In questo paragrafo ci occuperemo della verifica definitiva della corrispon- denza fra il modello su reticolo in regime diluito ed il modello continuo. Per fare ci`o effettueremo un confronto fra i profili di densit`a risultati dall’analisi numerica condotta sul modello su reticolo e i profili costruiti a partire dalle soluzioni del modello di Gaudin-Yang, supponendo esatta la relazione (2.30). Per comodit`a riesprimiamo la (2.30) in termini del parametro α. La relazione cui si arriva in questo caso `e la seguente:
α = α (Ur) = Ur √ 2 m ~2 = Ur 2√2t (4.7)
La (4.7) ci permette di confrontare i risultati per il modello su reticolo con i ri- sultati nel continuo. Va precisato che i dati ottenuti per via numerica a nostra disposizione sono relativi al caso t = 1, quindi la relazione (4.7) si semplifica ulteriormente e assume la seguente struttura:
α = Ur
Come detto nel paragrafo precedente, i dati a nostra disposizione sono relativi ai seguenti valori dell’interazione riscalata Ur:
Ur = 100 Ur = 10 Ur =−10 Ur =−100 (4.9)
Per quantificare la bont`a delle nostre previsioni, per ognuno dei quattro valori proposti in (4.9) valuteremo la seguente quantit`a:
R(Ur, X = 0 ; Ntot = 2)
ρGY (0, α (Ur))
, (4.10)
dove R(Ur, X = 0 ; Ntot = 2) indica il valore numerico che assume ρ (0; Ur, l) lθ
per l → ∞ e la quantit`a ρGY (0, α (Ur)) indica invece il valore della funzione di
densit`a per il modello continuo nell’origine, nell’ipotesi in cui si assuma esatta la relazione (2.30). In caso di effettiva corrispondenza fra le due teorie, i profili costruiti con le soluzioni del modello di Gaudin-Yang coincidono con i risultati ottenuti per il limite di scale su reticolo ed il rapporto (4.10) assume valore unitario. Per stabilire quindi se i due modelli sono compatibili, valuteremo, per ciascuno dei valori presenti in (4.9), quanto il rapporto (4.10) si discosta dal valore unitario.
Ricaviamo, per prima cosa, i valori per la R(Ur, X = 0 ; Ntot = 2). Questi
possono essere ricavati tramite un’analisi dei valori che assume la densit`a ri- scalata al variare del parametro l, per x = 0 e Ur fissato. L’estrapolazione
di tali valori `e stata effettuata tramite un confronto fra i risultati dell’analisi numerica e la relazione (1.50), che descrive la dipendenza dal parametro di trappola delle correzioni alla funzione di scala della densit`a di particelle. Si riportano di seguito in Tabella (4.1) i risultati del confronto fra l’anda- mento estrapolato per R(Ur, X = 0 ; Ntot = 2) per i differenti valori di Ur ed
il valore per la funzione di densit`a corrispondente al parametro di interazione α (Ur), ricavato sfruttando la relazione (4.8). In tabella `e riportato anche la
deviazione dal valore unitario del rapporto (4.10) per tutti e quattro i valori di Ur riportati in (4.9).
Riportiamo di seguito in Figura (4.5), Figura (4.6), Figura (4.7) e Figura (4.8) il confronto fra gli andamenti delle famiglie di profili di densit`a ottenuti, a Ur fissato, per diagonalizzazione esatta del problema su reticolo e
le curve di densit`a previste usando la relazione (4.8).
I risultati riportati in questo paragrafo sostengono in maniera indiscutibile la corrispondenza fra il modello di continuo ed il limite di scala del problema su reticolo. Alla luce di questo risultato possiamo quindi affermare non solo che il modello di Hubbard in Regime Diluito sviluppa un comportamento di scala caratterizzabile tramite l’analisi del modello di Gaudin-Yang, ma anche che le propriet`a delle sue funzioni di densit`a per valori della trap-size l molto maggiori del passo reticolare del sistema, rivelano che il sistema su reticolo sperimenta un fenomeno di Crossover Statistico totalmente caratterizzabile
Ur R(Ur, X = 0 ; Ntot = 2) ρGY (0, α (Ur)) 1 − R(Ur, X=0 ;Ntot=2) ρGY(0,α(Ur)) 100 0.584833 0.584833 < 10−6 10 0.749385 0.749385 < 10−6 -10 1.53935 1.53935 < 10−6 -100 1.59563 1.59510 3· 10−4
Tabella 4.1: In tabella sono riportati i valori della funzione di scala per la den- sit`a di particelle R(Ur, X = 0 ; Ntot = 2) nell’origine e i valori ρGY (0, α (Ur))
delle corrispondenti funzioni di densit`a definite nel continuo. I valori delle ρGY (0, α (Ur)) sono stati calcolati assumendo corretta la relazione (4.8), che
prescrive il legame fra i parametri α e Ur.
Figura 4.5: In figura sono riportati i dati relativi ai profili di densit`a risca- lata per Ur = 100 e la curva ρGY (X, α (Ur = 100)) (puntini rossi). Il valore
α (Ur = 100) `e stato stimato tramite l’uso della relazione (4.8).
tramite il parametro di interazione Ur, in totale analogia con quanto osservato
Figura 4.6: In figura sono riportati i dati relativi ai profili di densit`a risca- lata per Ur = 10 e la curva ρGY (X, α (Ur = 10)) (puntini rossi). Il valore
α (Ur = 10) `e stato stimato tramite l’uso della relazione (4.8).
Figura 4.7: In figura sono riportati i dati relativi ai profili di densit`a riscala- ta per Ur = −10 e la curva ρGY (X, α (Ur =−10)) (puntini rossi). Il valore
Figura 4.8: In figura sono riportati i dati relativi ai profili di densit`a risca- lata per Ur = 100 e la curva ρGY (X, α (Ur = 100)) (puntini rossi). Il valore
Analisi del problema in dimensione
d > 1
5.1
Regolarizzazione del modello di Hubbard
armonico in d = 2 e d = 3
Nei capitoli precedenti abbiamo analizzato le propriet`a che un sistema reti- colare unidimensionale, descritto dal modello di Hubbard, sviluppa in presenza di un potenziale confinante di tipo armonico. La nostra attenzione `e stata de- dicata allo studio del caso di debole confinamento, caso che abbiamo indicato con il nome di Regime Diluito. L’analisi condotta sul sistema e basata sul for- malismo del Trap-Size Scaling ci ha permesso di fornire una caratterizzazione, nel limite di grande parametro di trappola l, delle propriet`a del caso sempli- ficato a due corpi bilanciato. Nel Capitolo (2), in particolare nel Paragrafo (2.1.1), abbiamo mostrato che nel limite l → +∞ `e possibile effettuare una regolarizzazione del problema su reticolo che porta ad identificare il modello in Regime Diluito con un modello definito nel continuo che abbiamo riscontrato essere il modello di Gaudin-Yang. `E possibile estendere l’analisi condotta nel caso di reticolo unidimensionale ai casi in dimensione d > 1? In questo Capi- tolo cercheremo di rispondere proprio a questa domanda.
Partiamo dal modello hamiltoniano con cui `e descrivibile il sistema e conside- riamo quali siano le principali differenze rispetto al caso d = 1. Il modello da regolarizzare `e il seguente: ˆ H = − tX hj,ii X σ=↑,↓ ˆC† jσCˆiσ + ˆCi†σCˆjσ + UX j ˆ nj↑nˆj↓+ − µX j X σ ˆ njσ+ X j X σ=↑,↓ |j|2v2 2 nˆjσ, (5.1)
dove t, U, µ e v indicano indicano le stesse quantit`a del caso unidimensionale e gli operatori ˆCj†σ, ˆCjσ, ˆnjσ sono la generalizzazione al caso d-dimensionale degli
operatori di seconda quantizzazione relativi al sito reticolare j = (j1, · · · , jd)
e alla polarizzazione di spin σ.
Regime Diluito possono essere classificate studiando le caratteristiche di un’e- quivalente teoria di campo classica definita in uno spazio continuo in d + 1 dimensioni. Lo studio delle propriet`a di scala di questa teoria, ovvero la (1.29), ci ha condotto ai risultati riportati in (1.34) ed in (1.37). Quello su cui voglia- mo soffermarci `e il risultato per la dimensione del GR associato al parametro di interazione U, che nel passaggio alla teoria continua viene mappato in u. Il risultato ottenuto `e il seguente:
yu = 2− d (5.2)
Per gli studi che vogliamo condurre in questa sezione del lavoro, ovvero l’anali- si del caso d > 1, la (5.2) identifica un carattere di marginalit`a per la variabile di scala associata ad U nel caso d = 2 ed un carattere di irrilevanza per d > 2. La situazione risulta quindi ben differente rispetto al caso unidimensionale, caso in cui la presenza della variabile rilevante Ur = Ulθ porta allo sviluppo
del fenomeno di Crossover Statistico descritto nei Capitoli precedenti.
Le previsioni a proposito di questo regime, sono ad esempio riportate nel- l’articolo [11]. Gli autori hanno previsto che per questi due casi di studio la presenza del termine proporzionale ad U presente in (5.1) porti ad effetti misu- rabili sull’andamento delle funzioni di scala solamente nel caso d = 2. Secondo la loro analisi, la marginalit`a della variabile U nel caso d = 2 introduce deboli correzioni all’andamento di scala che in prima approssimazione `e descritto da un modello bidimensionale continuo di Fermioni non interagenti immersi in un potenziale armonico. Nel caso d = 3 si `e stato previsto invece che le propriet`a di scala del sistema in Regime Diluito, a causa del carattere di irrilevanza della variabile di scala associata all’accoppiamento U, siano direttamente descrivi- bili tramite lo studio di un modello continuo tridimensionale per un insieme di Fermioni non interagenti, immersi in un potenziale armonico.
Le considerazioni a proposito delle propriet`a di scala del modello (5.1) in d = 2 e d = 3 sono sostenute da quanto si ottiene effettuando una regolarizzazione del problema su reticolo che ripercorre le idee presentate nel Paragrafo (2.1.1). L’unica sostanziale differenza rispetto al caso unidimensionale risiede nella de- finizione degli operatori di campo. In totale analogia con la relazione (2.7), `e possibile definire gli operatori per il problema in dimensione d nel modo se- guente: Ψσ†(x) = lim a→0 ˆ Cj†σ ad/2 Ψσ(x) = lim a→0 ˆ Cjσ ad/2 (5.3)
dove con x si intende il vettore a d componenti x = (aj1,· · · , ajd).
Osserviamo che nella (5.3), come per il caso unidimensionale, il limite a→ 0 va effettuato mantenendo fisse tutte le quantit`a fisicamente rilevanti del proble- ma, come la posizione delle particelle e la lunghezza dello spigolo del reticolo ipercubico che si sta studiando. Seguendo le stesse prescrizioni riportate nel Paragrafo (2.1.1) si scopre che, nell’effettuare la procedura di regolarizzazio- ne del modello, `e necessario introdurre una forma regolarizzata, Ud , per la
costante di interazione U, dipendente esplicitamente dalla dimensione d. L’a- nalisi mostra che fra le due costanti intercorre la seguente relazione:
Uregd = Uad−2 (5.4) Osserviamo che la relazione (5.4) suggerisce che la regolarizzazione del model- lo su reticolo, ottenuta nel limite a → 0, sia dipendente esplicitamente dalla presenza del termine densit`a-densit`a presente su reticolo, solamente per d≤ 2. La struttura dell’hamiltoniana che descrive la regolarizzazione del modello su reticolo (5.1) `e in generale la seguente:
ˆ Hdreg = X σ Z ddx Ψσ†(x) −~ 2 2m∆d Ψσ(x) + 1 2 X σ vreg2 Z ddx Ψσ†(x)|x|2Ψσ(x) + + ¯Uregd Z ddx Z ddy Ψσ†(x) Ψσ(x) δ (x− y) Ψσ†(y) Ψσ(y) , (5.5) dove con ∆dsi indica l’operatore di Laplace in dimensione d, con ¯Uregd si indica
il limite per a → 0 dell’accoppiamento regolarizzato Ud
reg e con δ (x− y) si
indica l’espressione della δ di Dirac in dimensione d.
Nel dettaglio abbiamo che nel caso d = 2 il modello hamiltoniano che descrive il limite di scala del sistema `e il seguente:
ˆ H2 reg = X σ Z d2x Ψσ†(x) − ~ 2 2m∆2 Ψσ(x) + 1 2 X σ v2reg Z d2x Ψσ†(x)|x|2Ψ σ(x) + + U Z d2x Z d2y Ψσ†(x) Ψσ(x) δ (x− y) Ψσ†(y) Ψσ(y) , (5.6) che secondo le relazioni fra prima e seconda quantizzazione presentate in (2.1.2) rappresenta l’espressione in seconda quantizzazione di un modello hamitonia- no che descrive la dinamica di un sistema di Fermioni soggetti a confinamento armonico ed intergenti tramite un termine locale a δ di Dirac.
Nel caso d = 3 il modello hamiltoniano che descrive il limite di scala del siste- ma `e il seguente: ˆ H3 reg = X σ Z d3x Ψσ†(x) − ~ 2 2m∆3 Ψσ(x) + X σ vreg2 Z d3x Ψσ†(x)|x|2Ψ σ(x) , (5.7) che rappresenta l’espressione in seconda quantizzazione di un sistema tridi- mensionale di Fermioni non interagenti, soggetti a confinamento armonico. Le espressioni dei modelli (5.6) e (5.7) sembrano quindi sostenere le previsioni per l’andamento di scala proposto dagli autori nell’articolo [11]. La verifica dell’ipotesi di corrispondenza fra il limite di scala del modello (5.1) ed i mo- delli continui associati alle teorie (5.6) e (5.7) resta per`o un problema aperto. Le problematiche connesse ad uno studio di questo genere sono molteplici e di diversa natura. In primo luogo, secondo quanto presentato nel paragrafo
(4.1), l’analisi numerica del Regime Diluito persino nel caso semplificato a due corpi bilanciato `e un problema la cui complessit`a cresce esponenzialmente con la dimensione d in cui sia analizza il reticolo. L’analisi numerica del caso bi- lanciato a due corpi in d > 1 `e stata possibile esclusivamente per d = 2 e ha condotto ad alcuni risultati che presenteremo nel prossimo Paragrafo.
Per quanto riguarda l’analisi delle teorie continue associate ai modelli (5.6) e (5.7) nel caso a due corpi bilanciato, il problema che si presenta `e esattamente l’opposto del caso numerico. Consideriamo i due modelli hamiltoniani che nel formalismo della prima quantizzazione sono associati alle regolarizzazioni (5.6) e (5.7). In d = 3 il modello da considerare `e il seguente:
ˆ H3d =− ~ 2 2m∆1− ~2 2m∆2+ 1 2mω 2 x2 1+ x22 . (5.8)
Il modello hamiltoniano (??) descrive la dinamica di una coppia di particelle identiche soggette ad un confinamento esterno di tipo armonico. Il problema agli autovalori associato all’operatore (??) `e un problema studiato in quasi ogni testo di Meccanica Quantistica ed una sua analisi in questa sede non porterebbe a nessun risultato notevole. Il modello hamiltoniano associato alla regolarizzazione (5.6) `e invece il seguente:
ˆ H2d =− ~ 2 2m∆1− ~2 2m∆2+ 1 2mω 2 x2 1+ x22 + Uδ (x1− x2) (5.9)
La risoluzione del problema agli autovalori associato all’hamiltoniana (5.9) non `e una questione banale ed in questa sede ci limiteremo esclusivamente a propor- re un metodo che potrebbe risultare efficace per fornirne una caratterizzazione. La discussione di un problema analogo a quello descritto dalla (5.9) `e riportata negli articoli [20] e [21], lavori in cui gli autori sfruttano la generalizzazione in dimensione d = 3 del modello hamiltoniano (5.9) per studiare la dinamica di una coppia di atomi ultrafreddi interagenti, immersi in un potenziale esterno di natura armonica. I problemi che si presentano nella caratterizzazione del sistema in dimensione d = 2 sono della stessa natura di quelli che emergono studiando la dinamica in dimensione d = 3 e sono strettamente legati alla forma del potenziale mediante cui interagiscono le particelle. Va infatti osser- vato che a differenza del caso unidimensionale in cui un termine locale a δ di Dirac porta ad una discontinuit`a della derivata prima della funzione d’onda del problema del moto relativo, in d > 1 esso introduce delle vere e proprie singolarit`a nell’andamento delle soluzioni. La natura di queste singolarit`a di- pende, ancora una volta, dalla dimensione d in cui si considera il problema. Come discusso in [21], un metodo per superare il problema della presenza di singolarit`a nella funzione d’onda e che potrebbe rivelarsi efficace anche per l’analisi che vogliamo condurre riguardo le propriet`a di scala del modello (5.1) in Regime Diluito nel caso bilanciato a due particelle, `e quello della regolariz- zazione dell’interazione a δ di Dirac. Il processo di regolarizzazione `e basato sull’idea di estendere l’operatore che regola l’interazione fra le particelle ad un oggetto che renda trascurabile la singolarit`a della soluzione del problema. La regolarizzazione che possiamo utilizzare per una futura analisi del problema in
dimensione d = 2 `e la seguente ([21],[22],[23]): V2d(r) = Uδ(r)→ VReg2d (r) =− π~ 2 µ∗ln(ka2d)δ(r) 1− ln(Akr) ∂ ∂r , (5.10) dove con r si indica il modulo del vettore r, con µ∗ si indica la massa ridotta
del sistema a due corpi, con k2 = 2Erelµ∗
~2 si indica il modulo quadro del vetto-
re d’onda associato al valore Erel dell’energia del problema di moto relativo,
con A = exp[γ]/2, con γ costante di Eulero-Mascheroni e con a2d si indica
la lunghezza di scattering associata al problema in onda-s, che si suppone sia l’unico autostato del momento angolare a poter contribuire alla dinamica per temperature prossime allo zero assoluto.
Dedichiamoci ora all’analisi dei risultati numerici ottenuti dallo studio del mo- dello (5.1) in d = 2, nel caso bilanciato a due corpi.