Un ulteriore passo in avanti nello studio dei metodi di risoluzione delle equa-zioni differenziali attraverso processi di discretizzazione consiste nel conside-rare i vari possibili approcci al problema. I due metodi pi`u usati consistono in un approccio di tipo esplicito o implicito. Per capire in cosa consistono consideriamo nuovamente la (2.28), che esprime la conduzione del calore nel caso monodimensionale.
Nel precedente paragrafo abbiamo visto come la (2.28) possa essere messa sottoforma di equazione alle differenze come
Tin+1− Tin
∆t = αTi+1n − 2Tin+ Ti−1n
(∆x)2 (2.34)
da cui, banalmente, si ottiene
Tin+1= Tin+ α ∆t
(∆x)2(Ti−1n − 2Tin+ Ti−1n ). (2.35)
A questo punto ricordiamo che la (2.28) `e un’equazione di tipo parabolico che ammette una soluzione di tipo marciante. In questo caso la variabile che evolve `e costituita dal tempo t. Per l’appunto, come evidenziato dall’equa-zione (2.35), i valori della variabile T sulla mesh con indice temporale pari a n + 1 sono determinati a partire dai valori della stessa funzione sulla mesh precedente. Schematizziamo questa situazione nella figura 2.9.
Figura 2.9: Esempio di approccio esplicito.
Nell’area tratteggiata sono evidenziati i punti interessati dall’equazione di cui sopra.
Considerando ancora la (2.35), notiamo che tutti i valori (noti) della mesh con indice n compaiono a destra dell’uguaglianza, mentre l’unica incognita presente `e rappresentata dal valore di T nel punto di coordinate (i, n + 1).
Siamo di fronte quindi ad un’equazione con un’unica incognita che pu`o essere risolta conoscendo i valori di T negli istanti di tempo precedenti.
Per definizione, in un approccio esplicito ogni equazione alle differenze contiene una sola incognita ed inoltre pu`o essere risolta esplicitamente in maniera abbastanza semplice.
Tuttavia la (2.34) non `e l’unica equazione alle differenze che si pu`o ottenere dalla (2.28). Ad esempio, possiamo svilupparla in termini di propriet`a medie tra i livelli con indice temporale n ed n + 1, ottenendo
Tin+1− Tin
∆t = α
1
2(Ti+1n+1+ Ti+1n ) + 12(−2Tin+1− 2Tin) + 12(Ti−1n+1+ Ti−1n )
(∆x)2 .
(2.36) Questo tipo di differenziazione, usato spesso per risolvere problemi che coin-volgono equazioni paraboliche, `e detto Crank-Nicolson [6]. In tal caso sono presenti tre incognite legate ai valori della funzione sui punti del
livel-lo n + 1. Capiamo allivel-lora perch´e, in questo secondo caso, occorre che tutte le equazioni che interessano i punti del reticolo a n + 1 devono essere risol-te simultaneamenrisol-te. La (2.36) altro non `e che un esempio di un approccio implicito al problema considerato. Per definizione infatti, in un approccio implicito le incognite devono essere ottenute dalla risoluzione simultanea delle equazioni alle differenze applicate a tutti i punti della griglia disposti su una data mesh. E’ cos`ı spiegato il motivo per cui nell’approccio implicito si fa ricorso al calcolo matriciale.
Nella figura 2.10 `e schematizzata l’area di influenza di un approccio implicito su una griglia avente sette punti su ogni livello.
Figura 2.10: Esempio di approccio implicito.
Esplicitiamo ora la (2.36) portando a sinistra tutti i termini che si trovano sul livello temporale n + 1 e a destra quelli che appartengono alla mesh pre-cedente.
α∆t
2(∆x)2Ti−1n+1 −
·
1 + α∆t (∆x)2
¸
Tin+1+ α∆t
2(∆x)2Ti+1n+1 =
− Tin− α∆t
2(∆x)2(Ti+1n − 2Tin+ Ti−1n ). (2.37) Ponendo dunque
A = α∆t
2(∆x)2 , (2.38)
B = 1 + α∆t
(∆x)2, (2.39)
Ki = −Tin− α∆t
2(∆x)2(Ti+1n − 2Tin+ Ti−1n ), (2.40) si ottiene
ATi−1n+1− BTin+1+ ATi+1n+1 = Ki (2.41) in cui Ki `e una quantit`a nota in quanto fa riferimento ai valori di T al passo precedente della griglia. Con riferimento alla figura 2.10, applichiamo la (2.41) ai punti della griglia da 2 a 6 sul livello temporale n + 1.
Per il punto 2 si ottiene
AT1− BT2+ AT3 = K2. (2.42) Dal momento che l’equazione parabolica `e definita sul contorno per x = 1 e x = 7, allora sia K2 che T1 sono quantit`a note, che possiamo portare perci`o tutte al secondo membro
−BT2+ AT3 = K2− AT1 (2.43)
e sostituire col valore K20
−BT2+ AT3 = K20. (2.44)
Analogamente, procedendo con gli altri punti nel punto 3 si ha
AT2− BT3+ AT4 = K3; (2.45) Per l’ultima equazione vale il discorso fatto per la (2.42) in quanto T7 `e calcolato sul contorno, quindi `e noto. Possiamo allora riscrivere la (2.48) come
AT5− BT6 = K6− AT7 = K60. (2.49) Le equazioni dalla (2.44) alla (2.47), con la (2.49) formano un sistema di cin-que equazioni in altrettante incognite; in forma matriciale possiamo scrivere
La matrice dei coefficienti `e una matrice tridiagonale avente, cio`e, ele-menti non nulli solo lungo le tre diagonali centrali. Questo tipo di matrice pu`o essere risolta facendo ricorso all’algoritmo di Thomas 2.
Notiamo che l’equazione di cui ci siamo occupati finora, cio`e la (2.28), `e un’e-quazione differenziale alle derivate parziali di tipo lineare. Anche le equazioni alle differenze dedotte, sia con l’approccio esplicito (2.35) che con quello im-plicito (2.36), sono di tipo lineare.
Assumiamo ora che il fattore di diffusione termica α dipenda dalla tempera-tura T , di modo che l’equazione (2.28) non risulti essere lineare. Scriviamo allora
∂T
∂t = α(T )∂2T
∂x2. (2.51)
Analogamente alla (2.35), per l’approccio esplicito otteniamo Tin+1 = Tin+ α(Tin) ∆t
(∆x)2(Ti+1n − 2Tin+ Ti−1n ). (2.52) Quest’equazione risulta essere ancora lineare nell’unica incognita Tin+1 poi-ch´e α `e stimata a partire dal valore di T sul livello n, che `e ben noto.
Se applichiamo alla (2.51) la Crank-Nicolson otteniamo un’equazione analoga alla (2.36), tenendo conto che α `e ora rappresentato da 1/2[α(Tin+1+ α(Tin)].
In questo caso, risolvendo l’equazione, otteniamo dei termini dati dal pro-dotto delle variabili dipendenti α e T calcolate al passo n + 1. Ne consegue un’equazione alle differenze non lineare. Per risolvere allora un tale problema dovremmo risolvere un sistema formato da equazioni non lineari, il che non `e certamente semplice. Per superare tale ostacolo si pu`o approssimare il valore di α sulla mesh n+1 a quello ch’essa assume nella precedente.
Dopo aver abbondantemente esposto ambedue gli approcci facciamo delle considerazioni finali. Notiamo allora come gli incrementi ∆x e ∆t appaiono sia nella (2.35) che nella (2.36). Per quanto riguarda l’approccio esplicito, una volta fissato ∆x il valore che ∆t pu`o assumere non `e arbitrario, ma deve essere minore o uguale di un certo valore prescritto dal criterio di stabilit`a.
Se ∆t risulta maggiore di questo limite il processo diviene subito instabile.
Per ovviare a ci`o si preferisce un passo molto piccolo con un conseguente aumento del numero di processi che la macchina deve eseguire per ottenere
2Il metodo di Thomas consiste nel risolvere un sistema di equazioni lineari in forma tridiagonale attraverso un processo iterativo. In particolare si trasforma il sistema origi-nario in uno bidiagonale eliminando con opportune moltiplicazioni e sottrazioni i termini della diagonale inferiore e facendo delle sostituzioni di variabile. A questo punto, partendo dall’ultima equazione, avente una sola incognita, si procede a ritroso risolvendo il sistema.
Per maggiori informazioni si consulti [18].
la soluzione. Al contrario i processi impliciti non prevedono la presenza di alcuna restrizione sul valore da assegnare a ∆t, anzi talvolta si incontrano dei sistemi che risultano essere incondizionatamente stabili, nel senso che sono stabili per qualsiasi valore di ∆t. In questo caso il tempo impiegato dai cal-colatori sar`a dunque minore. Ci sono per`o anche dei risvolti negativi legati alla scelta di un ∆t molto ampio. Innanzi tutto con l’aumentare di ∆t cresce l’errore di troncamento legato alla relativa equazione alle differenze per la derivata temporale; inoltre un aumento del passo va a discapito della preci-sione della descrizione del sistema. Capiamo bene che non c’`e un approccio migliore dell’altro in quanto entrambe, come esposto, hanno dei pregi e dei difetti; perci`o bisogna far ricorso all’uno o all’altro in base alle situazioni in cui ci si trova.