Regime infinitamente attrattivo

In questo paragrafo analizzeremo le propriet`a del profilo di densit`a che descrive il regime infinitamente attrattivo α_{→ −∞. Questo rappresenta sicu-} ramente il caso pi`u interessante in cui si possa decidere di studiare il problema del moto relativo. Il profilo di densit`a associato a questo regime pu`o essere

valutato sfruttando il limite dello sviluppo (3.46) associato alla soluzione del problema di moto relativo. L’espressione esplicita della funzione di densit`a `e la seguente: lim α→−∞ρ (x, Ntot = 2; α) = 2 3/2 H0(√x) π1/4 2 e−(√2x)2 ≡ 23/2_S 2( √ 2x, Ntot = 1) (3.57) Riportiamo in Figura (3.7) una rappresentazione del profilo di densit`a (3.57).

Figura 3.7: In Figura `e possibile osservare l’andamento del profilo di densit`a per il caso non interagente 2S2(x; Ntot = 1), descritto dall’equazione (3.57), in

funzione della posizione x.

Il profilo in Figura (3.7) descrive la densit`a di particelle per il caso infinitamen- te attrattivo. In questo regime accade qualcosa di interessante. Si ha infatti che la distanza media fra le particelle tende a zero:

d_−∞≡ lim ν→−∞ R+∞ −∞ d r|r|e−r 2 U2 ₋ν 2, 1 2; r 2
R+∞ −∞ d re−r 2 U2 ₋ν 2, 1 2; r2
= 0 (3.58) Come osservato in (3.47), la densit`a di probabilit`a associata al problema di moto relativo in presenza di un termine di interazione infinitamente attrattivo degenera in una delta di Dirac. Questo regime descrive quindi una condizione di estrema localizzazione per il sistema a due corpi, interpretabile con la forma- zione di uno stato legato bosonico a spin nullo ed energia di legame EB ≈ ν.

I risultati riportati in questo paragrafo sono quindi in accordo con quanto accennato nel Capitolo (1) a proposito del modello di Gaudin-Yang. Al va- riare dell’intensit`a dell’accoppiamento g, quindi di α, il modello sperimenta effettivamente un fenomeno di Crossover Statistico che pu`o essere descritto analizzando le caratteristiche del suo stato fondamentale. Quanto visto in questo paragrafo, in particolare la struttura dei profili di densit`a, verr`a impie- gato nel prossimo Capitolo per verificare a livello esplicito la corrispondenza fra il regime diluito del modello su reticolo ed il modello di GY armonico.

Limite di scala in d=1 e modello GY

4.1

Analisi numerica per d=1 e N

= 2

In questo paragrafo presenteremo uno studio dei dati ottenuti da Massi- mo Campostrini, che in questa sede ringraziamo vivamente, relativi all’analisi numerica delle funzioni di densit`a di particelle per il problema su reticolo in d = 1, con Ntot = 2, N↑ = N↓ = 1 e p = 2. L’analisi che condurremo sar`a fina-

lizzata all’estrapolazione dell’andamento per l → +∞ della funzione di densit`a riscalata lθ_{ρ (x, U}

r, Ntot = 2). Ci`o che faremo sar`a analizzare le diverse fami-

glie di curve, ottenute per Ur fissato, al fine di determinare l’andamento della

corrispondente funzione di scala. Il profilo limite ottenuto per un dato valore ¯

Ur verr`a poi confrontato con la funzione di densit`a dello stato fondamentale

del modello di Gaudin-Yang in corrispondenza del valore ¯g = g( ¯Ur), previsto

mediante l’uso della relazione (2.30).

Prima di procedere con l’analisi vera e propria `e d’obbligo precisare che i risul- tati dell’analisi numerica proposti in questa sezione sono stati ottenuti tramite una diagonalizzazione esatta, nella base degli stati a due particelle, del proble- ma agli autovalori associato all’hamiltoniana di Hubbard (2.1). Supponiamo ad esempio di voler diagonalizzare la (2.1) nella base degli stati a due particel- le. Seguendo la notazione proposta nel Capitolo (1) esplicitiamo la forma di un generico stato a due particelle non polarizzato, cio`e uno stato a due corpi in cui i fermioni coinvolti sono a spin opposto. Questi stati si ottengo agendo con due operatori di creazione sullo stato di vuoto per il reticolo:

ˆ

C_{j, σ}† _jCˆ_{l, σ}† _{l|Ωi ≡ |j, σ}j; l, σli (4.1)

Il bra corrispondente al ket (4.1) ha la seguente forma:

hΩ| ˆCl, σlCˆj, σj ≡ h l, σl; j, σj| (4.2)

Dalle due espressioni (4.1) e (4.2), supponendo che lo stato di vuoto |Ωi sia normalizzato, segue che per due stati generici si ha la seguente relazione di ortogonalit`a:

h m, σm; n, σn|a, σa; b, σbi = δn, aδσn, σaδm, bδσb, σm− δm, aδn, bδσm, σaδn, σb

(4.3) Gli stati che ci interessano per l’analisi del modello non polarizzato sono quelli della seguente forma:

ˆ

C_j†_{, ↓}Cˆ_l†_{, ↑|Ωi ≡ |j, ↓; l, ↑i ≡ |j, li} (4.4) La scelta di porre nella (4.4) l’operatore per la particella a spin up a destra di quella a spin down `e una pura convenzione. In ogni caso va osservato che i due stati ˆ C_j†_{, ↓}Cˆ_l†_{, ↑}|Ωi e ˆ C_l†_{, ↑}Cˆ_j†_{, ↓}|Ωi

sono connessi da un solo fattore moltiplicativo (un fattore ₋₁₎ ˆ

C_j†_{, ↓}Cˆ_l†_{, ↑|Ωi = − ˆ}C_l†_{, ↑}Cˆ_j†_{, ↓|Ωi} (4.5) e ne consegue che nel valutare gli elementi di matrice di un operatore questi due stati portano contributi che al pi`u possono differire per un segno.

In dimensione d = 1, per una catena reticolare con L siti, il numero di stati distinti che si possono costruire seguendo la convenzione della (4.4) `e L2_{. Se}

invece per esempio si considerasse il caso di un reticolo quadrato di uguale spigolo, si avrebbe a che fare con un numero di stati a due corpi dell’ordine di L4_{. In maniera piuttosto semplice si ricava che per un reticolo ipercubico}

in dimensione d si hanno L2d _{stati di base a due corpi. Questa crescita espo-}

nenziale del numero degli stati di base riduce drasticamente le possibilit`a di analisi a livello numerico. Immaginiamo infatti di poter decomporre lo stato fondamentale del problema unidimensionale nella base degli stati a due parti- celle cos`ı come segue:

|GSi =X

a, b

αa, bCˆa†_{, ↓}Cˆb†_{, ↑}|Ωi, (4.6)

dove i coefficienti αa, b non sono altro che i coefficienti di Fourier dello stato

fondamentale rispetto alla base degli stati a due particelle. Per determinare i coefficienti αa, b`e necessario diagonalizzare la matrice associata all’hamiltonia-

na (2.1) nella base degli stati (4.4), ovvero un oggetto di dimensione oggetto L2_{× L}2_{. Il fatto di voler caratterizzare lo stato (4.6) in Regime Diluito com-}

plica ulteriormente la questione perch´e fissa restrizioni sul parametro L. Al crescere del parametro di trappola l `e infatti necessario prendere in considera- zione valori di L che siano sufficientemente grandi da tener conto del graduale deconfinamento del sistema e soprattutto che rendano trascurabili tutti gli ef- fetti correttivi che emergono a causa della dimensione finita del reticolo (effetti di Finite-Size scaling [19]). Questo significa che nel condurre un’analisi sensata

del sistema per l crescente si ha a che fare con matrici ad un numero di entrate sempre maggiore, quindi pi`u difficili da diagonalizzare. Questo fatto limita sensibilmente l’analisi che si pu`o condurre in dimensione d > 1, in quanto il numero di entrate della matrice associata all’hamiltoniana `e L4d _{e si ha a che}

fare con matrici estremamente grandi anche per piccoli valori del parametro di trappola l.

Con queste premesse, riportiamo nel seguito di questo Capitolo i risultati ot- tenuti per il caso unidimensionale. Nel prossimo Capitolo saranno presentati alcuni risultati a proposito delle propriet`a di scala della funzione di densit`a a due particelle, relativi al caso in dimensione d = 2. Come vedremo, i valori del parametro di trappola presi in considerazione nell’analisi del reticolo quadrato sono sensibilmente pi`u piccoli di quelli considerati nello studio della catena unidimensionale.