Risoluzione

Disegnare diagramma a bande dettagliato all’equilibrio termodina-mico quotando ogni dettaglio

Cerchiamo di quotare il nostro diagramma a bande, e quindi di trovare tutti i dati che ci servono per avere un quadro completo della situazione. Siamo in un semiconduttore drogato tipo p, e quindi, poich`e ci troviamo a 300 K, possiamo dire che la condizione di completa ionizzazione `e applicabile, e non siamo in un regime intrinseco:

p_p(300) ' N_A

Calcoliamo dunque il livello di Fermi, partendo dall’equazione di Shoc-kley:

pp(300) ' NA = nie^−EFikT^−EF =⇒ EFi − EF = kT ln^NA N_D

Poich`e come abbiam gi`a detto, kT ' 0, 026V , ed N_A = 1016, facendo i conti troviamo che il livello di Fermi EF vale 349 meV. Possiamo considerare noto il gap di energia E_g, e l’affinit`a elettronica qχ.

qΦ_Sp = qχ + ^Eg

2 ^{+ EF}i − E_F = 4, 05 + 0, 56 + 0, 349 = 4, 959 eV Calcolare la resistenza sapendo che l=1mm; A = 1 mm²

Abbiamo quotato tutto ci`o che siamo in grado di fare, per questo possiamo passare al calcolo della resistenza del semiconduttore. Partendo dalla legge di Ohm, possiamo dire che:

R = ρ ^l A

Disponiamo partendo dai dati del problema di l ed A, ma non abbiamo alcuna informazione riguardante ρ. L’unica cosa che sappiamo, `e che:

ρ = ¹ σ

Abbiamo ampiamente studiato σ in precedenza, e siamo arrivati a dire che:

σ = q(µ_nn + µ_pp)

Noi disponiamo di p, ma ci mancano sia i minoritari n, che le mobilit`a relative ad n e p. Per queste ultime, `e necessario consultare un grafico, contenente la degenerazione delle mobilit`a al variare della temperatura e della concentrazione di portatori N_A+ N_D, e quindi possiamo dire che:

µ_n= 1050; µ_p = 350

Per quanto riguarda invece i minoritari, `e sufficiente applicare la legge dell’azione di massa: n_p· p_p = n²_i =⇒ n_p = ⁿ 2 i p_p ^{= 2, 1 · 10} 4

Il fatto che il numero di minoritari sia inferiore a quello di maggiori-tari di molti ordini di grandezza, ci permette di trascurarli, calcolando la conducibilit`a elettrica. Possiamo dunque dire che:

σ ' qµ_pp_p = 0, 746

Invertendo ora σ, troviamo ρ, e possiamo quindi calcolare R:

R = ¹ σ

l A

Abbiamo cos`ı risolto facilmente i primi due punti del problema; risolvere i secondi `e del tutto inutile, in quanto il processo `e del tutto analogo, tenendo semplicemente conto del fatto che vi `e una compensazione del drogante tipo p, N_A, in seguito all’introduzione di N_D. Ricalcolando la nuova concentrazione di minoritari mediante la legge dell’azione di massa, e le nuove mobilit`a dei portatori, si pu`o facilmente raggiungere lo stesso risultato appena trovato (chiaramente le cifre saranno diverse).

Calcolo lacune in eccesso

Trattiamo il terzo punto del problema, che sar`a molto pi`u interessante dei primi due. Talvolta, converr`a fare divagazioni, che torneranno molto utili nello studio di dispositivi in un momento pi`u avanzato della trattazione. Supponiamo dunque di avere 10¹³ coppie elettrone-lacuna, e dunque di avere un basso livello di iniezione. Ci`o che capiter`a, `e che:



p_n0  1013

n_n0  1013

Applichiamo per la prima volta il modello matematico, partendo dall’e-quazione di continuit`a: ∂p_n ∂t ^{= −} 1 q ∂J_p ∂x − U_p

Consideriamo il fatto che la generazione ottica non subisce variazioni nel tempo, e che dunque, al variare del tempo t, il numero di coppie sar`a sempre lo stesso, e quindi la derivata nel tempo sar`a nulla.

=⇒ −¹ q

∂J_p

∂x − U_p = 0

Introducendo il nostro modello di ricombinazione diretta,

−¹ q

∂Jp

∂x − ^{pn− pn0} τ_p ^{= 0}

Consideriamo l’equazione di trasporto della corrente, rappresentante la densit`a di corrente J_p, e quindi

J_p = qµ_pp_nε − qD_p^∂pn ∂x

Consideriamo per`o che il nostro semiconduttore `e isolato rispetto all’e-sterno, e dunque non vi sono fenomeni di polarizzazione, e il campo elettrico dall’esterno risulter`a essere nullo, poich`e non abbiamo polarizzazioni esterne.

Potremmo pensare per`o ad eccessi di carica interni generati dall’iniezione ot-tica: sarebbe un pensiero fuorviante, poich`e la generazione ottica provoca la nascita di coppie elettrone-lacuna, e quindi non viene perturbato l’equilibrio in questo senso, dunque possiamo considerare ρ = 0, ed ε = ε_ext+ ε_int = 0. Il vero problema che potrebbe nascere `e il seguente: la diffusione di elettroni e lacune avviene con una velocit`a differente, poich`e la differenza delle masse efficaci di elettroni e lacune fa s`ı che queste seconde abbiano una mobilit`a inferiore, ergo potrebbero generarsi campi elettrici momentanei, in seguito a gradienti di diffusione temporanei. Al fine di prevenire questa possibilit`a, consideriamo un’ipotesi aggiuntiva: la quasi neutralit`a del semicondutto-re: ε ' 0: infatti il campo elettrico effettivamente potrebbe agire, ma solo sulla corrente dei minoritari, che quindi non ci riguarda, in quanto del tut-to trascurabile. Accettando tale ipotesi, l’equazione di trasportut-to si ridurr`a semplicemente a:

J_p ' −qD_p^∂pn ∂x

Sostituendo l’equazione di trasporto in quella di continuit`a, e consideran-do solo gli eccessi di cariche consideran-dovuti alla ricombinazione, si otterr`a:

0 = −¹ q^Dp ∂2p⁰_n ∂x2 −^p 0 n τp

Questa di fatto rappresenta un’equazione omogenea di secondo ordine a coefficienti costanti: ∂2p⁰_n ∂x2 = ¹ D_pτ_p^p 0 n

Considerando il polinomio caratteristico di quest’equazione, e riducendola ad un’equazione di secondo grado, si ottiene che gli autovalori del polinomio caratteristico avranno forma:

λ² = ¹

D_pτ_p ^{=⇒ λ1,2 = ±} 1 pDpτ_p

Potremmo ora fare quest’osservazione: il termine D_pτ_p `e una lunghez-za quadratica, dimensionalmente parlando. Si definisce il parametro detto lunghezza di diffusione, relativo alle lacune, come:

L_p =pDpτ_p

Di fatto la lunghezza di diffusione `e un parametro che ci permette di capire quanto velocemente i minoritari iniettati si disperdono, man mano

che ci si allontana dalla zona di iniezione: se la posizione che si analizza `e lontana alcune lunghezze di iniezione, si troveranno pochissimi minoritari. Chiaramente, vale una relazione del tutto duale, per gli elettroni iniettati in un semiconduttore drogato p, ossia:

L_n =^pD_nτ_n

Tornando al nostro problema, come sappiamo dalla teoria della risoluzione delle equazioni differenziali a coefficienti costanti, le soluzioni dell’equazione differenziale prima esposta avr`a forma del tipo:

p⁰_n(x) = Ae^λ1x+ Be^λ2x

Nella fatispecie, la soluzione sar`a:

p⁰_n(x) = Ae

x

Lp + Be⁻

x Lp

Dobbiamo ora trovare le costanti di normalizzazione A e B: per far ci`o serviranno due condizioni al contorno del problema:

1. Sappiamo che, lontano dalla zona di iniezione, le lacune si saranno in-teramente ricombinate, e quindi, considerando di trovarci in una zona molto lontana dalla zona di iniezione, possiamo dire che la ricombina-zone avr`a annullato tutti i minoritari, e quindi

p⁰_n(∞) = 0 =⇒ A = 0

2. Abbiamo una condizione al contorno sulla posizione iniziale: noi sappia-mo infatti esattamente quante coppie elettrone-lacuna vengono inietta-te otticameninietta-te, e quindi possiamo dire che, in quella che consideriamo l’origine del sistema cartesiano, e l’origine dell’iniezione delle lacune,

p⁰_n(0) = 10¹³=⇒ B = 10¹³

Siamo arrivati, analizzando il nostro semiconduttore in condizione di lato lungo (che vedremo non essere sempre valida), ad esprimere una relazione in grado di descrivere l’andamento degli eccessi di portatori minoritari iniettati in un semiconduttore drogato. Ci chiediamo a questo punto, come studiare l’andamento delle correnti, data la funzione appena trovata. Ci chiediamo innanzitutto, se esistono correnti nel semiconduttore, a queste condizioni; la corrente totale infatti, indipendentemente dall’andamento della distribuzione appena espressa, dovrebbe essere nulla: se cos`ı non fosse, significherebbe che

vi sono accumuli nel tempo, che violerebbero la legge di conservazione della carica. Dato che trattiamo un semiconduttore lungo,

p⁰_n(x) = p⁰_n(0)e⁻

x Lp

Quindi, possiamo ricavare la corrente derivando questa distribuzione; infatti: J_{p,dif f}(x) = −qD_p^∂p 0 n ∂x ⁼ qp⁰_n(0)Dp L_p ^e − x Lp

La variazione di concentrazione dovrebbe provocare una corrente di que-sto tipo:

Ci`o `e in accordo con quanto abbiamo appena detto: allontanandoci dal punto di iniezione, abbiamo un comportamento soddisfacente in quanto la ricombinazione elimina tutte le correnti di minoritari, ma in un intorno del punto di iniezione la corrente `e diversa da 0. Si pu`o intuire che vi sia un flusso di elettroni che controbilancia la corrente in questo intorno di punti, in modo da garantire comunque la conservazione della carica. Questo problema sar`a molto importante da studiare in seguito, trattando le correnti nella giunzione p-n, che ora inizieremo a studiare.