3.3 Modello di Landau-Ginzburg
3.3.5 Risommazioni parziali e Self-Energia
e compresa tra i due.
Esistono molti trucchi noti che permettono di trattare serie che non conver-gono con gli approssimanti di Pad´e. In genere si usano tanti differenti metodi di approssimazione, e poi si stima quello corretto facendo una media, e si calcola l’errore compiuto con la deviazione standard.
Un modo alternativo consiste nell’usare la somma di Borel: Se valgono le ipotesi del teorema di Borel (3.3.1), allora la serie `e sommabile alla Borel:
F (g) =
∞
X
k=0
(−g)kfk
Si pu`o definire una funzione di Borel unica. B(z) = ∞ X k=0 (−z)kfk k!
La funzione B(z) converge pi`u facilmente di F (g) del suo sviluppo in Tay-lor (grazie alla presenza del k!). B(z) `e analitica in una regione pi`u grande della F (z), per cui il raggio di convergenza del suo sviluppo `e maggiore (Figu-ra 3.22). Ma nota la B(z) si pu`o ricalcolare la F (g) attraverso un operazione di trasformata (detta trasformata di Borel):
F (g) = Z ∞
0
dzB(zg)e−z
Sebbene B `e analitica non `e detto che la F lo sia, perch´e `e integrata. Una delle tecniche pi`u diffuse per ricostruire la funzione originale `e quella di usare la trasformata di Borel, approssimandola con gli approssimanti di Pat´e; sostanzialmente otteniamo un prolungamento analitico sulla serie di Borel (che `
e converge in una regione pi`u grande di F ) in modo da poter ottenere uno sviluppo di F che converga oltre il raggio di convergenza della serie di Taylor6.
3.3.5 Risommazioni parziali e Self-Energia
Applichiamo queste tecniche per capire cosa avviene nel punto critico. Mettia-moci in dimensione D = 2. La funzione di correlazione all’ordine zero, nello
6Il successo di questo metodo non `e mai assicurato, e dipende dalla regolarit`a della funzione F (g)
Figura 3.22: Schema dell’analiticit`a della trasformata di Borel della funzione F (g).
spazio di Fourier `e:
˜
G(k) = 1 k2
Guardando il diagramma al primo ordine (Figura 3.23) possiamo scrivere l’integrale.
Figura 3.23: Diagramma al primo ordine nello spazio di Fourier.
G2(p) Z dDk k2 D = 2 Concentriamoci sull’integrale. Z ∞ 0 d2k k2
Gi`a in dimensione due questo termine diverge intorno a zero. Si pu`o verificare facilmente che in qualunque dimensione c’`e questo stesso problema (andando all’ordine opportuno).
Il diagramma mostrato in Figura 3.24 diverger`a in qualunque dimensione (aumentando opportunamente il numero di cappi).
Il suo integrale viene:
Z dk (p − k)2 Z dq k 2− q2 1 k 2+ q2 !N
Figura 3.24: Diagramma divergente.
Con N numero di cappi al numeratore. Possiamo fare il caso con due cappi espli-citamente per tovarlo. Questi sono diagrammi a salciccia. La cosa interessante `
e come l’integrale I(k) per k → 0, con I(k) definito: I(k) = Z dDq k 2− q2 1 k 2 + q2
Possiamo trovare la dipendenza da k della primitiva attraverso l’analisi di-mensionale; nella regione convergente questo diagramma deve comportarsi nel seguente modo:
I(k) ∼ 1 k4−D
Per D < 4 l’integrale `e convergente a grandi q, ma diverge se k → 0. In tre dimensioni otteinamo un comportamento
I(k) = 1 k
Se prendiamo il diagramma al 4 ritroviamo tre volte questo integrale (tre cappi), per cui sull’integrale finale apparir`a un termine:
I3(k) ∼ 1 |k|3
Da cui il diagramma completo al quarto ordine sar`a: Z d3k
|k|3
1 (k − p)2
Che diverge senz’altro per k = 0. Se ammettessimo anche dimensioni non intere per D < 4 esiste sempre un ordine a cui appare un diagramma divergente.
Al punto critico i termini dello sviluppo perturbativo divergono, e la serie non `e convergente.
Esistono varie teniche che si possono utilizzare per risolvere questo problema, una delle tecniche pi`u di moda `e la risommazione parziale dei diagrammi. Invece di prendere tutti i diagrammi ai vari oridini possiamo risommare tutti i diagram-mi di una data classe. In questo modo possiamo sommare un sottoinsieme di diagrammi ad ogni ordine.
La scelta dei diagrammi da risommare `e arbitraria. Il modo semplice `e quello di fare i diagrammi facili. I diagrammi pi`u semplici in assoluto sono quelli ottenuti mettendo in fila dei cappi; il termine al primo ordine diventa:
Σ = gC Z
˜
G0(p)dDp
Un diagramma con pi`u cappi in fila `e molto semplice perch´e fattorizzabile nel prodotto di tanti daigrammi al primo ordine un unico cappio.
Ad esempio un diagramma del quarto ordine con 4 cappi `e semplicemente: G0(p)5Σ4
Una volta che sappiamo calcolare il diagramma al primo ordine sappiamo il riusltato di tutti i diagrammi ad ogni ordine.
Possiamo sommarli tutti per ottenere il risultato finale:
∞ X k=0 ˜ G0(p)k+1Σk = 1 G−10 (p) − Σ
La prima risommazione generale che possiamo fare `e questa. Basta calcolare un unico diagramma e poi si risomma il diagramma portandono al denominatore. Questo tipo di risommazione `e del tutto generale. Possiamo infatti immaginare di includere nella Σ anche diagrammi ad ordini superiori. Ad esempio se pren-diamo i diagrammi del secondo ordine mostrati in Figura 3.25 otteniamo un altra espressione per Σ.
Figura 3.25: Diagrammi irriducibili al secondo ordine.
Questi diagrammi sono detti irriducibili, perch´e non possono essere fattoriz-zati nel prodotto di due diagrammi di ordine pi`u basso. Se adesso chiamiamo Σ(p, g) la somma tutti i diagrammi irriducibili ad una linea (o ad una particella), possiamo risommare tutti i possibili diagrammi usando la serie geometrica:
1
G−10 (p) − Σ(p, g)
Questo corrisponde a prendere tutti i diagrammi irriducibili, e comporre tutti gli altri diagrammi possibili combinando linee G0(p) con tutti i possibili diagrammi
in Σ. Per ragioni legate alla teoria dei campi per le particelle Σ `e detta self-energia.
Se confrontiamo la funzione di correlazione risommata, e la confrontiamo con quella di campo medio otteniamo uno shift del punto critico.
G0(p) = 1
p2+ µ G(p) = 1 p2+ µ − Σ La self energia ha spostato il punto critico a:
µ − Σ = 0
Se volessimo essere pi`u raffinati potremo arrivare a considerare anche i diagrammi irriducibili al terzo ordine (Figura 3.26).
Figura 3.26: Diagrammi irriducibili al terzo ordine.
Possiamo decidere di includere nella self-energia solo diagrammi pi`u semplici (come il topolino). Possiamo risommare tuta una classe di diagrammi facili da calcolare. Per fortuna esiste una giustificazione formale a questa operazione di “scegliere” arbitrariamente quali sono i diagrammi facili da risommare.
Se calcoliamo questa risommazione il risultato converge al punto critico, con esponenti diversi da quelli di campo medio (anche se il risultato non `e ancora quello corretto). In questo modo siamo riusciti, partendo da una serie non convergente, ad ottenere un espressione convergente con un risultato interessante (se pur non esatto).