Consideriamo il seguente sistema di equazioni alle derivate parziali quasi lineari
dove u e v sono le variabili dipendenti (funzioni di x e y), e i coefficienti a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2, f1 ed f2 possono essere funzioni di x, y, u e v. u e v sono funzioni continue di x e y. Quindi, il loro differenziale totale pu`o essere scritto come
Notiamo anche che ad ogni punto nel piano xy `e associato un unico valore di u e un unico valore di v, mentre le loro derivate risultano essere ivi finite.
Con riferimento alla figura 1.1, fissato un punto P nel piano xy, cerchiamo le linee o direzioni passanti per P lungo le quali le derivate di u e v sono indeterminate e attraverso le quali possono presentarsi delle discontinuit`a.
Tali direzioni sono dette linee caratteristiche.
Consideriamo ora il sistema di quattro equazioni in quattro incognite (∂u/∂x,
∂u/∂y,∂v/∂x,∂v/∂y) costituito dalle equazioni lineari (1.1), (1.2), (1.3) e (1.4). Possiamo scrivere il tutto in forma matriciale
Denotiamo con [A] la matrice dei coefficienti, cio`e
[A] ≡
Risolviamo ora, con la regola di Cramer, l’equazione (1.5) per l’incognita
∂u/∂x. Introduciamo quindi la matrice [B], costruita a partire dalla matrice
[A] sostituendo la prima colonna col vettore colonna dei termini noti della (1.5)
[B] =
f1 b1 c1 d1 f2 b2 c2 d2 du dy 0 0 dv 0 dx dy
(1.7)
Utilizzando la regola di Cramer scriviamo
∂u
∂x = |A|
|B| (1.8)
in cui con |A| e |B| abbiamo indicato rispettivamente i determinanti delle matrici [A] e [B]. Per ottenere un valore dall’equazione precedente dobbia-mo per`o assegnare alle quantit`a dx, dy, du e dv dei valori ben definiti.
Figura 1.1: Esempio di curva caratteristica.
Con riferimento alla figura 1.1 immaginiamo di muoverci lungo una linea ab passante per il punto P nel piano xy. Supponiamo di effettuare uno sposta-mento infinitesimo ds verso il punto Q. In questo caso sia x che y subiranno una variazione infinitesima data da dx = xQ − xP e dy = yQ− yP. Ana-logo discorso pu`o esser fatto per le quantit`a u e v, quindi du = uQ− uP e dv = vQ − vP. Una volta note queste quantit`a, possiamo porle all’interno delle matrici [A] e [B], e attraverso la (1.8), calcolare una delle quattro inco-gnite del sistema (1.5).
Il valore cos`ı trovato risulta essere indipendente dalla direzione lungo la quale ci allontaniamo dal punto P, sempre nell’ipotesi di un cammino infinitesimo.
Se ad esempio ci muoviamo lungo la linea cd, i valori di dx, dy, du e dv sono naturalmente diversi dai precedenti, tuttavia svolgendo i calcoli si ottiene un identico valore della variabile ∂u/∂x. Questo valore risulta essere fissato,
potremmo intenderlo come valore puntuale, mentre la scelta della curva pas-sante per P sulla quale ci muoviamo `e del tutto arbitraria.
Definiamo come curva caratteristica quella curva, ef nella figura 1.1, muovendosi lungo la quale le variazioni infinitesime sono tali da rispettare la seguente condizione
|A| = 0. (1.9)
Proprio ponendo questa condizione siamo in grado di trovare, se esistono, le curve caratteristiche passanti per il generico punto P nel piano xy. Natural-mente la determinazione di tali linee `e indipendente da quale delle quattro equazioni andiamo a risolvere dal momento che il denominatore |A| `e comu-ne a tutte le equazioni analoghe alla (1.8). Quando queste particolari licomu-nee esistono, possiamo calcolare le loro equazioni ed in particolare la pendenza nel punto P, infine tracciarle nel piano xy, come nel caso della linea ef nella figura di cui sopra. Riscriviamo allora la (1.9) e risolviamo il determinante.
¯¯
Dividiamo a questo punto ambo i membri per dx2, ottenendo (a1c2− a2c1)
Notiamo che quest’ultima `e un’equazione quadratica in (∂y/∂x). La soluzio-ne dell’equaziosoluzio-ne (1.12) ci da le pendenze delle curve caratteristiche passanti per il generico punto P. Poniamo ora
a = (a1c2− a2c1) (1.13)
b = −(a1d2− a2d1 + b1c2− b2c1) (1.14)
c = (b1d2− b2d1) (1.15)
di modo che la (1.12) assuma la forma seguente
a
Quest’ultima equazione pu`o essere integrata per ottenere l’equazione y = y(x) della curva caratteristica, oppure pu`o, attraverso la determinazione della pendenza
∂y
∂x = −b ±√
b2− 4ac
2a , (1.17)
indicarci la direzione della stessa curva caratteristica nel piano xy.
Inoltre, la (1.17) ci permette, attraverso la determinazione del valore del suo discriminante, di classificare il comportamento delle varie linee caratteristi-che.
Sia D il discriminante della (1.17), cio`e
D = b2− 4ac. (1.18)
Se D > 0 esistono due caratteristiche reali e distinte passanti per ogni punto del piano xy. Il sistema costituito dalle equazioni (1.1) e (1.2) `e detto iper-bolico.
Se D = 0 il sistema in questione `e detto parabolico.
Se D < 0 le linee caratteristiche sono immaginarie ed il sistema `e definito ellittico.
L’origine degli appellativi iperbolico, parabolico ed ellittico, con i quali ven-gono definiti i sistemi di equazioni alle derivate parziali quasi lineari, trae origine da un’analogia con le sezioni coniche, la cui equazione generale `e data da
ax2+ bxy + cy2+ dx + ey + f = 0. (1.19) In questo caso, se
• b2− 4ac > 0 si ha un’iperbole;
• b2− 4ac = 0 si ha una parabola;
• b2− 4ac < 0 si ha un’ellisse.
Torniamo a considerare l’equazione (1.8) e notiamo che qualora fosse rispet-tata la condizione (1.9), la derivata (∂u/∂x) risulterebbe infinita, contrav-venendo all’ipotesi stessa che riguarda le curve caratteristiche. La derivata deve essere indeterminata ma non infinita. Per ovviare a tutto ci`o occorre che anche il determinante di [B] sia nullo in modo tale che la (1.8) si presenti nella forma
∂u
∂x = |A|
|B| = 0
0, (1.20)
mentre
Lo sviluppo di tale determinante genera un’equazione differenziale ordinaria nelle variabili du e dv, mentre dx e dy sono limitati a restare lungo la linea caratteristica. Procedendo con la sua risoluzione si ottiene un’equazione per le variabili dipendenti u e v che `e detta equazione di compatibilit`a. Tale equazione risulta avere una dimensione in meno di quelle alle derivate par-ziali di partenza, ed essere, in generale, pi`u facile da risolvere. Ci`o conduce ad una tecnica risolutiva del problema originario nota come metodo delle caratteristiche, secondo cui si risolve la semplice equazione di compatibi-lit`a solo sulle linee caratteristiche individuate nel piano xy. Tale metodo, richiedendo almeno due curve caratteristiche, `e applicabile al solo caso delle equazioni iperboliche. Rimandiamo il lettore al [12] per l’applicazione di tale tecnica al caso di fluidi supersonici non viscosi.