Modello a controllo di carica

eVT^Va − 1^

Si pu`o facilmente notare una similitudine con la corrente di diffusione nel punto x_n, di lacune: J_p(x_n) = ^qDpn 2 i NDLp  eVT^Va − 1^

Moltiplicando e dividendo il termine L_p all’espressione di Q⁰_p, si ottiene: Q⁰_p· ^Lp L_p ⁼ qn2 iL2 p N_DL_p  eVT^Va − 1^= ^qn 2 iD_pτ_p N_DL_p Dunque, si pu`o vedere facilmente che:

J_{p,dif f}(x_n) = ^Q

0 p

τ_p

In modo del tutto duale, si pu`o verificare facilmente che:

Jn,dif f(−xp) = ^Q

0 n

τ_n

Poich`e la corrente totale nel diodo `e la somma dei due contributi di carica, possiamo dire che:

J_tot = J_{p,dif f} + J_{n,dif f} = ^Q

0 p

τ_p ⁺ Q⁰_n

τ_n

Questa `e la corrente totale nella giunzione in condizioni stazionarie. Ci`o ci pu`o far intuire che la corrente nel diodo `e controllata sostanzialmente da una ricombinazione: questa `e la base del modello del diodo a controllo di carica. Manca per`o un fattore fondamentale: la dipendenza dal tempo. Dobbiamo dunque meglio definire il nostro modello a controllo di carica, introducendo una variazione della corrente nel tempo.

3.14 Modello a controllo di carica

Abbiamo finora considerato nel nostro diodo condizioni stazionarie; per poter studiare il modello a controllo di carica, dovremo risolvere l’equazione di continuit`a, in condizioni non stazionarie, e dunque con derivata temporale della densit`a di carica non nulla. Considerando ad esempio la corrente dovuta dalle sole lacune, nel lato n, vediamo che:

∂p⁰_n ∂t ^{= −} 1 q ∂ ∂x^{Jp(x) −} p⁰_n(x) τ_p

Risulta essere sempre e comunque valida l’ipotesi di quasi neutralit`a, per quanto riguarda i portatori minoritari, e dunque possiamo dire che la corrente nel diodo in un intorno della giunzione `e puramente diffusiva:

J_p = −qD_p^∂p 0 n ∂x ^{=⇒ Dp} ∂2p⁰_n ∂x2 = ^∂ ∂t^p 0 n(x) + ^p 0 n(x) τ_p

Integriamo dunque quest’espressione sull’asse delle ascisse spaziali x, en-trambi i membri, a partire dal punto x_n in cui inizia la ricombinazione, fino ad una generica posizione spaziale x > x_n:

D_p  ∂p0 n ∂x     x − ^∂p 0 n ∂x     xn  = ^∂ ∂t Z x xn p⁰_n(x)dx + ¹ τp Z x xn p⁰_n(x)dx

Moltiplicando ambo i membri per la carica fondamentale q, si ottiene che il termine con derivata temporale diventa:

∂ ∂t Z x xn qp⁰_n(x)dx + ¹ τ_p Z x xn qp⁰_n(x)dx = ^∂ ∂t^Q 0 p(x) + ¹ τ_p^Q 0 p(x)

Al primo membro, invece, per x → +∞, il primo termine si annulla, poich`e la ricombinazione avr`a annullato tutta la corrente di minoritari, e quindi, considerando l’ipoteso di diodo lungo, potremo annullare il primo termine, mentre il secondo sar`a:

−qDp ∂p⁰_n ∂x    xn = Jp,dif f(xn)

Dualmente, effettuando lo stesso processo con la corrente di elettroni derivanti dal lato n verso il lato p, si ottiene:

Jn,dif f(−xp) = ^∂ ∂t^Q 0 n+ ¹ τ_n^Q 0 n

Poich`e la corrente totale nel diodo J<sub>tot</sub> sar`a data dalla somma dei due contributi di corrente, il modello a controllo di carica sar`a determinato dal-l’equazione: J_tot = ^∂ ∂t^Q 0 p+ ^∂ ∂t^Q 0 n+ ^Q 0 p τ_p ⁺ Q⁰_n τ_n

Terminiamo ora la trattazione di questo modello, cambiando argomento, e parlando di un altro modello del diodo a giunzione.

3.15 Modello di piccolo segnale

Il modello a controllo di carica `e un sottocaso del modello ad ampio segnale, che non considera effetti elettrostatici (quali le capacit`a prima discusse); il modello ad ampio segnale `e il modello che pi`u interamente caratterizza un dispositivo, nella fatispecie il diodo a giunzione nel nostro caso, per`o come gi`a accennato `e molto difficile da utilizzare, a causa della sua forte non linearit`a. L’idea del modello di piccolo segnale `e quella di studiare solo un preciso punto di lavoro del dispositivo, linearizzandolo in un intorno di quel punto, mediante una sorta di sviluppo in serie di Taylor troncata.

Dovremo studiare una funzione I(V_a) per una certa V_a= V_op+v_SS: V_op(op sta per Operating Point) `e la tensione del punto di lavoro a cui ci portiamo, al fine di sviluppare l’espressione della I; v<sub>SS</sub> `e la rappresentazione dell’intorno, del piccolo segnale (SS sta per Small Signal), ed `e la cosiddetta tensione di piccolo segnale.

Partiamo dalla corrente del diodo, dicendo che:

I = I₀^eVT^Va − 1^

Poich`e consideriamo V_a = V_op+ v_SS, possiamo sviluppare fino al primo ordine, e quindi linearmente in un intorno del punto di lavoro la funzione della caratteristica come:

I(V_op+ v_SS) = I₀  e Vop VT − 1  + ^∂ ∂V_a h I₀eVT^Va − 1ⁱ

Di fatto la tensione Vop `e una componente costante, mentre vSS il suo intorno in cui possiamo considerare valida la linearizzazione effettuata. La derivat`a della corrente I₀ nel punto di lavoro V_op sar`a:

∂ ∂V_a h I₀eVT^Va − 1ⁱ  Vop = ^I0e Vop VT V_T ^{= gd}

Il termine g_d `e anche detto conduttanza differenziale; ad essa associata `e la resistenza differenziale, come il suo reciproco:

r_d= ¹ gd

Spesso gli elettronici scambiano tra loro il termine I₀e

Vop

VT con I_op. Con-siderando questa definizione della corrente I_op come corrente del punto di lavoro V_op, sar`a:

I(V (t)) = I(V_op+ v_SS(t)) ' I_op+ g_dv_SS(t) = I(V_op) + i_SS(t)

In un intorno di V_op, `e possibile dunque linearizzare il diodo, sostituendolo con la resistenza differenziale r<sub>d</sub>: questa non sar`a altro che la pendenza della retta osculatrice I(V_a) nel punto di lavoro V_op, con un intorno di piccolo segnale v_SS. Il termine i_SS sar`a dato dall’approssimazione di I(V_a) al punto di lavoro V_op, I(V_op) = I_op; possiamo dunque definire ora la corrente di piccolo segnale come il semplice intorno-ordinata della caratteristica, ossia l’intera caratteristica considerata in V_a = V_op + v_SS sottraendo la componente di offset I(V_op) = I_op:

i_SS(t) = I_tot(V_a) − I_op= g_dv_ss

Abbiamo cos`ı trattato in modo assolutamente completo il diodo, analiz-zato sotto il punto di vista del metodo di piccolo segnale. Cerchiamo ora di trattare brevemente allo stesso modo le capacit`a di svuotamento e di diffu-sione C_DEP e C_DIF, considerandole sempre ad un punto di funzionamento V_a= V_op+ v_SS; possiamo dire che:

Q_DEP(V_op+ v_SS(t)) ' Q_DEP(V_op) + ^∂QDEP ∂V_a     Vop · v_SS Q_DIF(V_op+ v_SS(t)) ' Q_DIF(V_op) + ^∂QDIF

∂V_a     Vop · v_SS

Utilizzando le espressioni operative gi`a ricavate in precedenza delle cariche di svuotamento e di diffusione, si possono facilmente ricavare le espressioni delle capacit`a di svuotamento e di diffusione.

Il modello di piccolo segnale riduce dunque, in un intorno del punto di lavoro V_op, il circuito di ampio segnale ad un resistore (resistenza differenziale r_d) in parallelo a due capacit`a: questo, in serie con le resistenze serie dei lati della giunzione (che non hanno bisogno di essere linearizzate in quanto sono quantit`a costanti). Si noti che, per V_a < 0, ossia in polarizzazione inversa, la r_davr`a su di s`e pochissima corrente, e diventer`a cos`ı dell’ordine dei MΩ, assimilabile dunque con un circuito aperto; la diffusione sar`a pressoch`e nulla, poich`e tutti i minoritari saranno solo nella zona di svuotamento, e la capacit`a relativa alla diffusione sar`a circa nulla: C_DIF ' 0. Possiamo dunque ulteriormente semplificare il modello di piccolo segnale, per una tensione V_a < 0, con un condensatore (nella fatispecie, il condensatore con cui si modellano le zone di svuotamento, C_DEP), in serie alle due resistenze dovute ai lati del semiconduttore. Ovviamente, non si parla di una tensione di lavoro

negativa paragonabile a quella Zener, altrimenti la corrente `e molto elevata e questa semplificazione non `e fattibile.

3.16 Esercizio pratico

Data una giunzione p-n cos`ı descritta: W_n = 200µm, W_p = 2µm, A_j = 100µm2, µ_p(N_A) = 300, µ_n(N_A) = 100, µ_n(N_D) = 600, µ_p(N_D) = 150, τ_p = 0, 2µs, τ_n= 1µ_s, V_a = 0, 2V , N_D = 1018, N_A = 1016, considerata con la convenzione inversa: lato n a sinistra, lato p a destra:

1. Disegnare il diagramma a bande quotato (ampiezza regioni di svuota-mento, quasi-livelli di Fermi, etc.);

2. Disegnare e quotare il diagramma delle correnti;

3. Calcolare il modello di ampio segnale del diodo a giunzione;

4. Calcolare il modello di piccolo segnale considerando V_a come punto di lavoro.

3.16.1 Risoluzione

Disegnare il diagramma a bande quotato

Per il primo punto del problema potremmo adottare le solite strategie di risoluzione, oppure ragionare in un modo pi`u fine: osservando i dati del pro-blema, notiamo che W<sub>n</sub>  W<sub>p</sub>, e che N<sub>D</sub>  N<sub>A</sub>. Questi dati ci permettono di introdurre da un lato l’ipotesi di diodo corto, e dall’altro lato la forte diffe-renza di drogaggio fa praticamente ridurre la zona di svuotamento ad una δ (idealizzando, poich`e l’ampiezza della regione di svuotamento del lato n sar`a molto inferiore a quella nel lato p). Possiamo trascurare nei nostri conti x_n, e dunque dire che l’ampiezza della regione di svuotamento sia:

x_d' x_d= s

2_S(Φ_i− V_a) qN_A

Poich`e ci manca per ora la barriera Φ<sub>i</sub>, calcoliamola, considerando questa convenzione: poich`e il lato n `e un semiconduttore n+, ossia molto drogato, possiamo dire in buona approssimazione che il livello di Fermi coincida con il livello di partenza della banda di conduzione E_C. Dunque:

qΦ_S+ n ' qχ

Confondiamo dunque senza problemi il lavoro di estrazione con l’affinit`a elettronica del silicio n+ (che `e un parametro costante, e noto).

Possiamo dunque calcolare la barriera nel lato p, confrontando il livel-lo di Fermi intrinseco in zona di neutralit`a, con il quasi-livello di Fermi, aggiungendo al conto met`a dell’energy gap:

qΦ_i = ^Eg

2 ^{+ EF}i(+∞) − E_Fp = ^Eg

2 ^{+ kT ln} N_A

N_i

Si pu`o dunque trascurare il termine al lato n, e ripetere il ragionamento geometrico fatto sul diagramma a bande della giunzione gi`a esposto nella teoria.

Disegnare e quotare il diagramma delle correnti

Passiamo al punto successivo: il calcolo delle correnti nella giunzione. Ab-biamo una situazione molto particolare, poich`e abbiamo a che fare con un diodo met`a lungo, e met`a corto; calcoliamo dunque, in entrambi i lati, la distribuzione dei minoritari, al fine di calcolare le correnti di diffusione come derivata della distribuzione. La distribuzione di lacune iniettate nel lato n (ricordando che la nostra convenzione abituale `e invertita) sar`a:

p⁰_n(x) = p⁰_n(−xn)e^x+xnLp

Per l’altro lato le cose si fanno pi`u difficili, in quanto le condizioni al con-torno abituali per la risoluzione dell’equazione di continuit`a non valgono. Da un altro esercizio teorico abbiamo per`o gi`a ricavato il risultato fondamentale considerante le condizioni al contorno al fine di studiare il semiconduttore corto, e quindi possiamo dire che:

n⁰_p(x) = n⁰_p(x_p)^sinh

L−x Ln

sinh_L^L

n

Poich`e nel nostro caso consideriamo il fatto che la lunghezza effettiva del lato parta aldil`a della regione di svuotamento, e quindi L = W_p − x_p, possiamo dire che, poich`e x  xp generalmente,

n⁰_p(x) = n⁰_p(x_p)^sinh

Wp−x Ln

sinh ^Wp−xp

Ln

Partendo dalle due espressioni delle correnti ora ricavate possiamo, me-diante la loro derivazione, ricavare le espressioni operative delle correnti:

Jp,dif f(x) = −qDp ∂p⁰_n(x) ∂x ⁼ −qD_pn2 i N_DL_p  eVT^Va − 1^e^x+xnLp J_{n,dif f}(x) = −qD_n^∂n 0 p(x) ∂x ⁼ −qDnn²_i N_AL_n  eVT^Va − 1^{− cosh} Wp−x Ln sinh^Wp−x_p Ln

Ci`o che si potrebbe notare facendo il grafico delle due correnti, `e che J_{p,dif f} `

e una corrente del tutto trascurabile; inoltre, la decrescita che si potrebbe analizzare osservando l’andamento di J_{n,dif f}`e altrettanto trascurabile, quindi di fatto la corrente totale nel diodo `e regolata dalla sola J_{n,dif f}, che `e una corrente praticamente costante. Possiamo a questo punto chiederci quale sia l’andamento della caratteristica statica del diodo; dal momento che abbiamo usato per esperienza (e torner`a utile in seguito) questa convenzione opposta della giunzione, invertiamo il senso di percorrenza degli assi, per comodit`a, considerando −I_tot, ed i segni − nelle espressioni potranno essere annullati:

−Itot = Aj(Jp,dif f(−xn) + Jn,dif f(xp)) I = A_j −qD_pn2 i NDLp +^qDnn 2 i NALn cosh^Wp−xp Ln sinh^Wp−xp Ln W_p− x_p Ln !  eVT^Va − 1^

In realt`a, per`o, il lato `e corto, quindi possiamo sviluppare seno e coseno iperbolico, come rispettivamente argomento del seno e 1:

n⁰_p(x) ' n⁰_p(x_p)^Wp− x_p L_n

In un dispositivo di questo tipo, si annulla l’usuale andamento della ricom-binazione: l’andamento `e approssimabile a lineare, ed anzi costante, poich`e il lato corto annulla gli effetti ricombinativi. Nel lato n invece l’unica particola-rit`a introdotta nell’esercizio `e un forte drogaggio, che di fatto non modifica il fenomeno di ricombinazione (se non rendendolo pi`u rapido). Nel transistore bipolare, l’uso del lato corto sar`a proprio ci`o che servir`a per gestire le correnti nel modo pi`u corretto, in modo da aumentare l’effetto transistor.

Calcolare il modello di ampio segnale del diodo a giunzione

Terminiamo l’esercizio calcolando i modelli di ampio e piccolo segnale: sap-piamo che le nostre ipotesi di lato corto ci permettono di dire che:

C_DEP = ^S

x_d^Aj ' ^S x_p(V_a)^Aj

La capacit`a di diffusione si potr`a calcolare mediante il modello a controllo di carica, calcolando la derivata parziale rispetto alla variazione di tensione di polarizzazione esterna V_a; in questo caso l’ipotesi semplificatrice sar`a quella di grosso drogaggio: poich`e il drogaggio `e molto pi`u elevato al lato n che al lato p, possiamo dire che il contributo della carica Q⁰_p sar`a trascurabile.

CDIF ' Aj     ∂Q⁰_n ∂V_a    

Possiamo inoltre, come gi`a detto, approssimare la distribuzione degli elet-troni ad una retta, a causa dello sviluppo in polinomio di Taylor del seno iperbolico; possiamo dunque ulteriormente semplificare il modello a control-lo di carica, calcolando l’area del triangocontrol-lo il cui lato `e il lato del diodo, e l’altezza la carica in questione `e la distribuzione di carica; quindi:

Q⁰_n = −qn2

i(W_p − x_p) 2N_A



eVT^Va − 1^

Considerando il modulo della derivata parziale di quest’espressione ri-spetto alla tensione V_a, si otterr`a:

    ∂Q⁰_n ∂Va     = ^qn 2 i(W_p− x_p) 2NAVT eVT^Va

Il modello di piccolo segnale sar`a una semplice linearizzazione di questo, considerando il punto di lavoro scelto (ossia la Va).

Capitolo 4

Il transistore bipolare

Il transistore bipolare `e una geniale applicazione della giunzione p-n: esso `e composto da una doppia giunzione n-p-n (oppure p-n-p); ma qual `e il senso di fare una giunzione doppia?

Sappiamo che, per poter aumentare la corrente inversa di saturazione I₀, servirebbe un’iniezione di portatori mediante via termica, od ottica, oppure utilizzare iniettori di altro tipo: la giunzione p-n. Abbiamo infatti studia-to che una giunzione `e un iniettore di cariche, poich`e `e possibile iniettare portatori mediante essa, e quindi incrementare la corrente inversa di satura-zione. Possiamo dunque suddividere in tre principali zone questo dispositivo: emettitore, base, collettore.

Consideriamo come emettitore per ora un semiconduttore drogato n, come base un semiconduttore drogato p, come collettore un altro semiconduttore drogato n. L’emettitore emette elettroni nel lato p ad esso adiacente, ossia alla base, e questo mediante l’applicazione di una polarizzazione diretta. Da p a n, vi sar`a una polarizzazione inversa, ma gli elettroni, giunti in abbondanza

dall’emettitore, andranno verso il collettore passando dalla base, mediante una corrente di tipo diffusivo. Riassumendo, la barriera bassa dall’emettitore E alla base B permette il passaggio di elettroni; dalla base B al collettore C questi scivoleranno dalla barriera, arrivando senza problemi alla meta. Ma qual `e il senso dell’utilizzo di questo dispositivo?

Si noti che la corrente di elettroni dall’emettitore E, alla base B `e rego-labile dalla tensione sulla prima giunzione; ci`o che poi capita, `e che si possa controllare la corrente che viene iniettata dalla base al collettore (poich`e essa dipende da quanta ne `e stata iniettata dalla base, e questa `e regolabile dalla tensione tra E e B), ma senza doverla riprendere tutta: di solito dobbiamo pagare tutta la carica inviata da un semiconduttore ad un altro, con altret-tanta carica dal secondo semiconduttore verso il primo, come abbiamo visto nei meccanismi alla base del diodo a giunzione; di fatto, non sar`a necessaria una grossa contropartita di corrente dalla base all’emettitore, o meglio ne sar`a necessaria una quantit`a minima, come vedremo: vi sar`a una grossa corrente da E a B, ma infinitesima da B ad E (in un buon transistore, alle condizioni che introdurremo). L’astuzia si basa sul fatto che, tendenzialmente, gli elet-troni derivanti dall’emettitore E verso la base B non dovranno ricombinarsi, ma andare verso il collettore C, dove saranno comunque maggioritari (poich`e il collettore `e un semiconduttore drogato tipo n).

Riassumendo, il transistore bipolare permette di controllare una corrente tra emettitore e collettore senza dover pagare con una corrente troppo ingente tra base ed emettitore, bens`ı solo con una minima corrente inversa.

4.1 Analisi delle correnti

Cerchiamo ora di rappresentare in modo qualitativo il modello delle correnti in un transistore bipolare; consideriamo la giunzione da emettitore E a base B polarizzata direttamente, e da base B a collettore C polarizzata inversamente: V_BE > 0, V_BC < 0.

Nel dispositivo in studio, esistono cinque correnti; analizziamole una per una:

1. InE `e una corrente di diffusione di elettroni che vengono iniettati dal-l’emettitore E alla base B;

2. I_nC `e la frazione di I<sub>nE</sub> che non si `e ricombinata nella base; essa in un dispositivo ben funzionante deve essere pi`u elevata possibile, poich`e la ricombinazione in base deve essere minima, e poich`e essa sar`a destinata a terminare nel collettore; I_nE ed I_nC sono le due correnti fondamentali ai fini del funzionamento del transistore bipolare;

3. I_rB `e una corrente di diffusione di lacune iniettata nella base a partire dall’emettitore, che va a ricombinarsi interamente: `e una frazione di I_nE, che deve essere limitata, in quanto essa limita la corrente principale I_nC;

4. I_pB `e una corrente di diffusione di lacune iniettate nell’emettitore a partire dalla base; questa corrente deve essere piccola, in un buon di-spositivo, poich`e dipende dalla ricombinazione di I_nE, che deve essere minore possibile per garantire un buon funzionamento;

5. I_pC `e una corrente inversa di lacune diretta dal collettore C verso la base B, molto ridotta, e spesso trascurabile nello studio dei transistori. Ragioniamo ora su queste correnti: la corrente di ingresso nell’emettitore dalla batteria, IE, `e data da:

I_E = I_nE + I_pB

La corrente IE `e la somma delle due correnti InE e IpB, la seconda de-rivante dalla base. Poich`e una delle due correnti principali del transistore `e quella totale che va dall’emettitore verso la base, la corrente da base a emet-titore, IpB, sar`a da limitare. Si definisce sull’emettitore un parametro γF che determina l’efficienza del transistore, all’emettitore (F sta per Forward):

γ_F = ^InE I_nE+ I_pB

Il parametro γ_F `e dunque detto efficienza di emettitore, e in un buon dispositivo deve tendere a 1, poich`e I_pB dovr`a tendere a 0; ci`o `e tecnologica-mente fattibile, aumentando il drogaggio del lato emettitore n (come si pu`o facilmente verificare dalla legge della giunzione). Possiamo dunque dire che:

Ci interessa ora sapere, di questa γ_FI_E, quanta finir`a nel collettore, e quindi quanta non verr`a ricombinata. Possiamo ricavare facilmente che:

I_nC = I_nE− I_rB Possiamo dunque definire il parametro α_T come:

αT = ^InE − I_rB I_nE

Anche in questo caso, in un buon dispositivo, α_T deve tendere a 1. In questo caso, tecnologicamente il trucco per far tendere a 1 il coefficiente αT, `e quello di usare una base corta: se la lunghezza del semiconduttore W<sub>B</sub>  L<sub>n</sub>, la ricombinazione non avr`a il tempo di agire efficacemente sulla carica, e dunque α_T → 1.

La corrente IpC ' 0 e quindi possiamo considerarla ora come ora trascu-rabile.

Definiamo α_F il prodotto dei due coefficienti di efficienza: α_F = γ_Fα_T

La corrente del collettore, IC, sar`a pari a: I_C = −α_FI_E

Possiamo considerare il transistore come un nodo generalizzato, e dunque studiare mediante le leggi di Kirchhoff le tre correnti su emettitore, collettore, base: anche la base infatti avr`a una corrente, che andr`a ridotta mediante i metodi tecnologici accennati, in un dispositivo valido:

I_E + I_B+ I_C = 0

Considerando l’espressione precedentemente vista in funzione di I_E, so-stituiamo nella relazione appena trovata:

I_E = −^IC αF =⇒ −^IC αF + I_C + I_B = 0 Quindi: I_B = ^{IC(1 − αF)} α_F ^=⇒ IC I_B ⁼ αF 1 − α_F ^{= βF}

Questo parametro, β_F, `e detto guadagno in corrente. Abbiamo visto che α<sub>F</sub> `e il prodotto di due numeri vicini ad 1, e dunque β_F potrebbe essere un numero molto elevato (da 100 a 300 o anche molto pi`u in un buon dispositivo).

Possiamo dire che:

I_C = β_FI_B

Con il prezzo di una corrente di base di soli pochi mA, `e possibile control-lare correnti molto elevate, modulabili mediante la tensione tra emettitore e base, V<sub>BE</sub>. Possiamo considerare I<sub>B</sub> come un prezzo da pagare, al fine di poter liberamente modulare mediante la tensione la corrente del transistore. Passiamo ora ad un calcolo pi`u quantitativo, al fine di studiare le correnti.

Nel documento Dispositivi Elettronici (pagine 90-102)