3.3 Modello di Landau-Ginzburg
3.3.4 Tecniche perturbative e convergenza
−(a + b + c)µ − abc ab + bc + bap
2
Questa formula finale ha una dipendenza molto semplice, questa espressio-ne `e abbastanza comoda per lavorarci e per poterla trattare numericamente o vedere possibili divergenze. Questo trucco di Feynman `e comodo per portare l’integrale in espressione di questo tipo. Esiste anche una regola grafica per ottenere direttamente gli integrali secondo questa formula.
3.3.4 Tecniche perturbative e convergenza
`
E interessante chiedersi se lo sviluppo perturbativo converge alla funzione giusta. Se lo sviluppo perturbativo non converge, cosa ci facciamo?
Dal punto di vista matematico dire che una funzione `e una serie asintotica corrisponde a dire che la differenza tra la funzione e la serie troncata `e di ordine N + 1. F (g) − N X k=0 fkgk = O(gN +1)
Tuttavia anche quando esiste lo sviluppo perturbativo della serie non `e detto che questo converga alla funzione voluta, un esempio `e lo sviluppo della seguente funzione F (g) = exp −1 g2 (3.21)
Figura 3.19: Grafico della funzione 3.21.
Tutti i coefficienti dello sviluppo sono convergenti (e convergono a zero), tuttavia la funzione a cui converge lo sviluppo (una funzione identicamente nulla) non corrisponde con la funzione originale.
Per cercare di capire se ci sono problemi di questo tipo, vediamo di calcolare il modello di Landau-Ginzburg in un solo punto.
F (g) = Z dϕ exph−µ 2ϕ 2− g 4!ϕ 4i
Domandiamoci se possiamo svilupparla in serie di Taylor. Studiamo l’anda-mento del k-esimo termine della serie
F (g) = ∞ X k=1 fkgk fk= −1 24 4 1 k! Z dϕe−ϕ2 ϕ4k | {z } (4k−1)!! (2k)!! = 2k(2k − 2)(2k − 4) · · · = 2kk! Nella forma di Stirling otteniamo
(2k)!! = 2k k e
k
Da cui il termine fk va come: fk∼ 1
k! (2k)2k
kk ∼ kk∼ k! fk= (−A)kk!
Una serie i cui termini crescono fattorialmente ha raggio di convergenza nullo: R = lim
k→∞
fk
fk+1 ∼ 1 k = 0
I coefficienti della serie perturbativa divergono come k! (questo `e dovuto al fatto che il nuemro di diagrammi che ci sono compensa il termine k! al denominatore).
Il motivo fisico per cui la funzione non converge `e il seguente: se la serie fosse convergente la funzione sarebbe analitica in un cerchio di raggio R. Tut-tavia poich´e c’`e un termine ϕ4nell’hamiltoniana, con g negativo questo termine all’esponenziale fa divergere l’integrale, quindi l’integrale non `e analitico nel semipiano negativo della g (Figura 3.20).
In questo caso esiste uno sviluppo perturbativo della funzione, ma la sua risommazione non converge alla funzione voluta. Cosa possiamo fare con questa serie perturbativa non convergente?
La nostra funzione `e analitica in un dominio di tipo a torta (Figura 3.21). Per questo tipo di funzioni esiste un teorema che permette di ricavare informazioni sulla funzione che stiamo calcolando.
Teorema 3.3.1 (Watson). Se prendiamo una funzione analitica in un dominio a pacman ed esiste una funzione H(g) che soddisfa la disuguaglianza:
|F (g) − H(g)| ≤ N !AgNrN Allora H(g) `e unica.
Figura 3.21: Dominio di analiticit`a a torta (o pacman), richiesto dalle ipotesi del teorema di Watzon (3.3.1).
Se le ipotesi del teorema sono soddisfatte avremo l’unicit`a della soluzione in quel dominio. Possiamo quindi espandere la funzione in serie
F (g) − N X n=0 fngn ≤ AgN +1rN +1(N + 1)!
Se si applica questo teorema alle funzioni di correlazione si pu`o dimostrare questa disuguaglianza, pertanto l’espansione perturbativa, pur non convergendo al risultato corretto, contiene tutte le informazioni corrette della vera funzione di correlazione.
Lo sviluppo in serie non `e l’unico sviluppo possibile per una funzione. Infatti il troncamento dello sviluppo in serie tende sempre ad esplodere per grandi o piccoli x. Esistono sviluppi differenti che approssimano meglio la funzione a grande distanza.
Teorema 3.3.2 (Pad´e). Sia una funzione F (g) analitica in variabile complessa con un taglio sull’asse reale negativo.
F (g)g→∞−→ 0
Possiamo scriverla con una rappresentazione integrale: F (g) =
Z ∞
0
dg0A(g0) g + g0
Dove
A(g0) = #=F (g0) Con # un fattore proporzionalit`a.
Se A(g0) ≥ 0 esiste una successione di funzioni convergente alla funzione, detti approssimanti di Pad´e.
Quando non si riesce a determinare la convergenza degli approssimanti di Pad´e analiticamente, si possono sempre scrivere gli approssimanti per poi sti-marne la convergenza a posteriori.
L’approssimante di Pad´e sono in generale molto buoni. Lo sviluppo in Taylor ha un problema del troncamento. Se g `e molto grandi gN `e molto grande. Inoltre per funzioni molto semplici come il logaritmo, il raggio di convergenza del polinomio di Taylor `e limitato.
ln(1 + x) = ∞ X k=1 (−1)n+1xk k
La serie di Taylor non pu`o essere usato al di fuori del raggio di convergenza. Gli approssimanti di Pad´e convergono ben al di l`a del raggio di convergenza della serie di Taylor.
Gli approssimanti di Pad´e sono delle funzioni costruite in questo modo: P1(x) = f0
1 − f1
f0x
Dove i fattori fi sono gli i-esimi coefficienti della relativa serie di Taylor. Si pu`o verificare facilmente che il primo approssimante descrive correttamen-te la funzione ad un ordine O(x2).
P1(x) − f (x) = O(x2)
Allo stesso modo possiamo ricostruire il secondo approssimante di Pad´e: P2(x) = f0+ ax
1 + bx
I coefficienti a e b devono essere scelti in modo da ottenere un’approssima-zione della funun’approssima-zione corretta al secondo ordine.
P2(x) − f (x) = O(x3)
All’ordine successivo aggiungiamo un termine al denominatore: P3(x) = f0+ ax
1 + bx + cx2
E poi un altro termine al numeratore.
P4(x) = f0+ ax + bx
2
1 + cx + dx2
Dobbiamo aggiungere coefficienti in modo da avere per ogni ordine n + 1 para-metri liberi (in modo che la differenza tra funzione e approssimante sia sempre di ordine n + 1).
Nel caso di approssimanti dispari il polinomio al denominatore ha un ordine maggiore del polinomio al numeratore, per quelli parti i due polinomio hanno lo stesso grado.
I comportamenti dei determinanti sono molto pi`u smussati rispetto ad una serie di Taylor troncata, perch´e per grandi x non divergono.
Il teorema di Pad´e ha come corollario che se gli approssimanti convergono, si comportano in questo modo:
F2k−3(g) ≤ F2k−1(g) ≤ F (g) ≤ F2k(g) ≤ F2k−2(g)
Ossia gli approssimanti del Pad´e dispari sono una successione decrescente, mentre gli approssimanti del pad´e pari sono una successione crescente. Presi due qualunque approssimanti del Pad´e di diversa parit`a, la funzione da approssimare `
e compresa tra i due.
Esistono molti trucchi noti che permettono di trattare serie che non conver-gono con gli approssimanti di Pad´e. In genere si usano tanti differenti metodi di approssimazione, e poi si stima quello corretto facendo una media, e si calcola l’errore compiuto con la deviazione standard.
Un modo alternativo consiste nell’usare la somma di Borel: Se valgono le ipotesi del teorema di Borel (3.3.1), allora la serie `e sommabile alla Borel:
F (g) =
∞
X
k=0
(−g)kfk
Si pu`o definire una funzione di Borel unica. B(z) = ∞ X k=0 (−z)kfk k!
La funzione B(z) converge pi`u facilmente di F (g) del suo sviluppo in Tay-lor (grazie alla presenza del k!). B(z) `e analitica in una regione pi`u grande della F (z), per cui il raggio di convergenza del suo sviluppo `e maggiore (Figu-ra 3.22). Ma nota la B(z) si pu`o ricalcolare la F (g) attraverso un operazione di trasformata (detta trasformata di Borel):
F (g) = Z ∞
0
dzB(zg)e−z
Sebbene B `e analitica non `e detto che la F lo sia, perch´e `e integrata. Una delle tecniche pi`u diffuse per ricostruire la funzione originale `e quella di usare la trasformata di Borel, approssimandola con gli approssimanti di Pat´e; sostanzialmente otteniamo un prolungamento analitico sulla serie di Borel (che `
e converge in una regione pi`u grande di F ) in modo da poter ottenere uno sviluppo di F che converga oltre il raggio di convergenza della serie di Taylor6.