5.2.1 IPOTESI E DATI PER LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA
Dal precedente problema risultano noti:
Temperatura in camera di combustione
Velocità in camera di combustione
Mach in camera di combustione
Densità in camera di combustione
Pressione in camera di combustione
Il valore di γ in camera di combustione
La geometria dell’intero condotto
A questo vanno aggiunte alcune ipotesi per l’utilizzo in forma chiusa delle equazioni della gas dinamica monodimensionale [3]:
Sezione sonica in gola
Condizione di matching
Portata bloccata
Assenza di attrito
Adiabaticità
5.2.2 METODO DI SOLUZIONE
Lo schema per il calcolo delle condizioni in ogni sezione segue due fasi, come suggerito in [5]:
la prima utilizza i valori ottenuti dal problema termochimico per calcolare le grandezze in gola e verificare che in essa vi sia la condizione sonica; la seconda invece utilizza le legge della gasdinamica unidimensionale in condotti e la conoscenza della geometria per ottenere i valori nelle altre sezioni.
65 65 65 Per la prima fase, dall’ipotesi di flusso isoentropico, si ottiene che la pressione totale e la temperatura totale si mantengono costanti dato che non risentono delle variazioni di sezione del condotto [3]. Dalla definizione di temperatura totale si ottiene:
𝑇𝑔𝑜𝑙𝑎 𝑇𝑐𝑎𝑚𝑒𝑟𝑎 = 1 +𝛾𝑐𝑎𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑇 − 1 2 ∗ 𝑀𝑐𝑎𝑚𝑒𝑟𝑎2 1 +𝛾𝑔𝑜𝑙𝑎 𝑇 − 12 ∗ 𝑀𝑔𝑜𝑙𝑎2 Dove
Mgola=1 avendo la sezione sonica in gola;
Mcamera ottenuta dal problema termochimico;
γcamera noto dal problema precedente;
Tcamera nota anch’essa dal precedente problema.
Questa equazione va inserita in un ciclo iterativo in cui si inizializza la γgola, si ricava la Tgola, con cui
ricavo la γgola del passo 2; ponendo la condizione sulla differenza tra la γgola del passo n e di quella del
passo n-1, ottengo un soluzione per convergenza; a questo punto si possono ottenere tutte le altre grandezze di interesse (pressione, velocità e densità). Si riporta il diagramma di flusso corrispondente per maggiore chiarezza di comprensione:
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FIGURA 5.2 SCHEMA DEL FLUSSO DI VARIABILI CONTENUTE NEL PROBLEMA GAS-DINAMICO λ dalla legge di azione di massa
Portate molari all’equilibrio
Frazioni molari
Cp_mix in gola
γ_gola(n)
γ_gola(n)- γ_gola(n-1)<ε
T_gola/T_camera=f(γ_camera,M_camera)/f(γ_gola,M_gola) Per ottenere T_gola
T_camera p_camera ρ_camera u_camera M_camera r_camera p_gola(1) γ_gola(1) delta_γ (1) di inizializzazione
T_gola p_gola ρ_gola u_gola γ_gola
67 67 67 La seconda fase è analoga alla prima, ma, come sezione di riferimento, si utilizza quella di gola.
Rispettando la condizione di matching e flusso bloccato e con i valori già noti si calcola la velocità efficace di scarico e il valore del Mach in uscita (Me):
𝑐∗= 𝑅 ∗ 𝑇𝑐 𝛾 ∗ 𝛾 + 1 2 𝛾+1 2∗(𝛾−1) Dove
R, γ costante dei gas combusti.
E 𝑀𝑒 = 2 𝛾 + 1∗ 𝑝𝑐 𝑝𝑒 𝛾−1 𝛾 − 1 Con
pc pressione in camera di combustione;
pe =1 atm; pressione in uscita che rispetta la condizione di matching.
Con la conoscenza della velocità caratteristica c* si può quindi ricavare il valore della portata bloccata
dalla seguente relazione:
𝑚 =𝑝𝑐∗ 𝐴∗ 𝑐∗
Dove
A* è il valore dell’area della sezione di gola.
A questo punto con la relazione della gas-dinamica monodimensionale si calcolano i valori del numero di Mach sezione per sezione. Questo è possibile perché la geometria del condotto è già nota:
𝐴 𝐴∗= 1 𝑀∗ 2 𝛾 + 1∗ 1 + 𝛾 − 1 2 ∗ 𝑀2 𝛾+1 2∗(𝛾−1)
Noto il numero di mach in ogni sezione posso ricavare anche le altre grandezze. La temperatura e la pressione dalle definizioni di Temperatura totale e pressione totale
68 68 68 𝑇𝑡 = 𝑇 ∗ 1 + 𝛾 − 1 2 ∗ 𝑀2 E 𝑝𝑡 = 𝑝 ∗ (1 + 𝛾 − 1 2 ∗ 𝑀2) 𝛾 𝛾−1
Si può trovare il valore della velocità dalla definizione del numero di Mach e considerando una situazione di gas ideale
𝑢 = 𝑀 ∗ 𝛾 ∗ 𝑅 ∗ 𝑇
Inoltre il valore della densità può essere ricavato dalla legge di stato dei gas perfetti
𝜌 = 𝑝
𝑅 ∗ 𝑇
Di seguito viene riportato un diagramma di flusso (figura 5-3) che spiega quale è lo schema del programma.
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FIGURA 5.3 SCHEMA DI FLUSSO DI VARIABILI DEL PROBLEMA GAS-DINAMICO PER TUTTE LE SEZIONI λ dalla legge di azione di massa
Portate molari all’equilibrio
Frazioni molari
Cp_mix nella sezione
γ_sezione(n)
γ_sezione (n)- γ_sezione (n-1)<ε A/A*=f(M)
Per ottenere il mach di ogni sezione
Calcolo della T_sezione dall’espressione della T_totale
T_gola p_gola ρ_gola u_gola Function per il calcolo
del raggio di ogni sezione
P_sezione(1) γ_sezione(1) delta_γ(1) per l’inizializzazione
T_sezione p_sezione ρ_sezione u_sezione γ_sezione M_sezione
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5.2.3 RISULTATI OTTENUTI
Da questo schema sono stati ottenuti i risultati che vengono riassunti graficamente e brevemente commentati.
Come si vede in camera di combustione dove la sezione è costante i valori rimangono invariati, mentre hanno forti gradienti nella zona dell’ ugello di scarico di forma convergente-divergente con sezione di gola sonica.
FIGURA 5-4 VALORE DEL RAGGIO DELLA CAMERA DI SPINTA
Il grafico di figura 5-4 rappresenta la geometria della camera e del condotto di scarico a simmetria cilindrica. La geometria è un fattore noto dai precedenti studi e fornito come dati in ingresso al problema.
71 71 71 FIGURA 5-5 VALORE DELLA TEMPERATURA STATICA NELLA CAMERA DI SPINTA
Dal secondo grafico [figura 5-5] è evidente il raffreddamento dovuto all’espansione della miscela di gas che subisce un salto di temperatura statica di circa 1000°K. La presenza di un tratto a valore costante è dovuta a l’ipotesi di adiabaticità e assenza di attrito. Tali ipotesi implicano che la temperatura totale si mantenga costante, visto che la sua variazione non dipende dall’andamento della sezione lungo il canale. Questo comprova quindi il presente andamento della temperatura statica in camera e nel condotto di scarico.
72 72 72 Nel grafico di figura 5-6 è rappresentato l’andamento del numero di Mach che grazie alla geometria dell’ugello subisce una transizione sonica nella sezione di gola.[2]
FIGURA 5-7 DENSITÀ DELLA MISCELA DI GAS CALDI ALL’INTERNO DELLA CAMERA DI SPINTA
Analogamente all’andamento della pressione [figura 5-8], lungo il condotto, la densità decresce in maniera continua nel canale convergente dell’ugello [figura 5-7].
73 73 73 Come si nota infatti la pressione passa dal valore in camera (circa 15 atm) a circa 1 atm. In tal modo il flusso è adattato all’espansione atmosferica.
FIGURA 5-9 VALORE DELLA VELOCITÀ MEDIA DELLA MISCELA DI GAS CALDI IN CAMERA DI SPINTA
In figura 5-9 è riportato l’andamento della velocità lungo il condotto. L’accelerazione dovuta all’espansione dei gas, porta il suo valore a circa 2100 m/sec alla sezione di sbocco; tale valore corrisponde ad un impulso specifico di circa 210 sec vicino a quello da specifica.
Dall’analisi effettuata in questo capitolo si possono trarre i valori necessari alla successiva implementazione per il calcolo di scambio termico che verrà successivamente affrontato.
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5.3 TESTI E SITI DI RIFERIMENTO
[1] ] A.Pasini, L.Torre, P.King, L.d’Agostino, 2007, “Self-Pressurized Green Propellant Technology – Technical Note 1”
[2] A.Pasini, L.Torre, L.Romeo, L.d’Agostino, 2007, “Self-Pressurized Green Propellant Technology – Technical Note 2”
[3] L. d’Agostino, a.a.2005/2006, “Dispense di Termofluidodinamica”
[4] Peterson, Hill, “ Mechanics & Thermodynamics of Propulsion” Addison_wesley Publishing Company
[5] Huzel D.K., Huang D.H., 1992, “Design of Liquid Propellant Rocket Engines”, Rocketdyne Division of Rockwell International
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CAPITOLO 6
SITEMA DI RAFFREDDAMENTO
Nella precedente configurazione dell’endoreattore, il raffreddamento della camera di combustione, era affidato ad un flusso convettivo di acqua immessa a temperatura ambiente e con una portata pari a circa 100 g/sec. Con questo lavoro è stata valutata la fattibilità di impiegare come refrigerante uno dei due propellenti: perossido di idrogeno ad alte concentrazioni o etano. I principali vincoli imposti al sistema di raffreddamento , sono il valore della portata del perossido (17,45 g/sec) e il rapporto di miscelamento fra i due propellenti (8.9. Sulla base di un problema di scambio termico che tiene conto di diversi fenomeni di asportazione del calore (convezione, irraggiamento, ebollizione sottoraffreddata, conduzione attraverso la parete etc), è stato generato un foglio di calcolo in ambiente Matlab®, che consente di conoscere i valori della temperatura di parete, l’incremento di temperatura del fluido refrigerante lungo il condotto, la caduta di pressione del fluido all’interno del condotto e l’entità di ogni frazione di calore asportato. Questo capitolo illustrerà il modello di scambio termico generale, e le sue successive applicazioni nei casi di raffreddamento con perossido o etano.