cadute di pressione

Tale argomento richiede un approfondimento in quanto la pressione influisce sui vari meccanismi di scambio termico sopra elencati, specialmente nel caso dell’ebollizione sottoraffreddata.

La caduta di pressione si può vedere come la somma di 4 componenti [11]:

∆𝑃 = ∆𝑃𝑎𝑡𝑡𝑟 + ∆𝑃𝑐𝑜𝑛𝑐 + ∆𝑃𝑔𝑟𝑎𝑣 + ∆𝑃𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟

Dove

ΔPattr è la caduta di pressione dovuta al lavoro della forza di attrito alla parete. Questa è la principale

fonte di perdite nel caso di fluido allo stato liquido, e nel caso di fluido gassoso a bassi numeri di Mach.

ΔPconc è la caduta dovuta ad ostacoli o ad improvvise variazioni della sezione nella direzione del

flusso, ed è quindi una perdita concentrata.

ΔPgrav è la caduta dovuta alla variazione di energia potenziale, ed ha rilevanza importante nei casi di

flussi che si sviluppano in verticale.

ΔPcompr è la caduta che avviene quando si ha un fluido allo stato gassoso; è principalmente dovuta

all’accelerazione del fluido, e quindi a variazioni dell’energia cinetica.

Nel caso in esame, le perdite di pressione gravimetriche sono trascurabili, dato che il flusso si sviluppa in canali orizzontali. Anche le cadute per variazioni brusche di sezione ed ostacoli sono nulle nel canale di refrigerazione. Un altro aspetto da tenere in considerazione è lo stato monofasico o bifasico del fluido. Nel secondo caso infatti le perdite sono maggiori rispetto al primo.

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6.3.1 PERDITE DI PRESSIONE IN REGIME MONOFASE

Nel caso di un condotto idraulico (con fluido incomprimibile), la tipica espressione per calcolare le perdite di pressione distribuite lungo il condotto si ricava dall’equazione di momento per un tratto di condotto. 𝑑𝑝 𝑑𝑠 = 𝑓 ∗ 𝜌𝑢2 2𝐷_𝐻 Dove

f è legato al fattore d’attrito che è funzione del Re e della rugosità relativa (e/D); si ricava dal diagramma di Moody che di seguito viene riportato [figura 6-12]. Tale fattore in sistemi in cui vi è un forte gradiente di temperatura sulla sezione, viene corretto con un termine che tiene conto della differente viscosità del fluido sulla sezione. Tale fattore è lo stesso che si utilizza per il calcolo del coefficiente convettivo (μb /μw)0.14.

ρ è la densità media del fluido [Kg/m3

] u la velocità media del fluido [m/sec] DH = 4A/P è il diametro idraulico [m]

Nel tratto laminare si ha solo la dipendenza dal Re ( f ~1/Re ), mentre nel flusso turbolento la dipendenza è più complessa e subentra la rugosità relativa (legge di Colebrook).

Nel caso di un fluido allo stato gassoso invece, le perdite di pressione tengono conto anche degli effetti di comprimibilità; questo comporta una dipendenza dal numero di Mach. Dalle equazioni della gasdinamica monodimensionale, si può trovare il rapporto tra le pressioni di ristagno in ingresso e uscita da ogni tratto ds del condotto, in funzione dei numeri di Mach calcolati sulle rispettive sezioni, nel caso in cui l’attrito sia trascurabile rispetto all’apporto diabatico:

𝑝_𝑡2 𝑝𝑡1 = 1 + 𝛾𝑀₁2 1 + 𝛾𝑀₂2 1 +𝛾 − 1_{2 𝑀2}2 1 +𝛾 − 1_{2 𝑀1}2 𝛾 𝛾−1

Dove i pedici 1,2 sono riferiti alle sezioni di ingresso e di uscita. Successivamente dalle espressioni delle pressioni di ristagno, si possono ricavare le pressioni statiche.

𝑝𝑡 𝑝 = 1 + 𝛾 − 1 2 𝑀2 𝛾 𝛾−1

95 95 95 Esprimendo questo per ogni sezione, si possono ottenere le pressioni in ogni punto del condotto. Nel caso in esame il numero di Mach è comunque piuttosto basso (M<0.1), il che comporta effetti di comprimibilità trascurabili, e perdite di pressione dovute essenzialmente all’attrito.

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6.3.2 PERDITE DI PRESSIONE IN REGIME BIFASE

Questa precisazione è doverosa perché in un flusso bifase il valore delle perdite per attrito è solitamente più elevato del caso monofase, a parità di portata totale. Trascurando le perdite di pressione dovute a ostacoli localizzati, i termini espressi per il caso monofasico si ripetono. Dall’equazione di Bernouilli si può ottenere che la differenza di pressione tra la sezione 1 e la sezione 2 sia: 𝑝₂− 𝑝₁=𝑚 2 𝑆2 (𝑢22−𝑢12) 𝑠𝑙𝑖𝑝 + 𝑑𝑧 𝑢 2 1 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑕𝑒 + 𝑚 2 2𝑆2_𝜌𝑑 𝑓𝑢𝑑𝑠 2 1 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜

Dove il primo termine rappresenta la caduta dovuta alla variazione di energia cinetica. Gli altri due termini rispettano la nomenclatura prima utilizzata.

Nel caso di un flusso bifase sono due i possibili approcci: modello di fluido omogeneo, o modello di flusso a fasi distinte.

1. Modello omogeneo: il modo più facile di trattare il problema delle cadute di pressione in

flusso bifase, è quello di ipotizzare un fluido equivalente con caratteristiche pesate attraverso il titolo di vapore, definito come la percentuale massica di vapore rispetto alla massa totale. Nel caso di condotti orizzontali e Δpslip trascurabili si ha:

𝑑𝑝 𝑑𝑠 = 𝑓𝑒𝑞

𝜌_𝑒𝑞𝑢 2

2𝐷𝐻

Dove

ρeq è la densità del fluido equivalente valutata come:

𝜌𝑒𝑞 = (1 − 𝑋)𝜌𝑙𝑖𝑞 + 𝜌𝑣𝑎𝑝𝑋

X titolo di vapore

feq è il coefficiente di attrito equivalente ricavato dal diagramma di Moody, e calcolato al Reeq

𝑅𝑒𝑒𝑞 =

𝜌𝑒𝑞𝑢 𝐷𝐻

𝜇_𝑒𝑞 𝒖 è la velocità media sulla sezione

Per la valutazione della viscosità equivalente, diverse relazioni sono state proposte. Secondo Lombardi e Silvestri

97 97 97 Il modello di fluido omogeneo è una valida approssimazione nel caso di elevate pressioni (prossime a quella critica del fluido) e velocità. È inoltre un buon metodo nel caso di bassissima percentuale volumetrica di vapore, o per flusso in regime di ebollizione a nebbia. 2. Modello a 2 fluidi: come detto precedentemente, le perdite di pressione in condizioni bifasica

sono sempre maggiori di quelle in flusso monofase, a parità di portata totale. In letteratura si fa spesso riferimento ad un coefficiente moltiplicativo Φlo2 definito come il numero per il

quale bisogna moltiplicare le perdite relative al flusso considerato monofase saturo, per avere le perdite bifasi corrispondenti. Questo concetto di moltiplicatore a volte non ha un vero significato fisico in quanto la natura delle perdite per attrito nei due casi potrebbe avere spiegazioni completamente differenti. Per affrontare il problema del flusso a fasi separate esistono molte correlazioni. Di seguito si riporta la più utilizzata: la correlazione di Nelson e Martinelli.

In questo caso la perdita di pressione può essere scritta come segue: 𝑑𝑝

𝑑𝑠 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 = 𝑓 ∗ 𝛷𝑙𝑜

2_{(𝑠, 𝑝, 𝐺)} 𝐺2

2𝜌𝑙𝐷𝐻

Il moltiplicatore per le perdite di attrito è stato correlato alla pressione e al titolo, tramite il parametro detto di Lochkart-Martinelli:

𝑋𝑡𝑡 = ∆𝑝_𝑙 ∆𝑝_𝑣= 1 − 𝑥 𝑥 0.9 _𝜇 𝑙 𝜇_𝑔 0.1 _𝜌 𝑣 𝜌_𝑙 0.5

Dove x è il titolo di vapore e il resto della notazione è di facile interpretazione. È evidente che tale relazione è valida per valori del titolo non troppo prossimi all’unità, né per valori vicini allo 0. Dal grafico [figura 6-13] si ricavano poi i valori del moltiplicatore di perdite. Il valore del titolo varia lungo il condotto; per questo il calcolo viene effettuato su tratti molto piccoli in cui si considera il titolo costante e pari al valore della sezione di ingresso.

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FIGURA 6-13 GRAFICO PER LA VALUTAZIONE DEL MOLTIPLICATORE DI ATTRITO SECONDO MARTINELLI E NELSON PER UN FLUSSO BIFASE DI ACQUA

99 99 99 In mancanza di un grafico del coefficiente di perdita valido per la situazione in esame, nel [11], viene suggerito di utilizzare la seguente relazione:

𝛷_𝐿𝑂2= 1 + 10 ∗ 𝑝𝑐𝑟 𝑝 𝑋𝑡𝑡 Infine il valore della perdita viene valutata come:

𝛥𝑝𝑏𝑖𝑓𝑎𝑠𝑒 = 𝛷𝐿𝑂2𝛥𝑝𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎

Ovvero deve essere valutata la caduta nel caso di flusso completamente liquido, e moltiplicata per il fattore prima definito.

Per il caso in esame, il titolo di vapore passa rapidamente al valore unitario entro pochi passi di integrazione lungo l’ascissa.

Come evidente sono stati approfonditi solo i casi di perdite di pressione per attrito, questo perché:  le perdite gravimetriche sono praticamente nulle su tutto il condotto, e comunque trascurabili

anche nel caso di condotto verticale (si ricorda che la lunghezza della camera di combustione più l’ugello di scarico non arrivano a 12 cm di lunghezza totale)

 le perdite concentrate non sono presenti, infatti non vi sono discontinuità geometriche rilevanti lungo il condotto

 le perdite dovute all’accelerazione (quindi variazione di energia cinetica) sono rilevanti nel caso di flusso comprimibile e numeri elevati di Mach; nel caso in esame tale apporto è trascurabile, ma previsto dal modello di calcolo.

In conseguenza di ciò sono previsti essenzialmente 2 casi:

1. perdite per attrito nel caso di fluido in stato liquido ed ebollizione sottoraffreddata 2. perdite per attrito nel caso di flusso in regime a nebbia.

Questi due casi sono sufficienti a coprire con sufficiente esattezza le fenomenologie fluidodinamiche presenti nel prototipo in analisi.

Alla luce di quanto esposto, si procede a mostrare il metodo di calcolo utilizzato per il problema dello scambio termico.

6.4 IMPOSTAZIONE DEL PROBLEMA DI SCAMBIO