4.4 Gruppo di rinormalizzazione per il modello gaussiano
4.4.1 Modello Gerarchico
G∞(p) ∝X ~j 1 (p + 2π~j)2 D Y ν=1 1 − cos pν pν+ 2π~j 2 (4.4)
L’unico termine in (4.4) che da una singolarit`a per p = 0 `e quello che cor-rispode a ~j = 0. Tutti i termini con j 6= 0 non danno singolarit`a ma sono necessari per dare la periodicit`a in p.
La prima parte della funzione (senza la produttoria) `e la pi`u semplice fun-zione periodica con singolarit`a in zero (senza usare funzioni trigonometriche). Il termine nella produttoria non presenta singolarit`a, infatti anche se per p = 0 si annullla il denominatore, quando j = 0 diventa
lim
p→0
1 − cos pν p2 =1
2
Ora che sappiamo le variabili di blocco per il modello gaussiano dovremo essere in grado di ricavare l’hamiltoniana efficacie.
H = Z dp ˜ϕ∞(p) ˜G−1∞(p) ˜ϕ∞(p) O in un reticolo H =X k ϕ∞i ϕ∞k G−1∞ i−k
Sappiamo che ˜G(p) > 0 e che h ˜Gi−1
< ∞ Il termine di interazione Ji−k = G−1i−k= Jl. Si vede che
Jl→ exp
−l α
Dove ricordiamo come sono legati: ˜
G(p) = 1 ˜ J (p)
Dove la ˜J (p) `e la trasformata di Fourier del termine energetico nell’hamiltoniana.
H =X
k l
σkσlJkl
Quindi conoscendo la funzione di correlazione ˜G(p) `e posssibile ricavare l’hamil-toniana efficacie a cui converge il modello gaussiano.
Questo non `e molto interessante perch´e del modello Gaussiano conosciamo la soluzione analitica.
4.4.1 Modello Gerarchico
Questo modello pu`o essere risolto esattamente, fu inventato da Dyson, per stu-diare le transizioni di fase. Wilson negli anni 70 aveva provato a fare conti approssimati per il studiare il gruppo di rinormalizzazione, facendo un’appros-simazione complicato. Nei vari diagrammi con bolle (Figura 4.5), si possono avere varie possibilit`a, |k| < |p| o vice versa.
Figura 4.5: Esempio di diagramma approssimato da Wilson.
Una possibile approssimazione `e trascurare nella somma di impulsi il termine pi`u piccolo, come mostrato in Figura 4.6.
Con un calcolo complesso `e possibile scrivere una formula iterativa della funzione di correlazione, e ottenere delle espressioni esplicite per le hamiltoniane efficaci.
Ad un certo punto i matematici si sono accorti che, con questa semplifica-zione sui diagrammi, la teoria di Wilson corrispondeva esattamente al modello gerarchico di Dyson, e Wilson aveva approssimato il mondo tridimensionale con questo modello. Nel modello di Dyson si possono scrivere equazioni di ricorsione per l’hamiltoniana effettiva in modo esatto.
Se prendiamo il modello di Ising ad una dimensione questo non pu`o avere magnetizzazione. Se fissiamo un estremo del modello ad spin 1, possiamo calco-lare la probabilit`a di osservarte uno spin -1 dall’altra parte Questa probabilit`a equivale ad avere, in tutta la lunghezza L del segmento un flip di spin:
Z = 1 + Le−4β
Sostanzialmente qualunque sia β si paga una quantit`a finita di energia per girare uno spin e creare un’interfaccia nel caso unidimensionale, se per`o L → ∞ alla fine la probabilit`a di avere uno spin che si gira `e finita e il sistema perde memoria.
In due dimensioni questo argomento non aiuta. A bassa T l’interfaccia deve attraversare tutto il reticolo e ha dimensione L quindi l’energia necessaria costa −4βL, anche se ho L2 modi di mettere l’interfaccia il termine:
L2e−4βL L→∞−→ 0
Il modello di Dyson ha un hamilotniana in cui sono presenti interazioni a lungo range:
H = −X
ik
σiσk
(i − k)ρ
Con condizione ρ > 1 per far convergere la sommatoria.
Dyson dimostra che per 1 < ρ < 2 esiste transizione di fase. Dyson trasforma a forza bruta il modello per giungere ad un problema risolvibile analiticamente. Lo scopo originario era quello di introdurre la transizione di fase anche nel caso unidimensionale per calcolare gli esponenti critici (che Ising non fornisce perch´e non fa transizione).
Si prendono delle variabili di blocco e, a seconda della differente cella a cui appartengono, hanno interazione differente. βn `e l’interazione tra due siti in celle a distanza tipica n.
La distanza tipica tra variabili a due blocchi di ordine n `e dn = 2−n. Due va-riabili appartenenti a blocchi differenti interagiscono tra loro con un coefficiente βn (n `e l’ordine pi`u piccolo del blocco differente).
βn∼ d−ρn
Due spin molto distanti hanno l’interazione che `e uguale al modello di Dy-son originale, ma due spin molto vicini (ma appartenenti a blocchi differenti) interagiscono come se fossero molto distanti.
Possiamo definire delle variabili di blocco ˜ϕn e scrivere la relazione ricorsiva per la probabilit`a
Pn+1( ˜ϕn+1) = Z
dϕ1dϕ2Pn(ϕ1)Pn(ϕ2)δϕn+1− ϕ(1)− ϕ(2)exp(−βnϕ1ϕ2) Questa formula pu`o essere integrata esattamente, ci da la posibilit`a di dire quello che succede su grande scala.
Questa si pu`o leggere esattamente come una trasformazione ricorsiva. Que-sta trasformazione `e molto liscia e si pu`o dimostrare che in questo spazio tutta l’analisi matematica sui punti fissi pu`o essere fatta.
Questo oggetto ha una struttura a tre punti fissi, uno a bassa temperatura, uno ad alta temperatura e un punto critico. Questa equazione non si risolve a mano ma `e estremamente facile da risolvere numericamente, e il risultato `e noto con tantissime cifre significative.
La cosa `e molto interessante, perch´e possiamo studiare il punto fisso istabile sulla linea critica.
1 < ρ < 1.5
Per questi valori di ρ il punto fisso `e di tipo gaussiano. P (ϕ) = e−ϕ2
Come nel caso di alta temperatura. Quando ρ = 1.5 + ε il punto fisso gaussiano diventa istabile, e si forma un nuovo punto fisso non gaussiano, a distanza ε e la diestribuzione diventa:
Pn(ϕ) ∝ exp −ϕ2− Aεϕ4+ Bε2ϕ6
Questo punto fisso differisce di poco da quello gaussiano e si pu`o fare una teoria perturbativa in potenza di ε.
Intorno al punto fisso gaussiano ν =12 Per quello non gaussiano diventa: ν = 1
2 + 1 12ε
Si pu`o dimostrare che questo modello `e equivalente all’approssimazione di Wilson, posto ρ:
ρ = 1 + 2 D
Quindi effettivamente per D = 4, ρ = 1.5 ; il punto in cui il modello predice un punto fisso non gaussiano, e per D = 2 non troviamo transizione di Fase.
Questo risultato suggerisce due cose:
• Per dimensione pi`a grandi di 4 gli esponenti critici sono banali.
• Per dimensioni vicine a 4 gli esponenti critici sono vicini a quelli predetti dal campo medio.
Si pu`o pensare quindi di calcolare gli esponenti critici a partire dal risultato noto per D = 4.
Possiamo immaginare di fare uno sviluppo perturbativo nella distribuzione di probabilit`a asintotica rispetto a quello che succede al punto fisso.
`
E possibile che il punto fisso di questi sistemi sia non troppo lontano da un punto fisso gaussiano, e quindi fare uno sviluppo intorno ad un punto fisso gaussiano abbia senso.
Il modello di Landau dava diagrammi infrarosso divergenti al punto critico. TUttavia noi facevamo uno sviluppo perturbativo rispetto alla costante di ac-coppiamento, invece sarebbe corretto fare uno sviluppo direttamente sul punto fisso. C’`e questa idea della biforcazione, un punto fisso che diventa istabile e lo sviluppo perturbativo rispetto al punto fisso. I lavori di wilson calcola gli espo-nenti critici in dimensione 3.99, e argomenta che l’esponente critico si allontana di poco da 12. Si trova ν = 1 2 + 1 12ε + 3 · 84 8g2 ε2+ · · · η = ε 2 54
Questo conto in modo esplicito fino a ε5 si possono stimare con precisione di qualche parte per mille.
La dimensione 4 che separa gli esponenti banali da non banali `e detta upper-critical-dimension. Sopra questa dimensione il sistema `e in campo medio, sot-to la lower-critical-dimension non esiste transizione di fase. Esissot-tono modelli che non hanno una upper-critical-dimension che sono estremamente resistenti a calcoli analitici, non esiste nessun buon conto analitico buono ancora.