Formulazione relativa ad analizzatori 3-sampler

Prima di andare avanti col problema, `e necessario considerare un’altra casis-tica: quella per cui si ha a che fare con analizzatori di reti basati sullo schema 3-sampler. Questo schema concettualmente `e, come noto, ben diverso dagli altri, dal momento che prima per ogni porta avevamo due misure, dateci dai due accoppiatori direzionali, ma negli analizzatori di reti a 3 sampler ci`o non `e vero: si ha un solo accoppiatore per ciascuna porta, e lo schema risulta essere diviso in due met`a, ciascuna delle quali ha un solo riferimento. Prima che si rifacesse il modello di errore (quello che stiamo per presentare), al fine di avere un numero sufficiente di parametri per la taratura, si utilizza-vano semplicemente tutte le possibili combinazioni a coppie delle porte: si mettevano assieme tanti modelli a 2 porte.

Rispetto al caso di prima, le porte possono essere in due condizioni, in due stati:

• stato A: stato in cui sorgente e riferimento sono collegati alla porta i-esima; in questo stato, non si ha nulla da aggiungere rispetto al caso precedente, nel senso che, per questo stato, si avr`a di nuovo:

( ai = libm,i − hiam,i

bi = kibm,i − miam,i

e le varie estensioni vettoriali esattamente analoghe a prima; per lo sta-to A, dunque, considereremo le equazioni generali in forma matriciale scritte nella seguente maniera:

( _B˜ _{= K ˜B} m− M ˜A m ˜ A= L ˜B m− H ˜A m

• stato B: in questo caso la i-esima porta non `e collegata alla sorgente, bens`ı `e chiusa sul carico.

Conosciamo dunque gi`a le equazioni per lo stato A, non conosciamo quelle per lo stato B, ma sappiamo come ricavarle con semplicit`a: prima di tutto,

quando abbiamo ricavato gli error box per l’1-porte, l’ipotesi di base era la sua linearit`a, dunque siamo sicuri di aver a che fare con equazioni lineari; oltre a questo, sappiamo che lo schema sar`a una cosa di questo tipo:

ai

bi

a_{m bm}

Dal momento che si ha, come unica variabile indipendente, l’onda mis-urata, si dovr`a per forza avere qualcosa del tipo:

( ai = giˆbm,i

bi = fiˆbm,i

Queste equazioni sono ovviamente generalizzabili nelle seguenti: ( _Aˆ _{= G ˆB}

m

ˆ

B = F ˆB

m

A questo punto, cosa abbiamo? Sostanzialmente, due modelli che per`o dovrebbero far parte di un singolo modello: esso dovrebbe essere rappresen-tato mediante singole matrici A e B . Ci`o che abbiamo ora tuttavia sono due coppie di matrici come variabili dipendenti, e queste sono relative ciascuna dallo stato, e hanno caratteristiche diverse. Dobbiamo legare dunque i due modelli, al fine di ottenere un solo modello. I valori di a_i e b_i non devono dipendere dal modello che dobbiamo utilizzare: dobbiamo solamente avere delle matrici in grado di rappresentare tutto ci`o come gi`a dovrebbe essere. Le onde al piano di riferimento devono essere indipendenti dalla situazione. L’obiettivo `e trovare dunque un’equazione con la matrice scattering (funzione di ai e bi per ogni porta) che tenga conto di tutto ci`o.

Osserviamo: se mettiamo la sorgente a una certa porta, per esempio la porta 1, questo significa che le altre porte sono nello stato B (dal momento che esse sono caricate su di un carico, non sulla sorgente); questo significa che non si ha, per ciascuna di queste porte, la am,i, i 6= 1: su ciascuna delle porte in cui non si ha la sorgente, non si ha nulla in grado di misurare l’onda incidente, dunque si hanno solo le bi (il modello `e a 3 sampler). Negli stati

A ho solamente la ˜A

m e ˜B

m, le quali hanno solo gli elementi sulla diagonale; dualmente, lo stato B non pu`o misurare l’onda di sorgente, dunque le sue matrici avranno solo elementi al di fuori della diagonale: le ˆB

m e ˆA

m saranno matrici senza elementi sulla diagonale.

Nessuno ci impedisce dunque di fare lo stesso ragionamento delle onde misurate sulle onde vere: considerarne una parte solo sulla diagonale, una parte solo fuori dalla diagonale, e considerare il modello finale come somma delle due matrici:

A= ˆA+ ˜A

B = ˆB + ˜B

Queste sono le matrici che possiamo usare per questo modello “general-izzato”, valido per gli analizzatori 3-sampler: `e da questa idea, che perme-tte di congiungere i due stati, che `e possibile raggiungere il modello finale. Riprendendo le definizioni prima viste, avremo banalmente:

A= ˆA+ ˜A = L ˜B m− H ˜A m+ G ˆB m B = ˆB + ˜B = K ˜B m− M ˜A m+ F ˆB m

Fatto ci`o, siamo interessati a ricavare l’equazione di de-embedding dei parametri scattering, semplicemente sostituendo le espressioni appena viste in un’equazione del tipo:

B = S A

Facendo ci`o, si ottiene un’equazione in grado di porre in relazione le altre due equazioni, semplicemente come:

−S G ˆB m+ F ˆB m− S L ˜B m+ K ˜B m+ S H ˜A m− M ˜A m = 0

si noti che, se ˆB = 0, questo modello si riconduce a quello visto per il 4-sampler. In questo caso si hanno, per questa equazione, 6 matrici: G, F , L, K , H , M ; esse saranno tutte di nuovo diagonali, dunque per cias-cuna di esse vi sar`a un numero di parametri pari al numero di porte presenti, ed esse sono 6. Ora questo modello ha:

Nparametri = Nporte× 6 − 1

Questa formula `e tendenzialmente giusta, ma non perfetta: se consideras-simo per esempio un VNA a 2 porte, si avrebbe:

2 × 6 − 1 = 11

quando in realt`a, come gi`a visto in precedenza, di parametri ne servono in realt`a solamente 10. In realt`a non si ha nulla di sbagliato, dal momento che ci manca un’informazione apparentemente invisibile: il caso a 2 porte `e un caso degenere per questo modello. Si vede che le due equazioni in F e in G si disaccoppiano, e dunque si finisce per scrivere esattamente ci`o che si scriveva con il modello meno generale precedentemente introdotto: si vede che le parti dipendenti da H , K , L, M sono accoppiate a F , G sia alla porta 1, sia alla porta 2, ma non ci sono parti in cui F e G della porta 1 son accoppiate anche alle F e G alla porta 2.