ambito Dati e previsioni: Dati, loro organizzazione e rappresentazione. Distribuzioni delle frequenze a seconda del tipo di carattere e principali rappresentazioni grafiche. Valori medi e misure di variabilità. Significato della probabilità e sue valutazioni. Semplici spazi (discreti) di probabilità: eventi disgiunti, probabilità composta, eventi indipendenti. Probabilità e frequenza.

Dalle Indicazioni Nazionali per il liceo classico:

Lo studente sarà in grado di rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le rappresentazioni più idonee. Saprà distinguere tra caratteri qualitativi, quantitativi discreti e quantitativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle. Saranno studiate le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità, nonché l’uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio

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I documenti completi possono essere scaricati a questi URL:

http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/nuovi_tecnici/INDIC/_LINEE_GUIDA_TECNIC I_.pdf

http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/nuovi_professionali/linee_guida/_LINEE%20GUI DA%20ISTITUTI%20%20PROFESSIONALI_.pdf

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Il documento completo può essere scaricato a questo URL:

http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/licei2010///decreto_Indicazioni_nazionali%20_26 _05.pdf

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13 di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche. Lo studio sarà svolto il più possibile in collegamento con le altre discipline anche in ambiti entro cui i dati siano raccolti direttamente dagli studenti.

Lo studente apprenderà la nozione di probabilità, con esempi tratti da contesti classici e con l’introduzione di nozioni di statistica.

Sarà approfondito in modo rigoroso il concetto di modello matematico, distinguendone la specificità concettuale e metodica rispetto all’approccio della fisica classica.

Dalle Indicazioni Nazionali per il liceo scientifico:

Lo studente sarà in grado di rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le rappresentazioni più idonee. Saprà distinguere tra caratteri qualitativi, quantitativi discreti e quantitativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle. Saranno studiate le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità, nonché l’uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche. Lo studio sarà svolto il più possibile in collegamento con le altre discipline anche in ambiti entro cui i dati siano raccolti direttamente dagli studenti.

Lo studente sarà in grado di ricavare semplici inferenze dai diagrammi statistici. Egli apprenderà la nozione di probabilità, con esempi tratti da contesti classici e con l’introduzione di nozioni di statistica.

Sarà approfondito in modo rigoroso il concetto di modello matematico, distinguendone la specificità concettuale e metodica rispetto all’approccio della fisica classica.

Come si può notare sia nel testo dell’asse matematico che nel testo delle Indicazioni Nazionali c’è uno specifico riferimento agli strumenti informatici e agli strumenti di calcolo, da qui l’idea di creare una piattaforma Moodle dedicata alla probabilità e alla statistica che metta a disposizione e-books, lezioni interattive e tutti i quesiti proposti da INVALSI relativi all’ambito Dati e Previsioni di livello 89 e di livello 1010.

Il nostro obiettivo è quello di individuare quali siano le maggiori difficoltà degli studenti in probabilità e statistica attraverso un compito con domande tratte dai quesiti INVALSI sia di livello 8 che di livello 10 e di fornire uno strumento utile a studenti e insegnanti a superare queste difficoltà.

9_{Terza secondaria di primo grado.} 10_{Seconda secondaria di secondo grado.}

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2. L’E-learning

Sotto il nome generico di e-learning (noto anche come apprendimento online) va un’ampia gamma di tecniche e pratiche che coniugano la didattica con le nuove tecnologie e col web. Si superano così i limiti di spazio (l’aula) e di tempo (la lezione) imposti dalla didattica tradizionale adattandosi così ai tempi e ai luoghi ideali per ciascuno studente. L’e-learning facilita l’accesso alle risorse e ai servizi favorendo sia lo studio individuale che quello collaborativo

2.1 Cenni storici

Il termine “e-learning” deriva dalla fusione di due diversi campi di sperimentazione nelle metodologie didattiche: la Formazione a distanza (FAD), ovvero qualsiasi tipologia di formazione che preveda la non compresenza dei docenti e discenti nello stesso luogo, ed il “Computer Based Training” (CBT), cioè lo studio basato sull’uso del computer quale tecnologia didattica di autoistruzione.

Il primo avvicinamento di tali metodologie avviene negli anni ’90 con l’invenzione del CD-ROM. Il CD-ROM permetteva di memorizzare una grande quantità di informazioni su supporti economici e facilmente maneggiabili: così nascono le prime enciclopedie e i primi corsi di formazione e di lingua su CD-ROM, incrementando notevolmente l’ambito di applicazione dei CBT.

Quando nasce internet, la rete in grado di connettere dispositivi in tutto il mondo in modo sempre più capillare e veloce, è stato naturale vedere il Web come l’ambiente nel quale sviluppare forme innovative di apprendimento a distanza. Nascono così i primi sistemi di e-learning, grazie ai quali FAD e CBT giungono ad una definitiva fusione di intenti e di mezzi.

Al giorno d’oggi gli ambiti di applicazione dei sistemi e-learning sono fondamentalmente tre: le scuole, le aziende e l’amministrazione pubblica.

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2.2 Il Blended Learning

Il Blended learning è descritto come un processo di apprendimento che gode dei vantaggi degli ambienti online, senza però perdere l’immediatezza e l’efficacia del contatto “faccia-a-faccia” tra docente e discente.

Non si deve intendere il Blended learning come una semplice integrazione dell’attività d’aula tradizionale con l’uso del web unicamente per la distribuzione di materiale integrativo per lo studio dei contenuti affrontati a lezione; l’approccio blended è una soluzione, a metà strada tra la didattica tradizionale e la didattica online, che prevede un’alternanza di attività didattiche in aula e a distanza dove le seconde non sono opzionali ma costituiscono una parte fondamentale del corso. Il Blended Learning può essere utilizzato per ridurre il numero di lezioni frontali in modo da recuperare il tempo d’aula a favore di una maggiore interazione con gli studenti, molti studiosi ritengono inoltre che fornire un processo di apprendimento utilizzando metodi più vari, attraverso cui gli studenti possano acquisire conoscenza, possa migliorare il loro potenziale di apprendimento.

2.3 Moodle

Una componente fondamentale dell’E-learning è senz’altro la piattaforma tecnologica in grado di aggregare e supportare le risorse e le attività didattiche. Moodle11 (la piattaforma ideata da Martin Dougiamas che è l’attuale leader del team di sviluppo) è il più diffuso LMS (Learning Management System).

È un sistema per la gestione di corsi online pensato per creare classi virtuali che permettano efficaci e coinvolgenti esperienze di apprendimento in rete. Viene utilizzato a livello internazionale per progetti didattici e formativi che prevedono il coinvolgimento attivo dei discenti e consentono l'apprendimento collaborativo, il lavoro di gruppo e lo scambio di conoscenza.

La progettazione e lo sviluppo di Moodle sono guidati da una particolare filosofia dell'apprendimento, che può essere definita "pedagogia costruzionista sociale", questa definizione si basa su tre concetti principali che sono: il costruttivismo, il costruzionismo e il costruttivismo sociale.

Il punto di vista costruttivista sostiene che le persone costruiscono attivamente nuova conoscenza quando interagiscono con il proprio ambiente. Tutto ciò che si legge, si vede, si sente, si prova e si tocca è analizzato rispetto al proprio bagaglio di conoscenze e, se è valido, lo può incrementare. La conoscenza è rafforzata se si è in grado di utilizzarla con successo nel proprio ambiente. Non siamo semplicemente un deposito di ricordi che assorbe informazioni passivamente, né è possibile che la conoscenza sia "trasmessa" soltanto leggendo qualcosa o ascoltando qualcuno. Questo non vuol dire che sia impossibile apprendere qualcosa dalla lettura di una pagina web o assistendo ad una lezione ma che l’apprendimento avviene grazie all’interpretazione delle informazioni ricevute e

11_{acronimo di Modular Object-Oriented Dynamic Learning Environment, ambiente per} l'apprendimento modulare, dinamico, orientato ad oggetti.

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16 non tramite il trasferimento di tali informazioni da un cervello all'altro.

Il costruzionismo è basato sulla teoria del costruttivismo, in più sostiene che l'apprendimento avviene in modo più efficiente se chi apprende è coinvolto nella produzione di oggetti tangibili, ovvero afferma che l'apprendimento è particolarmente efficace quando si costruisce qualcosa da far sperimentare agli altri.

Il costruttivismo sociale estende l'idea del costruttivismo a un gruppo di persone che costruiscono conoscenza l'una per l'altra, collaborando nella creazione di una piccola cultura di oggetti/concetti condivisi con significati condivisi12.

Proprio per questo motivo Moodle dispone di un gran numero di funzionalità dedicate all’interazione tra studenti, affinché essi possano trarre il massimo beneficio possibile dalla condivisione delle rispettive esperienze formative.

Le caratteristiche principali di Moodle sono:

Standardizzazione: Moodle rispetta e spesso eccede i requisiti dei più diffusi

standard di accessibilità, usabilità ed interoperabilità con gli altri LMS.

Modularità: i contenuti formativi sono organizzati in modo modulare ovvero in

"Reusable Learning Object", blocchi di contenuto autoconsistenti riutilizzabili all'interno di corsi diversi.

Controllo e tracciabilità degli accessi: per entrare nella piattaforma è necessario

farsi riconoscere. L'utilizzo della piattaforma da parte degli utenti viene registrato (tracciato).

La configurazione generale di Moodle viene gestita da un utente-amministratore definito durante la fase di installazione della piattaforma. Egli può scegliere tra i vari temi disponibili per quanto riguarda l’interfaccia grafica, nonché i vari moduli di attività didattica da integrare nell’installazione e le modalità di fruizione dei singoli corsi. I corsi possono infatti essere organizzati secondo tre formati distinti: settimanale (impostata la durata temporale del corso, il materiale didattico viene organizzato in chiave settimanale), per argomento (il corso viene suddiviso in diverse macro-aree tematiche all’interno delle quali trova posto il rispettivo materiale) o relazionale (l’intero corso viene gestito come se fosse un forum di discussione).

Moodle consente inoltre un’avanzata gestione degli utenti, che sono suddivisi in almeno tre categorie: studenti, docenti ed amministratori. Queste tipologie di account si differenziano tra loro in funzione del tipo di operazioni in grado di eseguire: gli studenti possono soltanto usufruire degli strumenti che vengono messi a loro disposizione; i docenti possono modificare liberamente i corsi di propria competenza e, al livello più alto, gli amministratori, possono creare nuovi corsi ed assegnarvi i rispettivi docenti.

Il Docente può personalizzare a piacimento la pagina principale del corso arricchendola con una serie di blocchi da posizionare nelle colonne laterali.

(17)

17

Fig1: Una home generica di un corso creato su Moodle

I blocchi più utilizzati in una piattaforma Moodle sono:

Amministrazione (sempre presente): permette di visualizzare funzionalità

diverse a seconda del ruolo con cui si è iscritti al corso. Il docente visualizzerà gli strumenti per la gestione del corso, l'iscrizione dei partecipanti, il caricamento dei file, ecc. Il partecipante invece il link al proprio profilo e alla pagina delle proprie valutazioni.

Attività: elenco delle attività presenti nel corso da cui si può accedere ad una

pagina dedicata ad ogni tipologia di attività (ad esempio tutti i forum di discussione attivati in un corso).

Attività recente: vengono visualizzate tutte le modifiche di un corso, a partire

dall'ultimo accesso dell'utente (ad esempio le ultime discussioni dei forum, l'aggiornamento delle risorse, l'aggiunta attività).

Calendario: è un calendario degli eventi del corso. Molto utile soprattutto per

segnalare le attività previste da un percorso formativo, le scadenze, ecc.

Corsi: elenco dei corsi a cui si è iscritti.

Descrizione del corso/sito: è un riquadro che visualizza la descrizione del corso.

Può contenere anche link ipertestuali, immagini ed elementi di formattazione (grassetti, corsivi, ecc.).

HTML: un blocco HTML libero che permette di inserire qualsiasi elemento, dalle

immagini ai link, dalle tabelle ai video.

Messaggi: link ai messaggi personali ricevuti da altri utenti della piattaforma. Persone: link all'elenco dei partecipanti iscritti al corso da cui si può accedere al

profilo di ogni utente.

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18 può decidere di personalizzare il numero di eventi da visualizzare.

Ricerca nel forum: permette di cercare tra i messaggi dei forum di discussione

attraverso una ricerca semplice o avanzata.

Ultime notizie: permette di visualizzare gli ultimi messaggi pubblicati nel forum

news.

Utenti collegati: Elenco degli utenti simultaneamente collegati alla piattaforma di

e-learning negli ultimi 5 minuti. Può essere molto utile soprattutto se il corso prevede delle attività sincrone come una chat.

Voce casuale di glossario: permette di visualizzare un termine a caso scelto tra i

glossari presenti all'interno del corso.

È possibile suddividere il corpo centrale della piattaforma in argomenti diversi e ciascun argomento a sua volta può contenere differenti risorse o attività. Il docente può decidere se mostrare agli utenti del corso gli argomenti tutti insieme oppure se renderli disponibili in momenti diversi.

Le risorse che Moodle mette a disposizione sono:

Fig2: Risorse disponibili su Moodle.

Etichetta: Il modulo etichetta consente di inserire immagini e testo nella home

page del corso, assieme ai link ad attività e risorse.

Pagina: Il modulo pagina consente al docente di creare pagine web utilizzando

l'editor di testo.

Libro: Il modulo libro consente ad un docente di creare risorse multi pagina

componendole, similmente ad un libro, in capitoli e paragrafi.

File: Il modulo file consente al docente di inserire file tra le risorse del corso. Cartella: Il modulo cartella consente al docente di visualizzare in un’unica

cartella un insieme di file correlati tra loro, riducendo la dimensione della pagine home del corso.

URL: Il modulo URL consente ai docenti di inserire link web come risorse del

corso.

IMS content package: Un IMS content package è un insieme di file

impacchettati secondo uno standard di interoperabilità riconosciuto. Il modulo IMS content package consente di caricare pacchetti .zip IMS tra le risorse del corso.

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19 La risorsa Libro è stata ampiamente utilizzata nella piattaforma che abbiamo costruito13_{; tale strumento consente ad un docente di creare risorse multi pagina} componendole, similmente ad un libro, in capitoli e paragrafi. Il modulo libro non è di per sé interattivo ma può contenere file multimediali, link e applet, è indicato per contenuti corposi da suddividere in diverse sezioni. Un libro può essere consultato online oppure se ne può ottenere una versione stampabile.

Le attività messe a disposizione da Moodle sono:

Fig3: Attività disponibili su Moodle.

Chat: Il modulo di attività chat consente ai partecipanti di tenere discussioni

testuali sincrone in tempo reale.

Forum: Il modulo di attività forum consente di tenere discussioni asincrone tra i

partecipanti, la cui durata è prolungata nel tempo.

Scelta: Il modulo di attività scelta consente al docente di formulare una domanda

offrendo una serie di alternative.

Feedback: Il modulo di attività feedback consente al docente di creare sondaggi

personalizzati utili per raccogliere i feedback dai partecipanti.

Glossario: Il modulo di attività Glossario consente ai partecipanti di creare e

gestire elenchi di voci, come ad esempio un dizionario o una raccolta di risorse e informazioni.

Database: Il modulo attività database consente ai partecipanti di creare, gestire e

ricercare insiemi di record.

Compito: Il modulo di attività compito consente al docente di valutare

13

(20)

20 l'apprendimento degli studenti assegnandogli un lavoro che potrà poi valutare e commentare.

Quiz: Il modulo di attività quiz consente al docente di creare questionari con

diversi tipi di domande: scelta multipla, vero/falso, corrispondenza, risposta breve, calcolata, eccetera.

Pacchetto SCORM: Un oggetto SCORM è un insieme di file impacchettati

secondo uno standard riconosciuto per la realizzazione di learning object.

Lezione: Il modulo di attività lezione consente al docente di distribuire contenuti

o esercitazioni in modo interessante e flessibile.

Wiki: Il modulo di attività wiki consente ai partecipanti di inserire e modificare

una raccolta di pagine web.

Workshop: Il modulo di attività workshop consente la raccolta, la revisione e la

valutazione tra pari del lavoro svolto dagli studenti.

Le attività utilizzate nella piattaforma che abbiamo creato sono: il feedback, il forum, la lezione e il quiz.

Il modulo feedback consente al docente di creare sondaggi personalizzati utili per raccogliere le opinioni dei partecipanti. É possibile usare vari tipi di domande, come ad esempio domande a scelta multipla, sì/no, a risposta libera. Se lo si desidera è possibile rendere anonime le riposte, così come è possibile far visualizzare o meno agli studenti i risultati del sondaggio. Le attività feedback presenti sulla home page del sito possono essere configurate per essere compilate anche da utenti non autenticati. Per ogni domanda del feedback è possibile scegliere se tale domanda è a risposta obbligatoria oppure no e per le domande a risposta lunga è possibile inserire una limitazione sul numero massimo di caratteri.

Il modulo di attività forum consente di tenere discussioni asincrone tra i partecipanti, la cui durata è prolungata nel tempo. Sono disponibili diversi tipi di forum tra cui scegliere; noi utilizzeremo il forum standard dove chiunque può avviare una discussione ed è possibile consentire file allegati. I partecipanti possono sottoscrivere il forum per ricevere notifiche di nuovi interventi. Il docente può impostare la sottoscrizione al forum come facoltativa, obbligatoria, automatica.

In caso di necessità è anche possibile bloccare studenti che abbiano postato più di un certo numero di interventi in un dato intervallo di tempo, riducendo il rischio che qualcuno domini la discussione.

É possibile usare il forum per:

● uno spazio sociale per consentire ai partecipanti di conoscersi ● annunci del corso

● discutere sui contenuti o dispense del corso

● dare continuità ad un problema riscontrato durante sessioni in presenza ● svolgere discussioni tra docenti (usando un forum nascosto)

● area di supporto generale online tra docenti e studenti

● area di supporto individuale per colloqui privati tra docenti e studenti (usando un forum a gruppi separati con gruppi composti da un solo utente) ● estendere attività ad esempio proponendo problemi che gli studenti

(21)

21 Il modulo di attività lezione consente al docente di distribuire contenuti o esercitazioni in modo interessante e flessibile. È possibile usare la lezione per creare pagine da fruire sequenzialmente o con diversi percorsi ed opzioni.

Fig4: La costruzione di una lezione

È possibile includere nelle pagine domande di vario tipo come domande a scelta multipla, a risposta breve ed a corrispondenza. In base alla risposta data, lo studente può proseguire la lezione, essere riportato alla pagina precedente oppure diretto verso un percorso composto da altre pagine.

È possibile usare le lezioni per:

● auto apprendimento su un dato argomento ● giochi di ruolo e esercizi di decision making

● soddisfare differenti stili di apprendimento; ad esempio, uno studente può scegliere di visualizzare una pagina contenente un video al posto di un pagina di testo

● revisioni differenziate, con diverse serie di domande di revisione basate sulle risposte date alle domande iniziali.

Il modulo di attività quiz consente al docente di creare questionari con diversi tipi di domande:

Fig5: Le tipologie di domande che possono

(22)

22 Il docente può impostare il quiz affinché sia possibile tentarlo più volte con l'ordine delle domande cambiato casualmente o con domande pescate casualmente ad ogni nuovo tentativo. È anche possibile impostare un tempo massimo di svolgimento. Ogni tentativo viene valutato automaticamente (ad eccezione delle domande componimento) e la valutazione viene memorizzata nel registro del valutatore. Il docente può decidere quando e come far vedere agli studenti le risposte corrette, i feedback ed eventuali suggerimenti.

È possibile usare il quiz per: ● esami dei corsi

● brevi test su dispense di studio o al termine di un argomento

● pratica di esami usando domande provenienti da esami di anni precedenti ● dare un feedback sulla performance

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23

2.4 E-learning per l’apprendimento della matematica

Ricerche in didattica della matematica14_{hanno sottolineato che i risultati di} apprendimento appartengono ad almeno tre livelli distinti:

● Livello non cognitivo: fa riferimento a convinzioni, emozioni, atteggiamenti e aspetti affettivi che governano le decisioni e le azioni di un soggetto.

● Livello metacognitivo: fa riferimento a come i soggetti governano i loro processi.

● Livello cognitivo: fa riferimento all’acquisizione di idee e metodi caratteristici della disciplina.

Secondo Ferrari l’e-learning può essere rilevante per ciascuno di questi livelli. L’adozione di strumenti tecnologici genera emozioni ed atteggiamenti importanti per l’apprendimento grazie ad esempio alla flessibilità temporale con cui si possono utilizzare gli strumenti online, alle attività che prevedono un feedback automatico, al contatto non diretto con l’insegnante, alle attività differenziate per difficoltà e argomento.

L’e-learning offre agli studenti occasioni per andare oltre l’apprendimento passivo: in una piattaforma, infatti, si possono inserire prove di autovalutazione, risorse o attività che lo studente può scegliere così da stimolare la capacità di organizzare il proprio percorso formativo, inoltre le piattaforme consentono di inserire anche banchi di dati in modo da stimolare l’esplorazione e l’utilizzo di tali materiali; tutto questo permette di rendere lo studente protagonista attivo del proprio percorso, responsabilizzandolo nelle varie decisioni intermedie e, di volta in volta, nella valutazione della propria preparazione.

Una caratteristica della matematica è la disponibilità di un’ampia gamma di sistemi semiotici: il linguaggio verbale, le notazioni simboliche, le figure. Ormai è riconosciuto infatti che nell’insegnamento della matematica c’è un continuo riferimento alle sue rappresentazioni semiotiche: la natura degli oggetti matematici passa attraverso le rappresentazioni degli stessi, poiché l’oggetto matematico è inaccessibile alla conoscenza. Questo può essere causa di mancato apprendimento se l’insegnante non tiene conto che, nel momento in cui svolge attività didattica e presenta oggetti matematici, in realtà sta presentando solamente rappresentazioni parziali di tali oggetti che potrebbero risultare svianti perché l’allievo potrebbe scambiare le rappresentazioni con gli oggetti stessi (Ferrari). Le piattaforme permettono di svolgere attività di consolidamento a diversi livelli ed offrono una vasta gamma di potenzialità sul piano semiotico: una piattaforma consente di creare una grande quantità di attività diversificate per sottotemi, difficoltà, tipologia ed anche in base ai sistemi semiotici adottati: notazione algebrica, grafici, tabelle numeriche, testi verbali, video; in tal modo i diversi sistemi semiotici vengono usati in modo combinato per rendere adatta ogni attività a ciascun utente.

14

Dalla relazione del XXX seminario nazionale di ricerca in didattica della matematica, Rimini, 24‐26 gennaio 2013 dal titolo: “La ricerca in e-learning e in didattica della matematica: integrazione, esperienze e riflessioni”

(24)

24

3. La costruzione della prova proposta

La prova è stata costruita avendo in mente di:

● privilegiare l’ambito Dati e Previsioni, che per tradizione didattica è quello su cui si concentrano meno le attenzioni degli insegnanti al biennio nonostante conoscenze in tali ambito siano richieste sia dalle Linee Guida per Istituti Tecnici e Professionali, sia dalle Linee Guida per i Licei

● proporre domande tratte dalle prove INVALSI (di ottavo livello e di decimo livello) chiedendo sempre di giustificare il risultato o di esplicitare i calcoli. In questo modo oltre a valutare i contenuti, siamo riusciti a catturare anche i processi attivati dagli studenti per rispondere.

● riproporre tali domande sotto forma di Lezione sulla piattaforma Moodle. Per costruire il compito sono state dunque analizzate le prove INVALSI di livello 8 e di livello 10 degli anni precedenti, e in particolare le domande relative all’ambito Dati e Previsioni.

La prima scelta è stata quella sul numero di domande: la prova INVALSI ufficiale è composta da 30 domande prevalentemente a risposta chiusa da completare in 90 minuti. Pensando di concedere agli studenti 60 minuti, e da una parte volendo fornire agli studenti tempo sufficiente a scrivere il procedimento e a motivare le risposte e dall’altra riuscire a saggiare più argomenti possibili sia di probabilità che di statistica abbiamo definito due prove di 5 domande, talvolta contenenti più di un item.

Nella scelta delle domande per la composizione finale della prova hanno influito considerazioni di carattere generale come il cercare di differenziare rispetto ad argomenti e competenze all’interno dell’ambito Dati e previsioni, scegliendo 1 domanda che richiedesse conoscenze di calcolo combinatorio, 5 domande che richiedessero conoscenze di probabilità e 4 domande che richiedessero conoscenze di statistica, e considerazioni più legate alla singola domanda e all’esito che tale domanda ha avuto nella rilevazione INVALSI in cui è stata usata.

Di seguito riportiamo le 10 domande scelte, per ognuna delle quali riportiamo: 1. il testo originale INVALSI con l’indicazione dell’anno scolastico e del livello scolare,

2. le informazioni presenti nella Guida INVALSI su obiettivi della domanda ed esiti del campione,

3. il testo modificato e usato nella nostra prova15.

(25)

25

Domanda numero 1: “Codici”

Il testo originale INVALSI

Domanda D20, livello 8, proposta nel 2014

La domanda in questione fa riferimento al seguente obiettivo di apprendimento contenuto nelle Indicazioni Nazionali per il curriculo 201216: “Riconoscere e risolvere problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza.”

Lo scopo di tale domanda è quello di individuare il numero di disposizioni possibili con vincoli dati (combinazioni del lucchetto).

Risultati del campione nazionale

Item A B C D Mancate D20 8.3% 5.9% 34.1% 51.1% 0.6% Il testo usato nella nostra prova:

Usualmente al biennio non si affrontano problemi di calcolo combinatorio, per questo è interessante vedere come gli studenti si approcciano a problemi di questo

16_{Indicazione Nazionali per il primo ciclo consultabili all’URL:}

http://www.indicazioninazionali.it/documenti_Indicazioni_nazionali/indicazioni_nazional i_infanzia_primo_ciclo.pdf

(26)

26 tipo, per questo abbiamo deciso di rendere la domanda aperta, chiedendo agli studenti di esplicitare i calcoli e i disegni che hanno fatto per rispondere alla domanda.

Domanda 1

Luisa non ricorda bene la combinazione del lucchetto della sua bicicletta. La combinazione si ottiene girando quattro rotelline, ognuna delle quali riporta tutte le cifre da 0 a 9.

Luisa non ricorda per nulla la seconda cifra della combinazione ma sa che: ● la prima cifra è 6

● la terza cifra è 3 o 4 ● l’ultima cifra è 1

Quante combinazioni al massimo dovrà provare Luisa per riuscire ad aprire il lucchetto della sua bicicletta? Scrivi il procedimento che hai utilizzato per rispondere (disegni, calcoli…).

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27

Domanda numero 2: “Il superenalotto”

La domanda in questione fa riferimento al seguente obiettivo di apprendimento contenuto nelle Indicazioni Nazionali 2012: “In semplici situazioni aleatorie, individuare gli eventi elementari, assegnare a essi una probabilità, calcolare la probabilità di qualche evento, scomponendolo in eventi elementari disgiunti.” Lo scopo di tale domanda è quello di riconoscere la relazione corretta relativa al calcolo delle probabilità nell'estrazione del lotto.

Item A B C D Mancate

D12 18% 67% 6.7% 6.6% 1.7%

La domanda ha una percentuale di risposte corrette abbastanza elevata, da notare comunque che la risposta B è, tra quelle errate, quella che ha riscosso maggior successo; chi non sta ragionando in “termini probabilistici” infatti potrebbe pensare che sia più probabile estrarre numeri casuali piuttosto che numeri consecutivi, come insegna l’esperienza.

Il testo usato nella nostra prova

Abbiamo deciso di lasciare identico questo quesito, abbiamo però ritenuto opportuno aggiungere un item che chiedesse di calcolare la probabilità di vincita sia di Sara che di Guglielmo in primo luogo per catturare il ragionamento di chi risponde in modo errato, in secondo luogo per vedere se chi ha risposto in modo corretto riesce effettivamente a calcolare la probabilità di un evento composto infatti sia nelle Indicazione Nazionali per il secondo ciclo che nelle Linee Guida tra le conoscenze richieste compare anche la probabilità composta.

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28 Domanda 2

Nel gioco del superenalotto ogni giocatore sceglie almeno sei numeri interi compresi tra 1 e 90. Gli organizzatori estraggono a caso sei numeri, sempre compresi tra 1 e 90.

Vincono i giocatori che hanno scelto proprio gli stessi numeri estratti dagli organizzatori del gioco.

Sara ha scelto i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Guglielmo ha scelto i numeri 7, 12, 15, 23, 28, 34.

1) Sara e Guglielmo hanno la stessa probabilità di vincere? A. No, perché i numeri scelti da Sara sono consecutivi

B. Sì, perché tutti i numeri hanno la stessa probabilità di essere estratti C. No, perché Sara e Guglielmo non hanno scelto gli stessi numeri D. Sì, perché non conosciamo i numeri usciti nelle estrazioni precedenti 2) Sai calcolare la probabilità di vincere che ha Sara? E quella che ha Guglielmo? Scrivi il ragionamento e i calcoli che hai fatto per arrivare al risultato.

(29)

29

Domanda numero 3: “Scommesse”

La domanda in questione fa riferimento al seguente obiettivo di apprendimento contenuto nelle Indicazioni per il curricolo 2007: “In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e cominciare ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima quantificazione, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili”.

Lo scopo di tale domanda è quello di calcolare probabilità individuando lo spazio degli eventi.

Item Sì No Mancate D11a 64.9% 33.3% 1.8%

Item Corrette Errate Mancate D11b 16.6% 71.6% 11.8%

Solamente il 33.3% ho risposto correttamente, per questo ci è sembrato significativo proporre di nuovo questo quesito.

Abbiamo deciso di lasciare identico questo testo visto la scarsa percentuale di risposte corrette e visto che già tale testo richiedeva una giustificazione.

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30 Domanda 3

Per scegliere chi deve lavare i piatti del pranzo, Marco, Lorenzo e Livia decidono di lanciare 2 volte una moneta da 1 Euro come quella che vedi in figura:

Stabiliscono che:

● se verranno 2 croci, laverà i piatti Marco; ● se verranno 2 teste, laverà i piatti Livia;

● se verranno una testa e una croce, laverà i piatti Lorenzo. Pensi che tutti e tre abbiano la stessa probabilità di lavare i piatti?

☐Sì ☐No Perché?

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31

Domanda numero 4: “Palline”

La domanda in questione fa riferimento al seguente obiettivo di apprendimento contenuto nelle Indicazioni Nazionali 2012: “In semplici situazioni aleatorie, individuare gli eventi elementari, assegnare a essi una probabilità, calcolare la probabilità di qualche evento, scomponendolo in eventi elementari disgiunti.” Lo scopo di tale domanda è quello di conoscere la probabilità come rapporto e quello di trovare il numero dei casi favorevoli data una probabilità e il numero di casi possibili.

Item A B C D Mancate D18 16.6% 8.1% 31% 41.7% 2.6% Il testo usato nella nostra prova

Abbiamo deciso di lasciare la domanda a scelta multipla, in modo che gli studenti potessero trovare la soluzione per tentativi, abbiamo però deciso di chiedere qual è stato il procedimento seguito per rispondere.

Domanda 4

In un sacchetto ci sono solo 4 palline blu. Quante palline verdi si devono inserire nel sacchetto affinché la probabilità di estrarre una pallina verde sia 2₃ ?

A.☐ 2 B.☐ 12 C.☐ 6 D.☐ 8

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32

Domanda numero 5: “Ancora palline”

La domanda in questione fa riferimento alle conoscenze richieste al termine dell’obbligo d’istruzione, conoscenze contenute rispettivamente nelle Linee Guida e nelle Indicazioni Nazionali: “significato della probabilità e sue valutazioni. Semplici spazi (discreti) di probabilità: eventi disgiunti, probabilità composta, eventi indipendenti. Nozione di probabilità, con esempi tratti da contesti classici e

con l’introduzione di nozioni di statistica.”

E vuole valutare il seguente traguardo da raggiungere17 al termine dell’obbligo d’istruzione: “Esprime valutazioni e stime di probabilità in situazioni caratterizzate da incertezza. Esprime stime di probabilità di eventi composti a partire dalla conoscenza delle probabilità di eventi elementari.”.

Lo scopo di tale domanda è quello di applicare il concetto di probabilità classica. Risultati del campione nazionale

Item A B C D Mancate D29 12.3% 12.5% 24.7% 45.3% 5.2 %

Tale domanda è nella forma simile alla precedente, abbiamo deciso di inserirla nella prova pensando che potrebbe essere interessante creare una lezione Moodle utilizzando insieme questi due quesiti.

Abbiamo deciso di mantenere la risposta a scelta multipla poiché, in questo, gli studenti potrebbero rispondere procedendo per tentativi. Chiediamo comunque di esplicitare il ragionamento eseguito per rispondere.

17_{Per la scuola secondaria di secondo grado (livello 10) e quindi per la conclusione}

dell’obbligo scolastico non sono previsti, dalla normativa vigente, traguardi per lo sviluppo delle competenze.

Il gruppo di lavoro INVALSI nel 2015 ha individuato una serie di traguardi per lo sviluppo delle competenze per la fine dell’obbligo scolastico in diretta continuità con i Traguardi della fine del primo ciclo.

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33 Domanda 5

Nella scatola A vi sono 6 palline verdi e 4 rosse.

Nella scatola B vi sono invece 12 palline verdi e 5 rosse.

Quante palline verdi si devono spostare dalla scatola B alla scatola A affinché la probabilità di estrarre una pallina verde da A diventi uguale alla probabilità di estrarre una pallina verde da B?

A.☐ 5 B. ☐ 7 C. ☐ 4 D. ☐ 2

Come hai fatto a rispondere? Scrivi qui sotto i calcoli, il ragionamento che hai fatto o i disegni che ti sono serviti.

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34

Domanda numero 6: “Verso la probabilità condizionata”

La domanda in questione fa riferimento alle conoscenze richieste al termine dell’obbligo d’istruzione, conoscenze contenute rispettivamente nelle Linee Guida e nelle Indicazioni Nazionali: “Significato della probabilità e sue valutazioni. Semplici spazi (discreti) di probabilità: eventi disgiunti, probabilità composta, eventi indipendenti.”, “Nozione di probabilità, con esempi tratti da contesti classici e con l’introduzione di nozioni di statistica.”

Lo scopo dell’item a e b è quello di saper leggere ed utilizzare dati statistici ricavati da una tabella a doppia entrata. Quello di c e d è saper applicare il concetto di probabilità classica.

Item Corrette Errate Mancate D12_a 83% 12.1% 4.7%

D12_b 83.3% 11.6% 5%

D12_c 32% 38.2% 29.2%

D12_d 24.1% 45.4% 29.9%

Nonostante i primi due item che riguardano solo la lettura della tabella a doppia entrata abbiano un’alta percentuale di risposte corrette, gli ultimo due item, riguardanti strettamente il concetto di probabilità hanno ottenuto risultati disastrosi.

(35)

35 Il testo usato nella nostra prova

Il testo usato nella nostra prova è pressoché identico a quello originale. Abbiamo solamente chiesto di nuovo di scrivere anche il procedimento e non solo il risultato.

Domanda 6

È stato effettuato un sondaggio su un campione di 1500 donne di età compresa tra i 25 e i 55 anni per conoscere la loro opinione su una rivista mensile dedicata

alla salute.

Si sono ottenuti i seguenti risultati:

Occupate Disoccupate

Giudizio positivo 450 276

Giudizio negativo 367 407

a. Quante sono le donne che hanno espresso un giudizio positivo? b. Quante sono le donne disoccupate intervistate?

c. Scegliendo a caso una delle donne intervistate, qual è la probabilità che abbia espresso un giudizio negativo? Scrivi il procedimento utilizzato per rispondere. d. Scegliendo a caso una delle donne intervistate tra quelle che hanno espresso un giudizio positivo, qual è la probabilità che sia una donna occupata? Scrivi il procedimento utilizzato per rispondere.

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36

Domanda numero 7: “Meteorologia”

Domanda D12, livello 10, proposta nel 2015.

La domanda in questione fa riferimento alle conoscenze richieste al termine dell’obbligo d’istruzione, conoscenze contenute rispettivamente nelle Linee Guida e nelle Indicazioni Nazionali: “Valori medi e misure di variabilità. Calcolare i valori medi e alcune misure di variabilità di una distribuzione.”, “Definizioni e proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità, nonché uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche”.

Lo scopo dell’item a è leggere i dati in una tabella per individuare la differenza tra il massimo e il minimo, quello dell’item b è calcolare la media aritmetica dei dati di una tabella.

Item Corrette Errate Mancate D12_a 34.5% 59.4% 6.1%

D12_b 62.6% 29% 8.4%

Incuriosisce il fatto che sia il primo item (a priori più semplice) a ottenere i risultati peggiori.

Il testo usato nella nostra prova:

Abbiamo mantenuto il testo identico, fornendo però un po’ più di spazio in modo che gli studenti potessero scrivere i calcoli utilizzati e il procedimento seguito.

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37 Domanda 7

Una stazione meteorologica nelle Alpi ha misurato le temperature, in gradi centigradi (°C), durante un giorno di dicembre. I dati raccolti sono riportati nella seguente tabella.

ora 1 4 7 10 13 16 19 22

temperatura -8 -10 -10 -3 +1 -1 -3 -6

a. Qual è l’escursione termica, cioè la differenza tra la temperatura massima e la temperatura minima, nel giorno considerato? Scrivi i calcoli che hai fatto.

b. Qual è la temperatura media TM relativa alle misure riportate in tabella? Scrivi

(38)

38

Domanda numero 8: “La gara di ballo”

La domanda in questione fa riferimento alle conoscenze richieste al termine dell’obbligo d’istruzione, conoscenze contenute rispettivamente nelle Linee Guida e nelle Indicazioni Nazionali: “Dati, loro organizzazione e rappresentazione. Raccogliere, organizzare e rappresentare un insieme di dati […] Valori medi e misure di variabilità. Calcolare i valori medi e alcune misure di variabilità di una distribuzione.”, “Rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le rappresentazioni più idonee […] Definizioni e proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità, nonché uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche”.

E vuole valutare il seguente traguardo da raggiungere al termine dell’obbligo d’istruzione: “Rappresenta, elabora, analizza e interpreta dati per descrivere situazioni e individuare caratteristiche di un fenomeno o di una situazione, eventualmente anche allo scopo di produrre ipotesi e prendere decisioni”.

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39 Lo scopo degli item a e b è leggere un diagramma a barre e determinare il numero totale di unità statistiche, quello dell’item c è calcolare una media pesata.

Item Corrette Errate Mancate D15_a 65.3% 29% 5.7%

D15_c 24% 23.5% 52.5%

Item A B C D Mancate D15_b 3.4% 39.8% 8.6% 44.8% 3.4%

L’item che ha ottenuto risultati peggiori è il c, per rispondere correttamente bastava conoscere e applicare il concetto di media pesata.

Si noti anche che meno della metà del campione ha risposto correttamente all’item

b, e che la percentuale che ha scelto la risposta B (che indica il numero di coppie

che ha ottenuto esattamente 15 punti) è quasi uguale alla percentuale di chi ha risposto correttamente, ciò mostra una scarsa attenzione nella lettura del testo nonostante il termine “almeno” sia sottolineato nel testo.

Abbiamo deciso di mantenere lo stesso testo chiedendo come sempre di esplicitare il procedimento utilizzato per rispondere all’ultimo item.

Domanda 8

Il grafico rappresenta la distribuzione della frequenza dei punteggi attribuiti da una giuria alle coppie partecipanti a una gara di ballo.

a. Quante coppie hanno partecipato alla gara? b. Quante coppie hanno ottenuto almeno 15 punti? A. 10

B. 6 C. 16 D. 13

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40 c. Qual è la media aritmetica dei punteggi attribuiti dalla giuria? Scrivi il procedimento che hai seguito.