Per poter applicare il modello di Hull visto in precedenza ai dati reali osservabili sui mercati, è stato necessario ricavare in particolar modo quelli relativi ai prezzi dei Credit Default Swaps, al tasso di recupero del nominale, al tasso privo di rischio e, ovviamente, alle probabilità di default e downgrade degli emittenti di riferimento.
Come reference entities sono state scelte tre imprese italiane, appartenenti a settori diversi e con rating iniziale differente: la prima è Enel S.p.A., che come sappiamo opera nell’ambito dell’energia elettrica e del gas, che attualmente, utilizzando i dati ricavati da Moody’s, possiede un rating di Baa2; in seguito abbiamo Telecom Italia S.p.A., appartenente al settore delle telecomunicazioni, con rating iniziale Ba1; infine Banca Monte dei Paschi di Siena S.p.A., che negli scorsi anni ha avuto un periodo di crisi, tanto da necessitare l’intervento dello Stato, che ad oggi è il suo maggiore azionista, per poter essere salvata, e
conseguentemente ha al momento attuale il rating peggiore delle tre, ovvero Caa1. Relativamente alle probabilità di default sono state utilizzate le matrici di probabilità di transizione che Moody’s pubblica mensilmente all’interno di un report in cui effettua un’analisi cross-sector delle imprese di tutto il mondo, andando a inserire sia una matrice delle probabilità effettivamente verificatesi nell’anno precedente, sia una previsione delle probabilità di default e di transizione per l’anno successivo, come possiamo osservare qui sotto.
74 Fonte: Moody’s Investors Service, June Default Report, Data Report, Luglio 2019
Per quanto riguarda i prezzi dei CDS, sono stati ricavati quelli relativi alla scadenza di 5 anni con cadenza semestrale, in particolare quelli registrati nelle date 10 Gennaio e 10 Luglio di ogni anno, dalla piattaforma Thomson Reuters Eikon, in cui sono contenuti moltissimi dati finanziari di qualsiasi tipo; in particolare dalla stessa piattaforma è stato anche ricavato il
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Recovery Rate relativo agli strumenti in esame, che è risultato essere pari al 40% per tutte e tre le imprese, e il nozionale di riferimento, pari a 10000.
I prezzi così raccolti sono quelli indicati nella tabella seguente, suddivisi per impresa. Infine, come tasso privo di rischio è stato utilizzato quello del bund tedesco a 10 anni, che viene generalmente considerato dai mercati come benchmark poiché tali titoli sono ritenuti piuttosto sicuri.
Data Enel S.p.A. Telecom Italia S.p.A. Monte dei Paschi
Siena S.p.A. 10/01/2010 62,49 90,05 65,01 10/07/2010 205,7 249,29 140,87 10/01/2011 217,04 285,32 354,8 10/07/2011 212,69 300,246 296,303 10/01/2012 352,68 490,92 545,92 10/07/2012 439,34 493,81 726,08 10/01/2013 185,404 237,674 412,325 10/07/2013 225,83 324,06 695,83 10/01/2014 105,35 237,65 367,87 10/07/2014 79,39 188,27 222,3 10/01/2015 87,76 166,38 262,3 10/07/2015 80,42 159,8 226,34 10/01/2016 101,95 185,96 294,05 10/07/2016 90,24 227,58 584,15 10/01/2017 88,21 227,62 406,21 10/07/2017 68,5 142,33 176,28 10/01/2018 56,79 127,87 128,33 10/07/2018 89,18 183,26 307,17 10/01/2019 114,2 328,9 451,8 10/07/2019 68,45 191,91 412,52
Riportando questi dati su un grafico si può osservare chiaramente la differenza che i rating iniziali degli emittenti di riferimento comportano in termini di prezzo dei CDS, e quindi di rischiosità percepita dai mercati relativamente a tali imprese.
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In particolare si può osservare come durante la crisi del debito sovrano si sia registrato un aumento dei prezzi per tutte e tre le imprese, che poi sono tornati a scendere una volta assorbita la crisi, ad eccezione di Monte dei Paschi, che conseguentemente al periodo di difficoltà che ha attraversato negli anni scorsi, ha registrato dei picchi più pronunciati in termini di prezzo del CDS, in particolar modo nel 2016.
Veniamo adesso all’applicazione del modello di Hull analizzato nel capitolo precedente: il passo fondamentale è andare a calcolare la probabilità di default annuale che verrà inserita come primo valore nella colonna PD; dato che all’interno della definizione di credit event di un CDS rientra, oltre al default dell’emittente di riferimento, anche il downgrade del suo merito creditizio, la probabilità da inserire nel modello non potrà limitarsi all’ultima colonna della matrice di transizione relativa al livello iniziale di rating, ma dovrà considerare anche quelle di passaggio ad altre classi di rating inferiori e le rispettive probabilità di default. Infatti, ai fini del calcolo della probabilità complessiva, è stato utilizzato un processo di ponderazione delle probabilità di transitare a rating peggiori, che sono state moltiplicate per la rispettiva probabilità di default; questi prodotti sono stati successivamente sommati tra loro e alla probabilità di default relativa al rating iniziale dell’emittente.
Ovviamente, per i livelli di rating iniziale migliori, l’ultima riga e colonna che si andavano a considerare per la ponderazione erano relative a rating più alti; ad esempio, considerando come rating iniziale Baa2, come ultima riga da considerare è stata utilizzata quella relativa al
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 06/07/2009 18/11/2010 01/04/2012 14/08/2013 27/12/2014 10/05/2016 22/09/2017 04/02/2019 18/06/2020 P rez zo
Andamento dei CDS a 5 anni
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rating Caa1, mentre come ultima colonna quella Caa3. Se invece il rating iniziale era Ba1, l’ultima riga considerata è stata Caa2 e l’ultima colonna Ca-C, e così via fino all’ultimo livello di rating osservato, ovvero Caa1 per Monte dei Paschi, per il quale si sono considerate tutte le righe e le colonne dei rating inferiori.
Questo perché se il rating iniziale dell’emittente è più alto, è più improbabile che esso transiti verso i livelli più bassi in un orizzonte di soli cinque anni; in ogni caso, non è stata considerata nella valutazione la colonna relativa ai rating ritirati.
Per ogni impresa e per ogni data, è stato quindi calcolato il prezzo derivante dall’applicazione del modello di Hull sia utilizzando la matrice di transizione con le probabilità attese per l’anno successivo, andando quindi ad effettuare una previsione di quello che dovrebbe essere il prezzo del CDS a cinque anni, sia utilizzando quella delle probabilità effettivamente verificatesi nell’anno precedente, calcolando quindi il prezzo reale che doveva essere registrato sui mercati.
Trattandosi di Credit Default Swaps a cinque anni, quest’ultima valutazione è stata possibile solamente per gli anni precedenti al 2015, dato che per scadenze successive non si hanno ancora i dati relativi agli anni 2020 e seguenti; considerando ad esempio il prezzo del Luglio 2010, si è partiti quindi dall’anno 2010, prendendo la matrice delle probabilità realizzate dal Luglio 2010 al Luglio 2011, e si è calcolata la probabilità come descritto in precedenza. Per il secondo anno si è invece considerata la matrice delle probabilità realizzate dal 2011 al 2012, e così via per tutti e cinque gli anni di valutazione.
Vediamo ora un esempio pratico dell’applicazione del modello: prendiamo in considerazione la data 10 Luglio 2018 relativamente a Monte dei Paschi; come primo passo sarà necessario calcolare le probabilità di default stimate nei cinque anni di riferimento del CDS, per cui sarà necessario considerare la matrice di transizione che contiene le probabilità attese di default e downgrade per l’orizzonte temporale che va da Luglio 2018 a Luglio 2019.
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Per calcolare la probabilità relativa al primo anno, andremo poi ad utilizzare quel processo di ponderazione descritto in precedenza: considerando che il rating iniziale dell’impresa a quella data era di B3, la probabilità complessiva sarà data da:
𝑃1 = 0.013 + 0.068 ∗ 0.019 + 0.026 ∗ 0.033 + 0.01 ∗ 0.063 + 0.006 ∗ 0.101 +
0.067 ∗ 0.033 + 0.024 ∗ 0.063 + 0.011 ∗ 0.101 + 0.052 ∗ 0.063 + 0.03 ∗ 0.101 + 0.063 ∗ 0.101 = 0.033889
Per calcolare P2, seguendo il modello di Hull, basterà moltiplicare la probabilità di
sopravvivenza dopo il primo anno (data da 1 – P1) per P1, e così via per gli anni successivi per
ottenere le probabilità di ogni anno basterà moltiplicare la probabilità di sopravvivenza dell’anno precedente per P1; otteniamo in questo modo la seguente tabella:
Tempo PD Sopravvivenza 1 0.033889 0,966111 2 0,032740536 0,933370464 3 0,031630992 0,901739473 4 0,030559049 0,871180424 5 0,029523433 0,84165699
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Valutiamo ora il lato dei pagamenti attesi che il protection buyer dovrà effettuare
periodicamente, ovviamente solamente nel caso in cui non si verifichi il credit event; per il fattore di sconto si ricordi che viene utilizzata una capitalizzazione continua del tipo 𝑒−𝑟∗𝑛, dove r è il rendimento del bund decennale tedesco registrato alla data di valutazione, pari a 0.440%:
Tempo Sopravvivenza Pagamento
atteso Fattore di sconto Valore attuale pagamenti 1 0,966111 0,966111s 0,9956 0,961860112s 2 0,933370464 0,933370464s 0,9912 0,925156804s 3 0,901739473 0,901739473s 0,9868 0,889836512s 4 0,871180424 0,871180424s 0,9824 0,855847648s 5 0,84165699 0,84165699s 0,9781 0,823224702s Totale 4,455925778s
Per il lato del payoff atteso che dovrà pagare il protection seller invece, serviranno le
probabilità di default, dato che esso sarà versato solamente al verificarsi del credit event, e il tasso di recupero, poiché egli dovrà rimborsare solamente 1 – RR moltiplicato per la
corrispondente probabilità di default; le scadenze questa volta sono a metà anno dato che il modello assume per semplicità che il default possa verificarsi solamente in quel momento. Otteniamo quindi: Tempo PD Recovery Rate Payoff atteso Fattore di sconto Valore attuale payoff 0.5 0.033889 0.4 0,0203334 0,9978 0,020288667 1.5 0,032740536 0.4 0,019644321 0,9934 0,019514669 2.5 0,031630992 0.4 0,018978595 0,989 0,01876983 3.5 0,030559049 0.4 0,018335429 0,9846 0,018053064 4.5 0,029523433 0.4 0,01771406 0,9803 0,017365093 Totale 0,093991323
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Infine rimane da considerare il pagamento arretrato, che dovrà essere versato dal protection buyer, in caso si verifichi il credit event, relativamente alla prima metà dell’anno in cui si verifica e sarà pari a 0.5s moltiplicato per la probabilità di default:
Tempo PD Pagamento arretrato Fattore di sconto Valore attuale pagamento arretrato 0.5 0.033889 0,0169445s 0,9978 0,016907222s 1.5 0,032740536 0,016370268s 0,9934 0,016262224s 2.5 0,031630992 0,015815496s 0,989 0,015641525s 3.5 0,030559049 0,015279524s 0,9846 0,01504422s 4.5 0,029523433 0,014761717s 0,9803 0,014470911s Totale 0,078326102s
Per calcolare il prezzo del CDS basterà eguagliare il lato dei pagamenti a quello del payoff: 4,455925778𝑠 + 0,078326102𝑠 = 0,093991323
𝑠 = 0,02072918 ∗ 10000 = 207,2917984
Lo stesso processo è stato applicato per ogni data di valutazione e per ogni impresa, con la differenza che per calcolare le probabilità di default effettivamente realizzatesi sono state utilizzate le altre tipologie di matrice come descritto in precedenza.
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Enel Prezzo sui mercati Prezzo derivante
dell’applicazione del modello Prezzo derivante dall’utilizzo delle probabilità realizzate 10/01/2010 62,49 245,75 118,53 10/07/2010 205,7 93,56 127,59 10/01/2011 217,04 110,26 161,92 10/07/2011 212,69 75,96 187,22 10/01/2012 352,68 133,29 184,20 10/07/2012 439,34 161,55 190,78 10/01/2013 185,404 183,41 167,87 10/07/2013 225,83 151,95 170,51 10/01/2014 105,35 117,57 138,77 10/07/2014 79,39 119,02 152,63 10/01/2015 87,76 145,26 10/07/2015 80,42 137,33 10/01/2016 101,95 208,95 10/07/2016 90,24 149,67 10/01/2017 88,21 125,18 10/07/2017 68,5 98,45 10/01/2018 56,79 84,10 10/07/2018 89,18 76,19 10/01/2019 114,2 125,24 10/07/2019 68,45 109,39
I valori mancanti dipendono, come spiegato in precedenza, dal fatto che ancora non si hanno i dati relativi agli anni 2020 e seguenti.
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Telecom Prezzo sui mercati Prezzo derivante
dell’applicazione del modello Prezzo derivante dall’utilizzo delle probabilità realizzate 10/01/2010 90,05 277,92 197,68 10/07/2010 249,29 112,04 206,59 10/01/2011 136,3389194 136,34 356,74 10/07/2011 300,246 97,18 338,25 10/01/2012 490,92 180,36 451,77 10/07/2012 493,81 191,69 367,32 10/01/2013 237,674 289,75 434,99 10/07/2013 324,06 245,20 365,60 10/01/2014 237,65 288,79 439,60 10/07/2014 188,27 271,29 350,59 10/01/2015 166,38 330,12 10/07/2015 159,8 302,72 10/01/2016 185,96 433,60 10/07/2016 227,58 312,17 10/01/2017 227,62 248,42 10/07/2017 142,33 187,89 10/01/2018 127,87 154,74 10/07/2018 183,26 132,90 10/01/2019 328,9 225,95 10/07/2019 191,91 199,43
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Monte dei Paschi Siena
Prezzo sui mercati Prezzo derivante
dell’applicazione del modello Prezzo derivante dall’utilizzo delle probabilità realizzate 10/01/2010 65,01 207,24 276,32 10/07/2010 140,87 79,20 296,11 10/01/2011 354,8 110,26 438,24 10/07/2011 296,303 75,96 534,11 10/01/2012 545,92 146,44 677,67 10/07/2012 726,08 247,93 640,29 10/01/2013 412,325 408,52 802,46 10/07/2013 695,83 549,97 646,94 10/01/2014 367,87 447,68 769,13 10/07/2014 222,3 276,08 597,83 10/01/2015 262,3 336,55 10/07/2015 226,34 466,31 10/01/2016 294,05 629,39 10/07/2016 584,15 502,90 10/01/2017 406,21 377,69 10/07/2017 176,28 292,84 10/01/2018 128,33 201,66 10/07/2018 307,17 207,29 10/01/2019 451,8 386,58 10/07/2019 412,52 332,46
Per immediatezza visiva e per poter comprendere al meglio le implicazioni dei risultati ottenuti, essi sono stati riportati su dei grafici, uno per impresa.
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Iniziando con Enel S.p.A., la linea blu indica i prezzi registrati sui mercati, quella rossa i valori ottenuti applicando il modello di Hull come spiegato in precedenza, mentre con la linea verde sono rappresentati i prezzi derivanti dall’utilizzo delle matrici di transizione con le probabilità effettivamente realizzatesi nei cinque anni di vita del contratto.
La prima cosa che possiamo notare è che nel periodo successivo alla crisi dei mutui subprime e durante quella del debito sovrano, il prezzo registrato sui mercati supera nettamente le altre due tipologie, ad indicare che vi era una particolare avversione al rischio da parte dei mercati, che ritenevano molto più alta la rischiosità dell’emittente di riferimento e,
conseguentemente, richiedevano un premio maggiore ai protection buyers.
Con il passare del tempo e lo stabilizzarsi della crisi, i prezzi di mercato sono tornati sui livelli iniziali, e si può notare come l’andamento dei valori ottenuti tramite il modello segua quello dei prezzi di mercato, con una leggera sovrastima da parte dei primi; negli anni più recenti, infine, si può notare che le due linee arrivano anche ad intrecciarsi.
Per quanto riguarda invece la linea verde, si possono notare differenze nette tra i prezzi effettivi e quelli ricavati dal modello nel periodo di crisi sopracitato, che però si attenuano fortemente a partire dal Gennaio 2013.
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Analizzando invece il grafico relativo a Telecom Italia S.p.A., si può notare lo stesso comportamento dei prezzi di mercato nei periodi di crisi, con lo stesso elevato livello di rischiosità percepita, ma in questo caso i prezzi derivanti dalle probabilità realizzate si avvicinano maggiormente a tali livelli, ad indicare che effettivamente vi era un maggiore rischio connesso a tale emittente di riferimento.
Come in precedenza, alla sottostima da parte del modello nei periodi di crisi, segue la
sovrastima in quelli successivi, per poi tornare su livelli piuttosto simili negli anni più recenti; si può inoltre notare che al momento dell’aumento del prezzo di mercato del CDS nel Luglio 2015, il modello cerca di prevederne gli effetti sulla base di quanto accaduto nei periodi di crisi, raggiungendo un livello molto elevato, per poi tornare a scendere quando il prezzo di mercato da indicazione di non essere in grado di raggiungere i livelli della crisi.
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Infine osserviamo il grafico relativo a Banca Monte dei Paschi Siena S.p.A., in cui si può osservare lo stesso andamento visto in precedenza nei periodi di crisi, ma in questo caso la linea verde supera quella dei prezzi di mercato, ad indicare che effettivamente la rischiosità percepita dai mercati era corretta.
Si può inoltre osservare un andamento molto più volatile dei prezzi, dovuto ai vari
downgrade che la banca ha subito nel corso degli anni di valutazione, iniziando da un rating di A1 nel Gennaio 2010, fino a scendere a Caa1 nel 2019, passando per molti dei livelli intermedi compresi tra essi.
Superato il periodo di crisi, l’applicazione del modello di Hull sembra essere in grado di stimare piuttosto correttamente l’andamento dei prezzi di mercato, e anzi sembra quasi prevederne i valori specialmente nel periodo 2014-2018.
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CONCLUSIONI
I Credit Default Swaps sono sicuramente lo strumento derivato più utilizzato per gestire il rischio di credito di un emittente e per questo motivo l’andamento dei loro prezzi viene costantemente osservato dagli investitori e dagli intermediari per valutare la rischiosità degli emittenti e prendere decisioni riguardo agli strumenti finanziari detenuti in portafoglio. Centrale in tal senso è lo spread di un CDS, inteso come l’ammontare annuo, in termini di percentuale del valore nominale del contratto, dei pagamenti che il protection buyer deve effettuare a favore della controparte per coprirsi dal rischio di credito relativo ad un emittente di riferimento, che può essere uno Stato, un’impresa, o di altre tipologie. Per poter calcolare lo spread è necessario stimare le probabilità con cui il credit event può verificarsi, processo che può essere fatto utilizzando i dati storici sui default verificatisi, come nel caso delle agenzie di rating, oppure stimandole dai prezzi di mercato di strumenti di debito o equity relativi agli emittenti di riferimento.
Esistono vari modelli teorici per il pricing dei Credit Default Swaps, alcuni, come il modello di Hull, che considerano le probabilità di default come una variabile aleatoria discreta, altri più complessi, come quello di Hull e White, che invece vanno ad analizzare l’operazione in termini di processo continuo.
In questo mio lavoro è stata analizzata la validità del modello di Hull, andando a calcolare i prezzi dei CDS di tre imprese italiane di rating iniziale differente, per poterli poi confrontare con i prezzi di mercato osservati; per fare ciò sono state utilizzate le matrici di probabilità di transizione ad un anno, sia quelle effettive che quelle stimate, pubblicate mensilmente da Moody’s relativamente al settore corporate, da cui sono state ricavate le probabilità di default e downgrade degli emittenti di riferimento.
I risultati ottenuti mostrano che nel periodo successivo alla crisi dei mutui subprime e durante la crisi del debito sovrano, il mercato percepiva una maggiore rischiosità negli emittenti, riflettendola sui prezzi dei CDS che hanno registrato valori molto superiori a quelli ottenuti applicando il modello teorico; nel periodo successivo però, i risultati
dell’applicazione del modello di Hull seguono l’andamento dei prezzi di mercato, con una certa sovrastima che varia a seconda dell’impresa considerata e, quindi, del rating. In circa ogni data di valutazione, i risultati ottenuti dall’applicazione delle probabilità effettivamente realizzate tendono a sovrastimare quelli del modello di Hull.
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Le differenze, a volte anche marcate, tra queste tre tipologie di risultati, possono dipendere da vari fattori: sicuramente le assunzioni semplificatrici di base del modello di Hull giocano un ruolo importante, dato che esso considera che il default possa avvenire solamente a metà anno, mentre nella realtà esso può avvenire in qualsiasi momento, con conseguenze sul calcolo dei fattori di sconto e dei pagamenti arretrati.
Un altro fattore che sicuramente incide è il fatto che le matrici di probabilità di transizione, seppur suddivise per classi di rating iniziale, presentano al loro interno dei valori che
riguardano l’intera classe di rating, e non sono in grado di fornire indicazioni specifiche sulle singole imprese, anche se riescono a fornire una stima piuttosto precisa delle probabilità di default e downgrade; trattandosi di imprese infatti, entrano in gioco moltissimi fattori sulla rischiosità complessiva, in particolar modo il bilancio aziendale, la cui solidità è un aspetto fondamentale per la valutazione del rischio connesso a tale emittente.
Ciò si può notare dalla maggiore volatilità nei prezzi di Monte dei Paschi rispetto a quelli di Enel ad esempio, considerata la poca solidità aziendale della banca toscana, che non a caso ha subito vari downgrade durante il periodo di valutazione.
Infine il processo di ponderazione per il calcolo delle probabilità di default può aver influito sui risultati finali, essendo il frutto di una valutazione soggettiva sulla quantità di dati da utilizzare.
In ogni caso, nonostante le problematiche evidenziate, i risultati ottenuti sono coerenti con quanto osservato sui mercati, e sembrano in grado di stimarne piuttosto correttamente i prezzi; conseguentemente il modello, sebbene di facile applicazione, sembra essere un modello valido per la valutazione dei Credit Default Swaps.
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