Applicazione di una tensione esterna alla giunzione

= s  N_A+ N_D N_A 2 N_A N_D+ N_A 2_S qN_D^Φi; x_d0 = s  N_A+ N_D N_A  2_S qN_D^Φi

Esprimendo ora la funzione con il concetto di drogaggio equivalente N_eq, definito come somma armonica dei due drogaggi:

Neq = ₁ ¹ NA + _N¹ D = ^NAND N_A+ N_D Si ottiene che: x_d0= s 2S qN_eq^Φi

3.3 Applicazione di una tensione esterna alla

giunzione

Abbiamo finora studiato la giunzione p-n in un caso di equilibrio. Potremmo ora pensare a casi in cui non vi `e equilibrio, poich`e esso viene perturba-to dall’esterno, mediante l’applicazione di una batteria di tensione V_a alla giunzione.

Consideriamo la seguente convenzione: il + della batteria va collegato al lato p, il - della batteria al lato n. I contatti di accesso alla giunzione

saranno metallici (supponiamo ad esempio di oro Au): un accesso ad un semiconduttore (e quindi ad una giunzione) deve essere mediato da un con-tatto ohmico, al fine di poter eliminare resistenze parassite. Avremo a che fare quindi sostanzialmente con tre interfacce, e tre potenziali di contatto. Potremmo dunque ridisegnare il diagramma a bande del nostro sistema Au-Si-Au: supponendo di trovarci in uno stato di equilibrio, il livello di Fermi sar`a ovunque costante. Il metallo non potr`a, a causa della natura fluida del suo mare di elettroni, presentare concavit`a in prossimit`a dei contatti, e quindi solo il diagramma a bande dei semiconduttori potr`a subire curvature. Lontano dalle interfacce, i materiali si comporteranno come isolati.

Cosa possiamo osservare: il metallo Au ha un livello di estrazione supe-riore a quello del silicio; come gi`a detto, il raccordo sar`a solo da parte dei semiconduttori poich`e la natura fluida del mare di elettroni non permette modifiche al materiale. Oltre alla barriera Φ<sub>i</sub>, avremo altre due barriere di potenziale, causate dalla differenza tra i lavori di estrazione. Ogni tensione di contatto si pu`o circuitalmente rappresentare mediante una batteria: il con-tatto Au-Si_p sar`a una tensione positiva rispetto a p su n, poich`e `e dall’alto verso il basso. Il contatto Si<sub>n</sub>-Au sar`a una tensione dal basso verso l’alto ri-spetto a p, e quindi sar`a negativa. Circuitalmente, si pu`o pensare al sistema come una maglia di batterie.

L’equazione di questa maglia sar`a la seguente:

Φ_Au,p− Φ_i+ Φ_n,Au = 0 Da ci`o `e facilmente ricavabile la tensione Φ_i:

Supponiamo di poter avere un voltmetro ideale: esso non potrebe misu-rare niente, poich`e i potenziali di contatto bilanciano la tensione interna, che quindi sar`a nulla.

Collegando finalmente la tensione esterna V_a, supponendo che i contatti metallici siano dei buoni contatti, ossia a bassissima resistenza, e che quindi provocano una bassa caduta di tensione per le correnti che vi entrano, pos-siamo pensare che le due resistenze serie dei contatti ohmici siano nulle, e che quindi la tensione alla giunzione subir`a una variazione, raggiungendo un valore V<sub>j</sub>, a noi incognito. La maglia di batterie sar`a modificata, ed avr`a un’equazione associata di questo tipo:

−V_a− Φ_Au,p− V_j+ Φ_n,Au= 0 V_j = Φ_n,Au− Φ_Au,p− V_a

Ma noi abbiamo prima detto che Φi = Φn,Au− ΦAu,p; dunque: V_j = Φ_i− V_a

Quando applico una tensione positiva sul lato p, si abbassa la tensio-ne sulla giunziotensio-ne. A questo punto, in seguito a questa notevole scoperta, introduciamo due definizioni:

• Una giunzione polarizzata con una tensione esterna V_a > 0 `e detta polarizzata direttamente;

• Una giunzione polarizzata con una tensione esterna Va < 0 `e detta polarizzata inversamente.

La tensione provoca alcune interessanti conseguenze: disegnamo, in un grafico, la distribuzione della tensione all’equilibrio, con una polarizzazione diretta, e con una polarizzazione inversa: la concavit`a della funzione rimarr`a

sempre costante, ma quella che varier`a sar`a l’ampiezza delle regioni di svuo-tamento, e quindi volendo dire in modo poco elegante, il punto di inizio ed il punto di fine della funzione del potenziale (nonch`e ovviamente l’altezza della barriera, come gi`a dimostrato mediante il calcolo delle equazioni delle maglie): se si polarizza direttamente la giunzione, l’ampiezza della zona di svuotamento x_d diminuisce rispetto all’ampiezza di equilibrio x_d0, e la bar-riera di potenziale, a queste condizioni, diminuisce; al contrario, con una polarizzazione inversa, l’ampiezza x_daumenta rispetto a quella di equilibrio, e la barriera di potenziale aumenta. Trascurando come da ipotesi cadute re-sistive sulle interfacce metalliche, capita ci`o: supponendo che le distribuzioni di carica siano: −qN<sub>A</sub>x<sub>p</sub> (negative), e +qN<sub>D</sub>x<sub>n</sub> (positive); le tensioni, data l’ipotesi di buoni contatti, dipendono esclusivamente dagli ioni, ricavando a partire dalla loro funzione di densit`a l’espressione operativa del campo e del potenziale. Se la tensione esterna modula la barriera, allora essa modula po-tenziale (tensione), campo e carica. Con una V_apositiva ridurremo la regione di svuotamento: l’applicazione di una tensione esterna per`o non `e in grado di modificare il drogaggio del semiconduttore, nella fatispecie le concentrazioni N_A ed N_D, e tantomeno il valore della carica fondamentale q (quantizzata come la carica di un protone o di un elettrone); V_a quindi potr`a solo varia-re l’ampiezza della varia-regione di svuotamento x<sub>d</sub>, ma i parametri delle curve, ossia la pendenza delle rette che formano il triangolo (nel campo elettrico), o la concavit`a del doppio andamento parabolico (nel potenziale), resteranno sempre costanti, e in questo senso avremo sempre le stesse funzioni, con per`o un’ampiezza di zona di svuotamento diversa.

Potremmo ora chiederci come calcolare, a partire dalla variazione di Φ_i con l’applicazione della tensione esterna V_a, la variazione della zona d’ampiez-za x_d. L’idea `e semplicemente sostituire al posto della barriera di potenziale Φ_i nell’espressione di x_d la tensione finale sulla giunzione V_j:

x_d(V_a) = s

2_S

qN_eq^(Φi− V_a)

In realt`a, l’effetto della tensione pu`o essere molto pi`u interessante di una semplice variazione di x<sub>d</sub>: la tensione V<sub>a</sub>> 0 riduce la barriera di potenziale, e cos`ı il flusso dei portatori verr`a modificato, e nello specifico verranno variate le concentrazioni di portatori che attraverseranno la barriera, quindi generate correnti. Dal punto di vista elettrostatico una tensione esterna fa variare le regioni di svuotamento, e quindi la carica positiva Q+ e quella negativa Q⁻.

3.3.1 Capacit`a di svuotamento

Un effetto molto interessante della tensione `e quello di rendere visibile una sorta di capacit`a del semiconduttore: dato che Va modifica qNDxn(Va) e −qN_Ax_p(V_a), la situazione potrebbe ricordare quello che in elettrostatica si studia come modello di un condensatore: rivediamolo.

Data una carica Q, si pu`o definire una capacit`a C come:

C =     dQ dV    

Consideriamo come tensione la nostra V_a, e come carica ad esempio quella positiva, Q+. Ci servir`a una Q+ funzione di V<sub>a</sub>, al fine di poterne calcolare la derivata in V<sub>a</sub>. Ma noi abbiamo gi`a visto che:

Q⁺= qN_Dx_n(V_a) x_n(V_a) = s 2_SN_A qN_D(N_A+ N_D)^(Φi− V_a) Q⁺(V_a) = s 2_SN_Aq2N2 D qN_D(N_A+ N_D)^(Φi− V_a) = q 2q_SN_eq(Φ_i− V_a) Calcolando il modulo della derivata rispetto a V_a, si trova che:

C =     dQ⁺(V_a) dV_a     = ^2qSNeq 2p2_SqN_eq ⁼ s q22 SN2 eq 2_SqN_eq(Φ_i− V_a) ⁼ = s q_SN_eq 2(Φ_i− V_a) ^{= C(Va)}

Si noti che la capacit`a `e una funzione della tensione V_a: il condensatore con il quale stiamo modellando la regione di svuotamento `e dunque coman-dabile in tensione, ossia la sua capacit`a varia con il variare della tensione che gli viene applicata.

Cerchiamo ora per`o di ragionare in un modo diverso, al fine di ottenere un risultato pi`u semplice; abbiamo detto che:

x_d(V_a) = s

2_S

qN_eq^(Φi− V_a) =⇒ C(V_a) = ^S x_d(V_a)

Abbiamo scoperto una cosa molto interessante: un semiconduttore si pu`o comportare come un condensatore a facce piane parallele, di costante dielettrica <sub>S</sub>, e distanza x<sub>d</sub> tra le armature. Un semiconduttore svuotato dunque `e equivalente ad un materiale dielettrico.