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Approssimazione di Hartree-Fock

Nel documento Meccanica statistica e fenomeni critici (pagine 78-85)

3.3 Modello di Landau-Ginzburg

3.3.6 Approssimazione di Hartree-Fock

Vediamo pi`u nel dettaglio la costruzione della self-energia. La self energia pu`o essere rappresentata da un diagramma a quadratino (Figura 3.27).

Usando la risommazione finale della self energia otteniamo uno spstamento del punto critico:

G = 1

p2+ µ − Σ

La funzione di correlazione finale (G) pu`o essere calcolata con un diagramma pieno (Figura 3.28)

Figura 3.27: Rappresentazione diagrammatica della self-energia.

Figura 3.28: Rappresentazione diagrammatica della funzione di correlazione a due campi, usando la self-energia.

La self energia rappresenta la somma di tutti i diagrammi irriducibili, ossia diagrammi che tagliando una qualunque linea non diventano sconnessi.

Se calcoliamo la self-energia in teoria delle perturbazioni al primo ordine l’unico diagramma presente `e irriducibile (il cappio).

Σ = −g 2 1 (2π)d Z Λ 0 dDk k2+ µ

Dove decidiamo arbitrariamente il taglio Λ per far convergere l’integrale. La funzione di correlazione `e: G(k) = 1 k2+ µ − Σ = 1 k2+ m2 (3.22) m2= µ − Σ

Adesso possiamo immaginare di iterare questo passaggio. Al posto di usare la G0 per scrivere le linee con cui calcolare i diagrammi di self-energia usia-mo questa espressione iterativa (3.22). Se prendiausia-mo per self-energia solo il diagramma al primo ordine, ma usando questa espressione iterativa per la G otteniamo una rappresentazione diagrammatica raffigurata in Figura 3.29, dove sono inclusi tutti i possibili diagrammi a cactus.

L’espressione per questa self-energia `e la seguente7: Σ = −g 2 1 (2π)D Z Λ 0 dDk k2+ m2 (3.23)

La soluzione di queste due equazioni in funzione di g non `e evidente: la self-energia `e funzione di g e m, che a sua volta dipende da g attraverso Σ. Questa equazione pu`o essere risolta riscrivendo a sinistra e destra una serie di potenze in g e uguagliando i termini dello stesso ordine. La risommazione che si ottiene `

e quella di tutti i possibili diagrammi a cactus (Figura 3.29).

Figura 3.29: Schema dei diagrammi a cactus.

Il denominatore della (3.23) `e una lorentziana nello spazio degli impulsi, che nelle posizioni `e un esponenziale, il cui coefficiente di attenuamento corrisponde alla lunghezza di correlazione ξ:

ξ−2= m2

Possiamo riscrivere l’integrale (3.23) usando le regole di Feynman: Z dDk k2+ m2 = Z dDk Z 0 dαe−α(k2+m2) Z dαπ D/2 αD/2 exp −αm2

Possiamo fare un’analisi dimensionale per risolvere l’integrale; l’esponenziale deve avere argomento adimensionale:

[m2] = −[α] = −1 L’integrale ha pertanto dimensione:

[ Z ] = −1 +D 2 In m2 otteniamo: Z dαπ D/2 αD/2 exp −αm2 = πD/2m2(D/2−1)Γ  1 − D 2  (3.24) Dove la Γ `e la funzione di Eulero.

Γ(z) = Z

0

Γ(z + 1) = zΓ(z) (3.26) Se z `e intero

Γ(z + 1) = z!

L’integrale con cui `e definita la funzione (3.25) `e convergente solo per z strettamente positivo, tuttavia la propriet`a (3.26) pu`o essere usata per calcolare il prolungamento analitico per Γ anche per valori negativi. Poich´e la funzione ha per`o un polo per z = 0, tutti i valori per z intero negativo presentano lo stesso polo (3.26).

Questa propriet`a pu`o essere sfruttata per dimostrare un interessante rela-zione che deve soddisfare la Γ:

Γ(z)Γ(1 − z) = π sin(πz)

Infatti possiamo costruire una funzione nel seguente modo. 1

Γ(z)Γ(z + 1) =

sin(πz) π

Poich´e la funzione a sinistra `e analitica in tutto C, basta dimostrare che le due funzioni (entrambe analitiche) hanno un punto di accumulazione in comune per dimostrarne l’uguaglianza8. Il punto di accumulazione `e z reale infinito, infatti entrambe le funzioni hanno zeri per ogni z intero (positivo o negativo).

Questa relazione permette di ricostruire la Γ per valori negativi conoscendola per valori positivi.

Applichiamo queste relazioni per comprendere meglio il risultato della self-energia (equazione 3.24). Affrontiamo ora il caso D < 2, in cui l’integrale converge per valori grandi di k.

In questa situazione l’esponente di m `e positivo. Per m → 0 questo termine diverge (se D < 2). Riscriviamo l’espressione che definisce m2.

m2= µ + Σ = µ + g

2(2π)DπD/2Γ 2 − D 2



m2(D−22 )

Nel limite in cui m2→ 0 il termine che viene da Σ diverge, mentre il contributo a sinistra pu`o essere trascurato.

µ = −CmD−2 m ∝  −1 µ 2−D1

Quindi il modello non ha transizione perch´e non c’`e soluzione per m2= 0 (e quindi la funzione di correlazione non diverge mai per k → 0, equazione 3.22).

Vediamo D > 2. In questo caso l’integrale diverge per k → ∞; dobbiamo introdurre un estremo superiore Λ di integrazione:

D > 2

8In questo caso il fattore π serve perch´e stiamo considerando tutti punti nulli, quindi la funzione `e determinata a meno di una costante moltiplicativa.

Σ ∝ Z Λ

0

dDk k2+ m2

In questo caso abbiamo la situazione opposta. Σ(m2) =

Z Λ

0

dDk

k2+ m2 Λ  m2∼ 0 Calcoliamo nel limite per m → 0

Σ(0, Λ) = Z Λ 0 dDk k2 < ∞ Possiamo calcolare: dΣ dm2 = − Z Λ 0 dDk (k2+ m2)2

Se D < 4 l’integrale converge per Λ → ∞, possiamo approssimarlo usando l’analisi dimensionale: dΣ dm2 ≈ − Z 0 dDk (k2+ m2)21 m4−D = (m2)D2−2

Da questa espressione si pu`o risalire all’integrale di partenza:

Σ(m2) = Σ(0, Λ) + Z m2 0 d(m0)2 d(m0)2 = Σ(0, Λ) + C(m2)D2−2+1 Σ(m2) = Σ(0) + CmD−2

Questo termine effettivamente converge per D > 2 nel limite m → 0. Possiamo calcolare esplicitamente l’integrale9.

Σ(m, Λ) = g

2(4π)D/2Γ 2 − D 2



mD−2− ΛD−2

La cosa interessante avviene per D → 2, dove la funzione Γ ha un polo: 1

ε[m

ε− Λε]ε→0−→ ln m − ln Λ = lnm Λ

Per D = 2 la self-energia Σ non diverge. Procediamo anche in questo caso a riscrivere l’equazione finale per m:

m2= µ + C + AmD−2 Il limite m → 0 `e facile:

µ = −C Quindi il nuovo punto critico `e (per D = 4)

˜

µ = µ + C

A seconda delle dimensioni domina l’esponente pi`u piccolo di m: ˜

µ = m2 D > 4

0 = ˜µ + AmD−2 D < 4 Per D < 4 otteniamo:

m ∼ ˜µD−21 µ = T − T˜ c

Da cui otteniamo la distanza di correlazione: ξ ∼ 1

m ∼ 1

(T − Tc)D−21

Dove abbiamo trovato l’esponente della lunghezza di correlazione in vicinianza della temperatura critica. L’andamento dell’esponente critico ν in funziione della dimensione `e mostrato in Figura 3.30.

Figura 3.30: Grafico dell’esponente critico della lunghezza di correlazione in funzione della dimensione del sistema. Dal grafico si evince che non c’`e transizione di fase per dimensioni minori di 2, e per dimensioni maggiori di 4 l’esponente critico `e costante pari a 0.5.

Questa teoria afferma che ν = 1 per D = 3, molto lontano dal valore corretto (ν3 = 0.624). Tuttavia `e un calcolo istruttivo che mostra come `e possibile ottenere esponenti non banali per dimensioni minori di 4.

Giustificazione dell’approssimazione

L’approssimazione che abbiamo fatto ci ha portato ad un risultato errato dell’e-sponente critico (con un errore relativo del 60 %), ha senso provare a continuare su questa strada? Mostriamo ora come in realt`a esista un modello analitico che ha questo ottenuto come risultato esatto.

Il modello di Ising `e un caso particolare di tutta una schiera di modelli com-plessi sui fenomeni ferromagnetici. Ad esempio le variabili di spin potrebbero non essere scalari, ma vettori. Un generico modello costruito con hamiltoniane di interazioni tra vettori pu`o avere una simmetria di rotazione rispetto a N gruppi. ϕα(x) N X a=1 (∂µϕa)2+1 2µ N X a=1a(x))2+ g 4! N X a=1a(x))2 !2

Dove abbiamo scritto i termini di questa hamiltonana usando l’interazione alla Heisemberg (dove N = 3).

~σ(x) · ~σ(x + n)

Se per`o ammettiamo che il sistema pu`o avere pi`u dimensioni, ad esempio lo spin pu`o essere un ellissoide nello spazio10e avere pi`u gradi di libert`a (in questo caso N = 5).

Possiamo studiare cosa avviene per N → ∞, per farlo conviene aggiungere un fattore 1/N nella costante di accoppiamento. (N sono il numero di possibili gruppi di interazione degli spin).

Nel limite N → ∞ il contributo del diagramma a cappio `e 1/3. Altri diagrammi contano con coefficienti differenti (Figura 3.31).

Figura 3.31: Contributi dei diagrammi per N → ∞.

I singoli diagrammi hanno diverse dipendenze da N quindi nel limite per N → ∞ alcuni diagrammi vengono distrutti. La selezione che avevamo fatto per il calcolo della self-energia11`e esatta nel limite di grandi N . L’approssimazione di Hartree-Fock descrive il sistema analiticamente per N → ∞. Dato che `e ragionevole pensare che gli esponenti critici dipendono da N `e chiaro perch´e non abbiamo ottenuto gli esponenti critici di Ising, ma quelli di Heisemberg nel limite N → ∞.

Questo vuol dire che il modello funziona bene, occorre solo trovare una migliore risommazione per Σ che descriva meglio il modello di Ising.

Nel limite di N che tende ad infinito sopravvivono solo i diagrammi a cactus, e l’approssimazione fatta sulla self-energia trova una giustificazione. Ora per`o gli esponenti critici dipendono da N oltre che da D. Nel limite N → ∞ per D maggiore di 4 sono quelli di campo medio, mentre per D < 4 minore sono non banali. Se D ≤ 2 non c’`e transizione di fase. 12

Nel modello a N generico l’energia di interazione tra coppie di spin dipende dal loro orientamento, poich´e gli spin sono vettori. Se chiamiamo θ1 e θ2 gli angoli che due spin formano con l’asse orizzontale si pu`o definire l’energia di

10Questo equivale a dire che in ciascun sito lo spin non `e diretto verso un unica direzione ma ha componenti anche lungo le direzioni ortogonali a quella dell’asse maggiore.

11Avevamo considerato solo i diagrammi a cactus.

interazione nel seguente modo:13 :

E(θ1, θ2) = (

− cos(θ1− θ2) = −~σ12 Ising A[sin2θ1+ sin2θ2] + B cos(θ1− θ2) Heisenberg

Ci sono alcune tecniche che permettono di applicare uno sviluppo perturba-tivo partendo dal riusltato analitico ad N → ∞ in ordini di N1. I casi di interesse sono quelli con N piccolo: N = 1 per il modello di Ising; N = 2 per modelli con isotrpie planari (film sottili); N = 3 per il modello isotropo di Heisenberg.

I risultati migliori trovati prevedono le seguenti divergenze per le grandezze interessanti14: ξ ∼ 1 |T − Tc|ν C = |T − Tc|−α− 1 α ∼ |{z} α→0 ln(T − Tc) χ ∼ 1 |T − Tc|γ γ = 7 4 m ∼ |T − Tc|β con m(H, Tc) = Hδ con δ = 1 15

Gli esponenti non sono molto diversi da quelli della teoria di campo medio dove: ν = 1 2 γ = 1 β = 1 2 δ = 1

Nel documento Meccanica statistica e fenomeni critici (pagine 78-85)