Applicazione del modello matematico

β (3.12)

questa è l'unica soluzione del sistema lineare, inoltre tramite la (3.12) viene definito il vettore dei residui per il rispondente i-esimo:

i i i U X

β

ε

_{ˆ = −} ˆ _(3.13)

che costituisce una stima degli errori non osservabili

ε

i.

3.2.3 Applicazione del modello matematico

La stima delle funzioni di utilità individuali (utilità dei fattori e dei relativi livelli per ciascun intervistato) è stata fatta direttamente a partire dai giudizi di valutazione globale, espressi da ciascun rispondente (punteggio assegnato – rating) in relazione a 16 dei 20 profili sottoposti a questionario (4 profili rappresentano gli holdout che hanno la sola funzione di validare il modello) con la tecnica della regressione lineare multipla basata sulle variabili dummy.

L’utilità di un fattore presente all’interno di un profilo, è data dall’utilità stimata del livello con cui tale fattore si presenta all’interno del profilo stesso. Ad esempio l’utilità del fattore “origine” all’interno del profilo 1 è data dall’utilità che il software SPSS ci stima per il livello “italiano” in relazione ad un intervistato.

I livelli dei fattori sono espressi in funzione di variabili dummy ytkl ( i livelli sono indicati con l = 1,2,3 per k =1,2,5 e l = 1,2 per k = 3,4, mentre F = 5 sono i fattori quali/quantitativi) con codifica binaria definite nella (3.7):

tkl

y = 1 se nel profilo è presente il livello alla cui dummy si riferisce; 0 altrove.

k Attributi Livelli

l 1 2 3

1 ORIGINE italiano comunitario non comunitario

2 FRUTTATO intenso medio leggero

3 indicazione ANNATA DI PRODUZIONE presente assente -

4 indicazione “NON FILTRATO” assente presente -

5 PREZZO/Litro € 4 € 7 € 10

Il modello di regressione di utilità totale, stimato per il singolo rispondente (sono stati stimati tanti modelli quanti sono i rispondenti) è, in notazione algebrica e con simbolismo matriciale come indicato nell’equazione (3.10),

dove: i

U = è il vettore colonna, di dimensioni 16x1, dei punteggi di valutazione osservati per un generico rispondente i;

X = è la matrice di dimensione 16x13, del piano sperimentale, cioè delle variabili indicatrici delle variabili indipendenti;

i

β

= è il vettore colonna di dimensione 13x1, dei coefficienti incogniti, cioè delle utilità dei livelli dei diversi fattori (wikl)

i

ε

= è il vettore colonna di dimensione 16x1 dei residui osservati per un generico rispondente i. Il sistema di equazioni normali associato alla formula (3.10) risulta indeterminato, essendo la matrice X del piano sperimentale singolare. Per rendere risolvibile il sistema è stata introdotta una condizione complementare (De Luca, 2004) ovvero è stato soppresso, con scelta arbitraria, un livello per ciascun fattore e posto uguale a zero il corrispondente coefficiente (nel caso in esame è stato eliminato l’ultimo livello per ogni fattore corrispondente all’ultima colonna).

Nella matrice X è stato soppresso, perciò, un numero di colonne pari al numero di fattori.

Eliminando l’ultima colonna in ciascun blocco di variabili dummy, indicatrici della matrice X, si giunge alla matrice del piano sperimentale X0e a

β

i0

Il modello di regressione in forma matriciale si rappresenta ora nel seguente modo: i i i X U = ₀

β

₀ +

ε

(3.14) dove: i

U rappresenta il vettore colonna, di dimensioni 16x1, dei punteggi di valutazione.

0

X è la matrice, di dimensioni 16x8, del piano sperimentale, in cui è stata soppressa la variabile

indicatrice corrispondente all’ultima colonna, in ciascun blocco di variabili dummy.

0

i

β

rappresenta il vettore colonna, di dimensioni 8x1, dei coefficienti incogniti; corrisponde al

vettore delle utilità parziali cercate, per il rispondente i-esimo. i

ε

è il vettore colonna, di dimensioni 16x1, dei residui per il rispondente i-esimo.

Con questo accorgimento, la matrice X0 non risulta più singolare e quindi il vettore delle stime

dei coefficienti cercati, indicato con bisi ricava da questa formula: i

i X X X U

b ( ₀^' ₀)−¹ ₀

=

(3.15)

dove X0^' indica la matrice trasposta diX0, ottenuta sostituendo alle righe di quest’ultima le sue colonne) e (X0^' X₀)−¹

Tesi di dottorato di Alessandro Esposito, discussa presso l’Università degli Studi di Udine

Gli elementi della matrice X0 sono fissi per ciascun rispondente (gli stimoli sperimentali sono

infatti i medesimi per tutti i valutatori), variano invece (normalmente) i valori assunti dalla variabile dipendente Uitche corrispondono ai punteggi di valutazione del generico rispondente i.

Applicando la formula (3.15) ai dati di ciascun rispondente si ottengono i coefficienti di utilità parziale (parth worth) delle modalità dei cinque fattori. Tali coefficienti sono stimati con il principio dei minimi quadrati ordinari, minimizzando cioè la somma dei quadrati degli scarti tra i punteggi assegnati Uit dal rispondente i ed i corrispondenti valori calcolati, o meglio, Uˆitstimati .

Indicando con t, il generico profilo di prodotto, il principio appena illustrato si esprime con la seguente espressione: 2 16 1 ) ˆ ( _{it it} t U U −

∑

= (3.16) dove: it

U indica il valore di punteggio osservato per l’i-esimo rispondente relativamente al profilo t-esimo.

it

Uˆ indica il valore del punteggio osservato, con la funzione di regressione, per l’i-esimo rispondente, sempre relativamente al profilo t-esimo.

Sono state quindi calcolate le componenti di

β

i0, come quelle componenti che minimizzano la

somma dei quadrati degli scarti tra i punteggi Uitassegnati dal rispondente i ed i corrispondenti valori stimati Uˆit.

Con il seguente modello di regressione si è calcolato il punteggio stimato Uˆit dell’ i-esimo rispondente relativo al profilo t:

5 7 41 6 31 5 22 4 21 3 12 2 11 1 0 ˆ _{b b X b X b X b X b X b X b X} U_it = _i + _i + _i + _i + _i + _i + _i + _i (3.17) it

Uˆ indica il punteggio stimato dell'intervistato i in corrispondenza di ciascun profilo t (combinazione di prodotto);

0

i

b è la costante del modello;

11

X e bi1 indicano rispettivamente la variabile di tipo dummy generata dal livello italiano dell'attributo origine ed il coefficiente (effetto) associato a tale livello, per il valutatore i;

12

X e bi2 indicano rispettivamente la variabile di tipo dummy generata dal livello comunitario dell'attributo origine ed il coefficiente (effetto) associato a tale livello, per il valutatore i;

21

X e bi3 indicano rispettivamente la variabile di tipo dummy generata dal livello intenso dell'attributo fruttato ed il coefficiente (effetto) associato a tale livello, per il valutatore i;

22

X e bi4 indicano rispettivamente la variabile di tipo dummy generata dal livello medio dell'attributo fruttato ed il coefficiente (effetto) associato a tale livello, per il valutatore i;

Nel documento LA NUOVA LEGISLAZIONE DEL SETTORE DELL'OLIO EXTRA VERGINE DI OLIVA: ANALISI EMPIRICA DEGLI EFFETTI SULLE PREFERENZE DEI CONSUMATORI ITALIANI (pagine 87-90)