Analisi pushover

L’analisi pushover o analisi di spinta è una procedura statica non lineare impiegata per determinare il comportamento di una struttura a fronte di una determinata azione (forza o spostamento) applicata6_.

Tale analisi consiste nell’applicare all’edificio i carichi gravitazionali ed un sistema di forze orizzontali che, mantenendo invariati i rapporti relativi tra le forze stesse, vengono tutte scalate in modo da far crescere monotonamente lo spostamento orizzontale di un punto di controllo della struttura fino al raggiungimento delle condizioni ultime7_.

La struttura viene “spinta” fino a che questa collassa o un parametro di controllo di deformazione non raggiunge un valore limite prefissato. L’analisi di spinta consente di definire un legame scalare forza-spostamento, caratteristico del sistema studiato, detto curva di capacità.

Tale curva viene poi convertita in un nuovo diagramma, riferito ad un modello elementare equivalente (curva o spettro ADRS) in cui sono messi in relazione l’accelerazione che subisce la struttura e lo spostamento disponibile dalla stessa. Sullo stesso spettro è possibile leggere la domanda di spostamento richiesta dal sisma, ancora una volta in termini di accelerazione e spostamento.

Per poter confrontare la capacità della struttura con la domanda sismica si deve apportare una conversione della curva del sistema a più gradi di libertà (MDOF) all’interno dello spettro ADRS. In primo luogo, si deve tradurre il modello complesso a n gradi di libertà in un oscillatore semplice. Nel caso di sistemi a singolo grado di libertà (SDOF) l’analisi pushover è particolarmente intuiva. Un sistema SDOF può essere idealizzato come una massa concentrata m sorretta da un elemento privo di massa con rigidezza laterale k e collegato ad un elemento (privo di massa e rigidezza) responsabile dello smorzamento. La configurazione deformata del sistema è definita, quindi, da un unico parametro che può identificarsi nello spostamento relativo della massa rispetto al suolo.

6 _{http://www.geostrutture.eu/images/download/adeguamentosismico/pusch.pdf?fbclid=IwAR046jq53p2}

EBKc4ZlP5yu_9PNWb1RwnM9IQgepSNEkFZhvbC3gVuwWTMbU

7 _{http://www.dica.unict.it/users/aghersi/AggProfess/Corsi3274/Teramo/Altro/Sismica_Pushover.pdf?fbcli}

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Per poter determinare le caratteristiche del sistema SDOF a comportamento bilineare partendo da quello SDOF si deve calcolare il fattore di partecipazione modale attraverso la relazione:

𝛤 = 𝜑

𝑡_{∙ [𝑀] ∙ 𝜏} 𝜑𝑡_{∙ [𝑀] ∙ 𝜑} con

𝜏: vettore di trascinamento corrispondente alla direzione del sisma considerata; 𝜑: modo di vibrare fondamentale del sistema reale

M: matrice di massa del sistema reale

Dopo aver determinato tale fattore, si deve costruire la curva F*-d* del sistema SDOF scalando la curva di pushover del sistema reale secondo i seguenti parametri:

F* = 𝐹𝑏

𝜏 ; d* = 𝑑𝑐

𝜏

Sulla curva si vanno ad individuare i punti corrispondenti al valore di resistenza Fbu e il valore dello

spostamento corrispondente allo snervamento, ovvero nel passare dal comportamento elastico a quello plastico: Fy* = 𝐹𝑏𝑢 𝜏 ; dy* = 𝐹𝑦∗ 𝑘∗

k* rappresenta la rigidezza secante scelta in modo da eguagliare l’area sottesa della curva bilineare con quella della curva lineare.

Il periodo proprio del sistema S.D.O.F viene definito come:

T* = 2𝜋 ∙ √𝑚_𝑘∗∗

dove: m* = ∑𝑚𝑖=1𝑚𝑖∙ 𝜑𝑖 è la massa associata al primo modo di vibrare.

Una volta che si determina la curva equivalente, è possibile determinare la domanda massima in termini di spostamento, attraverso l’utilizzo dello spettro di risposta elastico:

Nel caso in cui: T* ≥ Tc → dmax* = de,max* = SDe(T*)

Nel caso in cui: T* < Tc → dmax* =

𝑑_{𝑒,𝑚𝑎𝑥} 𝑞∗ [1 + (𝑞 ∗_{− 1)}𝑇𝑐 𝑇∗] ≥ de,max dove: q* = 𝑆𝑒(𝑇_𝐹∗)𝑚∗ 𝑦∗

q* = rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente.

Per poter passare dallo spettro di risposta in termini di accelerazione a quello in termini di spostamento si utilizza tale relazione:

SDe(T*) = SAe(T*) ∙ (𝑇

∗

2𝜋) 2

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dmax =𝛤 𝑑max*

Una volta che si conosce la capacità e la domanda si può procedere con la verifica della struttura andando a determinare il rispettivo indice di vulnerabilità sismica.

INDICE DI RISCHIO (IR)

La curva di capacità di un edificio in muratura presenta un andamento a gradoni in cui ogni interruzione rappresenta il raggiungimento del collasso di un elemento strutturale. La norma consiglia di non interrompere l’analisi all’innescarsi del primo collasso ma di andare avanti, ammettendo lo svolgimento di un’analisi a più collassi. Questo perché un elemento in muratura, pur raggiungendo il valore massimo di deformazione ammesso dal materiale, possiede una capacità resistente e deformativa che può essere ancora sfruttata in fase di verifica.

L’Indice di Rischio (o di vulnerabilità sismica) è un valore che rappresenta lo stato di rischio di un edificio esistente nei confronti dell’azione sismica ed è necessario per prevedere eventuali interventi di miglioramento o adeguamento sismico.

Tale indice viene definito come il rapporto tra la capacità strutturale e la domanda sismica in termini di accelerazione.

IR = 𝑃𝐺𝐴𝑆𝐿𝑉

𝑃𝐺𝐴𝐷𝐿𝑉

Dove:

-𝑃𝐺𝐴𝑆𝐿𝑉 è l’accelerazione orizzontale massima su sito di riferimento rigido orizzontale che può essere sostenuta dall’edificio rispettando lo SLV;

- 𝑃𝐺𝐴𝐷𝐿𝑉 è l’accelerazione orizzontale massima su sito di riferimento rigido orizzontale che ha il 10% di probabilità di essere superata in un tempo pari al periodo di riferimento dell’opera.

Dal punto di vista grafico, tale valore si può spiegare confrontando la curva di capacità della struttura con lo spettro di domanda sismica. Per avere un valore dell’indice maggiore a 1, la curva di capacità deve superare lo spettro di domanda e quindi l’edificio può essere considerato sismicamente adeguato; se invece la curva di capacità si arresta prima di incontrare lo spettro, allora l’indice ha un valore minore di uno e quindi l’edificio risulta essere deficitario nei confronti della forza sismica.

Nel diagramma ADRS, il punto in cui si ha l’intersezione della curva di capacità con lo spettro di risposta è definito “performance point”. Tale punto rappresenta la condizione ideale in cui la domanda e la capacità della struttura coincidono.

L’indice di vulnerabilità sismica può essere valutato sia in termini di accelerazioni di picco al suolo sia in termini di tempo di ritorno.

Per realizzare un’analisi statica non lineare, la normativa al capitolo 7.3.4.2 impone di considerare almeno due distribuzioni di forze d’inerzia, ricadenti l’una nelle distribuzioni principali (Gruppo 1) e l’altra nelle distribuzioni secondarie (Gruppo 2) appresso illustrate.

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- se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75% si applica una delle due distribuzioni seguenti:

- distribuzione proporzionale alle forze statiche, utilizzando come seconda distribuzione la a) del Gruppo 2,

- distribuzione corrispondente a un andamento di accelerazioni proporzionale alla forma del modo fondamentale di vibrare nella direzione considerata;

- in tutti i casi può essere utilizzata la distribuzione corrispondente all’andamento delle forze di piano agenti su ciascun orizzontamento calcolate in un’analisi dinamica lineare, includendo nella direzione considerata un numero di modi con partecipazione di massa complessiva non inferiore allo 85%. L’utilizzo di questa distribuzione è obbligatorio se il periodo fondamentale della struttura è superiore a 1,3 TC.

Gruppo 2 - Distribuzioni secondarie:

a) distribuzione di forze, desunta da un andamento uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione;

b) distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto di controllo in funzione della plasticizzazione della struttura;

c) distribuzione multimodale, considerando almeno sei modi significativi.

Nell’analisi pushover un valore da tenere in considerazione è il fattore q* che rappresenta il rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente. Un’analisi pushover è valida se tale valore è minore o uguale a 3. L’obiettivo di tale limitazione è quello di limitare la capacità duttile della struttura, per garantire un comportamento più vicino alla realtà.