Il nostro modello matematico delle correnti nel semiconduttore `e ancora molto carente: l’equazione di continuit`a `e molto potente, tuttavia non sia-mo in grado di riferirci con precisione ai termini della suddetta, in quanto conosciamo molto poco riguardo ad essi.
Possiamo per`o sfruttare un’idea geniale: sostituire le due equazioni di continuit`a, all’interno delle equazioni di trasporto precedentemente ricavate: le soluzioni di questo sistema di equazioni sar`a un’espressione analitica delle densit`a di portatori, in funzione di tempo e posizione, n(x; t) e p(x; t). Que-ste non sono per`o le uniche incognite del problema: leggendo le equazioni precedentemente introdotte, troviamo anche il campo elettrico ε, e il termine di ricombinazione Un o Up a seconda se si studiano rispettivamente elettroni o lacune.
Supponiamo dunque di avere, rispetto alla condizione di equilibrio, uno spostamento di cariche, un accumulo locale di cariche, in grado di instaurare gradienti di concentrazione e dunque un processo di diffusione mediante il ge-nerarsi di flussi di portatori. Formalizziamo, nel nostro modelo matematico, questo moto di cariche.
Supponiamo di avere eccessi locali di cariche, uno negativo ed uno positi-vo: globalmente, il sistema sar`a neutro. Gli eccessi di cariche daranno vita a campi elettrici nella zona compresa tra i due eccessi, non trascurabili. Inco-minciamo dunque a studiare la densit`a di distribuzione delle cariche, in tutti
gli eccessi, al variare della posizione x in cui osserviamo il semiconduttore in questo stato:
ρ(x) = +q p(x; t) − n(x; t) + ND+(x) − NA−(x)
Data la distribuzione delle cariche, ora ci interessiamo del campo elettrico ε. Per far ci`o, dobbiamo per`o aver ben presente il legame tra carica e campo elettrico, senza aver ancora introdotto l’Equazione di Poisson, risultato finale di questa sezione della trattazione del modello matematico. Apriamo una breve parentesi ad un primo studio del legame tra carica e campo elettrico.
2.4.1 Legame Carica - Campo Elettrico
Dato il solito modello semplificato di condensatore a facce piane parallele non dotato di effetti di bordo, applicata sulle facce una tensione ∆V = Va, osserviamo che il campo elettrico ε(x) fuori dal condensatore `e nullo; sappiamo dallo studio di Fisica riguardo l’elettrostatica, e dall’analisi dei campi vettoriali, che:
ε(x) = −∂Φ ∂x
Dove Φ `e il potenziale. Utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale: Φ(x) = − Z d 0 ε(x)dx ⇐⇒ Φ(x) = Φ(0) − Z x 0 ε1dx
Come sempre, consideriamo a 0 la massa del nostro sistema, dunque Φ(0) = 0; si otterr`a che:
Φ(x) = −ε1x =⇒ ε1 = −Va d
Tuttavia, parlando di condensatori, si introduce la capacit`a definita come il rapporto tra carica e tensione, ma anche come rapporto del dielettrico contenuto nel condensatore, 0, e della distanza tra le facce:
C = Q Va =
0 d
Possiamo dunque dire, invertendo l’espressione, che
Va = Q C =
Q 0d
Riprendendo il legame tra campo e potenziale, si arriva finalmente a dire che:
ε1 = −Q 0
Abbiamo trovato in questo particolare caso un’espressione del campo ε1, esplicitato in funzione della carica, anche detto Legge di Gauss (in realt`a essa racchiude significati ben pi`u profondi di quello appena mostrato, ma che non sono utili alla trattazione). Questo `e un caso molto particolare, che dovremo estendere per ottenere la pi`u generale formulazione del legame tra una carica ed una differenza di potenziale, ossia l’Equazione di Poisson
2.4.2 Dimostrazione qualitativa dell’Equazione di
Pois-son
Ci preoccupiamo ora di mostrare l’equazione di Poisson, e di spiegarne il significato profondo, mediante una dimostrazione non rigorosa ma comunque efficace. L’equazione di Poisson avr`a una forma del tipo:
∂2Φ
∂x2 = −ρ(x) S
Il termine S `e la costante dielettrica del semiconduttore: esso sar`a il prodotto di 0, ossia la costante dielettrica del vuoto, e di rS, ossia la costante dielettrica relativa del semiconduttore. ε sar`a il campo elettrico provocato dagli eccessi di carica descritti mediante la loro funzione di densit`a ρ(x). Poich`e sappiamo gi`a che:
ε = −∂Φ ∂x
Mediante l’applicazione dell’equazione di Poisson possiamo dire che:
ε(x) = Z ρ(x) S dx Dunque, ε(x) = ρ(x) S x
Il campo avr`a una forma di questo tipo: da −∞ a x1 il campo `e costan-temente nullo; addentrandoci nella regione di cariche, il campo crescer`a, fino all’uscita dalla regione, in x2. Il campo ora rimarr`a costante, fino a quando non ci si addentrer`a nella seconda regione di cariche, da x3, che ridurr`a il
campo, fino ad annullarlo in x4. Andando da sinistra a destra, e considerando prima una densit`a positiva (per x < 0), poi una positiva (in x > 0).
Integrando poi ε(x), si vedr`a che:
Φ(x) = − Z
ε(x)dx
Considerando come massa Φ(x1) = 0. Vediamo dal precedente studio, sul campo, che esso `e maggiore di 0 per qualsiasi posizione x si scelga nello spazio. L’integrale di tale funzione cambiata di segno sar`a dunque negativo, ed avr`a un andamento di questo tipo: per x < x1, il potenziale sar`a sempre 0, come fissato anche dalla massa. Poich`e nella regione delle cariche, da x1 a x2, abbiamo un campo ad andamento lineare, integrandolo ulteriormente esso diverr`a quadratico, e quindi parabolico. Poich`e, ribaltando l’andamento del campo, la retta avr`a pendenza negativa, allora la concavit`a del tratto di parabola sar`a rivolta verso il basso. A questo punto, da x2 a x3, si trova un regime di campo costante, in cui il campo `e positivo, ma quindi ribaltato negativo, e ci`o dar`a vita ad un tratto di retta a pendenza negativa, dal punto x2 al punto x3. Da x3 a x4 si ripeter`a il ragionamento precedente, ma questa volta la distribuzione ribaltata del campo avr`a pendenza positiva, poich`e dovr`a crescere fino a 0, quindi il tratto di parabola avr`a concavit`a rivolta verso l’alto.
L’equazione di Poisson avr`a un ruolo fondamentale nel modello matema-tico delle correnti in un semiconduttore, poich`e sar`a essa a fornirci le infor-mazioni sul campo e sul potenziale, a partire dalla distribuzione di cariche fornita o studiata nel problema.