Calcolo degli error coefficients

A questo punto `e possibile iniziare a capire come calcolare i coefficienti di errore per le nostre formulazioni. Quello che abbiamo finora tirato fuori `e l’equazione di taratura: −S G ˆB m+ F ˆB m− S L ˜B m+ K ˜B m+ S H ˜A m− M ˜A m = 0 A questo punto, alcune osservazioni:

• `e basata sui parametri scattering (mentre quella con la quale siamo familiari aveva le matrici di trasmissione);

• `e definita per qualsiasi standard;

• pu`o essere per trovare, dato un insieme di standard noti, i parametri H, L, M , K , F , G, ossia i “coefficienti di errore”;

• pu`o essere usata, data la calibrazione, ossia una volta calcolati i coeffi-cienti di errore, per determinare S .

A questo punto, come si fa ad andare avanti? L’idea fondamentale `e quel-la di prendere l’equazione di calibratura e scriverquel-la in forma scaquel-lare. Come mai un passaggio di questo tipo? Beh, come gi`a detto nell’introduzione, al-l’inizio avevamo diverse necessit`a, una delle quali era quello di utilizzare degli standard a due porte: non esistono standard a N porte! Ricordando poi che l’analizzatore di reti `e suddiviso in due parti, le due porte possono essere tutte e due a sinistra, tutte e due a destra, una a sinistra e una a destra, o anche a una porta. Scalarizzado le equazioni, non abbiamo pi`u problemi a dover scrivere per intero la matrice scattering di standard che probabilmente

non abbiamo neanche a disposizione fisicamente, bens`ı dovremo semplice-mente scrivere un insieme di equazioni (2, 4, 6) a seconda di come misuriamo lo standard a 1 o 2 porte.

Si consideri un esempio: si immagini di mettere un due porte standard (un thru) tra due porte appartenenti alla met`a di destra dello strumento; si avr`a lo stato A da una parte, lo stato B dall’altro. In questa situazione, l’oggetto d`a origine a 4 equazioni: 2 per direzione. Si ha qualcosa di analogo alla SOLT. Si pu`o infatti fare, come misure:

b1 a₁ b2 a₁ b1 a₂ b2 a₂

Quando siamo in stato A-B, si hanno 4 equazioni di questo tipo (3-sampler). In stato A-A si han quattro equazioni del tipo “quattro sampler”. Quando si usa una porta di destra con quella di sinistra, si hanno 8 equazioni: 4 nello stato A, 4 nello stato A-B (si deve fare A-B e B-A).

Si parla di dynamic calibration: essa `e una calibrazione che prescinde da una fissa sequenza di standard. Essendo capaci a programmare, basandoci su questo principio, potremmo scrivere dunque un algoritmo che fornisce una sequenza di campioni non fissa come nel caso della TRL, bens`ı che dipende da constraints che introduciamo: quale porta pu`o essere collegata con quale al-tra, e con quali standard. Inoltre, con questa idea, `e possibile usare le tecniche di taratura gi`a note a 2 porte, usando standard incogniti: `e sostanzialmente come ragionare a 2 porte pi`u volte. Quando si ha a che fare con stati A-A, si possono usare tutte le nozioni note dalle tarature a 2 porte 4-sampler (per esempio, la TRL); nel caso in cui si ha a che fare con altri stati, quali A-B o B-A, `e sufficiente fare quindi le misure di F e G per ogni porta mettendo lo standard B e facendo misura extra:

F = ˆA ˆB⁻¹

G = ˆB ˆB⁻¹

Si possono mischiare self-calibration con tarature globali, e risolvere dunque in diverse maniere diversi problemi.

Alcune note sull’indipendenza lineare delle equazioni introdotte dagli standard

Esistono dei criteri empirici che permettono di dire quante equazioni indipen-denti danno un certo insieme di standard.

Una prima domanda potrebbe essere: quante equazioni linearmente in-dipendenti danno N standard a 1 porta? Si immagini di avere 10 load, 5 short, 20 open; di equazioni indipendenti, dato un N porte, se ne hanno 3 × N: le equazioni che scriviamo a 1 porta possono al pi`u determinare i parametri di un error-box a 1 porta, dunque indipendentemente da quanti se ne mettono, il risultato finale sar`a sempre lo stesso.

Un discorso pi`u interessante potrebbe essere quello riguardante i 2-porte: capire quante equazioni linearmente indipendenti sono fornite da uno stan-dard a 2 porte, ossia da un thru. Gli stanstan-dard a 2 porte possono essere collegati in svariati modi; si consideri per esempio il caso di un 3-porte:

1 2

3

Questa struttura, detta thru loop, sembrerebbe portare a 4 + 4 + 4 - 1 equazioni, dunque a 11 equazioni. Queste 12 equazioni introdotte, sono sul serio tutte linearmente indipendenti? Beh, da 12 iniziamo a toglierne 1 per la normalizzazione, arrivando gi`a a 11; in realt`a di queste 11 solamente 10 sono linearmente indipendenti, ma dimostrarlo in maniera formale `e molto complicato.

Ci`o che possiamo fare, al fine di fissare questo concetto, `e dimostrarlo in maniera meno formale ma probabilmente pi`u efficace. Partendo dal 2-porte, si immagini di avere un thru, ossia un doppio bipolo completamente deter-minato, il quale tuttavia non ha propriet`a di reciprocit`a: la sua matrice scat-tering non ha particolari propriet`a. Questo fatto porterebbe (supponendo di avere uno standard di questo genere e di averlo caratterizzato correttamente) a ottenere, quando si collega la porta 1 del thru alla porta 1 dell’analizzatore e la porta 2 all’altra, e la porta 1 del thru alla porta 2 dell’analizzatore e la 2 alla 1, ad avere 4 equazioni in un verso, e 4 equazioni nell’altro: un totale di 8 equazioni. Di queste, non tutte sono linearmente indipendenti: come si era visto quando si parlava di modelli basati sull’uso delle matrici di trasmissione, si `e visto che la definizione del problema agli autovettori portava all’introduzione di due gradi di libert`a, che riducono di fatto il rango del sistema di due ordini: il rango del sistema sar`a pari a 6 e non a 7 o 8 (abbiamo 8 equazioni, ce ne servono 7 per avere un sistema completamente determinato, ma ne abbiamo 6). Per un 3-porte, si aggiungono quattro incog-nite, ma il thru alla terza porta aggiunge altre quattro equazioni che saranno

completamente indipendenti, facendoci arrivare cos`ı a 10 equazioni; questa `e una dimostrazione semplificata del concetto. Il thru-loop, che si pu`o fare senza problemi quando i connettori sono senza sesso (per esempio gli APC7), danno dunque origine a 10 equazioni linearmente indipendenti.

Ci manca un’equazione: sia per il 2-porte, sia per il 3-porte, ci manca un’idea, anche supponendo di avere a disposizione un thru non degenere: il thru non simmetrico, come detto, deve essere ben caratterizzato, e dunque si avrebbero problemi di ripetibilit`a.

Dove posso prendere l’equazione mancante? Beh, per rispondere alla do-manda, si potrebbe dare il seguente indizio: collegando uno short a una delle porte, l’equazione che ne scaturisce non `e linearmente indipendente; collegan-do un offset short (ossia uno short con un tratto di linea di trasmissione; esso pu`o essere fatto in guida d’onda con grande precisione e poche perdite) o un load, l’equazione `e linearmente indipendente dalle altre. L’idea `e: quello che manca alle nostre equazioni `e l’imposizione di una certa impedenza di riferimento: noi dobbiamo misurare dei parametri scattering, i quali esistono solo se definiti rispetto a una certa impedenza di riferimento; se si mettesse uno short, qualsiasi impedenza di riferimento andrebbe bene, dunque essa continuerebbe a rimanere un grado di libert`a, e la cosa non `e buona, dal mo-mento che si continuerebbe a dover normalizzare rispetto a un valore scelto da noi arbitrariamente le misure, ottenendo per`o misure non calibrate. Tutte le tarature viste, se ci si pensa, hanno un qualcosa che fissi l’impedenza carat-teristica: LRM ha il Load, TRL la Line, SOLR il Load. Nel caso multiporte, non siamo interessati alla sequenza o al numero di standard, sempre suppo-nendo di avere dei thru a sufficienza, ma `e fondamentale avere uno standard che fissi l’impedenza di riferimento.

Dato questo accorgimento, il thru-loop `e probabilmente la migliore tecnica di calibrazione esistente: essa usa il minimo numero di standard possibile, dunque l’incertezza sar`a tendenzialmente minore delle altre; questo non `e stato ancora dimostrato, ma c’`e fiducia in tale direzione.

Una nota aggiuntiva sugli offset short: usando 3 offset short, `e possibile ottenere una delle tarature pi`u accurate possibili nel caso in cui si abbia solo una porta. Il problema della cosa `e per`o il fatto che l’offset short ha una linea di offset, dunque, come nel caso della TRL, essa tende a risuonare, per certi valori di lunghezza, con lo short.