e confronto con le previsioni
In questo Paragrafo presentiamo i risultati numerici ottenuti a seguito del- l’analisi del modello su reticolo in d = 2, relativi al caso Ntot = 2, N↑ = N↓ = 1.
Nel paragrafo precedente abbiamo accennato ad alcuni risultati previsti dagli autori nell’articolo [11] per il caso bidimensionale. Secondo la loro analisi, le propriet`a di scala del sistema in Regime Diluito possono essere classificate a partire dallo studio del caso non interagente. Il carattere di marginalit`a del- la variabile U, per U 6= 0, si manifesta infatti come una debole correzione a quanto si ottiene dallo studio del reticolo per U = 0.
Dedichiamoci quindi alla caratterizzazione del problema in assenza di intera- zione. ´E possibile dimostrare, ricalcando i procedimenti descritti nel Paragrafo (1.4), che le propriet`a del modello su reticolo per U = 0, N↑ = N↓ = 1 e l ≫ a sono completamente descritte dal seguente modello continuo:
ˆ H2d = 1 2p 2 1+ 1 2x 2 1+ 1 2p 2 2+ 1 2x 2 2 (5.11)
L’hamiltoniana (5.11), come per il caso non interagente in d = 1, `e la somma di due hamiltoniane a corpo singolo, ciascuna delle quali descrive il moto di una particella in presenza di un potenziale esterno di natura armonica. Le autofun- zioni dell’operatore (5.11), si ottengono a partire dalle soluzioni del problema di particella singola, che in coordinate polari hanno la seguente struttura nor- malizzata:
ψn, m(x, θ) = Cn, mLn x2 e−x
2/2
χm(θ) (5.12)
dove con Ln(t), con χm(θ) e con Cn, m indichiamo rispettivamente il polino-
mio di Laguerre n-esimo, la soluzioni per la parte angolare dell’operatore di Laplace in coordinate polari ed il coefficiente di normalizzazione della funzione
d’onda complessiva.
Per completezza riportiamo di seguito la forma dei livelli energetici associati agli stati (5.12). In unit`a di ~ω l’autovalore associato al generico stato di par- ticella singola ψn, m(x, θ) ha la seguente struttura:
En, m = 2n + m + 1 (5.13)
Come per il caso unidimensionale, quello che ci aspettiamo `e che le propriet`a che il sistema su reticolo sviluppa in Regime Diluito, per temperature pros- sime allo zero assoluto, siano descritte da quelle dello stato fondamentale del modello hamiltoniano (5.11). Tramite una semplice analisi del modello (5.11) `e possibile dimostrare che la funzione d’onda associata alla configurazione di minima energia `e il seguente stato di singoletto di spin:
ΨGS(x1, θ1; x2, θ2; σ1, σ2) = ψ0, 0(x1, θ1) ψ0, 0(x2, θ2) φS(σ1, σ2) = = 1 πe −x2 1/2e−x22/2φ S(σ1, σ2), (5.14) dove con φS(σ1, σ2) abbiamo indicato ancora una volta la funzione d’onda re-
lativa allo stato di singoletto di spin.
Ci`o che faremo ora `e costruire la funzione di densit`a associata allo stato (5.14) al fine di confrontarla con i risultati dell’analisi numerica condotta sul reticolo. In totale analogia con quanto effettuato nel caso unidimensionale `e possibile determinare la funzione di densit`a associata allo stato fondamentale del siste- ma valutando i seguenti integrali:
ρ (x, θ ; Ntot = 2) = = 2 N2 Z 2π 0 d θ2 Z ∞ 0 x2d x2 Z d σ1d σ2|ψGS(x, θ; x2, θ2; σ1, σ2)|2 (5.15) dove con N2 si indica il fattore di normalizzazione della funzione di densit`a,
definito imponendo la seguente condizione: Z 2π 0 d θ1 Z ∞ 0 x1d x1ρ (x1, θ1; Ntot = 2) = 2. (5.16)
Se si utilizza l’espressione (5.14) nella (5.15) si ottiene l’espressione esplicita per la funzione di densit`a associata allo stato fondamentale del problema (5.11)
ρGS(x1, θ1) =
2 πe
−x2
1/2 (5.17)
La funzione di densit`a (5.17) verr`a utilizzata a breve come profilo di riferi- mento per commentare i dati risultanti dall’analisi numerica del problema su reticolo, relativi all’andamento della densit`a di particelle riscalata.
In d = 2, a fronte dell’analisi riportata nel primo capitolo, `e previsto il seguen- te andamento di scala per la densit`a di particelle:
dove con 2S2 X = x/lθ, Ntot = 1
si indica la funzione di scala della den- sit`a di particelle ρ2d(x, U, Ntot = 2) e con la notazione O(1) si indica l’en-
tit`a logaritmica delle correzioni introdotte dal termine di interazione densit`a- densit`a. Va osservato che, in totale analogia con lo studio condotto nel ca- so unidimensionale sul regime non interagente, ci aspettiamo che la funzione S2 X = x/lθ, Ntot = 1 coincida proprio con la funzione di densit`a (5.17).
Dedichiamoci ora all’analisi dei risultati numerici ottenuti dallo studio del problema su reticolo per d = 2 e L = 49. I dati che abbiamo riportato in Figura (5.1) ed in Figura (5.2) descrivono, rispettivamente, l’andamento nella direzione x = (|x|ˆx, 0) delle curve relative a l2θρ
2d(x, U = 1, Ntot = 2) ed
a l2θρ
2d(x, U = 3, Ntot = 2) per differenti valori della trap-size. Gli andamenti
proposti in queste due figure mostrano effettivamente che i dati hanno raggiun- to il limite di scala e possono essere sfruttati per analizzare la relazione (5.18) e la presenza di un’eventuale dipendenza della densit`a di particelle dal parametro marginale U. A tal fine riportiamo in Figura (5.3) un confronto fra gli an- damenti delle funzioni l2θρ
2d(x, U = 1, Ntot = 2) e l2θρ2d(x, U = 3, Ntot = 2)
per l = 30 e la funzione (5.17), prevista come funzione di scala per il caso non interagente. Come `e possibile osservare in Figura (5.3) l’andamento dei profili riscalati per U 6= 0 risulta esplicitamente dipendente dal valore del parametro U. Come ci aspettiamo il carattere di deviazione dei profili di densit`a rispetto al limite di scala 2S2 X = x/lθ, Ntot = 1 del caso U = 0 aumenta al crescere
del parametro U, ovvero all’aumentare del livello di repulsione fra le particelle presenti sul reticolo. Ci`o che si osserva, in totale analogia a quanto accade nel caso unidimensionale repulsivo, `e che al crescere dell’interazione il profilo di densit`a assume una forma che tende a localizzare le particelle lontano dal punto X = x = 0. La dipendenza esplicita di questo andamento dal valore dell’interazione U non `e per`o ancora chiara ed `e una questione che necessita di approfondimenti ulteriori.
Figura 5.1: In figura sono riportati i risultati ottenuti tramite diagona- lizzazione numerica per il caso di d = 2 ed interazione U = 1. Le curve riportate in figura mostrano l’andamento di scala della funzione l2θρ
2d(x = (|x| ˆx, 0) , U = 1, Ntot = 2) per differenti valori del parametro di
Figura 5.2: In figura sono riportati i risultati ottenuti tramite diagona- lizzazione numerica per il caso di d = 2 ed interazione U = 3. Le curve riportate in figura mostrano l’andamento di scala della funzione l2θρ
2d(x = (|x| ˆx, 0) , U = 3, Ntot = 2) per differenti valori del parametro di
Figura 5.3: In figura sono riportati i risultati ottenuti tramite diagonalizzazione numerica per U = 1 e per U = 3 relativi a l = 30. Gli andamenti sono messi a confronto con l’andamento previsto per la funzione di scala del caso non interagente.
Conclusioni
In questo lavoro abbiamo analizzato un sistema su reticolo d-dimensionale di Fermioni interagenti descritto dal modello di Hubbard, in regime di basse temperature. Il nostro scopo `e stato quello di caratterizzare le propriet`a di scala che il sistema, nel suo stato fondamentale, sviluppa in presenza di un potenziale esterno di tipo armonico. Nel dettaglio, la nostra attenzione `e stata dedicata allo studio del cosiddetto Regime Diluito, regime di bassa densit`a per il sistema che si realizza incrementando il valore del parametro di trappola l, a fissato numero di particelle Ntot. Va osservato che uno studio di questo tipo
pu`o essere utilizzato per analizzare, ad esempio, gli effetti di una trappola ar- monica su di un sistema di atomi fermionici ultrafreddi disposti su un reticolo ottico.
L’analisi che abbiamo presentato, basata su considerazioni valide in dimen- sione arbitraria d, suggerisce che sia possibile classificare le propriet`a di scala del sistema su reticolo in Regime Diluito mediante lo studio di un’equivalente sistema hamiltoniano, definito nello spazio continuo, che si ottiene effettuando una regolarizzazione del modello di partenza per piccoli passi reticolari. Que- sta procedura si `e rivelata particolarmente efficace in dimensione d = 1. In questo caso la nostra analisi ha dimostrato che il limite di scala del modello di Hubbard in presenza di un potenziale armonico, a temperature prossime allo zero assoluto, pu`o essere descritto analizzando le propriet`a del modello di Gaudin-Yang armonico, in particolare analizzando le propriet`a del suo stato fondamentale. Quanto appena detto `e stato verificato effettuando un confron- to diretto fra i risultati numerici, ottenuti mediante la diagonalizzazione esatta del problema su reticolo, e le soluzioni, ottenute per via analitica, del problema di Gaudin-Yang nel caso bilanciato a due corpi, ovvero Ntot = 2,N↑ = N↓ = 1.
Il confronto fra i risultati ottenuti nei due casi ha permesso di confermare la veridicit`a delle relazioni di corrispondenza dedotte tramite la regolarizzazione del modello su reticolo, in particolare di quella fra le costanti di accoppiamento U e g che prescrivono l’intensit`a dell’interazione fra le particelle nei due mo- delli. La relazione di corrispondenza `e la seguente:
g = Ur
mω ~
1/2
dove Ur = Ul1/2 `e la costante di interazione riscalata del problema su reticolo
e con m e ω indichiamo rispettivamente la massa di ciascuna particella e la pulsazione della trappola armonica del problema continuo.
La corrispondenza fra limite di scala del modello di Hubbard in Regime Di- luito ed modello di Gaudin-Yang ci ha inoltre permesso di riconoscere negli andamenti delle funzioni di densit`a del problema su reticolo un fenomeno di Crossover Statistico, parametrizzabile mediante la variabile Ur. In totale ana-
logia con ci`o che accade per il modello di Gaudin-Yang al variare della costante di interazione g, ci`o che abbiamo osservato per il limite di scala del modello di Hubbard armonico risulta del tutto compatibile con un fenomeno di Crossover fra un sistema di Fermioni senza spin (Ur → +∞) e un sistema di molecole bo-
soniche doppiamente cariche (Ur → −∞). Nella regione intermedia (Ur → 0)
il sistema presenta invece un comportamento compatibile con quello di una coppia di gas di Fermi non interagenti.
Gli studi condotti sul modello di Hubbard in Regime Diluito in d = 2 e d = 3 hanno portato a risultati coerenti con le nostre aspettative. Per quanto ri- guarda il caso d = 2, caso in cui la variabile di interazione U ha un carattere marginale, l’analisi numerica condotta sul problema bilanciato a due corpi ha evidenziato che il limite di scala della densit`a di particelle in Regime Dilui- to `e esplicitamente dipendente dal valore di U per cui viene diagonalizzato il modello. Il carattere di dipendenza del limite di scala dalla variabile U non `e per`o ancora chiaro. Questo aspetto del problema potrebbe essere compreso studiando nel dettaglio come la presenza di una variabile marginale influenza le propriet`a di scala di una generica teoria su reticolo.
Per quanto riguarda il caso in d = 3 la regolarizzazione del modello su reticolo ha mostrato, coerentemente con il carattere di irrilevanza della variabile U, che la teoria prevista per descrivere il limite di scala `e una teoria continua per Fermioni non interagenti, sottoposti a confinamento armonico.
[1] GUAN,C.,BATCHELOR,M.,LEE,C.,Fermi gases in one dimension: From Bethe Ansatz to experiments, Rev. Mod. Phys. 85, 1633 (2013). [2] CHIN,C.,GRIMM,R.,JULIENNE,P.,TIESINGA,E.,Feshbach
resonances in ultracold gases, Rev. Mod. Phys. 82, 1225(2010).
[3] CHEN,Q.,STAJIC,J.,TAN,S.,LEVIN,K.BCS-BEC Crossover: From High Temperature Superconductors to Ultracold Superfluids, Physics Reports 412, 1-88 (2005).
[4] BLOCH, I. ,Ultracold quantum gases in optical lattices, Nature Physics 1, 23-30 (2005).
[5] CARDY, J. ,Scaling and Renormalization in Statistical Physics, Cambridge university press (1996).
[6] SACHDEV, S. ,Quantum Phase Transitions, Cambridge university press (2011).
[7] NEGELE,G.,ORLAND,H.,Quantum Many-Particle Systems, Westview Press (2008).
[8] JUNKER,G.,KLAUDER,J.R.,Coherent-state quantization of constrai- ned fermion systems, Eur.Phys.J.C4:173-183 (1998).
[9] CAMPOSTRINI, M.,VICARI, E.,Equilibrium and off-equilibrium trap- size scaling in 1D ultracold bosonic gases, Physical Review A 82, 063636 (2010).
[10] CAMPOSTRINI, M.,VICARI, E.,Trap-size scaling in confined-particle systems at quantum transitions, Phys.Rev. A.81.023606(2010).
[11] ANGELONE, A. ,CAMPOSTRINI, M.,VICARI, E.,Universal quan- tum behaviors of interacting fermions in 1D traps: from few particles to the trap thermodynamic limit, Phys. Rev. A 89, 023635(2014).
[12] GAUDIN,M.,Un systeme a une dimension de fermions en interaction, Phys. Lett. A 24, 55 (1967).
[13] YANG,C.N.,Some Exact Results for the Many-Body Problem in one Di- mension with Repulsive Delta-Function Interaction, Phys. Rev. Lett. 19, 1312 (1967).
[14] CAMPOSTRINI, M.,VICARI, E.,Quantum critical behavior and trap- size scaling of trapped bosons in a one-dimensional optical lattice, Phys. Rev. A 81, 063614 (2010).
[15] ESSLER, F. H. L. ,FRAHM, H. ,G ¨OHMANN, F. ,KL ¨UMPER, A. ,KOREPIN, V. E. ,The One-Dimensional Hubbard Model, Cambridge university press (2005).
[16] LANDAU, L. D.,LIFSHITS, E. ,Quantum Mechanics, Non-Relativistic Theory, Pergamon press (1965).
[17] VIANA-GOMES,J. ,PERES, N M R ,Solution of the quantum harmo- nic oscillator plus a delta-function potential at the origin: The oddness of its even-parity solutions, Eur. J. Phys. 32 1377 (2011).
[18] ABRAMOWITZ, M. , STEGUN, I.,Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications (1965).
[19] CARDY, J. ,Finite-Size Scaling, Elsevier Science Ltd (1988).
[20] IDZIASZEK, Z.,CALARCO, T. ,Two atoms in an anisotropic harmonic trap, Phys. Rev. A 71, 050701(R) (2005).
[21] IDZIASZEK, Z.,CALARCO, T. ,Analytical solutions for the dynamics of two trapped interacting ultracold atoms, Phys. Rev. A 74, 022712 (2006). [22] WODKIEWICZ, K.,Fermi Pseudopotential in arbitrary dimensions,
Phys. Rev. A 43, 68 (1991).
[23] HUANG, K.,YANG, C. N.,Quantum-Mechanical Many-Body Problem with Hard-Sphere Interaction, Phys. Rev. 105, 767 (1957).